FOLIACJE HADAMARDA. Maciej Czarnecki

FOLIACJE HADAMARDA Maciej Czarnecki Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem prof. dra hab. Paw la Walczaka w Katedrze Geometrii Uniwersytetu Lódzkiego Lódź 2000 1 Typeset by AMS-TEX

2 MACIEJ CZARNECKI WSTȨP W niniejszej pracy wprowadzamy pojȩcia foliacji Hadamarda, podajemy naturalny warunek dostateczny na to, aby dana foliacja przestrzeni hiperbolicznej by la foliacj a Hadamarda oraz wykazujemy, że przy tym warunku brzegi idealne liści wk ladaj a siȩ homeomorficznie w brzeg idealny przestrzeni hiperbolicznej. U źróde l sformu lowania tego problemu leży praca R. Langevina i J. C. Sifre a [LS] o w lasnościach asymptotycznych krzywych na rozmaitościach Hadamarda oraz praca H. Browne [Br] o ca lkowicie geodezyjnych foliacjach kowymiaru 1 w przestrzeni hiperbolicznej H n. Pojȩcie rozmaitości Hadamarda jako jednospójnej, zupe lnej rozmaitości riemannowskiej o niedodatniej krzywiźnie sekcyjnej zaczerpnȩliśmy z pracy P. Eberleina i B. O Neilla [BN]. Wybrane w lasności brzegu idealnego rozmaitości Hadamarda oraz informacje o topologii stożkowej zosta ly wykorzystane do analizy foliacji w przestrzeni hiperbolicznej. Praca [LS] jest poświȩcona miȩdzy innymi dowodowi twierdzenia mówi acego, że krzywa na rozmaitości Hadamarda, o krzywiźnie geodezyjnej d aż acej w nieskończoności do zera nie wolniej niż potȩga parametru o wyk ladniku 1 ε, posiada granicȩ na brzegu idealnym. Analizowane przez nas krzywe bȩd a geodezyjnymi na liściach, wiȩc ich krzywizna bȩdzie mierzy la drug a formȩ podstawow a liści. Rozważamy rozmaitości sfoliowane o ujemnej, oddzielonej od zera, krzywiźnie, tam bowiem krzywizna liści jest niedodatnia, o ile ograniczymy normȩ drugiej formy podstawowej foliacji przez odpowiednio ma l a sta l a dodatni a. Gdyby takie ograniczenie próbować wprowadzić na rozmaitości Hadamarda o niedodatniej krzywiźnie, to jedynymi foliacjami, których liście s a niedodatnio zakrzywione, by lyby foliacje ca lkowicie geodezyjne. Z drugiej strony klasa foliacji ca lkowicie geodezyjnych kowymiaru 1 przestrzeni hiperbolicznej H n jest dość obszerna. Jednym z g lównych wyników pracy [Br] jest istnienie foliacji ca lkowicie geodezyjnej ortogonalnej do jednostkowego pola wektorowego wzd luż geodezyjnej, dla którego norma pochodnej kowariantnej w każdym punkcie nie przekracza k ata pomiȩdzy wektorem tego pola i wektorem stycznym do krzywej, przy dodatkowym za lożeniu, że k at ten nie jest prosty. Niewielkie dyfeomorficzne zaburzenie foliacji ca lkowicie geodezyjnej nie zmieni jej istotnych w lasności geometrycznych. Możemy wiȩc, w przypadku ograniczonej z góry krzywizny rozmaitości Hadamarda, otrzymać z foliacji hiperprzestrzeniami hiperbolicznymi wiele foliacji o ujemnie zakrzywionych i jednospójnych liściach; ich zupe lność jest cech a, która wynika z zupe lności rozmaitości sfoliowanej. Spośród foliacji rozmaitości Hadamarda wyodrȩbniliśmy te, których wszystkie liście s a także rozmaitościami Hadamarda nadaj ac im nazwȩ foliacji Hadamarda. Powyższe rozważania pozwalaj a przypuszczać, że jest to bogata i ciekawa klasa obiektów geometrycznych. Problem 4.10 czy foliacja rozmaitości Hadamarda, której krzywizna sekcyjna nie przekracza a 2, o normie drugiej formy podstawowej mniejszej od a, jest foliacj a Typeset by AMS-TEX

FOLIACJE HADAMARDA 3 Hadamarda pozosta l otwarty. W pracy zawarta jest w postaci twierdzenia 4.9 odpowiedź twierdz aca dla przestrzeni hiperbolicznej o sta lej krzywiźnie. Mamy jednak nadziejȩ, że pozytywne rozstrzygniȩcie ogólnego problemu wi aże siȩ tylko z uściśleniem opisanych metod. Liście foliacji Hadamarda posiadaj a brzegi idealne bȩd ace topologicznymi sferami. Jeżeli odwzorowanie ich w lożenia w brzeg idealny rozmaitości sfoliowanej jest dobrze określone, to po lożenie sfer może określać asymptotyczne w lasności samych liści. Twierdzenie 4.11 przes adza, że za lożenie ograniczenia normy drugiej formy podstawowej przez liczbȩ mniejsz a od a implikuje istnienie kanonicznego homeomorfizmu brzegu idealnego liścia w brzeg idealny przestrzeni hiperbolicznej o sta lej krzywiźnie. Odwzorowanie w lożenia jest ponadto transwersalnie ci ag le i może, przy dodatkowych za lożeniach, określać foliacjȩ klasy C 0 z osobliwościami sfery H n. Zbiory graniczne dla foliacji rozmaitości hiperbolicznych s a stosunkowo nowym obiektem badań. Pewne wyniki dla rozmaitości trójwymiarowych zawarte w pracy S. Fenleya [F] obrazuj a stopień z lożoności tej tematyki. Praca zosta la podzielona na cztery rozdzia ly. Pierwsze dwa maj a charakter przygotowawczy. W rozdziale 1 opisaliśmy pewne w lasności okrȩgów w przestrzeni euklidesowej użyteczne przy opisie krzywych w modelu Poincaré. Rozdzia l 2 zosta l w ca lości poświȩcony obliczeniom krzywizny okrȩgów i krzywych w przestrzeni H n ao sta lej krzywiźnie a 2. Wzór na krzywiznȩ luku euklidesowego okrȩgu ze stwierdzenia 2.14 pozwala oszacować z do lu prez a cos α krzywiznȩ luku okrȩgu po lożonego na euklidesowej sferze przecinaj acej sferȩ H n a pod k atem α (czyli tak zwanej α sferze). Rozdzia l 3 zawiera dwa warunki dostateczne na to, aby krzywa w przestrzeni H n a mia la duż a krzywiznȩ geodezyjn a w pewnym punkcie. Stwierdzenie 3.9 uzależnia to od posiadania przez krzyw a lokalnego maksimum odleg lości od punktu wówczas krzywizna jest nie mniejsza niż a. Za lożenie lokalnego maksimum odleg lości można os labić przez pojȩcie zawracania do α kuli. Wtedy zgodnie ze stwierdzeniem 3.14 krzywa ma w pewnym punkcie krzywiznȩ równ a co najmniej a cos α. Jednym z g lównych wyników pracy jest twierdzenie 3.30 mówi ace, że krzywa w przestrzeni H n a o krzywiźnie ograniczonej z góry przez liczbȩ mniejsz a od a ma granicȩ na brzegu idealnym. Na ogólnej rozmaitości Hadamarda podobny wynik wymaga bardzo szybkiego zmniejszania siȩ krzywizny przy d ażeniu do brzegu. W rozdziale 4 umieściliśmy twierdzenie 4.4, które pokazuje jak metryka hiperboliczna wp lywa na topologiȩ podrozmaitości. Znane nam już za lożenie ograniczenia normy drugiej formy podstawowej przez liczbȩ mniejsz a od a daje od razu jednospójność podrozmaitości. Rozdzia l 4 zawiera także wspomniane już twierdzenia 4.9 i 4.11, które s a zwieńczeniem ca lej pracy. Chcia lbym niniejszym podziȩkować promotorowi tej pracy profesorowi Paw lowi Walczakowi, który od pocz atku naszej wspó lpracy wk lada l wiele trudu w moj a (nie tylko) matematyczn a edukacjȩ. Postawiony przez profesora Walczaka problem, którego rozwi azanie zosta lo tu podane, umożliwi l mi wszechstronny rozwój technik badawczych. Specjalne podziȩkowanie pragnȩ z lożyć profesorowi Shigenori Matsumoto z Uniwersytetu Nihon w Tokio, którego wskazówki pomog ly mi ulepszyć pracȩ. Mojej żonie Joannie oraz córkom Julii i Ani dziȩkujȩ za podtrzymywanie mnie na duchu w chwilach zw atpienia.

