Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2017/2018 dr inż. Sebastian Korczak

Wykład 14 Powtórzenie materiału. Informacje o egzaminie. Ankiety. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 2

Wykład 1 pary kinematyczne, mechanizmy, ruchliwość, więzy bierne Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 3

Stopnie swobody punkt materialny (2D) bryła sztywna (2D) 2 st. swob. 3 st. swob. punkt materialny (3D) bryła sztywna (3D) 3 st. swob. 6 st. swob. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 4

Pary kinematyczne i łańcuchy kinematyczne Para kinematyczna ruchome połączenie dwóch sztywnych elementów wywołujące ograniczenia ruchu względnego między nimi. Łańcuch kinematyczny połączenie co najmniej dwóch par kinematycznych. Podstawa nieruchomy człon mechanizmu. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 5

Pary kinematyczne (3D) klasa V = 6-1 obrotowe postępowa śrubowa 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 6

Pary kinematyczne (3D) klasa IV = 6-2 walcowa 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 7

Pary kinematyczne (3D) klasa III = 6-3 kulista 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 8

Pary kinematyczne (3D) klasa II = 6-4 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 9

Pary kinematyczne (3D) klasa I = 6 5 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 10

Pary kinematyczne (2D) klasa V = 6-1 obrotowa postępowa 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 11

Pary kinematyczne (2D) klasa IV = 6-2 założenie toczenia z poślizgiem popychacz krzywka 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 12

Pary kinematyczne Para niższa kontakt powierzchniowy Para wyższa kontakt punktowy bądź liniowy 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 13

Pary kinematyczne Para zamknięta zachowanie kontaktu poprzez geometrię Para otwarta kontakt zachowany z użyciem dodatkowej siły 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 14

Wielokrotne pary kinematyczne 1 3 2 2 człony 1 para kinematyczna 3 człony 2 para kinematyczna... 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 15

Ruchliwość łańcucha kinematycznego Ruchliwość liczba stopni swobody mechanizmu względem podstawy Wzory strukturalne (Chebychev Grübler Kutzbach) (3 D) F=6 N p 1 2 p 2 3 p 3 4 p 4 5 p 5 (2 D) F=3 N p 4 2 p 5 N liczba elementów ruchomych p i liczba par kinematycznych i-tej klasy F >= 1 mechanizm z możliwością ruchu F < 1 mechanizm zablokowany albo ruchomy z więzami biernymi 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 16

Wykład 2 Podział strukturalny mechanizmów, metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów płaskich. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 17

Klasyfikacja łańcuchów kinematycznych Łańcuch kinematyczny prosty każdy człon łańcucha wchodzi w nie więcej niż dwie pary kinematyczne. Łańcuch kinematyczny złożony co najmniej jeden człon mechanizmu wchodzi w więcej niż dwie pary kinematyczne. Łańcuch kinematyczny otwarty istnieją człony wchodzące tylko w jedną parę kinematyczną. Łańcuch kinematyczny zamknięty żaden człon mechanizmu nie wchodzi w skład tylko jednej pary kinematycznej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 18

Podział strukturalny mechanizmów Grupa strukturalna najprostszy łańcuch kinematyczny o ruchliwości zero powstały z podziału mechanizmu. Mechanizm płaski tylko z parami V klasy: F=3 n 2 p 5 =0 p 5 n = 3 2 = 6 4 = 9 6 =... II grupa strukturalna III grupa strukturalna IV grupa strukturalna n=2 p 5 =3 n=4 p 5 =6 n=6 p 5 =9 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 19

Podział strukturalny mechanizmów I grupa strukturalna człon napędowy n=1 p 5 =1 + napęd napęd korbowy napęd liniowy napęd obrotowy 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 20

Kinematyka mechanizmów Analiza kinematyczna mechanizmu polega na wyznaczeniu prędkości i przyspieszeń wybranych członów mechanizmu w interesujących nas położeniach tego mechanizmu. Dana musi być budowa mechanizmu (geometria członów, rodzaje par kinematycznych) oraz sposób jego napędzania. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 21

Metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów Metody wykreślne - metoda rzutów prędkości, - metoda chwilowego środka obrotu, - metoda chwilowego środka przyspieszeń, - metoda prędkości obróconych, - metoda rozkładu prędkości, - metoda rozkładu przyspieszeń, - metoda planu prędkości, - metoda planu przyspieszeń. Metoda analityczna 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 22

Metoda rzutów prędkości Rzuty prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na kierunek łączący te punkty są sobie równe. v B A B v A 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 23

Metoda chwilowego środka obrotu Z chwilowego środka obrotu widać końce wektorów prędkości wszystkich punktów bryły sztywnej pod jednakowym kątem względem prostej łączącej te punkty ze środkiem obrotu. v B v A A B S 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 24

Metoda rozkładu prędkości Dowolny ruch płaski bryły sztywnej możemy przedstawić za pomocą sumy ruchu postępowego i obrotowego. Przykład 2 A B = A B + A ω B Prędkość bezwzględna punktu B v B = v A + v BA Prędkość ruchu postępowego całej bryły Prędkość ruchu obrotowego punktu B względem punktu A v BA = ω AB 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 25

