WYKŁAD 9 Rozdział 5: Drgaia iiowych układów ciągłych zęść 1: Drgaia swobode stru, prętów i wałów 5.1. Wiadomości wstępe o ciągłych układach drgających W dotychczasowych rozważaiach rozpatrywaiśmy układy drgające o skończoej iczbie stopi swobody. Pamiętamy, że układy takie (zwae też układami o masach skupioych ub układami dyskretymi) składają się z puktów materiaych ub brył sztywych połączoych ze sobą za pomocą różego rodzaju łączików, w tym eemetów sprężystych i tłumiących. Rówaia drgań tych układów są rówaiami różiczkowymi zwyczajymi. W przyrodzie i w urządzeiach techiczych występują i podegają drgaiom ciała odkształcae, których ie moża zamodeować za pomocą puktów materiaych ub brył [1]. Masa tych eemetów, a także ich parametry sprężyste i tłumiące są rozłożoe w sposób ciągły w ich objętości, datego układy takie azywamy układami ciągłymi. Przekoamy się, że ich rówaia drgań są rówaiami różiczkowymi cząstkowymi [3]. Do układów ciągłych aeżą p. beki, membray, płyty i powłoki. W daszym ciągu zajmiemy się drgaiami szczegóej kasy układów ciągłych, zwaych układami jedowymiarowymi. Masa jest w ich rozłożoa wzdłuż iii prostej, co ozacza, że ich długość zacze przewyższa wymiary przekroju. Rozważae będą cztery astępujące układy ciągłe: strua drgająca poprzeczie, pręt drgający podłużie, pręt drgający skrętie, czyi wał oraz pręt drgający giętie, czyi beka. Wyprowadzimy rówaia ruchu drgającego tych układów oraz poddamy je aaizie pod kątem drgań swobodych i wymuszoych, zwracając uwagę a te właściwości, które odróżiają układy ciągłe od układów dyskretych, badaych w poprzedich rozdziałach. Będziemy zakładać, że wszystkie te układy mają przekrój stały co do kształtu i poa powierzchi. Uwagi 1. Strua, w odróżieiu od beki, ie ma sztywości giętej, datego wprawieie jej w drgaia poprzecze (p. struy gitary) wymaga jej aciągu wstępego, który staje się podstawowym parametrem struy. 11
. Wał jako eemet apędowy, ma a ogół przekrój kołowy ub pierścieiowy. Moża sobie wyobrazić wał o przekroju dowoym, p. kwadratowym ub trójkątym, jedak tymi przypadkami ie będziemy się daej zajmować. 3. Pręt i wał mogą stać się bekami, jeśi zostaą odpowiedio podparte i obciążoe siłami zgiającymi ub zostaą im adae waruki początkowe typowe da beek. 4. W praktyce często występują drgaia sprzężoe, p. drgaia gięto-skręte wałów apędowych. W tym wykładzie jedak, poszczegóe układy drgające i typy drgań będą aaizowae oddzieie. 5. Układaie rówań ruchu układów ciągłych ie było rozważae w kursie Mechaiki ogóej, przedmiotem której były układy ciał sztywych, a rówaia ruchu wyikające bezpośredio z prawa Newtoa ub z rówań Lagrage a, były rówaiami różiczkowymi zwyczajymi. Rówaia układów ciągłych są rówaiami cząstkowymi. W rozpatrywaych daej układach jedowymiarowych występują dwie zmiee iezaeże. Jedą z ich jest czas, a drugą współrzęda przestrzea okreśająca położeie przekroju układu (struy, pręta, wału ub beki) w przyjętym układzie współrzędych. 6. Układy ciągłe mogą być poddae obciążeiom rozłożoym w sposób ciągły wzdłuż układu i zaeżymi od czasu. Obciążeń takich ie zastępujemy siłami skupioymi, poieważ zasady redukcji sił pozae w mechaice ogóej obowiązują tyko w przypadku sił działających a ciała sztywe. 