Lisa pierwsza Równania różniczkowe zwczajne A Lis zadań..zpewnejsubsancjiradioakwnejpoupłwie4lazosało20gram,apoupłwiedalszch4lalko 4 gram. Wznaczć masę subsancji w chwili począkowej. b) Polon-20 ma okres połowicznego zaniku równ 40 dni. Znaleźć masę ego pierwiaska po 00 dniach, jeżeli jego masa począkowa wnosiła 200 g. c) Okres połowicznego zaniku pewnego pierwiaska promieniowórczego jes równ 00 la. Ile procen mas począkowej ego pierwiaska pozosanie po i) 0, ii) 50, iii) 200 laach?.2. Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch na zadanch przedziałach: ()= sin, +=cos,(0, ); b)()= 2, +=3 2, R; c)()= + 2, +2 2 =0, R; d)()= 4 2, =, ( 2,2)..3. Sprawdzić, że dla każdego C R podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch, a nasępnie znaleźć rozwiązania spełniające zadane warunki począkowe: ()=+C, =, (0)=0; b)()=ce, =, ()= ; c)()=ce 2 + 3 e, +2=e, (0)=; d)()=+c 2 +, = + 2 +, (0)=0..4. Scałkować podane równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch: +4=0; b)d=2 2 d; c) ( 2 ) d+ ( 2 ) d=0; d)2 = 2 ; e) =+++; f) +4= ( e +4 )..5.Dokonaćanalizrozwiązańrównaniaróżniczkowego =kwzależnościodrzeczwisegoparameruk. Naszkicować krzwe całkowe ego równania. Lisa druga.6.wznaczćrozwiązanierównaniaróżniczkowego ( + 2) =+ 2 zzadanmiwarunkamipocząkowmi: ()= ; b)()=. Podać przedział, na kórch są one określone..7. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch o rozdzielonch zmiennch: ( π sin=ln, =e; b) 2) 2 d+ 2 d=0, (0)=; c)(+) =, (e)=; d)cosd ( + 2) d=0, (0)=; e) = 2( + 2), (0)= 2; f)e ( )=, (0)=0..8. Scałkować podane równania różniczkowe jednorodne: = 2 2 +; b)( )d+d=0; c) =(ln ln); d) =g ; e)( 2 2) d+d=0; f) 2 =+ 2.
.9. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań rózniczkowch jednorodnch oraz wznaczć przedział, na kórch są one określone: ( 2 + 2) d 2d=0,()= 2; b) =+ 2,()=0; c) = 42 2,()=; 2 d) ( 3 3) d 2 d=0,()=3..0. Znaleźć krzwe, dla kórch rójką OSY (rsunek) uworzon przez oś O, sczną i wekor wodząc punku sczności jes równoramienn(o podsawie OY). Y S =() O Lisa rzecia.. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: +=sin; b) +2=e 2 ; c) 2= 3 cos; d) 2=4 4 ; e)+e =0; f)(2+) =4+2..2.Załóżm,żeψ()jesrozwiązaniemrównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnego(LN) + p()=q(),afunkcjaϕ() 0rozwiązaniemczęścijednorodnejegorównania(LJ) +p()=0,gdzie funkcje p(), q() są ciągłe na przedziale(a, b). Pokazać, że każde rozwiązanie () równania niejednorodnego można przedsawić w posaci () = Cϕ() + ψ(), gdzie C jes odpowiednio dobraną sałą. rzeczwisą. b) Załóżm, że funkcje η(), ψ() są różnmi(η() ψ()) rozwiązaniami równania różniczkowego liniowego niejednorodnego(ln). Pokazać, że każde rozwiązanie () równania niejednorodnego ma posać () = C(η() ψ())+η(),gdziecjesodpowiedniodobranąsałą..3. Wznaczć rozwiązania podanch zagadnień począkowch dla równań liniowch niejednorodnch oraz podać przedział, na kórch są one określone: =,(3)=3; b) =(+)sin, ( 0 )= 0 ; ( π c) +=+,()=0; d) sincos=+sin 3, =0. 