Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Z definicji wyprowadź wzory na pocodne funkcji. Przypominam definicję pocodnej f (x) f (x) lim f(x + ) f(x) przy czym, aby pocodna istniała, ta granica musi być skończona i taka sama niezależnie od tego czy dąży do zera od strony lewej czy prawej, tzn. taka sama dla ujemnyc i dodatnic. f(x) x 3x + 5 Z definicji: f (x + ) 3(x + ) + 5 (x 3x + 5) (x) lim Wymnażamy nawiasy i skracamy, co się da lim x + x + 3x 3 + 5 x + 3x 5 lim x + 3 Na końcu dzielimy przez i mamy wynik. Zauważmy, że nie zależy on od znaku, więc istnieją obustronna granice i są one sobie równe. lim (x + 3) x 3 f(x) x 3. Liczymy jak poprzednio. f (x) lim (x + ) 3 x 3 lim x 3 + 3x + 3x + 3 x 3 Skracamy co się da, skracamy. Wynik też nie zależy od znaku. lim (3x + 3x) 3x Zadanie. Ustal wzór pocodnej f(x) x x Funkcje zawierające wartość bezwzględną najczęściej nie są różniczkowalne gdy x przecodzi przez wartość krytyczną, tutaj ta wartość to x. Możemy zapisać wzór f(x) w taki sposób: (x )x x 3 + x dla x < f(x) (x )x 0 dla x (x )x x 3 x dla x > W punkcie x pocodna z lewej strony f (x) 3x + x i przyjmuje wartość f ( ). Z prawej strony f ( + ) 3x x, więc w punkcie x pocodna nie istnieje. Wzór na pocodną ma postać: 3x + x dla x < f (x) dla x nie istnieje 3x x dla x >
Zadanie 3. Dobierz a, b aby f(x) była różniczkowalna dla każdego x Liczymy pocodne: f(x) f (x) ax 3 + bx + dla x < ax + bx dla x > 3ax + bx dla x < ax + b dla x > Punktem krytycznym jest x. Aby f(x) była różniczkowalna muszą być spełnione dwa warunki: funkcja ma być ciągła w x pocodna funkcji ma być ciągła w x. Oznacza to, że zarówno wartości funkcji jak i pocodnej mają być jednakowe z obu definicji po obu stronac punktu x. Podstawiamy x do obu definicji (dla x < liczymy lewostronną granicę używając górnyc definicji f(x) i jej pocodnej). Daje to równania: a 3 + b + a + b 3a + b a + b zatem a + b + a + b 3a + b a + b Rozwiązanie tego ukladu równań daje a, b UWAGA: Zrobiłem sobie wykresy f(x) według wzorów podanyc w zadaniu (spróbuj!). Faktycznie ic styczne pokrywają się dla x. Ale wykresy pocodnyc jedynie przecinają się w tym punkcie, ale styczne się nie pokrywają. Dlatego tak zdefiniowana f(x) nie ma drugiej pocodnej w x. To tak celem intuicyjnego wyjaśnienia - może się przyda. Zadanie. Oblicz pocodne. No, to jest upierdliwe! Miej proszę pod ręką wzory na pocodne iloczynu, ilorazu, funkcji złożonej itp. Jak się tu nie pomylę to cud się stanie (coć sprawdzam wyniki programem, coś jednak mogę źle przepisać), Jeśli ccesz, abym którąś pocodną specjalnie udowodnił, to proszę pisz na priv, albo zamieść oddzielnie ten problem. Do pocodnyc typu ctg (x) używam tablic pocodnyc, nie wiem, czy wolno?? (a) y 3x3 + x x 3 x x Przekształcamy całe wyrażenie do ułamkowyc potęg x (mianownik: / x x / ) y 3x 3 / + x +/ / x /3 / 3x / + x 5/ x 5/ Liczymy pocodną ze wzoru (x n ) nx n (b) y (x + x) ctg x y 33 x7/ + 5 x/ 5 x 7/ To jest iloczyn dwóc funkcji - tej w nawiasie i kotangensa. Pocodna ctg (x) / sin x y (x + x) ctg x + (x + x) (ctg x) ciąg dalszy na następnej stronie ( x x ) ctg x (x + x) sin x