5.. Drgaia swobode struy Rówaie drgań poprzeczych struy Rozpatrzmy drgaia poprzecze ciekiej struy o przekroju poprzeczym A, wykoaej z materiału o gęstości i modue Youga E, apiętej wstępie siłą S między ieprzesuwymi podporami (Rys. 5.1a). Założymy, że przemieszczeia poprzecze struy opisae fukcją y ( x, są małe w porówaiu z długością struy, co będzie uprawiać do pewych przybiżeń, które doprowadzą do iiowego rówaia struy. Rys. 5.1. ieka strua jako układ ciągły: a) zamocowaie i przemieszczeie, b) eemet struy do budowy rówaia ruchu 1
Nieskończeie krótki eemet struy wycięty przekrojami poprzeczymi o współrzędych x oraz x dx pokazao a Rys. 5.1b. Eemet te jest podday sie wewętrzej ormaej do przekroju struy, a więc styczej do iii struy y( x, że siła ta ie zmieia się wzdłuż struy i rówa się jej wstępemu aciągowi. Założymy, S. Eemet struy jest zakrzywioy, zatem kąt achyeia styczej do iii struy a końcach eemetu różi się o eemetarą wiekość d i wyosi odpowiedio oraz d. Ruch eemetu struy w kieruku osi y opisuje astępujące rówaie wyikające wprost z prawa Newtoa: y dm S si( d) S si, (5.1) t gdzie dm Adx oraz d dx. Przy założeiu małych przemieszczeń ( x są rówież małe i moża przyjąć astępujące uproszczeia: y ), kąty y si( d) d, tg. (5.) x Poieważ y y dx dx, więc rówaie drgań struy przyjmuje postać: x x x d s y a t y S, gdzie as. (5.3) x A Rówaie (5.3) jest jedorodym rówaiem różiczkowym cząstkowym, zaym w matematyce jako rówaie faowe typu hiperboiczego. Do rówaia tego aeży dołączyć waruki początkowe w iczbie, które mają postać fukcji zmieej x: y WP1: y( x,) y(, WP : ( x,) ( (5.4) t oraz waruki brzegowe, okreśające waruki podparcia a obu końcach struy: WB 1: y(,, WB : y(,). (5.5) Uwagi 1. Fukcje opisujące waruki początkowe (5.4), jako fukcje zmieej x muszą spełiać waruki brzegowe (5.4).. W tej części wykładu ograiczymy się do zerowych waruków brzegowych (5.5). aeży jedak zazaczyć, że podpory struy mogą wykoywać zaday ruch drgający. Mówimy wtedy o iejedorodych warukach brzegowych, które są źródłem wymuszeia kiematyczego struy. Zagadieie to rozważymy badając drgaia wymuszoe. 13
Rozwiązaia rówaia (5.3) będziemy poszukiwać w postaci ioczyu fukcji o rozdzieoych zmieych: y( x, X ( T(. (5.6) Przyjęta postać rozwiązaia pozwoi zdekompoować rozpatryway probem drgań a dwa zagadieia i odpowiadające im rówaia zagadieie brzegowe dotyczące fukcji X ( czyi kształtu struy w każdej chwii oraz zagadieie początkowe dotyczące fukcji T ( opisującej przebieg czasowy drgań każdego puktu struy. Podstawiając rozwiązaie (5.6) do rówaia ruchu (5.3), otrzymujemy: X X ( 1 T ( T ( as X ( T(. (5.7) X ( a T( ( s Lewa i prawa stroa drugiego rówaia (5.7) są fukcjami argumetów obie stroy były sobie rówe da wszystkich x,t x oraz t, zatem aby, powiy być rówe pewej stałej ujemej (w ruchu harmoiczym przyspieszeie i przemieszczeie są przeciwych zaków). Ozaczmy tę stałą przez k zwae rówaiem zagadieia brzegowego oraz. Drugie rówaie (5.7) geeruje dwa astępujące rówaia: X ( k X (, (5.8) T ( k a T(, (5.9) które opisuje zagadieie początkowe. Waruki brzegowe rówaia (5.8) wyikają bezpośredio z waruków brzegowych rówaia struy i mają postać: s X ( ), X ( ). (5.1) Waruki początkowe rówaia (.95) wyikają oczywiście z waruków początkowych (5.4), ae ich sformułowaie wymaga ajpierw rozwiązaia zagadieia brzegowego. Typ rówaia różiczkowego (5.8) jest am dobrze zay. W dziedziie czasu było to rówaie oscyatora harmoiczego. Jego rozwiązaie ogóe w dziedziie zmieej x jest astępujące: X ( Acoskx Bsi kx, (5.11) gdzie A, B są stałymi całkowaia, a k jest iezaym a razie parametrem. Waruki brzegowe (5.1) prowadzą do układu rówań a stałe X () X ( ) z których wyika, że przy B, musi być: A, B : A, Bsi k, (5.1) si k. (5.13) 14
Rówaie (5.13) jest spełioe da ieskończoego ciągu iczb dodatich: k, ( N ). (5.14) Liczby te azywamy wartościami własymi zagadieia brzegowego struy. Każdej wartości własej k odpowiada fukcja własa: X ( B si k x, (5.15) gdzie stała B może mieć dowoą wartość, gdyż ie jest możiwe wyzaczeie jej z jedorodego układu rówań (5.1). Możemy zatem przyjąć bezwymiarową. Odpowiedią jedostkę całemu rozwiązaiu B 1 y( x, i traktować jako iczbę ada wówczas fukcja T (, która powia mieć jedostkę [m]. Trzy pierwsze fukcje włase struy o rówaiach: X pokazao a Rys. 5.. 3 si x, X ( si x, X ( si x, (5.16) 1( 3 Rys. 5.. Trzy pierwsze fukcje włase struy Wróćmy teraz do zagadieia początkowego opisaego rówaiem (5.9). iąg wartości własych (5.14) geeruje ciąg rówań typu (5.9) da każdej wartości własej ciągu: Przyjmując ozaczeie T ( k a T (. (5.17) s S kas, (5.18) A otrzymujemy ciąg rówań różiczkowych, z których każde opisuje drgaia harmoicze o częstości : T ( T (. (5.19) Rozwiązaie ogóe rówaia (5.19) ma zaą postać: T ( cos t D si t. (5.) 15
Stałe, D wyzacza się z waruków początkowych da fukcji T (, te jedak ie są zae bezpośredio. Naeży je okreśić a podstawie waruków początkowych rówaia struy, które mają postać (9.4). Wykorzystamy do tego ceu ważą właściwość fukcji własych, zwaą ich ortogoaością: X j gdy j, ( X ( dx x (5.1) X ( dx si gdy j. Pełe rozwiązaie rówaia struy (5.3) jest ieskończoym szeregiem: y( x, 1 si x( cos t D si. (5.) Koeje wyrazy szeregu (5.) azywamy postaciami drgań swobodych, odpowiadającymi koejym wartościom własym i częstościom własym struy. Uwaga Postacie drgań struy jako układu ciągłego są aaogicze do postaci drgań układu o skończoej iczbie stopi swobody. Zawierają oe zarówo przebiegi czasowe jako fukcje harmoicze z koejymi częstościami własymi, jak i rozkłady ampitud drgań, które w układach o wieu stopiach swobody są opisae przez współczyiki postaci ik, a w przypadku struy przez ciągłe fukcje włase X ( okreśoe w przedziae x odpowiadającym długości struy. Przypomijmy z rozdziału 4, że ampitudy drgań poszczegóych współrzędych w każdej postaci były odoszoe umowie do ampitudy pierwszej współrzędej. W przypadku struy widać, że w ramach każdej postaci, ampitudy drgań odoszoe są do ampitudy maksymaej, w miejscu struy, w którym oa występuje. Wyika to z przyjęcia B 1, co ozacza, że wszystkie fukcje włase mają ajwiększą wartość rówą 1. Zapiszmy teraz waruki początkowe, korzystając z rozwiązaia w postaci (9.): WP1 WP y ( v ( 1 1 x si, x D si, (5.3) a astępie pomóżmy je stroami przez wybraą fukcję własą o umerze i i scałkujmy wzgędem x wzdłuż struy. Otrzymamy astępujące dwie zaeżości: 16