4).4.Dlarównanialiniowegoniejednorodnego +p=q(),gdziep Rwznaczćrozwiązanieϕ()w podanej posaci, jeżeli: p=4, q()= 2, ϕ()=a 2 +B+C; b)p=, q()= 4, ϕ()=a 4 +B 3 +C 2 +D+E; c)p= 3, q()=4 2 e, ϕ()= ( A 2 +B+C ) e ; d)p=, q()=e, ϕ()=(a+b)e ; e)p=2, q()=cos3, ϕ()=asin3+bcos3; f)p= 2, q()=2sin 2 cos 2, ϕ()=asin 2 +Bcos 2..5.Znaleźćrozwiązanierównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnego 2 += ( 2 + ) e spełniające warunek lim ()=. *.6. Znaleźć równanie krzwej przechodzącej przez punk(,), dla kórej pole rójkąa OST(rsunek) uworzonego przez oś O, sczną i wekor wodząc punku sczności jes sałe i równa się. 2
S O T =().7. Rozwiązać podane równania różniczkowe Bernoulliego: +2=2 2 ; b)3 2 2 3 = 3 ; c) ( + 2) =; d) 2= sin; e) + =,>0; f) = ( 2 e )..8. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch Bernoulliego oraz wznaczć przedział, na kórch są one określone: 2 +2= 3,>0 ()= ; b) += 2 ln, ()=; c) 2=2 e ln,()=0; d)2 ln+ =,(e)= e. Lisa czwara *.23. Wznaczć równania różniczkowe rodzin krzwch określonch podanmi równaniami: =C 3 ; b) 2 +4 2 =C; c) C=C ; d) 2 =2C 2 2. *.24. Znaleźć równania rodzin krzwch orogonalnch do podanch rodzin krzwch: =C 2 ; b) 2 + 2 =2C; c)= C ; d)2 =+C..25.Basenopojemności0000lirówzawiera000lirówczsejwod.Dobasenuwlewasięwodao skażeniu 50% z prędkością 20 lirów na minuę. Przez owór spusow ciecz wlewa się z prędkością 0 lirów na minuę. Wznaczć skażenie wod w chwili napełnienia zbiornika. b)whalioobjęości200m 3 powierzezawiera0.5%dwulenkuwęgla.wenlaorpodajewciąguminu 20m 3 powierzazawierającego0.04%co 2.Pojakimczasiesężeniedwulenkuwęglawhalizmniejszsię dwukronie? c) Zbiornik o pojemności 250 lirów napełnion jes 4% wodnm rozworem alkoholu. Po włączeniu pomp (=0)dozbiornikawlewasię20%wodnrozwóralkoholuzprędkością5l/min,apowsałamieszanina wlewa się dwa raz szbciej. Po ilu minuach ilość alkoholu w zbiorniku będzie największa?.26. Kulura licząca 500 bakerii rozwija się według wkładniczego prawa wzrosu ak, że po rzech godzinach osiąga san 8000 bakerii. Po jakim czasie populacja będzie liczła milion bakerii? b) Populacja pewnego gaunku rb rozwijająca się według wkładniczego prawa wzrosu podwoiła liczbę swoich osobnikówwciągu0la.poilulaachliczbarbporoisię? c) Populacja pewnego gaunku biologicznego, kórej rozwój opisan jes równaniem logiscznm liczła na począku 5 s. osobników. Po 0 dniach ich liczba wzrosła do 8 s. osobników, b po dosaecznie długim czasie usabilizować się na poziomie 5 s. osobników. Wznaczć czas, po kórm populacja podwoiła liczbę swoich osobników. 3
