MATEMATYKA wkład Ciągi,, 2, 3, 4,,, 3, 5, 7, 9,,,,,,,,, są przkładami ciągów 2 4 6 8 Pierwsze 2 ciągi są rosące (do ieskończoości), zaś 3-i ciąg jes zbieŝ do zera co ozaczam przez lim a ch 2-óch ciągów, ozaczaa przez = Jeśli mam 2 ciągi a i b o graica sum lim ( a b ) = lim a + lim b + Najbardziej waŝa w Maemace liczba e (będąca podsawą logarmu auralego) bez kórej ie da się policzć odseek od kapiału w baku sosującm ak zwaą kapializację ciągłą (o czm iŝej) jes zdefiiowaa jako graica poiŝszego ciągu a + b liczbowego: a = +, o zacz, e = lim + gd Liczba e wsępuje eŝ w ajbardziej częso sosowam wzorze maemaczm a świecie, miaowicie wzorze Blacka- Scholesa określającm warość opcji kupa akcji Podsawiając za koleje liczb aurale do wzoru a wraz ciągu d orzmujem Ŝe a = 2, a2 = 2,25, a3 = 2,369, a4 = 2,44, a = 2,59, a = 2,75, a = 2,77 Warość pieiądza w czasie (a) warość kapiału raz zaiwesowaego po N okresach iwescjch (p laach, kwarałach, miesiącach, ip) () K ) N = K (+ r, gdzie K = kapiał końcow (po N okresach); K = kapiał począkow (zaiwesowa dziś) Przkład Sude dosał spedium a 3 laa sudiów MoŜe bć oo płae jedoazowo dziś w wsokości 8 zł lub a koiec 3-go roku sudiów w wsokości 22 zł Reowość z boów Skarbu Pańswa wosi 6% (a) Co doradziłbś sudeowi, wiedząc Ŝe właśie wrócił z Work & Travel i ma juŝ dziś wsarczające
2 środki fiasowe a 3-leie sudia; (b) Jaka kwoa dziś jes ekwiwaleem 22 zł za 3 laa? Rozwiązaie (a) Obliczm przszłą (za 3 laa) warość 8 zł Ze wzoru () wika iŝ będzie o kwoa K = 8(+,6) 3 = 2438 zł Wika sąd Ŝe sude powiie zdecdować się a spedium płae za 3 laa, czli a kwoę 22 zł, kóra jes wŝsza iŝ ekwiwale 8 zł dziś za 3 laa (b) Zgodie ze wzorem (), aleŝ rozwiązać rówaie 3 x(+,6) = 22,9x= 22 x= 847 zł Defiicja Rea = ciąg ideczch płaości asępującch po sobie a koiec okresu, 2, 3,, k (dla pewego k) Okresem moŝe bć dowol okres czasu, p dzień, dzień, miesiąc, kwarał, rok, ip Podam eraz wzór a dzisiejszą warość (PV) re płacącej x zł a koiec kaŝdego okresu, gd sopa dskoowaia srumieia pieiędz za kaŝd okres rówa jes r : k x x x x (+ (2) PV = + + + + = x 2 3 k + r (+ (+ (+ r Podam rówieŝ wzór a przszłą warość (FV) re płacącej x zł a koiec kaŝdego okresu, gd sopa zwrou za kaŝd okres rówa jes r: k k k 2 k 3 (+ (3) FV = x[ ] (+ + (+ + (+ + + (+ + = x Przkład 2 Sude orzmał spedium a 3 laa sudiów płae a koiec kaŝdego z 36 miesięc Wsokość spedium = 5zł, reowość boów skarbowch 6% (a) Ile jes ware dziś o spedium?; (b) Jaki jes ekwiwale ego spedium za 3 laa? Rozwiązaie (a) Zgodie ze wzorem (2), (+ ( 2 (,6)) PV = 5 2 (,6) (,5) = 5,5 36 36 r = 6 436zł, chociaŝ omiala warość ego spedium (ie uwzględiająca warości pieiądza w czasie) rówa jes 5zł 36= 8 zł Naomias przszła warość (FV) 6 436zł zgodie ze wzorem () jes rówa
