MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

Transkrypt

1 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ dyskretn a jako ga l aź matematyki zajmuj ac a siȩ zbiorami skończonymi i przeliczalnymi oraz ich w lasnościami. To drugie kryterium zdaje siȩ być trafniejszym. Wyjaśnia przede wszystkim ogromny wzrost zainteresowania i rozwój matematyki dyskretnej w ostatnich latach. Inna sprawa, że te same narzȩdzia matematyczne, które s luża informatykowi do analizy algorytmów mog a byc przydatne również w innych dziedzinach nauki i życia. Wystarczy uświadomić sobie, że przepis kulinarny też jest algorytmem. Kurs matematyki dyskretnej przyda siȩ zapewne nie tylko przysz lemu informatykowi ale również studentowi chemii, zarzadzania czy nawet psychologii. Zacznijmy nasz kurs od przypomnienia pewnych podstawowych pojȩć matematycznych, których znajomość jest niezbȩdna dla dobrego zrozumienia dalszej treści wyk ladu. A. Pojȩcia wstȩpne Pojȩcie zbioru Na pocz atek przypomnijmy sobie kilka elementarnych pojȩć matematycznych. stu- Przez uniwersum bȩdziemy rozumieć zbiór wszystkich rozważanych obiektów (np. dentów Politechniki) Drugie kryterium mowi, że pod pojȩciem matematyka dyskretna kryje siȩ zbiór narzȩdzi matematycznych wykorzystywanych w informatyce do projektowania i analizy algorytmów komputerowych. Matematyka dyskretna bywa nazywana matematycznymi podstawami informatyki. Zbiór jest pojȩciem definiowanym przez jednoargumentow a relacjȩ przynależności. Sk lada siȩ z wszystkich elementów uniwersum, które do niego należ a. Czȩsto zbiór jest wyznaczany przez pewn a w lasność obiektów uniwersum i sk lada siȩ z tych elementów, które posiadaj a dan a w lasność. Niech U- uniwersum czyli zbiór wszystkich rozważanych obiektów (np. studentów Politechniki). Dla zbioru A z lożonego z elementów o w lasności α mówimy, że x należy do zbioru A wtedy i tylko wtedy gdy x należy do uniwersum A i posiada w lasność α. Zapisujemy to nastȩpuj aco: x A x U oraz α(x). Na przyk lad zbiór A sk lada siȩ ze studentów Politechniki, którzy uczȩszcz aj a na Wyk lad z Matematyki Dyskretnej. Zbiór ten jest wtedy definiowany przez relacjȩ uczȩszczania na ten wyk lad.

2 Elementy zbioru wypisuje siȩ pomiȩdzy nawiasami klamrowymi: { i } np. A = {Jaś, Staś, Grześ}. Zbiór pusty jest to zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Oznaczamy go:. Zbiór liczb naturalnych: N = {1, 2, 3,..., n,...} Czasami używa siȩ zbioru liczb naturalnych, który zawiera równiez 0. Dzia lania na zbiorach Niech A, B bȩd a dwoma zbiorami. Przypomnijmy sobie definicje podstawowych dzia lań na zbiorach. Mówimy że zbiór A zawiera siȩ w zbiorze B (jest podzbiorem zbioru B) jeśli każdy element zbioru A należy równieżdo zbioru B, to znaczy dla każdego a A zachodzi: x A x B. Zapisujemy: A B. Mówimy, że A = B wtedy i tylko wtedy gdy A B oraz B A. W przeciwnym przypadku A B. Jeżeli A B oraz A B, to A B. Mówimy, że zbiór A jest w laściwym podzbiorem zbioru B jeśli A B oraz A. Sum a zbiorów A, B nazywamy zbiór z lożony z tych elementów uniwersum, które należ a do zbioru A lub do zbioru B. Zapisujemy: A B := {x : x A x B} Iloczynem (czȩści a wspóln a) zbiorów A, B nazywamy zbiór z lożony z tych elementów uniwersum, które należ a do zbioru A i do zbioru B. Zapisujemy: A B := {x : x A x B} Różnic a zbiorów A, B nazywamy zbiór z lo żony z tych elementów uniwersum, które należ a do zbioru A i nie należ a do zbioru B. Zapisujemy: A \ B := {x : x A x B} Par a nieuporz adkowan a nazywamy zbiór z lożony z dwóch elementów a, b. W parze nieuporz adkowanej kolejność nie jest ważna. Zapisujemy: {a, b} Uwaga: {a, b} = {b, a} - jest to ta sama para nieuporz adkowana Par a uporz adkowan a nazywamy ci ag z lożony z dwóch elementów a, b. W parze uporz adkowanej kolejność jest ważna. Zapisujemy: (a, b) Uwaga: (a, b) (b, a) - s a to dwie różne pary uporz adkowane Iloczynem kartezjańskim zbiorów A, B nazywamy zbiór wszystkich par uporz adowanych, w których pierwszy element pochodzi ze zbioru A a drugi ze zbioru B. Zapisujemy: A B := {(a, b) : a A, b B} 2