.27.Termomerzpokoju,wkórmwskazwał20 C,wsawiononazewnąrz,gdziepanował5 Cchłód. Pojednejminucienaermomerzebłojuż2 C.Pojakimczasieermomerbędziewskazwałemperaurę lkoo0%wższąniżfakczna? b)ciało,kóregoemperaurawnosi220 Cumieszczonowpomieszczeniuoemperaurze60 C.Po0minuach jegoemperauraobniżłasiędo40 C.Wmmomenciewłączonoklimazaor,kóreobniżająemperaurę ooczeniazszbkością Cnaminuę.JakabędzieemperauraTciałapominuachodchwiliuruchomienia klimazaorów?.28. W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo opornik o oporności R = 0[Ω], cewkę o indukcjności L=2[H]orazźródłonapięciasałegoE()=2[V].Wznaczćgranicznenaężenieprąduwobwodzie,gd.NaszkicowaćfunkcjęI()[A],jeżeliI(0)=0.2[A]. b)wobwodzieelekrcznmpołączonoszeregowoopornikooporzer=5[ω],cewkęoindukcjnościl=2.5 [H] oraz zewnęrzną siłę elekromoorczną E() = 0 sin [V]. Wznaczć naężenie prądu I()[A] w obwodzie, jeżelii(0)=0..29. Krzwa = () przechodzi przez począek układu współrzędnch i leż w górnej półpłaszczźnie. Każd prosoką ograniczon osiami układu współrzędnch i prosmi poprowadzonmi z dowolnego punku(, ()) krzwej prosopadłmi do nich krzwa () dzieli na dwie części. Pole zaware pod krzwą () jes dwa raz mniejsze niż pole nad krzwą. Wznaczć równanie ej krzwej. =() () O Lisa piąa.30. Wznaczć rozwiązania podanch równanań rzędu drugiego: 2 ( ) 2 =0; b) = 2 e ; c)2 =( ) 2 ; d) =2 +4 5..3. Rozwiązać(scałkować) podane równania różniczkowe: 3 +=0; b)2 3( ) 2 =4 2 ; c)( ) =2( ) 2 ; d*) + ( ) 2.32. Rozwiązać podane równania różniczkowe z zadanmi warunkami począkowmi: = +2,(2)=0, (2)=4; b) ( ) 2 = 2 ln,(0)=, (0)=; c)2 =3 2,( 2)=, ( 2)=; d) =2(+ ),()=0, ()=. =e ( ) 3..33.Znaleźćkrzwą=(),kóraprzechodziprzezpunk(0,)ijeswnimscznadoprosej+= orazspełniarównanieróżniczkowe +( ) 2 =..34. Wznaczć równanie ruchu spadającego swobodnie ciała o masie m z uwzględnieniem oporu powierza, kór jes wpros proporcjonaln do kwadrau prędkości spadania, ze współcznnikiem proporcjonalności k > 0. Przjąć,żeciałospadazwsokościs 0 przzerowejprędkościpocząkowej. b)cząseczkaomasiemporuszasiępoliniiprosej.niechx()oznaczaodległośćejcząseczkiwchwiliod usalonegocenrumnaprosej.wpunkciexcząseczkajesprzciąganaprzezcenrumzsiłąkx 3,gdziek>0. Wznaczćrównanieruchucząseczkiorazznaleźćjegorozwiązanie,jeżelirozpoczęłaonaruchwodległościx 0 od cenrum z zerową prędkością począkową. Obliczć czas, po kórm cząseczka osiągnie cenrum. 4
Lisa szósa 2.. Korzsając z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowch liniowch wznaczć przedział, na kórch podane zagadnienia począkowe mają jednoznaczne rozwiązania: ( 2 2 ) +(2 ) +=ln, ( ) =, ()=0; b)( 3) + +(ln )=0, ()=0, ()=. 2.2. Sprawdzić,żefunkcjeϕ()=e,ψ()=e 3 orazichdowolnakombinacjaliniowasąrozwiązaniami równania 2 3=0. 2.3.Danjesukładfundamenaln( (), 2 ())równanialiniowegojednorodnegoposaci +p() +q()= 0.Dlajakichparamerówα,β R,parafunkcji(u (),u 2 ())określonchwzorami jes również układem fundamenalnm ego równania? u ()=α ()+ 2 () u 2 ()= ()+β 2 () 2.4. Sprawdzić, że podane funkcje worzą na zadanch przedziałach układ fundamenalne wskazanch równań różniczkowch. Znaleźć rozwiązania ch równań z zadanmi warunkami począkowmi: ()=e, 2 ()=e 2, (, ), 2=0, (0)=, (0)= 5; b) ()=ln, 2 ()=, (0,e), 2 ( ln) + =0, ()=2, ()=; c) ()=, 2 ()=e, (,), ( ) +=0, (0)=0, (0)=; d) ()=, 2 ()= 2, (0, ), 2 2 +2=0, ()=3, ()=. 