3 (4) FV = PV(+,5) 36 = 6 436(,967) = 9 669zł a więc większa iŝ 8 zł Gdb sude kaŝde 5zł iwesował w bo skarbo- we, o zgodie ze wzorem (3) posiadałb kwoę 36 (,5),967 (5) FV = 5 = 5 = 9669,5,5 zł To Ŝe kwo wsępujące w (4) i (5) są e same wika z: Fak Przszła warość kaŝdej re = przszłej warości jej dzisiejszej warości, z wzór (3) a przszłą warość re daje zawsze e sam wik co wzór () a przszłą warość dzisiejszej kwo K, prz czm za K aleŝ wsawić liczbę wliczoą we wzorze (2), czli dzisiejszą warość re Przkład 3 Wgraa w Too Loku daje ci albo 2 zł dziś albo (do wboru przez ciebie) zł a począku kaŝdego roku wojego Ŝcia Jeśli ie masz długów, a baki oferują ci 5% roczie z ułu odseek, kórą opcję bś wbrał wiedząc Ŝe będziesz Ŝł jeszcze (a) 25 la; (b) 4 la; (c) igd ie umrzesz? Rozwiązaie (a) NaleŜ obliczć dzisiejszą warość srumieia wpła z wgraej w Too Loka Na srumień e składa się kwoa zł dziś plus rea płaa przez 25 la (po raz - za rok) w wsokości zł Sosujem wzór (2) orzmując 25 (,5) PV = = 5533 zł,,5 co łączie z kwoą zł płaą dziś saowi 66 33zł, a więc miej iŝ 2 zł kóre mam prawo dziś odebrać Wbieram więc 2 zł (b) Rozumujem aalogiczie, orzmując 4 (,5) PV = = 8875 zł,,5 co łączie z kwoą zł płaą dziś saowi 99 75zł, a więc miimalie miej iŝ 2 zł kóre mam zagwaraowae ZauwaŜm iŝ Ŝjąc 4 la, wbralibśm reę zamias jedorazowej wpła w wsokości 2 zł gdŝ 4 (,5) PV = = 9238 zł,,5 co łączie z kwoą zł płaą dziś saowi 2 238zł > 2 zł
4 (c) Gdbśm Ŝli wieczie, o m bardziej wbralibśm reę gdŝ dzisiejsza warość ej re błab jeszcze większa iŝ 2 238zł Jaka dokładie błab warość wieczej re? Odpowiedź a o paie daje poiŝsz fak Fak 2 Dzisiejsza warość (PV) re wieczej płacącej co roku x zł, biorąc pod uwagę Ŝe -a wpłaa pojawi się za rok wosi x (6) PV = = = 22 zł, r,5 gdzie sopa dskoująca za kaŝd rok rówa jes r Z (6) wika Ŝe w rozparwam przez as przpadku dzisiejsza warość wpła z wgraej w Too Loku rówa się zł + 22 zł = 23 zł Wzór (6) ma wiele zasosowań Na przkład, rzeczozawc mająkowi wceiając magaz, garaŝ, mieszkaie lub jakąkolwiek ią ieruchomość przoszącą co rok x zł z ułu wajmu, sosując wzór (6), przjmując za r sopę zwrou z wieloleich obligacji Skarbu Pańswa Jeśli wajmowaie garaŝu przosi miesięczie 5zł, zaś iwescje w obligacje dają 6% roczie, o warość ego garaŝu moŝa oszacować jako rówą 5 5 (7) warość garaŝu = = = zł 2 (,6),5 Przkład 4 Ile pieiędz (X) powio się zdepoować w baku kór płaci 7% roczie Ŝeb móc wcofwać po zł kaŝdego roku przez 3 la? Rozwiązaie Sosujem wzór (2), orzmując (,7) PV =,7 3 = 24 9zł, co ozacza iŝ dzisiejszą warością re płacącej zł roczie jes 24 9zł Zaem, zdepoowaie akiej kwo (X=24 9) gwarauje wpłaę 3 zł w roczch raach po zł przez 3 la
5 Na zakończeie ego fragmeu wkładu poświęcoego warości pieiądza w czasie, podam wzór a warość przszłą K kapiału począkowego K gd bak sosuje kapializację ciągłą: (8) rt K = K e, gdzie r = omiala sopa oproceowaia kapiału, T = czas iwesowaia wraŝo w laach Ozacza o p Ŝe dzień zapiszem jako T = /365 Przkład 5 Kwoa 8zł zosała zdepoowaa w baku z oproceowaiem 7% Zajdź warość depozu po roku gd kapializacja ma miejsce (a) raz w roku; (b) raz a miesiąc; (c) kaŝdego dia; (d) w kaŝdej chwili Rozwiązaie Zgodie ze wzorem (): (a) K = 8(+,7) = 856 zł; (b) K = 8[+(,7/2)] 2 = 8578 zł; (c) K = 8[+(,7/365)] 365 = 858, zł; (d),7 K = e = 8(2,7828, 7 8 )= 858,65 zł, czli o 5,5gr więcej iŝ w przpadku kapializacji