4 MACIEJ CZARNECKI ROZDZIA L 1 OKRȨGI W PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ Przestrzeń hiperboliczna n wymiarowa H n powstaje przez konforemn a zmianȩ metryki riemannowskiej w kuli otwartej zawartej w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. H n zachowuje wiȩc wiele w lasności przestrzeni R n. Bȩdziemy wielokrotnie korzystać z możliwości badania krzywizny krzywej w przestrzeni hiperbolicznej przez odwo lanie siȩ do jej okrȩgu ściśle stycznego, który podobnie jak w przestrzeni euklidesowej zawiera siȩ chociaż czȩściowo w rozważanej rozmaitości. Lemat 1.6 zawȩża istotnie zakres rozważanych okrȩgów ściśle stycznych dla krzywych ograniczonych z euklidesowego punktu widzenia i tu również zakrzywionych. Dalsze ograniczenie jest możliwe dziȩki lematowi 1.1. Definicja α kuli i α obszaru pozwol a nam na znaczne ograniczenie wahania krzywej o ma lej krzywiźnie w przestrzeni hiperbolicznej. Lemat 1.2 mówi, że mniejsze sfery przecinaj a sferȩ podstawow a pod mniejszym k atem. 1.1. Lemat. Jeżeli okr ag C jest zawarty w kuli domkniȩtej B R n i pewien jego punkt x 1 należy do sfery B, to istnieje sfera S B taka, że okr ag C zawiera siȩ w S. Dowód. Rozważmy parametryzacjȩ okrȩgu dan a wzorem gdzie v i w s a takimi wektorami, że c(t) = x 0 + cos t v + sin t w dla t R, (1.1) v = w = r, v w oraz c(0) = x 1. Zak ladaj ac, że środkiem kuli B jest 0 R n, a jej promień wynosi R otrzymujemy, że (1.2) c(t) R dla t R. Rozważaj ac punkt x 1 B i punkt okrȩgu do niego antypodyczny c(π) B, otrzymujemy na podstawie (1.1) zwi azki (1.3) x 0 2 + 2 v, x 0 + r 2 = R 2 i x 0 2 2 v, x 0 + r 2 R 2, które pozwalaj a na oszacowanie (1.4) v, x 0 0. Z warunków (1.1) i (1.2) wynika, że dla każdego t R zachodzi nierówność x 0 2 + r 2 + 2( v, x 0 cos t + w, x 0 sin t) R 2, Typeset by AMS-TEX

FOLIACJE HADAMARDA 5 któr a, uwzglȩdniaj ac pierwszy spośród warunków (1.3), można zapisać w postaci (1.5) 2 sin t 2 ( w, x 0 cos t 2 v, x 0 sin t 2 ) 0. Przypuśćmy, że w, x 0 = 0. Wybierzmy takie t, dla którego sin t 2 < 0 i cos t 2 ma znak przeciwny do w, x 0. Wówczas na mocy (1.4) nierówność (1.5) nie jest spe lniona. Zatem (1.6) w, x 0 = 0. Rozważmy teraz rodzinȩ sfer stycznych wewnȩtrznie do B w punkcie x 1 ( l acznie ze sfer a B). Ponieważ pokrywaj a one ca l a kulȩ B, można spośród nich wybrać sferȩ S o promieniu R 0 i środku (1.7) y = sx 1 = s(x 0 + v), s [0, 1] zawieraj ac a punkt c(π). St ad co wraz z (1.1) implikuje równości y x 0 v = y x 0 + v = R 0, y 2 + x 0 2 + r 2 2 x 0, y 2 y, v + 2 x 0, v = R 2 0, y 2 + x 0 2 + r 2 2 x 0, y + 2 y, v 2 x 0, v = R 2 0, których sumȩ (odpowiednio różnicȩ) można zapisać nastȩpuj aco (1.8) x 0 y 2 = R 2 0 r 2, (1.9) y x 0, v = 0. Pokażemy teraz, że ca ly okr ag C zawiera siȩ w S. Istotnie, z (1.1) dla dowolnego t kwadrat odleg lości c(t) od y wynosi c(t) y 2 = x 0 y+cos t v+sin t w 2 = x 0 y 2 +r 2 +2 x 0 y, v cos t+2 x 0 y, w sin t. Trzeci sk ladnik powyższej sumy znika na podstawie warunku (1.9), a stosuj ac równości (1.7) i (1.8) oraz (1.6) i (1.1) otrzymujemy dla każdego t zwi azek z którego wynika teza. c(t) y = R 0,

6 MACIEJ CZARNECKI 1.2. Lemat. Niech w przestrzeni R n S oznacza pewn a sferȩ o środku p i promieniu R i niech x bȩdzie punktem kuli otwartej ograniczonej przez tȩ sferȩ, a H ustalon a hiperp laszczyzn a zawieraj ac a x. Niech ponadto S r oznacza sferȩ o środku q i promieniu r, styczn a do H w punkcie x maj ac a przynajmniej jeden punkt wspólny ze sfer a S. Wówczas k at pomiȩdzy sferami S i S r jest rosn ac a funkcj a promienia r. Dowód. Rozważmy przekrój jedyn a p laszczyzn a (dwuwymiarow a) P zawieraj ac a punkty p, q, x, jeżeli nie s a one wspó lliniowe, lub jedyn a p laszczyzn a zawieraj ac a p, q, x i prostopad l a do H, w przeciwnym wypadku. Niech y S S r P. Wówczas interesuj acy nas k at α jest k atem pomiȩdzy promieniami sfer S i S r wystawionymi w punkcie y. Oznaczmy przez d odleg lość punktów p i q. Na p laszczyźnie P wprowadzamy uk lad wspó lrzȩdnych o środku p i pierwszej osi równoleg lej do prostej P H. Wówczas jeżeli punkt x ma wspó lrzȩdne (b, c), to (1.10) b 2 + c 2 < R 2 oraz punkt q ma wspó lrzȩdne (b, c ± r). Z twierdzenia cosinusów dla trójk ata pqy i faktu, że d 2 = b 2 + c 2 + r 2 ± 2cr otrzymujemy α(r) = arccos R2 (b 2 + c 2 ) 2cr 2Rr dla r takich, że sfery S i S r przecinaj a siȩ. Obliczamy pochodn a funkcji α : α (r) = R 2 (b 2 + c 2 ) ( R 2 (b 2 + c 2 ) 2cr 2Rr 1 2Rr ) 2 i zauważamy, że na mocy (1.10) jest ona dodatnia. Niech D bȩdzie kul a o środku 0 i promieniu ϱ w przestrzeni R n. 1.3. Definicja. Dla α (0, 1) α-kul a wzglȩdem kuli D nazywamy kulȩ, której brzeg tworzy z brzegiem D k at α. Innymi s lowy, α-kul a jest kula B o środku y i promieniu R taka, że α-sfer a nazywamy brzeg α-kuli. y = ϱ 2 + R 2 2Rϱ cos α. 1.4. Definicja. α obszarem o kierunku wektora v T D nazywamy tȩ sk ladow a spójności dope lnienia w D sumy wszystkich domkniȩtych α-kul stycznych do v, do której jest skierowany wektor v. 1.5. Lemat. α obszar o kierunku wektora v jest zawarty w odcinku kuli D wyznaczonym przez hiperp laszczyznȩ p + v i zwrot wektora v, gdzie p jest punktem zaczepienia v.

FOLIACJE HADAMARDA 7 Dowód. Niech P bȩdzie dowoln a p laszczyzn a zawieraj ac a wektor v. Na p laszczyźnie P wprowadźmy uk lad wspó lrzȩdnych tak, aby druga oś mia la kierunek v i zwrot przeciwny do v, a pierwsza oś by la prost a P (p + v ). Czȩści a wspóln a α obszaru o kierunku v i p laszczyzny P jest sk ladowa spójności, do której jest skierowany wektor v, zbioru D P \ (B 1 B 2 ), gdzie B 1 i B 2 s a α-kulami o środkach leż acych na P. Oznaczmy przez p 1 i p 2 punkty wspólne D oraz B 1 i B 2, odpowiednio, leż ace na brzegu α obszaru. Punkty p 1 i p 2 maj a drug a wspó lrzȩdn a ujemn a, zatem ca l a czȩść wspólna α-bukietu z p laszczyzn a P leży pod osi a P (p + v ). Z dowolności wyboru p laszczyzny P wynika teza. 1.6. Lemat. Jeżeli γ : I R n jest krzyw a g ladk a tak a, że w pewnym otoczeniu zera jej obraz zawiera siȩ w kuli domkniȩtej o środku p i promieniu r oraz γ(0) p = r, to okr ag ściśle styczny do krzywej γ w punkcie γ(0) także zawiera siȩ w tej kuli. Dowód. Bez utraty ogólności możemy za lożyć, że p jest pocz atkiem uk ladu oraz że krzywa γ jest sparametryzowana d lugości a luku. Wtedy dla każdego t I prawdziwe s a równości: (1.11) γ(0) =r, γ (t) =1, γ (t), γ (t) =0. Z za lożenia wynika, że funkcja φ : I R dana wzorem φ(t) = γ(t), dla t I osi aga lokalne maksimum w punkcie 0 równe r. W pewnym otoczeniu zera funkcja φ jest g ladka (można w nim oddzielić obraz krzywej γ od pocz atku uk ladu), zatem (1.12) φ(0) = r, φ (0) = 0, φ (0) 0. Korzystaj ac z (1.11) obliczamy pochodne funkcji φ φ (t) = γ(t), γ (t), γ(t) φ (t) = ( γ(t), γ (t) + γ (t), γ (t) ) γ(t) γ(t), γ (t) γ(t),γ (t) γ(t) γ(t) 2 = γ(t) 2 ( γ(t), γ (t) + 1) γ(t), γ (t) 2 γ(t) 3. St ad i z (1.12) otrzymujemy równość (1.13) γ(0), γ (0) = 0,