2.5.Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneposaci +p() +q()=0,kórchukład fundamenalne składają się z podanch funkcji: ()=sh, 2 =ch,gdzie R; b) ()=, 2 ()= 2,gdzie (0, ); c) ()= 7, 2 ()=,gdzie (0, ). 2.6. Do każdego z podanch równań różniczkowch wskazano jedno jego rozwiązanie. Wkorzsując meodę obniżania rzędu równania znaleźć rozwiązania ogólne ch równań różniczkowch: 5 +6=0, ϕ()=e 3 ; b) +4=0, ϕ()=cos2; c) 2 3=0, ϕ()= ; d)( ) (+) +2=0, ϕ()=e ; e) 2 +(2 )=0, ϕ()=e ; f) 2 + 4 =0, ϕ()=. 2.7. Wznaczć e warości parameru m R, dla kórch wskazana funkcja będzie rozwiązaniem podanego równania, a nasepnie scałkować e równania: ϕ()=e m,(2+) +2(2 ) 8=0; b)ϕ()= m, 2 3 +4=0. * 2.8. Do każdego z podanch równań wskazano jedno jego rozwiązanie. Korzsając ze wzoru Liouville a wznaczć układ fundamenalne ch równań: 3 + =0, ()=; b) +2 +=0, ()= sin. Lisa siódma 2.9. Napisać równania charakersczne podanch równań różniczkowch: 2 +=0; b) 3=0; c)4 + =0; d)2 3 +4=0. 5
2.0.Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneosałchwspółcznnikachposaci +p +q=0, jeżeli podane są pierwiaski ich wielomianów charakerscznch: λ =+ 3i; b)λ =λ 2 = 2; c)λ =2,λ 2 =3; d)λ =i. 2..Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneosałchwspółcznnikachposaci +p +q=0, jeżeli podane funkcje wchodzą w skład ich układów fundamenalnch: cos2; b)e ; c)e 2,e α,gdzieα 2; d)e sin; e); f),e. 2.2. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe o sałch współcznnikach: 6 5 +=0; b) 2=0; c)4 4+=0; d) + + 4 =0; e) 4 +5=0; f) 2 +5=0; g) +6 +8=0; h)7 +4 3=0; i) 6 +9=0. 2.3. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: + 6=0, ( 0 ) ( π =, (0)=0; b) +9=0, =, 3) ( π ) =; 3 c) 2 +=0, ( ) =2, ()=3; d) 7 +2=0, ( 0 ) =3, (0)= 2. 2.4.Punkmaerialnomasiemporuszasiępoprosejłaczącejdwacenraijesprzciąganprzezniezsiłą wpros proporcjonalną do jego odległości od każdego z nich. Współcznnik proporcjonalności jes równ k > 0, a odległość międz cenrami wnosi 2b. Znaleźć równanie ruchu i rozwiązać je wiedząc, że w chwili począkowej ( 0 =0)punkznajdowałsięwodległościx 0 odśrodkaliniiłączącejobacenraimiałzerowąprędkość. 2.5. W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo cewkę o indukcjności L[H] oraz kondensaor o pojemności C[F]. Wznaczć naężenie prądu I[A] w m obwodzie jako funkcję czasu. Lisa ósma * 2.6. Wznaczć e warości parameru α R, dla kórch zagadnienie brzegowe ma niezerowe rozwiązanie. +α=0,(0)=(2π), (0)= (2π) 2.7. Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch liniowch niejednorodnch. Wznaczć rozwiązania ogólne ch równań lub zagadnień począkowch: +0 +25=4e 5, ϕ()=2 2 e 5 ; b) +4=sin2, ϕ()= 4 cos2; c) 2=4 2e, ϕ ( ) = 2+e, (0)=0, (0)=; ( 2 + 7 8 d) + 2= 2 e 4, ϕ()= 8 ) e 4, (0)= 655 324, (0)= 57 62. 