dzieej Defiicja 2 Rówaia rekurecje = a b azwam rówaiem rekurecjm (róŝicowm), gdzie + ozacza czas lub umer okresu Zaem, rówaie o mówi iŝ warość pewej zmieej w chwili/okresie zaleŝ od warości zmieej w chwili/okresie ją poprzedzającm zgodie ze wzorem podam powŝej Na przkład, rówaia róŝicowe -go rzędu mogą mieć posać: = + 3, 3 4, ip dla wszskich liczb auralch KaŜde akie rówaie = rekurecje ma ieskończeie wiele rozwiązań poiewaŝ kaŝda warość począko- wa geeruje dokładie jedo rozwiązaie Na przkład, rówaie = 3 4 z warukiem począkowm określa jedozaczie asępujące rozwiązaie: =, 6, 34, 88, id(porówaj przkład gdzie podae jes pełe rozwiązaie ego rówaia), podczas gd o samo rówaie rekurecje ale z warukiem = ma ie rozwiązaie, a miaowicie Ab podać za chwilę posać ogólą rozwiązaia
6 dowolego rówaia rekurecjego defiicję = a b, przjmijm asępującą + Defiicja 3 = * azwam rozwiązaiem sałm rówaia = a b jeśli + * spełia o rówaie, o zacz, * = a* + b Ławo sprawdzić iŝ w akim prz- padku * dae jes wzorem * = b a Na przkład, rówaie 3 4 ma = 4 sałe rozwiązaie * = = 7, o czm moŝem się przekoać rówieŝ poprzez 3 prose podsawieie: 7 = 3 7-4 Twierdzeie Waruek począkow oraz dowole rówaie jedozacz sposób określają rozwiązaie: (9) *) = * + ( a, * = a b = a b w + Przkład 6 RozwiąŜm rówaie = 3 4 z warukiem począkowm = Zgodie z wzorem (9), rozwiązaiem ego rówaia jes 3 = 7+ ( 7) Podsa- wiając za kolejo, 2, 3, 4 orzmujem = 7+9 = 6; 2 = 7+ 27= 34; = 7+ 8= 88; = 7+ 243= 25 3 4 Zagadieie (Opmale zarządzeie mająkiem zgromadzom a rachuku emeralm) Pa Kowalski przepracował 4 la zarabiając miesięczie bruo średio 36zł z czego 3% bło odprowadzae a jego koo emerale Niese, OFE w kórm gromadzoe bł jego składki emerale zarządzał pieiędzmi w sposób pasw kupując lko obligacje lub bo lub depoując w baku w zaleŝości od ego kóra z 3 powŝszch iwescji jes w dam momecie ajlepsza Przjmijm Ŝe uzskaa w e sposób reowość w skali roku (po uwzględieiu iflacji) wosiła zaledwie 2,5% ZałóŜm iŝ Kowalski ma prawo dspoować swm kapiałem emeralm w powŝsz sposób Biorąc pod uwagę Ŝe Kowalski będzie jeszcze Ŝł 9 la, (a) oblicz jaką kwoą będzie dspoował w realch pieiądzach w momecie przejścia a emerurę, oraz (b) oblicz jaką będzie miał emerurę bruo ab po 9 laach pozosało mu zgodie z jego Ŝczeiem a kocie emeralm 3 s zł Zakładam Ŝe
7 rachuek emeral przosić będzie rocze zski 3% po uwzględieiu iflacji (sosując powŝszą paswą meodę iwesowaia) Odpowiedzi : (a) zgromadzo kapiał = 889292 zł; (b) emerura = 6982,9 zł Rozwiązaie Na emerale koo p Kowalskiego wpłwać będzie co miesiąc przez 4 la 3% z kwo 36zł, j 8zł Pieiądze e przosić będą miesięczie zsk rów /2 z 2,5%, czli,28% Jak wiem z wkładu Maemaka w Ekoomii i Zarządzaiu, przszła warość (FV) akiego srumieia pieiędz po 4 laach wosić będzie w realch pieiądzach 48 (,28) () FV = 8 = 889 292zł,,28 przpuszczalie więcej iŝ Kowalski będzie się spodziewał orzmać Co więcej, kwoa a uszczuplaa przez wpłacaą co miesiąc emerurę będzie oproceowaa 3% w skali roku, czli,25% w skali miesiąca (po uwzględieiu iflacji) W związku z m, rówaie