8 MACIEJ CZARNECKI która po podstawieniu do wzoru na drug a pochodn a i ponownym wykorzystaniu (1.12) implikuje nierówność (1.14) γ(0), γ (0) 1. St ad, z (1.11) i nierówności Schwarza wynika, że r γ (0) = γ(0) γ (0) γ(0), γ (0) 1, co gwarantuje dodatniość γ (0). 1 Okr ag ściśle styczny do krzywej γ w punkcie γ(0) ma promień γ (0), środek w punkcie γ(0) + 1 γ (0) γ (0) i leży w p laszczyźnie wyznaczonej przez wektory γ (0) 2 i γ (0). Tym samym jego równaniem parametrycznym jest c(s) = γ(0) + 1 γ (0) 2 γ (0) + 1 γ (0) γ (0) cos s + 1 γ (0) γ (0) γ sin s. (0) Obliczaj ac kwadrat normy c(s) i korzystaj ac z (1.11), (1.12) i (1.13) otrzymujemy c(s) 2 = γ + cos s γ γ + 1 + sin s 2 γ 2 γ t=0 ( = γ 2 + cos2 s γ 2 γ 2 (1 + sin s)2 + γ 4 γ 2 + 2 cos s γ γ, γ 2(1 + sin s) + γ 2 γ, γ 2 cos s(1 + sin s) + γ 3 γ, γ =r 2 2(1 + sin s) + γ (0) 2 (1 + γ(0), γ (0) ), co wraz z (1.14) implikuje dla każdego s R nierówność c(s) r. ) t=0

FOLIACJE HADAMARDA 9 ROZDZIA L 2 OKRȨGI W PRZESTRZENI HIPERBOLICZNEJ Na pocz atku rozdzia lu zebrane s a wybrane fakty dotycz ace geometrii przestrzeni hiperbolicznej H n. Wniosek 2.11 p lyn acy ze stwierdzeń 2.9 i 2.10 leży u podstaw niniejszej pracy. Podaje on jeden z warunków, które odróżniaj a przestrzeń hiperboliczn a od euklidesowej. Jest nim duża (wiȩksza od a) krzywizna dowolnie dużych okrȩgów hiperbolicznych, co pozwala przypuszczać, że krzywe o krzywiźnie zawartej pomiȩdzy 0 i a zachowuj a siȩ regularnie w nieskończoności. Zostanie to udowodnione w rozdziale 3. W stwierdzeniu 2.12 wyznaczyliśmy wzór na krzywiznȩ geodezyjn a dowolnej krzywej w przestrzeni hiperbolicznej. Jest on jednak d lugi i krzywiznȩ krzywej latwiej jest badać poprzez okrȩgi ściśle do niej styczne, co także jest treści a tego stwierdzenia. Krzywizna okrȩgów i ich luków (euklidesowych) daje siȩ bowiem wyliczać stosunkowo latwo zgodnie ze wzorem ze stwierdzenia 2.14. Można siȩ o tym przekonać na przyk ladach. Końcowe stwierdzenie 2.19 zawiera g lówny wynik tego rozdzia lu pozwalaj acy na analizȩ krzywych o ma lej krzywiźnie. 2.1. Definicja. Przestrzeni a hiperboliczn a o sta lej krzywiźnie nazywamy rozmaitość riemannowsk a wymiaru co najmniej 2 jednospójn a, zupe ln a, o sta lej ujemnej krzywiźnie sekcyjnej. Przestrzeń hiperboliczn a n wymiarow a o sta lej krzywiźnie a 2, dla pewnego a > 0, oznaczamy symbolem H n a. Przestrzeń H n a jest wyznaczona jednoznacznie z dok ladności a do izometrii. Poniżej opiszemy najpopularniejszy model przestrzeni H n a model Poincaré w kuli. Niech n 2 bȩdzie ustalona liczb a naturaln a. Dla dowolnego punktu x R n niech x 1,..., x n oznaczaj a jego wspó lrzȩdne w kanonicznej mapie id oraz niech X i = x i, i = 1,..., n, bȩd a polami bazowymi tej mapy. Oznaczmy ponadto przez.,. standardowy iloczyn skalarny w R n, przez. indukowan a przez niego normȩ, a przez pochodn a Levi Civity wyznaczon a przez.,.. Nastȩpuj ace fakty pochodz a wprost, lub w formie zmodyfikowanej, z ksi ażki [GKM]. 2.2. Stwierdzenie. Dla dowolnego a > 0 kula otwarta Da n R n o środku 0 i promieniu 1 a, z tensorem metrycznym g danym wzorem (2.1) g(x, Y ) x = 4 (1 a 2 x 2 ) 2 X, Y x dla wszystkich x Da n i X, Y X(Da n ), jest n wymiarow a przestrzeni a hiperboliczn a o sta lej krzywiźnie a 2. Typeset by AMS-TEX

10 MACIEJ CZARNECKI Powyższ a strukturȩ nazywamy modelem Poincaré w kuli. Kulȩ Da n nazywać kul a podstawow a, a jej brzeg Da n sfer a podstawow a. Funkcja φ wystȩpuj aca we wzorze (2.1) określon a wzorem (2.2) φ(x) = 4 (1 a 2 x 2 ) 2 dla x D n a bȩdziemy jest funkcj a konforemnej zmiany metryki, to znaczy φ jest g ladka, stale dodatnia i g = φ.,.. Normȩ indukowan a przez iloczyn skalarny g oznaczamy symbolem.. 2.3. Stwierdzenie. Pochodna Levi Civity dla modelu H n a w kuli wyraża siȩ wzorem (2.3) X Y = X Y + 1 2 ((Xψ)Y + (Y ψ)x X, Y ψ) dla X, Y X(Dn a ), gdzie ψ = ln φ oraz ψ jest gradientem funkcji ψ na rozmaitości D n a. Obecnie wyznaczymy wspó lczynniki Christoffela koneksji. 2.4. Stwierdzenie. Wspó lczynniki Christoffela koneksji Levi Civity na H n a s a dla dowolnego x Da n dane wzorami 2a 2 x i 1 a 2, x 2 gdy i = j = k, 2a2 x k 1 a 2, gdy i = j k, x 2 (2.4) Γ k ij(x) = 2a 2 x i 1 a 2, gdy j = k, x 2 2a 2 x j 1 a 2, gdy i = k, x 2 0 gdy i j, j k, k i. Dowód. Koneksja Levi Civity pochodz aca od iloczynu skalarnego g wyraża siȩ wzorem (2.5) g( X Y, Z) = 1 (Xg(Y, Z) + Y g(z, X) Zg(X, Y ) 2 + g(z, [X, Y ]) + g(y, [Z, X]) g(x, [Y, Z])) dla dowolnych X, Y, Z X(D n a ). Pola X i, i = 1,..., n, jako pola (standardowej) mapy s a przemienne i ze wzoru (2.5) wynika, że dla i, j, k = 1,..., n ( ) (2.6) g Xi X j, X k = 1 2 (X ig(x j, X k ) + X j g(x k, X i ) X k g(x i, X j )) Zgodnie ze wzorem (2.1) dla i, j = 1,..., n (2.7) g(x i, X j ) = 0 dla i j, 4 g(x i, X i ) x = (1 a 2 x 2 ) 2

FOLIACJE HADAMARDA 11 Zatem (2.8) X j g(x i, X i ) x = (2.9) 16a 2 x j (1 a 2 x 2 ) 3 i, j = 1,..., n Wzory (2.6) i (2.7) oraz (2.6) i (2.8) implikuj a, co nastȩpuje ( ) g Xi X j, X k =0 gdy i j, j k, k i ( ) 8a 2 x i g Xi X i, X i = (1 a 2 x 2 ) 3 ( ) g Xi X i, X j = ( ) g Xi X j, X i ( ) g Xi X j, X j 8a 2 x j (1 a 2 x 2 ) 3 gdy i j 8a 2 x j = (1 a 2 x 2 ) 3 8a 2 x i = (1 a 2 x 2 ) 3 Wspó lczynniki Christoffela Γ k ij dla i, j, k = 1,..., n koneksji s a określone zależności a n Xi X j = sk ad (2.10) Γ k ij g(x k, X k ) = g k=1 Γ k ijx k ( Xi X j, X k ), i, j, k = 1,..., n. Wzór (2.10) w po l aczeniu z (2.1) i (2.9) implikuj a wzór (2.4) z tezy. 2.5. Wniosek. Pochodna kowariantna dla pól bazowych w przestrzeni H 2 a wyraża siȩ wzorami (2.11) X1 X 1 = 2a2 1 a 2 x 2 (x 1X 1 x 2 X 2 ), X1 X 2 = 2a2 1 a 2 x 2 (x 2X 1 + x 1 X 2 ), X2 X 1 = 2a2 1 a 2 x 2 (x 2X 1 + x 1 X 2 ), X2 X 2 = 2a2 1 a 2 x 2 ( x 1X 1 + x 2 X 2 ). 2.6. Definicja. Niech krzywa g ladka γ na rozmaitości riemannowskiej bȩdzie sprametryzowana d lugości a luku. Krzywizn a geodezyjn a krzywej γ w punkcie t nazywamy liczbȩ k g (γ)(t) równ a normie pochodnej kowariantnej pola stycznego γ w kierunku γ(t). Stwierdzenia 2.7 i 2.8 pochodz ace z ksi ażki [BP] oraz wynikaj ace z nich stwierdzenie 2.9 i wniosek 2.11 przekonaj a nas o roli jak a pe lni a okrȩgi o środku 0 na p laszczyźnie hiperbolicznej H 2 a.