2.8.Sprawdzić,żefunkcjaϕ()=2+ 5 e (sin+cos)jesrozwiązaniemrównaniaróżniczkowego +3 +2=4+2e cos. Znaleźć rozwiązanie, kóre spełnia warunek lim ()=2. 2.9.Zakładając,żepodanefunkcjesąrozwiązaniamirównanialiniowegoniejednorodnego +p() +q()= h(), wznaczć rozwiązanie ogólne ego równania lub rozwiązać zagadnienie począkowe: ϕ()=5e 2 sin, ψ()=(cos+5sin)e 2, η()=(+5)e 2 sin; b)ϕ()=cos+ 2 sin, ψ()=(+)cos+ 2 sin, η()=cos+ ( + 2) sin, (0)=, (0)=0. 6
2.20. Podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań liniowch niejednorodnch. Wznaczć rozwiązania ogólne ch równań: ϕ()= sin +, ψ()=, + 2 += ; b)ϕ()=, ψ()=sine +, +e 2 =e 2. Lisa dziewiąa 2.2. Wznaczć rozwiązania ogólne podanch równań liniowch niejednorodnch, jeżeli znane są układ fundamenalne odpowiadając im równań jednorodnch: 7 +0=e 3, ()=e 2, 2 ()=e 5 ; b) ( 3+2 2) 6(+) +6=6, ()= 3, 2 ()=+; c)( ) +=( ) 2 e, ()=, 2 ()=e ; d)(+) (2+) =e, ()=, 2 ()=e. 2.22. Korzsając z meod uzmienniania sałch rozwiązać podane równania różniczkowe: +4 +4=e 2 ; b) +4= cos2 ; c) = 42 + ; d) 2 g=; e) +3 +2= +e ; f) +3 +2=cos ( e ). 2.23. Korzsając z meod przewidwania podać posacie rozwiązań podanch równań różniczkowch: 4 4= 3 24; b) 7 =( ) 2 ; c) 8 +6=( )e 4 ; d) +3 =3; e) +25=cos5; f) +=sin cos. 2.24. Korzsając z meod współcznników nieoznaczonch(meoda przewidwani rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: +2 += 2; b) 4 +4= 2 ; c) +4 +4=8e 2 ; d) +3 =3e 3 ; e) +5 +6=0( )e 2 ; f) +4 4=8sin2. 2.25. Korzsając z wierdzenia o składaniu rozwiązań i meod współcznników nieoznaczonch(meoda przewidwani rozwiązać podane równania różniczkowe: 2=e +e 2 ; b) =+sin; c) 4 =2cos 2 4; d) 2=4 2e. 2.26. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: +=2( ), (0)=2, (0)= 2; b) 6 +9=9 2 2+2, (0)=, (0)=3; c) +6 +9=0sin, (0)=0, (0)=0; d) + =e, ( 0 ) =, (0)=. 2.27. W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo opornik o oporności R = 0[Ω], cewkę o indukcjności L=2.5[H]ikondensaoropojemnościC=0.08[F]orazzewnęrznąsiłęelekromoorcznąE()=00cos5 [V].WznaczćnaężenieprąduI()[A],jeżeliI(0)=0iQ(0)=0,gdzieQ()oznaczailośćładunkuna kondensaorze C w chwili. Lisa dziesiąa 3..DwasulirowezbiornikiZ iz 2,zkórchpierwszzawiera0%wodnrozwórsoli,adrugiczsą wodę, połączono dwiema rurkami umożliwiającmi przepłw ciecz międz nimi. Prz czm pierwszą rurą rozwór przepłwa w jedną sronę, a drugą odwronie. Przepłw e odbwają się z prędkością 2 lirów na minuę.określićilościsoliz ()iz 2 ()odpowiedniowzbiornikachz iz 2.Przjąć,żeprocesrozpuszczania 7