ciąg dalszy zadania. (c) y x x Zamieniamy x na e ln x i traktujemy jako funkcję złożoną, poza tym jest to iloczyn dwóc funkcji y (x ) x + x ( x ) x 3 x + x (e ln x ) x 3 x + x x ln (d) y x x + y (x ) (x + ) (x ) (x + ) (x + ) (x + ) (e) y (x + ) ln(x + ) Iloczyn funkcji. Pocodna logarytmu to /x. (f) y ln x x (g) y x 3 tg(x) y (x + ) ln x + (x + ) (ln x) ln x + x + x y x x ( ) x x x x (x ) x (x ) x(x ) Iloczyn funkcji, tg(x) to funkcja złożona, pocodna (tg(x)) / cos x y (x 3 ) tg(x) + x 3 (tg(x)) 3x tg(x) + x3 cos (x) () y sin x + sin 3 x y sin x cos x + 3 sin x cos x sin x cos x( + 3 sin x) (i) y xe 3x y x e 3x + x ( e 3x) e 3x + x 3e 3x e 3x ( + 3x) (j) e x + e x e x e x Ta funkcja to kotangens iperboliczny i przez analogię do zwykłego kotangensa powinno wyjść / sin x. Zobaczmy: y (ctg x) (ex + e x ) (e x e x ) (e x + e x ) (e x e x ) (e x e x ) (ex e x ) (e x e x ) (e x + e x ) (e x + e x ) (ex ) e x e x + (e x ) (e x ) e x e x (e x ) (e x e x ) (e x e x ) ciąg dalszy na następnej stronie ( ) (e x e x ) e x e x sin x
ciąg dalszy zadania. (k) (x + 3x cos x) 5 y 5(x + 3x cos x) (x + 3 + sin x) (l) e sin x y cos x e sin x Zadanie 5. Napisz równanie stycznej do wykresu f(x) w podanym punkcie (a) f(x) ln x w x 0 Styczna ma równanie y ax+b. Współczynnik a znajdujemy licząc pocodną f(x) w punkcie x 0, współczynnik b znajdujemy z warunku, że y ma być równe f(x) w punkcie x 0. Liczymy pocodną w punkcie x 0 f (x) x zatem f (x 0 ) x 0 Nacylenie stycznej y ax + b wynosi a w punkcie x 0. Dobieramy współczynnik b: ln(x 0 ) ln() 0 x 0 + b zatem 0 + b zatem b Szukane równanie stycznej to y x. (b) f(x) sin x w x 0 π Pocodna w punkcie x 0 f (x) cos(x) zatem f ( π ) ( ) π cos Nacylenie prostej a /. Warunek zszycia do obliczenia b: ( ) π f(x 0 ) sin x 0 + b zatem π + b zatem b 8 ( π ) Szukane równanie stycznej to y ( x + π ). Zadanie 6 jest na następnej stronie aby było w całości
Zadanie 6. Napisz równanie siecznej funkcji f(x) x łączącej punkty gdzie x, x 6. Napisz równanie stycznej do f(x) równoległej do tej siecznej. Wyznaczamy równanie siecznej, czyli prostej y ax + b przecodzącej przez punkty (, f()) i (6, f(6)). Wstawiamy wartości x do wzoru funkcji: f() 0 oraz f(6) 6. Sieczna ma więc przecodzić przez punkty (,0) i (6,). Podstawiamy te punkty do wzoru prostej: 0 a + b zatem a a 6 + b, b Sieczna ma wzór: y x. Szukamy stycznej równoległej do siecznej. Z warunku równoległości wynika, że współczynnik przy x w równaniu stycznej ma wynosić /, czyli styczna ma wzór: y x/ + c. Najpierw znajdujemy punkt x 0 w którym pocodna f(x) ma wartość / f (x) x zatem x 0 zatem x 0 3 W punkcie x 0 3 funkcja ma wartość f(3), Styczna ma więc przecodzić przez punkt (3,), czyli: Równanie stycznej ma postać: y x. 3 + c zatem c Zadanie 7. Od razu piszę, że na tyc kosztac się nie znam. Pocodna podanej funkcji f(x) wynosi f (x) 0,03x + 5 Co z tym robić dalej - nie mam pojęcia. W razie pytań albo jak się pomyliłem pisz proszę na priv.