y ( si v ( si jx dx jx dx 1 1 D x jx si si dx, x jx si si dx. (5.4) Ze wzgędu a waruek ortogoaości fukcji własych (5.1), z szeregów po prawej stroie zaeżości (5.4) pozostaą tyko wyrazy o umerze j j j. Zatem stałe j, D j są astępujące: jx jx y x dx D j v x dx ( )si, ( ) si. (5.5) W te sposób rozwiązaie rówaia struy spełiające zadae waruki początkowe ma postać: y( x, 1 si x x y( si dx cos t Rozwiązaie (5.6) moża przedstawić w prostszej postaci: gdzie przyjęto ozaczeia: 1 x v ( si dx si t. (5.6) y( x, si x asi( t ), (5.7) a D, tg D. (5.8) Każdy wyraz szeregu (5.7) ozacza postać drgań swobodych struy. Ampituda drgań puktu struy o współrzędej x w -tej postaci zaeży od częstości odpowiadającej tej postaci, od fukcji opisujących waruki początkowe oraz od współrzędej Uwagi A a si x. (5.9) 1. Fukcje włase o umerach mają miejsca zerowe rówież między podporami. W tych puktach ampitudy postaci drgań swobodych wyoszą zero iezaeżie od waruków początkowych.. Przyjęcie przemieszczeia początkowego struy w formie fukcji proporcjoaej do wybraej j-tej fukcji własej (przy zerowej prędkości początkowej) powoduje drgaia wyłączie w j-tej postaci. Są to drgaia harmoicze o częstości j. x : Przykład 5.1. 17
Jaka powia być siła S aciągu struy o pou przekroju poprzeczego A 1mm² i długości,5 m, wykoaej ze stai o gęstości struę ma mieć częstotiwość podstawową 3 78 kg/m, jeśi dźwięk wydaway przez tę f 5 Hz? Pierwsza częstość kołowa tej struy, mierzoa w radiaach a sekudę powia wyosić: f 1. (a) 1 Pierwsza częstość drgań własych struy, zgodie z wzorem (5.18), wyraża się astępująco: Poszukiwae apięcie struy wyosi zatem: S 1. (b) A 1 S A,5 78,1 1 [N] 195 [N]. (c) Przykład 5.. Struę z Przykładu 5.1 wychyoo z położeia rówowagi w taki sposób, że pukt środkowy przemieszczoo poprzeczie o a [m], a astępie puszczoo swobodie bez prędkości początkowej. Zaeźć drgaia struy, ograiczając się do trzech pierwszych postaci. Waruki początkowe wyikające z treści zadaia są astępujące: a x w przedziae,, WP 1: y ( WP : v (. (a) a a x w przedziae,, Fukcję y ( ) pokazao a Rys. 5.3. x Rys. 5.3. Liia przemieszczeia początkowego struy z Przykładu 5.. Fukcje włase struy opisae są wzorem: X ( si x. (b) zęstości włase pierwszej, drugiej i trzeciej postaci są astępujące (Przykład 5.1): 18
S,, 1. (c) A 1 1 3 3 Rozwiązaie w formie szeregu (5.) ograiczoego do trzech wyrazów jest astępujące: 3 y( x, si x( 1 cos t D si. (d) Brak prędkości początkowej powoduje, że D. Druga fukcja własa ma miejsce zerowe w środku struy, zatem druga postać ie wystąpi w drgaiach tego puktu. Poszukiwae rozwiązaie jest więc dwupostaciowe: gdzie stałe, 1, korzystając z wzoru (5.5): x x 3x 1 1 3 cos, (e) x, t si cos t si cos t si t y 3 3 wyzaczamy a podstawie przemieszczeia początkowego struy (a), x 8a y( si dx si. (f) 8a 8a Wzór (f) pokazuje, że: 1,, 3. Ujemy zak stałej 3 ozacza, że 9 trzecia postać drgań jest w przeciwfazie do postaci pierwszej. Ostateczie otrzymujemy: 8a x 1 3x 1 cos 9 x, t si cos t si t y 3. (g) Podstawiając we wzorze (g) x /, stwierdzimy, że stosuek ampitud trzeciej i pierwszej postaci drgań środkowego puktu struy jest rówy 1/5. 