soli w obu zbiornikach jes nachmiasow. b)trzpełnezbiornikiz,z 2 iz 3 opojemnościachodpowiednio20,40i50lirówpołączonodwiemarurkami. RurkieumożliwiająprzepłwcieczzezbiornikaZ doz 2 orazzezbiornikaz 2 doz 3 zprędkością0l/min. ZbiornikZ zawiera75%wodnrozwórsoli,adwapozosałeczsąwodę.wznaczćilościsoliz (),z 2 (), z 3 ()odpowiedniowzbiornikachz,z 2,Z 3.Przjąć,żepierwszzbiornikzasilanjesczsąwodązprędkością 0 l/min, a z ą samą prędkością z osaniego wpłwa rozwór. Przjąć również, że proces rozpuszczania soli w zbiornikach jes nachmiasow. 3.2. Sprawdzić, że dla podanch układów równań różniczkowch wskazane ciągi funkcji są ich rozwiązaniami na zadanch przedziałach: =, ( 2 2=, (), 2 () ) ( ) = e 2 2,2e, R;, = 2 b) (, 2= + 2 ) + 2, c) = + 2, 2 = 2 2+ 2, ( (), 2 () ) =( 3 ) +3 3 2,2e 3 +3,(0, ); 3 2 ( (), 2 ())= ( C +C 2,2C 2 + C ), (0, ). 3.3. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: { { x =xln, x(0)=e 2, x = 5 =, (0)=e 2 b) 2 x 2, { x(0)=2, ; = 2 x+5 2, (0)= ; x = 3 c) 2 x+ 2, { x =x 3, x(0)=2, = d) 2 x+3 2, (0)=; = x(0)=, 2 x 2, (0)= 2. 3.4. Podane układ równań różniczkowch liniowch zapisać w posaci wekorowej: liniowch: { = + 2 2 ln, 2 = + b) =2 3 2 +e, = 2 +3 3, c) 2; 2= +e 2 ; = +2 3,. 3= 2 +. 3.5. Korzsając z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla układów równań różniczkowch liniowch wznaczć przedział, na kórch podane zagadnienia począkowe mają jednoznaczne rozwiązania: = + ( ) ( ) 2, 2= 2 +,, =, 2 =2; 2 2 { ( ) b) sin= 2 +sin, 3π 2cos= + 2 +cos,, = ( ) 3π 4 2, 2 = 4 3. 3.6. Korzsając z meod eliminacji rozwiązać podane układ równań różniczkowch liniowch ze wskazanmi warunkami począkowmi: [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ ] [ ] [ x 3 x x(0) 3 x 3 2 x x(0) =, = ; b) 5][ (0) ] =, = ; 4 7][ (0) 0] [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ x 2 x x(0) 0 x c) =, = ; d*) 2 5][ (0) ] ][ ] [ ] [ ] x x() = 2 3, = () 2+. 2 8
3.7. Sprawdzić, cz podane funkcje wekorowe worzą na zadanch przedziałach układ fundamenalne wskazanch układów równań różniczkowch liniowch: [ e ] [ 2e ] [ ] ()= 2e, 2 ()= 4e, =, R; 4 [ ] [ ] [ ] 0 b) ()= 2, 2 ()=, 0 =,(0, ); c) ()= d) ()= [ 3e 2 2e 2 ] [ [ ], 2 ()=, 2] = 2 2,(,0); e e 3, 2 ()= e, 3 ()= e 3, = 8 2 6 9 2, R. 0 6 6 2e 2 Lisa jedenasa e 3.8. Korzsając z poprzedniego zadania rozwiązać podane zagadnienia począkowe: [ ] [ =, (0)= ; b) 4 ] = 0 [ 0, ()= ; ] c) = 2 2, ( )= [ ] ; d) = 8 2 6 9 2, (0)= 2. 6 6 3 3.9. Subsancja chemiczna A rozpada się na dwa składniki P i Q. Prędkość powsawania każdego z ch składników jes proporcjonalna do ilości subsancji nierozłożonej. Znaleźć funkcje p() i q() określające odpowiednio ilościsubsancjipiqwchwili.przczmwiadomo,żewmomencierozpoczęciaprocesurozpadubłoa jednosek subsancji A, a po godzinie bło 0.375a jednosek składnika P i 0.25a jednosek składnika Q. 3.0. Prz pomoc meod Eulera wznaczć układ fundamenalne podanch układów równań różniczkowch =A,jeżeli: [ ] 3 4 A= ; b)a= 3 2 6 [ ] 5 2 2 ; c)a= ; d)a= 0 0 0. 