3 3 Pojȩcie relacji Relacj a dwuargumentow a na zbiorze X Y nazywamy dowolny podzbiór R zbioru X Y. Relacj a dwuargumentow a w zbiorze X nazywamy dowolny podzbiór R zbioru X X. Mówimy, że para (x, y) należy do relacji R i piszemy (x, y) R lub, że x jest w relacji R z y i piszemy xry. Uwaga: Relacja sk lada siȩ z par uporz adkowanych zatem jeśli x jest w relacji R z y, to y nie musi być w relacji R z x. Relacjȩ R, w której xry yrx dla dowolnych x, y nazywamy symetryczn a. Funkcje i ich w lasności Funkcj a nazywamy relacjȩ f X Y tak a, że: dla każdego x X istnieje dok ladnie jeden y Y taki, że x jest w relacji f z y. Piszemy y = f(x) i mówimy, że y jest wartości a funkcji f dla argumentu x. Zbiór X nazywamy dziedzin a funkcji f a zbiór Y przeciwdziedzin a funkcji f a funkcja f dzia la ze zbioru X w zbiór Y co zapisujemy f : X Y. Funkcja f : X Y jest różnowartościowa (mówimy, że f jest iniekcj a i piszemy w skrócie, że f jest 1-1 ) wtedy i tylko wtedy gdy każdym dwóm różnym elementom x 1, x 2 zbioru X odpowiadaj a dwie różne wartości f(x 1 ), f(x 2 ) funkcji f. Funkcja f : X Y jest surjekcj a ( na ) wtedy i tylko wtedy gdy każdemu elementowi y zbioru Y odpowiada element x zbioru X taki, że y jest wartości a funkcji f dla argumentu x czyli krótko pisz ac: y = f(x) Funkcja f jest bijekcj a jeśli jest iniekcj a i surjekcj a (to znaczy jeśli jest 1-1 i na ). Uwaga: Latwo zauważyć, że funkcja f : X Y jest bijekcj a wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego y Y istnieje dok ladnie jeden x X taki, że y = f(x) Funkcj a odwrotn a do funkcji f : X Y nazywamy funkcjȩ f 1 tak a, że dla każdego x X oraz y Y : y = f(x) x = f 1 (y) Uwaga: Funkcja odwrotna do funkcji f istnieje wtedy i tylko wtedy gdy f jest róznowartościowa (jest iniekcj a). Spróbujmy omówić wprowadzone w tym rozdziale rodzaje i w lasności funkcji na pewnym intuicyjnym przyk ladzie. Przyk lad Niech X bȩdzie zbiorem dziewczynek a Y zbiorem ch lopców, np. X = { Zosia, Gosia, Kasia }, Y = { Jaś, Staś, Grześ }. Jak wiadomo dziewczynki s a porz adne i każda wybiera sobie dok ladnie jednego ch lopca. Przyk ladowo zdefiniujmy przekszta lcenie f nastȩpuj aco: f(zosia) = Staś, f(gosia) = Jaś, f(kasia) = Jaś.