12 MACIEJ CZARNECKI 2.7. Stwierdzenie. W przestrzeni H n a odleg lość punktu x od zera wynosi 2 ath(a x ). 2.8. Stwierdzenie. Grupa izometrii przestrzeni H n a sk lada siȩ z odwzorowań postaci A ι, gdzie A O(n), a ι jest identyczności a lub inwersj a wzglȩdem sfery prostopad lej do sfery podstawowej. 2.9. Stwierdzenie. Każdy okr ag w przestrzeni H 2 a jest obrazem pewnego okrȩgu o środku 0 w inwersji wzglȩdem pewnej sfery prostopad lej do sfery podstawowej lub w tożsamości. Tym samym okr ag w przestrzeni H 2 a traktowany jako podzbiór D 2 a jest euklidesowym okrȩgiem. Dowód. Niech C bȩdzie okrȩgiem o środku x 0 0. Niech ι bȩdzie inwersj a wzglȩdem sfery prostopad lej do sfery podstawowej przeprowadzaj ac a x 0 na 0. ι na mocy stwierdzenia 2.8 jest izometri a, przeprowadza zatem hiperboliczny okr ag C na hiperboliczny okr ag ι(c) o środku 0. Korzystaj ac ze stwierdzenia 2.7 widzimy, że ι(c) trakowany jako podzbiór kuli D 2 a jest euklidesowym okrȩgiem. Ponieważ inwersja ι : D 2 a D 2 a jest odwzorowaniem konforemnym i inwolucj a, zatem C = ι 1 (ι(c)) jest okrȩgiem euklidesowym. Zgodnie ze stwierdzeniem 2.9 wyliczenie krzywizny geodezyjnej okrȩgów w przestrzeni H 2 a można ograniczyć tylko do okrȩgów o środku 0. 2.10. Stwierdzenie. Krzywizna geodezyjna okrȩgu γ w przestrzeni H 2 a o środku 0 i euklidesowym promieniu r < 1 a wynosi (2.12) k g (γ) = 1 + a2 r 2. 2r Dowód. Rozważmy parametryzacjȩ okrȩgu ( γ(t) = r cos (1 a2 r 2 )t, r sin (1 a2 r 2 )t 2r 2r ). Wówczas jednostkowe pole styczne γ(t) jest obciȩciem do obrazu krzywej γ pola X danego wzorem X(x) = 1 a2 r 2 ( x 2 X 1 + x 1 X 2 ), 2r gdzie X 1 i X 2 oznaczaj a pola bazowe mapy id. Wtedy pochodna kowariantna pola

X po X, po uwzglȩdnieniu wzorów (2.11), wynosi X X x = (1 a2 r 2 ) 2 4r 2 FOLIACJE HADAMARDA 13 ( x 2 X1 ( x 2 X 1 + x 1 X 2 ) + x 1 X2 ( x 2 X 1 + x 1 X 2 )) x = (1 a2 r 2 ) 2 4r 2 ( x2 X 2 x 1 X 1 + x 2 2 X1 X 1 x 1 x 2 X1 X 2 x 1 x 2 X2 X 1 + x 2 1 X2 X 2 ) x = (1 a2 r 2 ) 4r 2 ( x 1 X 1 x 2 X 2 ) x + a2 (1 a 2 r 2 ) 2 ( x 3 2r 2 (1 a 2 x 2 ) 1 X 1 x 3 2X 2 x 1 x 2 2X 1 x 2 ) 1x 2 X 2 x ( (1 a 2 r 2 ) 2 = 4r 2 + a2 (1 a 2 r 2 ) 2 ) 2r 2 (1 a 2 x 2 ) x 2 (x 1 X 1 + x 2 X 2 ) x = (1 a2 r 2 ) 2 1 a 2 x 2 1 + a2 x 2 4r 2 (x 1 X 1 + x 2 X 2 ) x To pozwala wyliczyć krzywiznȩ geodezyjn a krzywej γ. Ponieważ wartości pól X 1 i X 2 w każdym punkcie x stanowi a bazȩ ortonormaln a przestrzeni T x D, otrzymujemy k g (γ)(t) = γ γ t = X X γ(t) 2 = 1 a 2 r 2 (1 a2 r 2 )(1 + a 2 r 2 ) 4r 2 r cos (1 a2 r 2 )t X 1 (γ(t)) + r sin (1 a2 r 2 )t X 2 (γ(t)) 2r 2r = 1 + a2 r 2. 2r 2.11. Wniosek. Każdy okr ag w przestrzeni hiperbolicznej H n a, wspó lp laszczyznowy z punktem 0 ma krzywiznȩ geodezyjn a wiȩksz a niż a. Dowód. Przestrzeń H 2 a wk lada siȩ izometrycznie w H n a jako podrozmaitość ca lkowicie geodezyjna ko lo o środku 0. Ze wzoru (2.12) wynika, że krzywizna geodezyjna okrȩgu o środku 0 jest malej ac a funkcj a jego euklidesowego promienia na przedziale (0, 1 a ). Ponadto jej lewostronna granica w punkcie 1 a wynosi a. Wyliczymy teraz krzywiznȩ geodezyjn a dowolnej krzywej w przestrzeni H n a. 2.12. Stwierdzenie. Niech γ : I H n a bȩdzie krzyw a g ladk a. (i) Krzywizna geodezyjna krzywej γ zależy tylko od wartości krzywej γ, jej pierwszej i drugiej pochodnej γ i γ, odpowiednio i wyraża siȩ wzorem (2.13) (k g (γ)) 2 = 1 γ 6 [ (1 a 2 γ 2 ) 2 ( γ 2 γ 2 + 3 γ, γ 2 ) + 4a 4 γ 4 ( γ 2 γ 2 γ, γ 2 ) +4a 2 (1 a 2 γ 2 ) γ 2 ( γ, γ γ, γ γ 2 γ, γ ) ].

14 MACIEJ CZARNECKI (ii) Jeżeli krzywa γ, traktowana jako krzywa w przestrzeni euklidesowej, jest sparametryzowana proporcjonalnie do d lugości luku, to znaczy istnieje r > 0 takie, że γ = r, to wzór (2.13) przybiera postać (2.14) (k g (γ)) 2 = 1 4r 4 [ (1 a 2 γ 2 ) 2 γ 2 4a 2 r 2 (1 a 2 γ 2 ) γ, γ +4a 4 r 2 ( γ 2 r 2 γ, γ 2 ) ]. (iii) Krzywizna geodezyjna krzywej γ w punkcie t jest taka sama jak krzywizna geodezyjna okrȩgu ściśle stycznego do niej w punkcie γ(t) (o ile taki okr ag istnieje), a ściślej luku tego okrȩgu zawartego w H n a. Dowód. Do obliczeń wykorzystamy wzór (2.3). Ze wzoru (2.2) wynika, że (2.15) ψ(x) = ln φ(x) = ln 4 2 ln(1 a 2 x 2 ), dla x D a, oraz (2.16) ψ(x) = 4a 2 1 a 2 x 2 n x i X i (x). Niech γ bȩdzie dowoln a krzyw a g ladk a w H n a. Zgodnie z definicj a 2.6 otrzymujemy (2.17) k g (γ) = γ γ i=1 γ γ. Pochodn a kowariantn a wektora stycznego do krzywej γ unormowanej uzależnimy od wartości przed unormowaniem. Wykorzystamy do tego równości : (2.18) γ γ oraz wynikaj ac a ze wzoru (2.2) γ γ = 1 γ γ γ γ = 1 γ 2 γ γ + 1 ( ) 1 γ γ γ (2.19) ( 1 γ ) = ( 1 a 2 γ 2 2 γ ) = 2a2 γ, γ γ 2 + (1 a 2 γ 2 ) γ, γ 2 γ 3. Stosuj ac (2.18) i (2.19) otrzymujemy (2.20) γ γ γ γ =(1 a2 γ 2 ) 2 4 γ 2 γ γ + (1 a2 γ 2 ) ( 2a 2 γ, γ γ 2 + (1 a 2 γ 2 ) γ, γ ) 4 γ 4 γ. Do obliczenia γ γ wykorzystamy wzór (2.3), postać gradientu ψ zawart a w (2.16), wzór ψ (2.15) oraz równość γ γ = γ