2 5 3 2 4 0 3.. Korzsając z meod Eulera dla różnch rzeczwisch warości własnch rozwiązać układ równań =A lubzagadnieniepocząkowe =A, (0)= 0,jeżeli: A= [ ] 2 ; b)a= 3 2 [ ] 8 ; c)a= 2 2 ; d)a= 2 [ ] [, 24 0 = 3.2.KorzsajączmeodEuleradlaróżnchzespolonchwarościwłasnchrozwiązaćukładrównań =A lubzagadnieniepocząkowe =A, (0)= 0,jeżeli: [ ] [ ] 02 7 A= ; b)a= ; 20 2 5 [ ] [ ] [ ] [ ] 0 6 2 c)a=, 2 2 0 = ; d)a=, 3 5 0 =. 2 3.3. Korzsając z meod Eulera dla różnch rzeczwisch i zespolonch warości własnch rozwiązać układ równań =A lubzagadnieniepocząkowe =A, (0)= 0,jeżeli: 0 ]. 9
A= 00 00 ; b)a= 2 2 0 0, 0 = 0 ; c)a= 00 00. 005 0 00 3.4. Meodą eliminacji wznaczć rozwiązania ogólne podanch niejednorodnch układów równań różniczkowch lub zagadnień począkowch: { x =x 2+ e, =x+4+e 2 ; { x b) =x+2, =x 5sin; c) { x =4x 5+4, = x 2+, { x(0)=0, (0)=0. Lisa dwunasa 3.5.WobwodzieelekrcznmpołączonoszeregowocewkęoindukcjnościL =[H],opornikooporności R=20[Ω]orazźródłonapięciasałegoE=50[V]irównolegledooporuRdrugącewkęoindukcjności L 2 =0.5[H].WznaczćnaężeniaprądówI R ()[A]iI L ()[A],przzałożeniu,żeI R (0)=0iI L (0)=0. 3.6. Dla każdego podanego układu niejednorodnego wskazano jedno jego rozwiązanie. Znaleźć rozwiązanie ogólne ego układu: [ ] [ ] [ ] 0 g = + 2 g, ϕ()= ; 0 g 2 [ ] [ ] b) 2 3e 2 = + 4 2 e 2, ϕ()= 4 e2. 4 e2 3.7. Sprawdzić, że podane funkcje wekorowe worzą na wskazanm przedziale układ fundamenaln układu jednorodnego =A().Nasępnierozwiązaćukładniejednorodn =A() + h()zzadanmwarunkiem począkowm jeżeli: ()= [ ] 2 3, 2 ()= [ ] 4, (0, ), A()= [ ] [ 2 2, h()= 5 c) ()= 0 e, 2 ()= 0 A()= 23 02, h()= 00 ], ()= 30 2 ; [ ] [ ] b) ()= e 3 2 2, 2 ()= e 5, R, [ ] [ ] [ ] 4 2 A()=, 5 7 h()= e 3 4 2, (0)= ; 3 2 e, 3 ()= 3+22 2 0 0 0 6 e, (0)= 0 0 0. e, R, 3.8. Korzsając z meod uzmienniania sałch znaleźć rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego równań różniczkowchliniowch =A + h(),jeżeli: [ ] [ ] [ ] [ ] A=, 2 cos 5 h()= ; b)a=, sin+cos 3 e h()= e 2. 0
3.9.Rozwiązaćzagadnieniepocząkowe =A + h(), (0)= 0,jeżeli: [ ] [ ] 0 A=, cos h()=, 0 0 = ; 2 [ ] [ ] [ ] 2 5 b)a=, 4 0 h()=, 2 0 = ; 0 c)a= 0 2 0 2e 2 0, h()=, 0 = ; 0 0 d)a= 2 e 2, h()= e 2, 0 = 0. 0 e 3 3.20. Rozwiązać podane układ równań różniczkowch oraz naszkicować ich porre fazowe: { x x =2x, = x, { x b) = ; = 2 ; c) x =x, = x 2, d) =2; = 2. Lisa rznasa 3.2. Wznaczć punk równowagi podanch równań i układów auonomicznch: +=2; b) = 3 2 + ; c) =ln; { x =x x 3 x 2 { {, x =x 2 + 2, x =(2+x)( x), d) =2 5 x 4 e) ; f) =2x; =(4 x)(+x). 3.22. Wznaczć punk równowagi podanch równań i układów. Korzsając z definicji zbadać ich sabilność. Dla punków sabilnch zbadać ich asmpoczną sabilność: ++=0; b) =2 ; { { x c) =, x d*) =, =x; = 2x 3; e*) { x =, = 2x+3. 3.23. Zbadać sabilność punku równowagi(0, 0) układu równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach =A,jeżeli: [ ] [ ] 2 0 2 5 A= ; b)a=. 5 2 2 3.24. Zbadać sabilność punku równowagi(0, 0, 0) układu równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach =A,jeżeli: 2 2 5 3 3 ; b) 3 2 3 ; c) 0 0 4 2 2 5 ; d) 0.25 0 0.25 0. 0 2 0 4 3 4 0 0 0.25 [ ] [ ] x x 3.25. Określić p punków równowagi układu liniowego =A,jeżeli: [ ] [ ] [ ] 6 4 2 A= ; b)a= ; c)a= ; 2 2 4 2 [ ] [ ] [ ] 2 7 6 d)a= ; e)a= ; f)a= ; 5 2 2 6 3 [ ] [ ] [ ] 2 3 0.75 0.5 2 0 g)a= ; h)a= ; i)a=. 0.25 0.75 0 2