5.3. Drgaia swobode podłuże pręta Rówaie drgań podłużych pręta W tej części wykładu zajmiemy się drgaiami podłużymi pręta jedorodego o dowoym przekroju poprzeczy, którego kształt i poe powierzchi są iezmiee a całej długości pręta. Zakładamy, że pręt jest prosty i podega obciążeiom tyko wzdłuż swej osi. W każdym przekroju poprzeczym występuje tyko siła wewętrza ormaa do przekroju. Zamocowaie brzegów pręta ie powoduje w czasie drgań obciążeń iych iż wzdłuże. Przy powyższych założeiach każdy ieskończeie mały eemet pręta wykouje ruch drgający wzdłuż osi pręta. Eemet taki, wycięty ieskończeie biskimi przekrojami o współrzędej x i x dx pokazao a Rys. 5.4b. 19
Rys. 5.4. Pręt drgający podłużie: a) przykładowe zamocowaie i możiwe obciążeie zewętrze, b) ieskończeie mały eemet i siły wewętrze Bezpośredio a podstawie prawa Newtoa, rówaie ruchu eemetu pręta ma postać: gdzie u N x t u N x t Adx (, ) (, N( x, dx N( x, A ), (5.3) t x t x u( x, jest przemieszczeiem podłużym przekroju o współrzędej x, N( x, - siła wewętrza w tym przekroju, a, A są odpowiedio gęstością materiału oraz poem przekroju pręta. Biorąc pod uwagę, że siłę wewętrzą moża uzaeżić od aprężeia w przekroju pręta, a to od odkształceia, zgodie z prawem Hooke a, możemy zapisać: N( x, A ( x, EA ( x,. (5.31) Związek geometryczy pomiędzy odkształceiem a fukcją przemieszczeia u( x, jest astępujący: u ( x,. (5.3) x Zatem rówaie (5.3) z uwzgędieiem związków (5.31) i (5.3), przyjmuje postać: u E u t x u a t p u. (5.33) x Zauważmy, że rówaie pręta (5.33) od stroy matematyczej jest idetycze z rówaiem struy (5.3), z ią iterpretacją fizyczą zmieej zaeżej i parametru a s. Ta sama będzie więc metoda kostrukcji rozwiązaia, podobie jak sformułowaie i rozwiązaie zagadień brzegowego i początkowego. Większa będzie jedak rozmaitość możiwych waruków brzegowych. Waruki brzegowe pręta moża podzieić a kategorie: a) waruki brzegowe geometrycze - odoszące się do przemieszczeń przekrojów pręta, b) waruki brzegowe mechaicze dotyczące siły wewętrzej w przekrojach końcowych. Kika przykładów pokazao a Rys. 5.5. 13
Rys. 5.5. Przykłady waruków brzegowych pręta drgającego podłużie Rówaia waruków brzegowych pokazae a Rys. 5.5 są astępujące: a) u(,, b) u(, s(, c) N(,, d) N(, ku(,, (5.34) gdzie s ( jest zadaym ruchem prawego końca pręta, a k ozacza sztywość sprężyy eastyczego zamocowaia ewego końca pręta. Waruki brzegowe mechaicze (5.34c,d) wyrażoe w kategoriach przemieszczeia, przyjmują postać: u u u c) EA (, (,, d) EA (, ku(,. (5.35) x x x Waruki brzegowe typu (5.35), iezawierające jawie czasu, azywamy warukami jedorodymi, atomiast waruek typu (5.34b), który ozacza wymuszeie kiematycze, azywamy warukiem brzegowym iejedorodym. Uwaga Fukcje waruków początkowych pręta muszą spełiać geometrycze waruki brzegowe wyikające ze sposobu