4 Takie przyporz adkowanie zbiorowi X zbioru Y jest oczywiście funkcj a. Jeżeli dziewczynki s a solidarne i każda wybierze innego ch lopca to otrzymany funkcjȩ różnowartościow a. Jeżeli każdy ch lopiec zostanie wybrany przez co najmniej jedn a dziewczynkȩ, to otrzymamy funkcjȩ na. Stworzone poprzednio przekszta lcenie f nie jest ani różnowartościowe (bo Gosia i Kasia wybieraj a tego samego ch lopca) ani na (bo Grzesia nie wybra la żadna dziewczynka). Jeżeli każda dziewczynka wybierze innego ch lopca i każdy ch lopiec zostanie wybrany przez inn a dziewczynkȩ, to otrzymamy funkcjȩ, która jest bijekcj a. Przyk ladowo, bijekcj a jest nastȩpuj ace przyporz adkowanie g ch lopców dziewczynkom: g(zosia) = Staś, g(gosia) = Jaś, g(kasia) = Grześ. Widać z tego przyk ladu, że stworzenie bijekcji pomiȩdzy dwoma zbiorami jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy maj a one tyle samo elementów (aby da lo siȩ stworzyć bijekcjȩ ch lopców i dziewczynek musi być tyle samo). Funkcja odwrotna do danej bȩdzie definiowana przez taki wybór dziewczynek przez ch lopców, przy którym każdy z nich wybiera t a dziewczynkȩ, która go wybra la ( czyli jak w życiu - dziewczynki wybieraj a a ch lopcom siȩ tylko wydaje, że to oni :) ) Funkcja odwrotna do bijekcji g wygl ada nastȩpuj aco g 1 (Staś) = Zosia, g 1 (Jaś) = Gosia, g 1 (Grześ) = Kasia. 4 Ci agiem o elementach ze zbioru X nazywamy dowoln a funkcjȩ a : N X. Ci agiem różnowartościowym o elementach ze zbioru X nazywamy dowoln a funkcjȩ różnowartościow a (iniekcjȩ) a : N X. Zauważmy, że ci ag różnowartościowy to po prostu ci ag, w którym żaden element zbioru X siȩ nie powtarza. Ci agiem liczbowym nazywamy dowoln a funkcjȩ a : N R. n-tym wyrazem ci agu a nazywamy wartość a dla argumentu n, n N i piszemy a(n) albo a n. Bȩdziemy u żywać tego drugiego zapisu. Ci ag o n-tym wyrazie a n oznaczamy przez (a n ). Wypisuj ac wyrazy ci agu ograniczamy je nawiasami otwrtymi ( i ). Czyli (a n ) = (a 0, a 1, a 2,..., a n,...). Uwaga: W ci agu kolejność jest istotna. W zbiorze kolejność nie jest istotna. Funkcja f : X Y jest rosn aca wtedy i tylko wtedy gdy dla dla dowolnych x 1, x 2 X: x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) Funkcja f : X Y jest malej aca wtedy i tylko wtedy gdy dla dla dowolnych x 1, x 2 X: x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) Funkcja f : X Y jest niemalej aca wtedy i tylko wtedy gdy dla dla dowolnych x 1, x 2 X: x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 )

5 Funkcja f : X Y jest nierosn aca wtedy i tylko wtedy gdy dla dla dowolnych x 1, x 2 X: x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) 5 Moc zbioru Moc a zbioru A (liczności a zbioru A) nazywamy liczbȩ elementów zbioru A i oznaczmy przez A. Zbiór skończony to zbiór, którego wszystkie elementy można wypisać. Latwo zauważyć, że liczbȩ elementów zbioru skończonego można określic a wiȩc ka żdy zbiór skończony ma moc dan a pewn a liczb a naturaln a. Dowolny zbiór o liczności n, n N nazywamy zbiorem n-elementowym. Zbiór, który nie jest skończony jest nieskończony. Dwa zbiory A, B s a równoliczne (to znaczy A = B ) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje bijekcja f : A B pomiȩdzy nimi. Latwo uświadomić sobie prawdziwość tego faktu wracaj ac myślami do przyk ladu z ch lopcami i dziewczynkami. Wykazanie, że dwa zbiory s a równoliczne może wiȩc sprowadzić siȩ do obliczenia i porównania mocy obu zbiorów albo do znalezienia bijekcji pomiȩdzy nimi. Ten drugi sposób (ponieważ nie wymaga określenia mocy tych zbiorów) jest używany do wykazywania, że dwa zbiory nieskończone s a równoliczne. Zbiór A nazywamy przeliczalnym jeśli jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Elementy każdego zbioru przeliczalnego można ustawić w ci ag różnowartościowy (to znaczy po prostu ponumerować liczbami naturalnymi).