3.26. Wznaczć wszskie punk równowagi podanch auonomicznch układów równań różniczkowch i na podsawie pierwszego przbliżenia(linearzacji) zbadać ich sabilność: { { { x =2x+3, x b) =x+2 2, x = x 2+; c) =x 2 0x+6, = 3x 4; =+; { { { x d) = x, x = x 2 e) =4 2 3x+2, x ; =4x 2 f) =x +x 2, 4; =+ 2 ; { { { x g) =x(x +), x h) =x(x ), x =(2x++); i) =x 2, =x ; =(9x 4). Lisa czernasa 4.. Korzsając z definicji obliczć ransforma Laplace a podanch funkcji: 2 ; b)sin2; c) 2 ; d)e ; e)e 2 cos2; f)sh; g) =f() h) =g() O O i) =h() 2 O 4.2. Wznaczć funkcje ciągłe, kórch ransforma Laplace a mają posać: s+2 ; b) s s 2 +4s+5 ; c) s 2 4s+3 ; s+2 d) (s+)(s 2)(s 2 +4) ; e) s 2 + s 2 (s 2 ) 2; f) s+9 s 2 +6s+3 ; g) 2s+3 s 3 +4s 2 +5s ; h) 3s 2 e s (s 3 2; i) ) s+. 4.3. Meodą operaorową rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach: =, (0)=; c) + =0, (0)=, (0)=; b) 2=sin, (0)=0; d) +3 =e 3, (0)=0, (0)= ; e) 2 +2=sin, (0)=0, (0)=; f) 2 +=+, (0)=0, (0)=0; g) +4 +4= 2, (0)=0, (0)=0; h) +4 +3=e, (0)=0, (0)=2. 4.4. Meodą operaorową rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla układów równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach: { x =, = x, x(0)=, (0)= ; b) { x =, =2x+2, x(0)=, (0)=; { x = 2+3, c) x(0)=2, (0)=3; =2x+4, { x = sin, d) x(0)= x + = cos, 2, (0)= 2 ; x = 2x 2 4z, e) = 2x+ 2z, x(0)=, (0)=, z(0)=; z = 5x+2+7z, 2
x = x++z+ e, f) = x +z+e 3, z = x++z+ 4, x(0)=0, (0)=0, z(0)=0. 4.5. Wznaczć funkcje ciągłe, kórch ransforma Laplace a mają posać: s+2 ; b) s s 2 +4s+5 ; c) s 2 4s+3 ; s+2 d) (s+)(s 2)(s 2 +4) ; e) s 2 + s 2 (s 2 ) 2; f) s+9 s 2 +6s+3 ; g) 2s+3 s 3 +4s 2 +5s ; h) 3s 2 e s (s 3 2; i) ) s+. 4.6. Korzsając z podsawowch własności przekszałcenia Laplace a obliczć ransforma podanch funkcji: sin 4 ; b)cos4cos2; c) 2 cos; d)sh3; e)e cos; f)e 3 sin 2 ; g)( 2)sin( 2); h)( )e ; i) 2 ( 3); dla 0 <, 0 dla <2, dla 2 <3, j)f()= 0 dla 3 <4, dla 4 <5, 0 dla 5 <. * 4.7. Obliczć splo podanch par funkcji f()=e, g()=e 2 ; b)f()=cos3, g()=cos. * 4.8. Korzsając ze wzoru Borela wznaczć funkcje, kórch ransforma dane są wzorami: s 2 (s 2 +) ; b) s (s 2 +) 2; c) (s ) 2 (s+2). *4.9.Niechϕ()będzierozwiązaniemrównaniajednorodnego +p +q=0,(q 0)zwarunkamipocząkowmi(0)=, (0)=0.Pokazać,żejeżelifunkcjah()jesorginałem,orozwiązanie()zagadnienia począkowego +p +q=h(),(0)=0, (0)=0,(q 0) wrażasięwzorem()= q (ϕ () h()).przedsawićrozwiązaniapodanchzagadnieńpocząkowchw posaci sploów: + 2=cos,(0)=0, (0)=0; b) 2 +=e,(0)=0, (0)=0. 3