FOLIACJE HADAMARDA 15 wynikaj ac a z zerowania siȩ wszystkich wspó lczynników Christoffela w R n (i tym samym w D n a ). Otrzymamy st ad γ γ = γ γ + 1 2 ((γ (ψ γ) γ + (γ (ψ γ) γ γ, γ ( ψ) γ) (2.21) = γ + (ψ γ) γ 1 2 γ 2 ( ψ) γ ( = γ + ln 4 (1 a 2 γ 2 ) 2 ) γ 2a2 γ 2 1 a 2 γ 2 γ = γ + 4a2 γ, γ 1 a 2 γ 2 γ 2a2 γ 2 1 a 2 γ 2 γ. Podstawiaj ac (2.21) do (2.20) i nastȩpnie (2.20) w nowej postaci do (2.17) nadamy równości (2.17) postać (k g (γ)) 2 = (1 a 2 γ 2 ) 2 4 γ 2 γ + (1 a2 γ 2 ) ( 2a 2 γ, γ γ 2 + (1 a 2 γ 2 ) γ, γ ) 4 γ 4 γ a2 (1 a 2 γ 2 2 ) γ 2 = 1 4 γ 8 (1 a 2 γ 2 ) γ 2 γ + ( 2a 2 γ, γ γ 2 + (1 a 2 γ 2 ) γ, γ ) γ 2a 2 γ 4 γ 2. Obecnie pozosta ly już tylko latwe obliczenia wykorzystuj ace w lasności iloczynu skalarnego (2.22) (k g (γ)) 2 = ( (1 a 2 γ 2 ) 2 γ 4 γ 2 + 4a 4 γ, γ 2 γ 6 + (1 a 2 γ 2 ) 2 γ, γ 2 γ 2 4a 2 (1 a 2 γ 2 ) γ 4 γ, γ γ, γ + 4a 4 γ 8 γ 2 4a 2 (1 a 2 γ 2 ) γ 4 γ, γ γ, γ + 2(1 a 2 γ 2 ) 2 γ 2 γ, γ 2 4a 2 (1 a 2 γ 2 ) γ 2 γ, γ 8a 4 γ 6 γ, γ 2 4a 2 (1 a 2 γ 2 ) γ, γ γ, γ ) Po redukcji i zgrupowaniu w (2.22) otrzymamy ostateczny wzór na krzywiznȩ geodezyjn a z tezy (i). Przy za lożeniu jak w punkcie (ii) zachodzi równość γ, γ = 0 i wzór (2.14) wynika bezpośrednio z (2.13). 2.13. Przyk lad Niech γ bȩdzie maksymalnym odcinkiem otwartym w H n a, to znaczy niepust a czȩści a wspóln a pewnej prostej i kuli Da n. Oznaczmy przez b [0, 1 a ) euklidesow a odleg lość tego odcinka od punktu 0. Na mocy stwierdzenia 2.8 przekszta lcenia ortogonalne przestrzeni R n s a izometriami w H n a, zatem możemy za lożyć, że ( ) 1 1 γ(t) = (t, b, 0,..., 0) dla t a 2 b2, a 2 b2.

16 MACIEJ CZARNECKI Wtedy γ = 1 i γ = 0 i po podstawieniu do wzoru (2.14) otrzymujemy k g (γ) = a 2 b, co oznacza, że krzywizna geodezyjna maksymalnego odcinka w H n a jest rosn ac a funkcj a odleg lości tego odcinka od zera i przyjmuje wartości z przedzia lu [0, a). Ograniczymy obecnie nasze rozważania do luków euklidesowych okrȩgów w H n a. 2.14. Stwierdzenie. Jeżeli γ jest euklidesowym okrȩgiem o środku x 0 R n i promieniu r, x 0 < 1 a + r, leż acym w p laszczyźnie P, to krzywizna geodezyjna w przestrzeni H n a luku okrȩgu γ zawartego w Da n wynosi (2.23) k g (γ) = 1 4r 2 (1 + a2 r 2 a 2 x 0 2 ) 2 + a 4 x 0 2, gdzie x 0 oznacza sk ladow a wektora x 0 prostopad l a do p laszczyzny P. Dowód. Za lóżmy, że p laszczyzna P jest rozpiȩta przez prostopad le wektory v i w o d lugości r. Okr ag γ możemy sparametryzować nastȩpuj aco γ(t) = x 0 + v cos t + w sin t; parametr t przebiega maksymalny przedzia l, w którym γ(t) Da n. pochodne pierwszego i drugiego rzȩdu krzywej γ wyrażaj a siȩ wzorami Wówczas γ (t) = v sin t + w cos t, γ (t) = v cos t w sin t, ich normy s a równe r, co oznacza, że krzywa γ jest sparametryzowana proporcjonalnie do d lugości luku. Do obliczenia jej krzywizny geodezyjnej, zgodnie ze wzorem (2.14), potrzebujemy zatem d lugości wektora γ oraz jego iloczynów skalarnych przez wektory pochodnych γ 2 = x 0 2 + r 2 + 2 x 0, v cos t + 2 x 0, w sin t γ, γ = x 0, v sin t + x 0, w cos t γ, γ = x 0, v cos t x 0, w sin t r 2. Podstawiaj ac te wartości do wzoru (2.14) otrzymujemy (2.24) (k g (γ)(t)) 2 = 1 4r 4 ( (1 a 2 x 0 2 a 2 r 2 2a 2 x 0, v cos t 2a 2 x 0, w sin t) 2 r 2 4a 2 r 2 (1 a 2 x 0 2 a 2 r 2 2a 2 x 0, v cos t 2a 2 x 0, w sin t) ( x 0, v cos t x 0, w sin t r 2 ) + 4a 4 r 2 ( x 0 2 r 2 + r 4 + 2r 2 x 0, v cos t + 2r 2 x 0, w sin t x 0, v 2 sin 2 t x 0, w 2 cos 2 t + 2 x 0, v x 0, w sin t cos t) )

FOLIACJE HADAMARDA 17 Po skróceniu r 2 i wymnożeniu wzór (2.24) przyjmuje postać (2.25) (k g (γ)(t)) 2 = 1 4r 2 [ 1 + a 4 x 0 4 + a 4 r 4 + 4a 4 x 0, v 2 cos 2 t + 4a 4 x 0, w 2 sin 2 t 2a 2 x 0 2 2a 2 r 2 4a 2 x 0, v cos t 4a 2 x 0, w sin t + 2a 4 x 0 2 r 2 + 4a 4 x 0 2 x 0, v cos t + 4a 4 x 0 2 x 0, w sin t + 4a 4 r 2 x 0, v cos t + 4a 4 r 2 x 0, w sin t + 8a 4 x 0, v x 0, w sin t cos t + 4a 2 x 0, v cos t + 4a 2 x 0, w sin t + 4a 2 r 2 4a 4 x 0 2 x 0, v cos t 4a 4 x 0 2 x 0, w sin t 4a 4 x 0 2 r 2 4a 4 r 2 x 0, v cos t 4a 4 r 2 x 0, w sin t 4a 4 r 4 8a 4 x 0, v 2 cos 2 t 8a 4 x 0, v x 0, w sin t cos t 8a 4 r 2 x 0, v cos t 8a 4 x 0, v x 0, w sin t cos t 8a 4 x 0, w 2 sin 2 t 8a 4 r 2 x 0, w sin t + 4a 4 x 0 2 r 2 + 4a 4 r 4 + 8a 4 r 2 x 0, v cos t + 8a 4 r 2 x 0, w sin t 4a 4 x 0, v 2 sin 2 t 4a 4 x 0, w cos 2 t +8a 4 x 0, v x 0, w sin t cos t ]. Redukcja we wzorze (2.25) daje już wzór na krzywiznȩ geodezyjn a krzywej γ (2.26) (k g (γ)) 2 = 1 4r 2 ( 1 + a 4 r 4 + a 4 x 0 4 + 2a 2 r 2 2a 2 x 0 2 + 2a 4 x 0 2 r 2 4a 4 x 0, v 2 4a 4 x 0, w 2), z którego wynika w szczególności, że luk okrȩgu ma sta l a krzywiznȩ. Jeżeli roz lożymy wektor x 0 na sk ladow a x 0 styczn a do p laszczyzny lin(v, w) i sk ladow a do niej prostopad l a x 0, to zachodzi równość ) x 0, v 2 + x 0, w 2 = x 0, v 2 + x 0, w 2 = r ( x 2 v 0, (2.27) v 2 + x w 0, w 2 = r 2 x 0 2. Wzór (2.26) można przedstawić w postaci (k g (γ)) 2 = 1 4r 2 (1 + a2 r 2 a 2 x 0 2 ) 2 + a4 r 2 ( x0 2 r 2 x 0, v 2 x 0, w 2), co wraz z (2.27) i określeniem x 0 i x 0 daje prosty wzór (2.23) na krzywiznȩ luku okrȩgu. 2.15. Wniosek. Jeżeli okr ag γ jest wspó lp laszczyznowy ze środkiem 0 przestrzeni hiperbolicznej H n a, to 1 + a 2 (r 2 x 0 2 ) (2.28) k g (γ) =. 2r