zamocowaia końców pręta. Jak wspomiao, mode matematyczy drgań podłużych pręta i drgań poprzeczych struy jest taki sam, zatem w odiesieiu do pręta obowiązują pojęcia i wzory dotyczące częstości własych, wartości własych, fukcji własych i postaci drgań, wyprowadzoe da w przypadku struy. Są to wzory (5.4)(5.9). W daszej części wykładu skocetrujemy się a przykładach dotyczących pręta, które ie mają odpowiedików w drgaiach struy. Przykład 5.3. Pręt o długości wykoay z materiału o gęstości i modue Youga E, zamocoway a ewym końcu i swobody a prawym, rozciągięto siłą przyłożoą do prawego końca tak, że przemieścił się o a [m], a astępie puszczoo bez prędkości początkowej. Wyzaczyć drgaia swobode pręta. Rozwiązując to zadaie, wykorzystamy metodę i wzory wyprowadzoe w przypadku struy, zwracając uwagę a odmiee waruki brzegowe oraz założoe waruki początkowe ruchu. Waruki brzegowe rozpatrywaego pręta są astępujące: u u (,, N(, (,. (a) x Waruki początkowe są astępującymi fukcjami współrzędej x : 131
a u u ( x,) u( x, ( x,). (b) t Jak w przypadku struy, zagadieie brzegowe opisae jest rówaiem różiczkowym: X ( k X (. (c) Rozwiązaie ogóe rówaia (c) ma postać fukcji harmoiczej zmieej x : X ( Acoskx Bsi kx, (d) gdzie k jest iezaą jeszcze wartością własą zagadieia brzegowego. Waruki brzegowe (b) geerują astępujące waruki brzegowe da fukcji X ( X ( ), X ( ). (e) Z powyższych waruków wyika, że: X () A, X( ) Bk cosk cosk k ( 1). (f) Z wyrażeń (f) wyikają z koei ciągi wartości własych oraz fukcji własych: k ( 1), Trzy pierwsze fukcje włase o rówaiach: X pokazao a Rys. 5.6. X : ( si ( 1) x. (g) x 3x 5x si, X ( si, X ( si, (h) 1( 3 Rys. 5.6. Trzy pierwsze fukcje włase pręta z Przykładu 5.3. iąg częstości własych, a podstawie wzorów (g) oraz (5.33) jest astępujący: E ( 1). (i) Rozwiązaie zagadieia początkowego -tej postaci drgań pręta ma postać: T ( cos t D si t. (j) Z waruków początkowych (b) wyika, że D (brak prędkości początkowej). Zatem poszukiwae drgaia swobode pręta moża przedstawić w postaci astępującego szeregu: 13
u( x, 1 si ( 1) x cost, (k) gdzie a podstawie waruków początkowych (b) i wzoru (5.5), stałe wyoszą: u ( si ( 1) xdx. () 5.4. Drgaia swobode skręte wału Rówaie drgań skrętych wału Założymy, że wał jest ideaie prosty i ma iezmiey a swej długości przekrój kołowy ub pierścieiowy. Przedmiotem aszego zaiteresowaia są przemieszczeia kątowe przekrojów wału opisae fukcja dwu zmieych: ( x,. Wał jest trzecim układem ciągłym, którego drgaia opisae są tym samym hiperboiczym rówaiem cząstkowym: gdzie a w G, a G, a t w, (5.36) x ozaczają odpowiedio moduł Kirchhoffa oraz gęstość materiału. Rówaie drgań (5.36) wyprowadzamy podobie jak rówaie pręta, budując rówaie ruchu obrotowego cyidryczego eemetu wału wyciętego przekrojami poprzeczymi o współrzędych x i x dx. Jedyą uogóioą siłą wewętrzą w przekrojach wału jest momet skręcający, który jest fukcją zmieej x i czasu (Rys. 5.7). Rys. 5.7. Nieskończeie mały eemet wału i jego obciążeie mometem skręcającym Na podstawie prawa zmieości krętu wzgędem osi wału, rówaie ruchu eemetu wału ma postać: M I O dx dx, (5.37) t x 133