róŝicowe podające wielkość posiadaego przez Kowalskiego mająku w miesiącu, licząc czas od momeu przejścia a emerurę, wglądać będzie asępująco: (),25 x, = gdzie x ozacza emerurę bruo kóra będzie wpłacaa przez 9 la Wiem poado Ŝe = 889 292, zaś = 3 8 Zasosujem eraz wzór (9), orzmując dla wszskich auralch liczb =,, 2, rówaie rekurecje (2) x x ),25,25 = + 889292 (,25, czli ) = 4 x+ [889292 4x] (,25 Skoro 3 = 4x+ [889292 4x],39523, więc 8 = 3, o 3 = 4x+64549 523,8x, czli 23,8 x = 864549 Osaeczie emerura wosić będzie x = 6982,9zł Zagadieie 2(Zarządzaie wielkością zarudieia) Pewa firma zarudia akualie 4 osób, kórz wpracowują w ciągu kaŝdego roku 8 godzi W związku z przechodzeiem a emerur, zwaliaiem się z prac oraz redukcją ilości godzi prac przez osob w sarszm wieku, ogóla liczba przepracowach godzi w m przedsiębiorswie zmiejsza się w ciągu roku o
8 5 % Mając o a względzie, zarząd posaowił zarudiać kaŝdego roku owe osob w akiej ilości ab odpowiadająca im liczba roboczogodzi zwiększała się o E s w skali kaŝdego roku Nasuwa się u od razu kilka pań: (a) Jakie powi bć E ab w przszłości firma urzmwała zarudieie a poziomie 8 godzi w ciągu roku; (b) Jakie powi bć E i ab zarudieie w kolejch laach usabilizowało się a poziomie 8 4 roboczogodzi? Odpowiedzi: (a) E > 4; (b) E > 42 Rozwiązaie Niech ozacza ilość sięc roboczogodzi wpracowwach w roku Z reści zadaia wika iŝ 5 (3) = + E, Zgodie z wzorem (9), b E E * = = = a 5 5 (4) PoiewaŜ E E = + 8 5 5 5 5 jes liczbą większą od a miejszą od, jej koleje poęgi 5 dąŝą do zera gd i w kosekwecji do zera dąŝ eŝ cał czło (5) E 5 8 5 Zaem, ab zagwaraować w przszłości (czli dla duŝch ) zarudieie a poziomie 8 s roboczogodzi, pierwsz czło we wzorze (8) musi bć większ iŝ 8, o jes, E (6) > 8, czli E > 4 (jes o odpowiedź a paie (a)) 5 E ZauwaŜm iŝ ierówość E > 4 implikuje Ŝe 5 > 8, a więc czło (5) jes zawsze miejsz od zera, chociaŝ dąŝ do zera A więc, zgodie ze wzorem (4), E zarudieie będzie w kaŝdm roku miejsze iŝ s roboczogodzi Ab 5 odpowiedzieć a paie (b), rozumujem w aki sam sposób jak poprzedio, dochodząc do ierówości
9 E (7) > 84, czli E > 42 (jes o odpowiedź a paie (b)) 5 poiewaŝ ak jak poprzedio drugi czło we wzorze (4), czli wraŝeie (5) dąŝ do zera gd Zagadieie 3(Zapas złoa w Polsce) Polska miała 32 kg złoa w 99 r KaŜdego roku połowa posiadaego złoa bła zuŝwaa, zaś 6 kg bło produkowae (a) Ile złoa będzie w Polsce w roku 29? (b) Na jakim poziomie usabilizuje się poziom zapasów złoa w przszłości? Odpowiedzi: (a) 2,5 kg; (b) 2 kg Rozwiązaie Niech ozacza ilość złoa w kg w roku Zgodie z reścią zadaia, (8) + 6, 32, = 2 6 a więc sałm rozwiązaiem będzie * = = 2 Zgodie ze wzorem (9), 2 ilośc złoa w Polsce w roku przjmując 99 za rok począkow ( = ), wosi (9) = 2 2) = + (32 2)( Odpowiadając a paie (a), w roku 29 ( = 9) będzie w Polsce 9 = 2+ 24,9 = 2,5 kg złoa 9 poiewaŝ ( ) =, 9 Ab odpowiedzieć a paie (b), odwołajm się do 2 (3) ab wwioskować Ŝe poziom złoa w Polsce sabilizować się będzie a poziomie 2 kg poiewaŝ drugi czło sojąc po prawej sroie rówaia (9) będzie dąŝł do zera wraz z