18 MACIEJ CZARNECKI Dowód. Przy za lożeniu 0 P otrzymujemy, że x 0 = θ. Zajmiemy siȩ teraz kilkoma przyk ladami zastosowania wzoru (2.28). 2.16. Przyk lady. 1. Okr ag koncentryczny. Jeżeli x 0 = 0, to krzywizna jest dana wzorem 1 + a2 r 2. 2r Otrzymaliśmy zatem potwierdzenie wzoru (2.12) ze stwierdzenia 2.10. 2. Horocykl. Okr ag jest styczny wewnȩtrznie do sfery podstawowej Da n, to znaczy x 0 + r = 1 a. Wówczas krzywizna jest równa a, czyli wszystkie horocyckle maj a tȩ sam a krzywiznȩ. 3. Geodezyjna. Okr ag jest w tym przypadku prostopad ly do sfery podstawowej, co jest równoważne warunkowi x 0 2 = 1 a 2 + r 2, który poci aga za sob a zerowanie siȩ krzywizny. 4. Okr ag przechodz acy przez 0. Za lożeniem jest teraz x 0 = r, a krzywizna wyraża siȩ wzorem 1 2r. 5. Średnica. Granicznym przypadkiem przyk ladów 3. i 4. przy x 0 (lub, co na to samo wychodzi r ) jest geodezyjna przechodz aca przez 0 o zerowej krzywiźnie. Wynik ten możemy także otrzymać stosuj ac wzór z przyk ladu 2.13. 6. α cykl. Niech α (0, 1). Rozważmy okr ag wspó lp laszczyznowy ze środkiem H n a, pocz atkowo styczny wewnȩtrznie do D a, wysuniȩty w kierunku radialnym na zewn atrz sfery podstawowej, tak aby tworzy l ze sfer a podstawow a k at α. Oznacza to, że x 0 = otrzymujemy 1 a 2 + r 2 2r a cos α. Wówczas po podstawieniu do wzoru (2.28) k g (γ) = 2ar cos α 2r = a cos α. Zatem krzywizna α-cyklu dla ma lych α jest niewiele mniejsza od a. Nastepnym etapem naszych dzia lań bȩdzie oszacowanie krzywizny geodezyjnej okrȩgów podobnie jak α cykl nieco tylko wysuniȩtych poza przestzreń hiperboliczn a. Opiszemy je za pomoc a α sfer. 2.17. Definicja. α kul a w przestrzeni hiperbolicznej H n a nazywamy czȩść wspóln a α kuli wzglȩdem kuli podstawowej D n a (w sensie definicji 1.3) i przestrzeni H n a, α sfer a brzeg α kuli w przestrzeni hiperbolicznej. 2.18. Uwaga Gdyby formalnie przyj ać w definicji α kuli α = 0 otrzymalibyśmy horokulȩ i horosferȩ jako jej brzeg. W przestrzeni hiperbolicznej z brzegiem idealnym bȩdziemy w dalszym ci agu rozpatrywać topologiȩ stożkow a (opiszemy j a w rozdziale 3). W tej topologii horokula uzupe lniona punktem styczności nie jest otoczeniem tego punktu, a uzupe lniona o punkty w nieskończoności α-kula jest ich otoczeniem. 2.19. Stwierdzenie. Luk euklidesowego okrȩgu po lożony na α-sferze w przestrzeni H n a ma krzywiznȩ nie mniejsz a niż a cos α. Dowód stwierdzenia poprzedzimy lematem

FOLIACJE HADAMARDA 19 2.20. Lemat. Dla dowolnych α (0, 1), a > 0, A R oraz x ( 1, 1) zachodzi nierówność (A 2 a cos α)2 + A2 2(1 x) 2(1 + x) cos2 α a 2. Dowód. Rozważmy funkcjȩ rzeczywist a f określon a na przedziale ( 1, 1) wzorem f(x) = (A 2 a cos α)2 2(1 x) + A2 2(1 + x). Jeżeli A = 0, to wzór ten określa funkcjȩ rosn ac a o prawostronnej granicy w 1 równej cos2 α a, a gdy A = 2 2 a cos α funkcjȩ malej ac a o lewostronnej granicy w 1 równej także cos2 α a. Zatem w obu tych przypadkach teza zachodzi. 2 Dla A różnego od 0 i od 2 a cos α funkcja f ma granicȩ prawostronn a w 1 i lewostronn a w 1 równe +. Jej pochodna f (x) = (A 2 a cos α)2 2(1 x) 2 A 2 2(1 + x) 2 ma w przedziale ( 1, 1) jedno miejsce zerowe, w którym funkcja f ma globalne minimum. Dla A (0, 2 aa cos α a cos α) tym miejscem zerowym jest cos α i minimum wynosi cos 2 α a. 2 Jeżeli A (, 0) ( 2 a cos α, + ), to spe lniona jest nierówność (2.29) cos α aa cos α i na podstawie nierówności (2.29) otrzy- Miejscem zerowym pochodnej jest mujemy, że f A 1 a cos α > cos α a. ( ) ( cos α = A 1 ) 2 aa cos α a cos α > cos2 α a 2, co poci aga za sob a prawdziwość nierówności z tezy dla każdego x ( 1, 1). Dowód stwierdzenia 2.19. Za lóżmy, że okr ag c o środku x 0 D n a i promieniu r leży na α sferze S o środku y D n a i promieniu R oraz w p laszczyźnie równoleg lej do lin(v, w), gdzie v i w s a wektorami ortogonalnymi o (euklidesowej) d lugości r. Niech P bȩdzie p laszczyzn a przechodz ac a przez punkty 0, x 0, y. Ponieważ P przechodzi przez środek okrȩgu c, wiȩc przecina go w dwóch punktach antypodycznych x 1 i x 2. Przyjmijmy za u wektor x 0 y, gdy x 0 y albo jednostkowy wektor leż acy w p laszczyźnie P prostopad ly do wektora x 1 x 0, gdy x 0 = y. W obu przypadkach wektor u jest prostopad ly do podprzestrzeni lin(v, w). Zatem x 0 x u 0, u,

20 MACIEJ CZARNECKI czyli d lugość sk ladowej x 0 wektora x 0 prostopad lej do p laszczyzny okrȩgu lin(v, w) nie jest mniejsza niż d lugość rzutu wektora x 0 na kierunek wektora u. St ad i ze wzoru na krzywiznȩ okrȩgu (2.23) wynika, że (2.30) (k g (c)) 2 1 4r 2 ( 1 + a 2 r 2 a 2 x 0 2) 2 + a 4 x 0, u 2 u 2. Na p laszczyźnie P wprowadzamy prostokatny uk lad wspó lrzȩdnych o poczatku w punkcie 0 i taki, że y leży na ujemnej czȩści drugiej osi. Oznaczaj ac przez d euklidesow a normȩ y otrzymujemy wspó lrzȩdne punktów (2.31) y =(0, d), x 1 =(R cos t, d + R sin t), x 2 =(R cos s, d + R sin s), gdzie t i s s a pewnymi liczbami z przedzia lu ( π, π] oraz (2.32) d 2 = 1 a 2 + R2 2R a cos α.

FOLIACJE HADAMARDA 21 Jeżeli punkty x 0, y i 0 s a wspó lliniowe, to zawieranie c S implikuje równość x 0 = y. Wtedy x 1 i x 2 s a punktami antypodycznymi okrȩgu S P. Możemy zatem przyj ać u = (sin t, cos t) i wówczas zachodz a równości u =1, x 0, u =d cos t, r =R, x 0 =d, które wraz z nierówności a (2.30) i zależności a (2.32) daj a oszacowanie (k g (c)) 2 1 4R 2 ( 1 + a 2 R 2 a 2 d 2) 2 + a 4 d 2 cos 2 t 1 4R 2 ( 1 + a 2 R 2 a 2 d 2) 2 = 1 4R 2 (2Ra cos α)2 = a 2 cos 2 α. Zatem w tym przypadku k g (c) a cos α. Jeżeli punkty x 0, y i 0 nie s a wspó lliniowe, to u = x 0 y i z równości (2.31) i (2.32) wynikaj a nastepuj ace zależności (2.33) x 0 = x 2 + x 1 2 = ( R 2 (cos t + cos s), d + R ) (sin t + sin s), 2 x 0 2 = R2 2 (1 + cos(t s)) Rd(sin t + sin s) + 1 a 2 + R2 2R ( a R u = 2 (cos t + cos s), R ) (sin t + sin s), 2 u 2 = R2 (1 + cos(t s)), 2 x 0, u = R2 2 Rd (1 + cos(t s)) (sin t + sin s), 2 r 2 = 1 4 x 2 x 1 2 = R2 (1 cos(t s)). 2 cos α, Ponadto t s 0 oraz t s π(mod 2π), gdyż wtedy punkty x 0 i y pokrywa lyby siȩ. Wynika st ad, że r i u s a różne od zera i możemy skorzystać z nierówności (2.30), by za pomoc a równości (2.33) oszacować kwadrat krzywizny okrȩgu (k g (c)) 2 1 [1 2R 2 + a2 R 2 (1 cos(t s)) 2 (1 cos(t s)) a2 R 2 (1 + cos(t s)) 2 +a 2 Rd(sin t + sin s) 1 a 2 R 2 + 2aR cos α ] 2 [ ] 2 R 2 Rd + a 4 2 (1 + cos(t s)) 2 (sin t + sin s) R 2 2 (1 + cos(t s)) ( [R(1 + cos(t s)) d(sin t + sin s) 2 =a 4 a cos α]2 2(1 cos(t s)) + [R(1 + cos(t s)) d(sin t + sin s)]2 2(1 + cos(t s)) )

22 MACIEJ CZARNECKI St ad i z lematu 2.20, po podstawieniu A = R(1 + cos(t s)) d(sin t + sin s) i x = cos(t s), wynika, że (k g (c)) 2 a 4 cos2 α a 2 = a 2 cos 2 α, co wraz z rozważanym poprzednio przypadkiem wspó lliniowości punktów x 0, y, 0 dowodzi tezy. 2.21. Wniosek. Każdy okr ag po lożony na horosferze ma krzywiznȩ nie mniejsz a niż a, a te z nich które przechodza przez punkt styczności horosfery do sfery podstawowej maj a krzywiznȩ równ a a. Dowód. Wystarczy w dowodzie stwierdzenia 2.19 przyj ać α = 0, a dla okrȩgów przechodz acych przez punkt styczności także s = π 2, co znacznie upraszcza oszacowania.