gdzie I O ozacza geometryczy momet bezwładości przekroju wzgędem jego środka O, a jest gęstością materiału. Z wytrzymałości materiałów wiadomo, że pomiędzy mometem skręcającym a kątem skręceia wału jest astępująca zaeżość: M ( x, GI O ( x,. (5.38) x Podstawiając (5.38) do (5.37), otrzymujemy rówaie drgań skrętych wału: G, (5.39) t x które jest rówaiem hiperboiczym, matematyczie takim samym, jak rówaie drgań poprzeczych struy i drgań podłużych pręta. Możemy zatem, bez dodatkowych wyprowadzeń, skorzystać z metody i wszystkich ustaeń dotyczących rozwiązaia, przyjętych w przypadku struy i pręta. W daszym ciągu ograiczymy się do pokazaia przykładu drgań swobodych wału przy warukach brzegowych umożiwiających ruch obrotowy wału jako ciała sztywego. Jak wiadomo z drgań układów o wieu stopiach swobody, w takim przypadku ajiższa częstość własa jest rówa. Tak jest rówież w układach ciągłych. Przykład 5.4. Wał o długości wykoay z materiału o gęstości i modue Kirchhoffa G, jest ułożyskoway, ae jego obydwa końce są swobode. Wał zostaje statyczie skręcoy o kąt (przekrój środkowy pozostaje ieruchomy) i puszczoy swobodie z prędkością kątową, jak ciało sztywe. Zaeźć ruch wału z uwzgędieiem drgań skrętych. Rozwiązaia rówaia (5.39), podobie jak w przypadku struy i pręta poszukujemy w postaci: Rozwiązaie zagadieia brzegowego jest fukcją harmoiczą: Waruki brzegowe, zgodie z założeiami, są astępujące: GI Z waruków tych wyika, że : O ( x, X ( T(. (a) X ( Asi kx Bcoskx (b) (, X (), GIO (, X ( ). (c) x x Zatem ciąg wartości własych jest astępujący: A oraz k ub sik k. (d) k, k, ( N). (e) 134
Zerowa wartość własa ma umer i odpowiada jej zerowa częstość własa oraz postać ruchu jedostajego. Pozostałym wartościom własym odpowiadają koeje postacie drgań skrętych opisae astępującymi fukcjami ( B jest iczbą dowoą, przyjętą jako rówą 1): X x ( cos. (f) Waruki początkowe ruchu wału są fukcjami: ( x,) x, ( x,). (g) t Ruch wału możemy teraz przedstawić w postaci sumy: gdzie:, D, 1 ( x, D t cos t D si t, (h) x x (i) xcos dx (cos 1), D cos. dx Zauważmy, że stałe o umerze parzystym są rówe zeru, a pozostałe wyoszą: 4 4 4 1, 3, 5,... (j) 9 5 Odpowiadające powyższym stałym częstości włase są astępujące: G 3 G 5 G 1, 3, 5,... (k) Z rozwiązaia (h) wyika, że ruch rozpatrywaego wału składa się z jedostajego ruchu obrotowego z prędkością kątową oraz ałożoego ań jest ruchu drgającego skrętego, wyikającego ze wstępego skręceia wału o kąt. Pytaia sprawdzające do Wykładu 9 1. Od czego zaeży wysokość dźwięku emitowaego przez drgającą struę?. Jakie rówaie opisuje drgaia poprzecze struy? 3. o to jest zagadie brzegowe struy? 4. Jak wyzacza się częstości drgań własych struy? 5. o to są wartości włase, fukcje włase i postacie drgań własych struy? 6. Wyprowadzić rówaie drgań swobodych podłużych pręta. 7. o rozumiemy przez geometrycze i mechaicze waruki brzegowe pręta? 8. Podać przykład iejedorodych waruków brzegowych wału. 9. Kiedy jeda z częstości własych wału jest rówa zeru i co z tego wyika? 1. o to są waruki ortogoaości fukcji własych i jakie jest ich zastosowaie? 135