FOLIACJE HADAMARDA 23 ROZDZIA L 3 KRZYWE W PRZESTRZENI HIPERBOLICZNEJ W tym rozdziale wykorzystamy wyniki z rozdzia lu 2, w szczególności stwierdzenie 2.19, do rozważań o w lasnościach krzywych w przestrzeni hiperbolicznej, a także czȩściowo na ogólnych rozmaitościach Hadamarda. Po definicji i podstawowych faktach dotycz acych rozmaitości Hadamarda pojawia siȩ stwierdzenie 3.5 mówi ace o tym, że krzywa na rozmaitości Hadamarda określona na ca lej prostej, ograniczona i o ograniczonej krzywiźnie, osi aga lokalne maksimum odleg lości od pewnego punktu. Z drugiej strony, krzywa osi agaj aca lokalne maksimum odleg lości w przestrzeni hiperbolicznej ma w pewnym punkcie krzywiznȩ równ a co najmniej a. Jest to treści a stwierdzenia 3.9 i wniosku 3.10. Pewnym uogólnieniem tego faktu jest stwierdzenie 3.14, które ograniczenie dolne na krzywiznȩ uzależnia od zawracania do α kuli, co jest warunkiem s labszym od lokalnego maksimum odleg lości. Stwierdzenie 3.12 mówi, że krzywa o ma lej krzywiźnie ucieka do nieskończoności i jest zapowiedzi a g lównego wyniku w tym rozdziale twierdzenia 3.30, które gwarantuje posiadanie granicy na brzegu idealnym przez krzyw a o ma lej krzywiźnie. Zauważmy, że analogiczne fakty s a w przestrzeni euklidesowej fa lszywe. Ci ag definicji i twierdzeń z pracy [EN], o numerach od 3.15 do 3.25 pozwala nam precyzyjnie zdefiniować topologiȩ stożkow a i brzeg idealny dla rozmaitości Hadamarda, a także przygotować pewne podstawy do rozważań w rozdziale 4. 3.1. Definicja. Rozmaitości a Hadamarda nazywamy rozmaitość riemannowsk a wymiaru co najmniej 2 zupe ln a, jednospójn a, o krzywiźnie sekcyjnej ograniczonej z góry przez 0. Przyk ladami rozmaitości Hadamarda s a przestrzeń euklidesowa R n i przestrzeń hiperboliczna H n a dla n 2 i a > 0. Stosuj ac pojȩcie rozmaitości Hadamarda można klasyczne twierdzenie Hadamarda Cartana, pojawiaj ace siȩ na przyk lad w ksi ażce [GKM], sformu lować nastȩpuj aco 3.2. Twierdzenie Hadamarda Cartana. Jeżeli M jest rozmaitości a Hadamarda, to dla dowolnego p M odwzorowanie wyk ladnicze w punkcie p jest dyfeomorfizmem pomiȩdzy M i T p M. 3.3. Wniosek. Dla dowolnych punktów p i q rozmaitości Hadamarda M istnieje dok ladnie jedna geodezyjna na M sprametryzowana d lugości a luku i l acz aca p z q. W dalszym ci agu d bȩdzie oznaczać metrykȩ na rozmaitości Hadamarda, a o krzywych bȩdziemy zak ladać, że s a regularne. 3.4. Lemat. Niech M bȩdzie rozmaitości a Hadamarda, a γ : ( ε, ε) M krzyw a g ladk a osi agaj ac a w zerze lokalne maksimum odleg lości od pewnego punktu q M Typeset by AMS-TEX

24 MACIEJ CZARNECKI takiego, że d(γ(0), q) = l. Niech ponadto c : R M bȩdzie geodezyjn a sparametryzowan a d lugości a luku tak a, że c(0) = γ(0) i c(l) = q. Wówczas dla każdego l > l punkt p = c(l ) ma tȩ w lasność, że krzywa γ osi aga w zerze lokalne w laściwe maksimum odleg lości od punktu p. Dowód. Z za lożenia wynika, że dla każdego t z pewnego otoczenia zera I zachodzi nierówność (3.1) d(q, γ(t)) d(q, γ(0)) = l. Z jednoznaczności geodezyjnych na M i nierówności trójk ata stosuj ac (3.1) otrzymujemy (3.2) l = d(p, γ(0)) = d(p, q) + d(q, γ(0)) d(p, q) + d(q, γ(t)). Krzywa γ jako regularna jest lokalnie różnowartościowa, czyli w pewnym s asiedztwie zera Ĩ I (3.3) d(q, γ(t)) < l lub (3.4) γ(t) γ(0). W przypadku (3.3) ostatnia nierówność w (3.2) jest ostra i korzystaj ac z nierówności trójk ata dla pqγ(t) otrzymujemy w Ĩ ostre oszacowanie d(p, γ(t)) przez l. Punkty z Ĩ, które spe lniaj a warunek (3.4), a nie spe lniaj a (3.3), nie s a wspó lliniowe z punktami p i q (nie należ a do obrazu geodezyjnej c) i ze wzglȩdu na jednoznaczność geodezyjnych spe lniaj a nierówność d(p, q) + d(q, γ(t)) > d(p, γ(t)), która wraz z (3.2) i przypadkiem (3.3) daje tezȩ.

FOLIACJE HADAMARDA 25 3.5. Stwierdzenie. Niech M bȩdzie rozmaitości a Hadamarda. Jeżeli krzywa g ladka γ : R M, sparametryzowana d lugości a luku, jest ograniczona w M i ma ograniczon a krzywiznȩ geodezyjn a, to osi aga lokalne maksimum odleg lości od pewnego punktu p M. W dowodzie stwierdzenia 3.5 wykorzystamy pojȩcie metryki Sasakiego z ksi ażki [S] i dwa lematy o funkcjach. 3.6. Definicja. Metryk a Sasakiego w wi azce stycznej T M rozmaitości riemannowskiej (M, g) nazywamy metrykȩ riemannowsk a G dan a wzorem (3.5) G(X, Y ) = g(π X, π Y ) + g(kx, KY ) dla X, Y X(T M), gdzie π : T M M jest kanonicznym rzutowaniem wi azki stycznej, a K odworowaniem koneksji. 3.7. Lemat. Niech φ : R R bȩdzie funkcj a klasy C 1. Wówczas φ spe lnia co najmniej jeden z poniższych warunków (i) φ ma lokalne maksimum, (ii) istnieje τ R takie, że φ [τ,+ ) jest niemalej aca, (iii) istnieje τ R takie, że φ [τ,+ ) jest niemalej aca, gdzie φ = φ ( id). Dowód. Z za lożenia wynika, że φ jest funkcj a ci ag l a. Jeżeli φ 0, to jest spe lniony warunek (ii). Jeżeli natomiast φ 0, to funkcja φ ma nieujemn a pochodn a i zachodzi (iii). Przypuśćmy teraz, że pochodna funkcji φ zmienia znak w pewnym punkcie τ. Zmiana znaku z dodatniego na ujemny oznacza lokalne maksimum, czyli wype lnienie warunku (i). Jeżeli φ zmienia znak z ujemnego na dodatni, to ewentualna nastȩpna (dla τ > τ) zmiana implikowa laby istnienie maksimum lokalnego, a brak zmiany nieujemność pochodnej w przedziale [τ, + ) czyli (ii). 3.8. Lemat. Niech (φ m ) m N bȩdzie ci agiem funkcji, określonych w pewnym otoczeniu zera, klasy C 1 zbieżnym jednostajnie do fukcji φ 0 klasy C 1 oraz niech pochodne φ m bȩd a zbieżne punktowo do φ 0. Jeżeli φ 0 ma lokalne w laściwe maksimum w zerze, to istnieje takie m, że φ m ma lokalne maksimum. Dowód. Z za lożenia wynika, że dla pewnych t 1 < 0 i t 2 > 0 zachodzi φ 0(t 1 ) > 0 oraz φ 0(t 2 ) < 0. Analogiczne nierówności φ m (t 1) > 0 i φ m (t 2) < 0 s a zatem także spe lnione dla pewnego m. Z ci ag lości φ m wynika istnienie lokalnego maksimum tej funkcji w przedziale (t 1, t 2 ), które niekoniecznie jest w laściwe. Dowód stwierdzenia 3.5. Za lóżmy, że krzywizna geodezyjna krzywej γ jest ograniczona z góry przez liczbȩ b > 0. Niech ponadto q M bȩdzie punktem nie należ acym do obrazu krzywej γ. Wówczas funkcja φ : R R, dana wzorem φ(t) = d(q, γ(t)) dla t R, jest klasy C i zgodnie z lematem 3.7 osi aga lokalne maksimum (co jest już tez a) lub jest niemalej aca w pewnym przedziale [τ, + ) przy danej lub przeciwnej parametryzacji krzywej γ. Możemy zatem za lożyć, że φ jest niemalej aca w przedziale [τ, + ). Niech r oznacza kres górny zbioru wartości funkcji φ w tym przedziale. Z za lożenia ograniczoności krzywej wynika, że r <. Niech B oznacza kulȩ domkniȩt a o środku q i promieniu r.

26 MACIEJ CZARNECKI Z definicji r i monotoniczności φ wynika, że istnieje ci ag liczb (t m ) wiȩkszych od τ, t m, taki, że d(q, γ(t m )) r, t m. St ad i ze zwartości kuli B otrzymujemy istnienie podci agu ci agu (t m ) (bȩdziemy go nadal oznaczać tym samym symbolem) i punktu x B o tej w lasności, że (3.6) γ(t m ) x, m. Rozważmy ci ag funkcji ( γ m ) m N dany wzorami γ m (t) = γ(t + t m ), t [ 1, 1], m N. Dzia laj a one z przestrzeni zwartej [ 1, 1] do przestrzeni T 1 B. Ponieważ na mocy twierdzenia 3.3 kula B jest dyfeomorficzna z domkniȩt a kul a euklidesow a, wiȩc T 1 B jest zwarta i tym samym zupe lna. Funkcje γ m s a ponadto wspólnie ograniczone, ponieważ ze wzglȩdu na lukow a parametryzacjȩ krzywej γ ich obrazy leż a w zbiorze T 1 B. W celu wykazania jednakowej jednostajnej ci ag lości ci agu ( γ m ) skorzystamy z za lożonego ograniczenia krzywizny geodezyjnej krzywej γ (3.7) k g (γ) = γ γ b oraz faktu, że dla dowolnych t, s [ 1, 1] i m N zachodzi nierówność s s (3.8) D( γ(t), γ(s)) γ m (τ) dτ = γ(τ + t m ) dτ, t gdzie D i. oznaczaj a odpowiednio metrykȩ na T M i normȩ pochodz ace od metryki Sasakiego G. Z definicji (3.5) i oszacowania (3.7) oraz parametryzacji γ d lugości a luku otrzymujemy nierówność ( γ ) 2 = π γ 2 + K γ 2 = γ 2 + γ γ 2 1 + b 2, która wraz z (3.8) implikuje oszacowanie (3.9) D( γ m (t), γ m (s)) 1 + b 2 t s. Tym samym funkcje γ m, m N s a jednakowo jedostajnie ci ag le. Na mocy twierdzenia Arzeli Ascoliego istnieje podci ag tego ci agu (bȩdziemy go nadal oznaczać ( γ m )) zbieżny jednostajnie do krzywej ciag lej Γ 0 : [ 1, 1] T 1 B. Oznaczmy przez γ 0 rzut Γ 0 na M. Wówczas ci ag krzywych γ m = π γ m jest zbieżny jednostajnie do krzywej γ 0 klasy C 1 w przestrzeni M. Z istnienia granicy (3.6) wynika, że γ 0 (0) = x B, a ponieważ ca ly obraz krzywej γ 0 zawiera siȩ w B, wiȩc γ 0 osi aga dla t = 0 lokalne maksimum odleg lości od punktu q. Wybieraj ac zgodnie z lematem 3.4 punkt p / γ 0 ([ 1, 1]) możemy za lożyć, że funkcja φ 0 odleg lości punktów krzywej γ 0 od p jest klasy C 1 i osi aga lokalne maksimum w laściwe w punkcie 0. Jednostajna zbieżność γ m γ 0 gwarantuje jednostajn a zbieżność ci agu funkcji φ m = d(γ m (.), p) do φ 0, a wraz ze zbieżności a γ m Γ 0 także punktow a zbieżność ci agu φ m do φ 0. S a zatem spe lnione za lożenia lematu 3.8 sk ad wynika, że dla pewnego m krzywa γ m osi aga lokalne maksimum odleg lości od punktu p. Zatem krzywa γ w przedziale [t m 1, t m + 1] także przyjmuje lokalne maksimum odleg lości od p. W nastȩpnym stwierdzeniu pokażemy, jakie s a konsekwencje posiadania przez krzyw a lokalnego maksimum odleg lości t

FOLIACJE HADAMARDA 27 3.9. Stwierdzenie. Jeżeli krzywa g ladka γ : ( ε, ε) H n a przyjmuje w punkcie 0 lokalne maksimum odleg lości od pewnego punktu rozmaitości H n a, to krzywizna geodezyjna krzywej γ w zerze jest nie mniejsza niż a. Dowód stwierdzenia poprzedzimy lematem pochodz acym z ksi ażki [C2]. 3.10. Lemat. Na rozmaitości H n a pole Jacobiego J wzd luż geodezyjnej normalnej c : [0, l] M spe lniaj ace warunki J(0) = 0, J(l) = v, gdzie v = 1 i v, ċ(l) = 0, wyraża siȩ wzorem (3.10) J(t) = sinh at sinh al E(t), w którym E oznacza jednostkowe pole równoleg le wzd luż c takie, że E(l) = v. Dowód stwierdzenia 3.9. Za lóżmy, że krzywa γ jest sparametryzowana d lugości a luku oraz niech w punkcie 0 przyjmuje lokalne maksimum odleg lości od punktu q M, równe l. Oznaczmy przez c jedyn a geodezyjn a l acz ac a punkty q i γ(0), określon a na odcinku [0, l] (wynika st ad, że jest ona sparametryzowana d lugości a luku). Rozważmy wariacjȩ V : [0, l] ( ε, ε) M geodezyjnej c dan a wzorem V (s, t) = c t (s) dla s [0, l], t ( ε, ε), gdzie c t oznacza jedyn a geodezyjn a określon a na odcinku [0, l] l acz ac a punkty p i γ(t). Wśród krzywych wariacji V krzywa c = c 0 ma maksymaln a d lugość, zatem jeżeli oznaczymy przez L(t) d lugość krzywej c t, to wówczas (3.11) L (0) = 0 oraz L (0) 0. Wykorzystamy wzory na pierwsz a i drug a wariacjȩ d lugości luku z ksi ażki [GKM]. Oznaczaj ac przez Y obciȩcie pola V D 2 wariacji V do krzywej c i stosuj ac wzór na pierwsz a wariacjȩ d lugości luku otrzymujemy z (3.11), że 0 = L (0) = g(y, ċ) l 0. Punktem pocz atkowym każdej z krzywych c t jest p, wiȩc Y (0) = 0 sk ad, i z powyższego, g(y (l), ċ(l)) = 0. Ponieważ iloczyn skalarny pola Jacobiego przez wektor styczny do geodezyjnej, wzd luż której jest określone, jest liniow a funkcj a parametru geodezyjnej, zatem g(y, ċ) = 0 wzd luż ca lej krzywej c. W zwi azku z tym we wzorze na drug a wariacjȩ d lugości krzywej pole Ỹ = Y g(y, ċ)ċ wzd luż c staje siȩ polem Y i wzór ten przyjmuje postać (3.12) L (0) = l 0 (g(y, Y ) g(r(y, ċ)ċ, Y )) t dt + g( Y Y, ċ) l ( oznacza różniczkowanie po parametrze wzd luż krzywej c). W drugim sk ladniku granicȩ doln a 0 można pomin ać, bo Y (0) = 0. Wartość pola V D 2 w punkcie (l, t) pokrywa siȩ z wektorem γ(t), sk ad widać, że (3.13) Y Y l = γ γ 0.

28 MACIEJ CZARNECKI Korzystaj ac z warunku (3.11), faktu że krzywizna sekcyjna na H n a jest stale równa a 2 i ortogonalności wektorów Y i ċ otrzymujemy ze wzoru (3.12) oszacowanie (3.14) l l ( Y 2 g(r(y, ċ)ċ, Y )) t dt L (0) ( Y 2 g(r(y, ċ)ċ, Y ) t ) t dt 0 = = = 0 l 0 ( Y 2 K(Y, ċ)( ċ 2 Y 2 g(y, ċ) 2 )) t dt l 0 l 0 ( Y 2 K(Y, ċ) Y 2 ) t dt ( Y 2 + a 2 Y 2 ) t dt. Z zależności (3.13) i nierówności Schwarza latwo można oszacować z do lu krzywiznȩ geodezyjn a krzywej γ w 0 k g (γ)(0) = γ γ 0 = Y Y l = Y Y l ċ(l) g( Y Y, ċ) l, co w po l aczeniu z (3.12) i (3.14) daje nierówność (3.15) k g (γ)(0) l 0 ( Y 2 + a 2 Y 2 ) t dt. Podstawiaj ac w za lożeniach lematu 3.10 J = Y i v = γ(0) otrzymujemy ze wzoru (3.10), że sinh at Y (t) = sinh al E(t) i Y a cosh at (t) = sinh al E(t), gdzie E jest jednostkowym polem równoleg lym. Wynika st ad, że funkcja podca lkowa w (3.15) ma postać a 2 sinh 2 al (sinh2 at + cosh 2 at) = sinh 2 cosh 2at, al co z kolei po obliczeniu ca lki wraz z nierówności a (3.15) daje oszacowanie krzywizny geodezyjnej krzywej γ a sinh 2al (3.16) k g (γ)(0) sinh 2 = a e2al e 2al al e 2al + e 2al + 2 Zgodnie z lematem 3.4 punkt q można zast apić punktem p oddalonym od punktu γ(0) dowolne l > l bez utraty lokalnego maksimum. Zatem w nierówności (3.16) możliwe jest przejście graniczne l i teza wynika z faktu, że granic a prawej strony jest a. 3.11. Wniosek. Każda krzywa zamkniȩta w przestrzeni H n a ma w pewnym punkcie krzywiznȩ geodezyjn a nie mniejsz a niż a. Nierówność (3.15) możemy otrzymać zak ladaj ac tylko, że w za lożeniach stwierdzenia 3.9 wystȩpuje rozmaitość Hadamarda o krzywiźnie ograniczonej z góry przez a 2. Mimo, że stwierdzenie 3.9 zachodzi przy dowolnej sta lej ujemnej krzywiźnie, standardowe oszacowania dla pól Jacobiego (na przyk lad z ksi ażki [Ba]) s a zbyt s labe, aby, nawet przy za lożeniu b 2 K a 2, udowodnić analogon stwierdzenia 3.9. Stwierdzenie 3.9 bȩdziemy wielokrotnie stosować jako warunek dostateczny posiadania dużej krzywizny. a2