Metoda planu prędkości Planem prędkości członu sztywnego nazywamy miejsce geometryczne końców wektorów prędkości bezwzględnych członu odłożonych z punktu zwanego biegunem planu prędkości. Plan prędkości członu jest do niego podobny pod względem konfiguracji punktów i obrócony o kąt 90 o zgodnie ze zwrotem chwilowej prędkości kątowej członu. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 26

Metoda planu prędkości Dane: geometria, v A i v B Przykład a v A Szukane: v C C B 90 o O v v C v A A v B c v B Rysunek w skali! np. Podziałka geometrii: 1cm 10cm Podziałka wektorów: 1cm 1m/s Inna podziałka geometrii! b 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 27

Prędkości w ruchu złożonym A A 1 A 2 v A 2 = v A 1 + v A 2 A 1 Prędkość bezwzględna punktu A 2 Prędkość unoszenia Prędkość względna 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 28

Wykład 3 Metody wyznaczania przyspieszeń mechanizmów płaskich Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 29

Chwilowy środek przyspieszeń A a A ψ B a B ψ P środek przyspieszeń ψ =arctg ε ω 2 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 30

Metoda rozkładu przyspieszeń Przykład A B = A B + A ω B + A ε B Przyspieszenie bezwzględne punktu B Przyspieszenie bryły w ruchu postępowym a B = a A + a BA = a A + a n BA Przyspieszenie punktu B w ruchu obrotowym względem A. t + a BA Przyspieszenie kątowe (styczne) Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 31

Metoda rozkładu przyspieszeń Przykład A B = A B + A ω B + A ε B a B = a A + a BA = a A + a n BA t + a BA Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) a BA = ω ( ω AB )= ω 2 AB Przyspieszenie kątowe (styczne) a BA = ε AB 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 32

Plan przyspieszeń Planem przyspieszeń członu sztywnego nazywamy miejsce geometryczne końców wektorów przyspieszeń bezwzględnych członu odłożonych z punktu zwanego biegunem planu przyspieszeń. Plan przyspieszeń członu jest do niego podobny pod względem konfiguracji punktów i obrócony o kąt (180 o -ψ) w kierunku: - zgodnym ze zwrotem chwilowej prędkości kątowej członu, jeżeli jednakowe są zwroty wektorów ω i ε, - przeciwnym do zwrotu chwilowej prędkości kątowej członu, jeżeli przeciwne są zwroty wektorów ω i ε. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 33

Dane: a A i a B + geometria Metoda planu przyspieszeń Przykład ψ a Szukane: a C a A C B a B a A A O a a B a C c Przyspieszenia w skali, np.: 1cm 1m/s 2 Geometria w skali względem rozmiarów rzeczywistych b 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 34

Przyspieszenia w ruchu złożonym B B 1 B 2 a B 2 = a u B 1 w + a B 2 B1 + a c Bezwzględne przyspieszenie punktu B2 Przyspieszenie unoszenia (bezwzględne przyspieszenie punktu B1) Przyspieszenie względne Przyspieszenie Coriolisa a c =2 ω u v B 2B 1 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 35

Wykład 4 Analityczna metoda wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów płaskich. Mechanizmy krzywkowe. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 36

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń punktów mechanizmów płaskich 1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych O xy. 2. Człony mechanizmu zastąpić układem wektorów, które mogą w czasie ruchu mechanizmu zmieniać swoją długość, położenie i orientację. 3. Wprowadzone wektory muszą tworzyć zamknięte wieloboki, często występując w obrębie grup strukturalnych mechanizmu. 4. Dla wszystkich wektorów wprowadzić jednakowo określone kąty ich orientacji względem wybranej osi (tzw. kąty skierowane). Przyjmijmy, że będą to kąty między dodatnią półosią osi x układu współrzędnych a dodatnim kierunkiem wektora, mierzone z dodatnim znakiem przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. 5. Dla każdego z wieloboku wektorów zapisać wektorowe równanie ich sumy, np.: i=n l i =0 i=1 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 37

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń punktów mechanizmów płaskich 6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.: i=n x: l i cos φ i =0 i=1 i=n y: l i sin φ i =0 i=1 (przyjęcie jednakowej procedury wprowadzania kątów skierowanych pozwala wykonać powyższe rzutowanie bez konieczności rozpatrywania znaków) Na tym etapie warto oznaczyć, które długości wektorów i kąty skierowania są znane (są stałe bo wynikają z geometrii mechanizmu), a które się zmieniają i są niewiadomymi funkcjami. W prawidłowo postawionym zadaniu na koniec tego etapu liczba niewiadomych powinna być równa liczbie równań rzutów. 7. Rozwiązać równania rzutów wyznaczając niewiadome funkcje. Otrzymujemy na tym etapie funkcyjny opis ruchu mechanizmu. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 38

Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń punktów mechanizmów płaskich 8. Zróżniczkować wyznaczone w pkt. 7 funkcje aby uzyskać prędkości zmian długości wektorów i ich prędkości kątowe. Dokonać kolejnego różniczkowania w celu uzyskania przyspieszeń zmian długości wektorów i przyspieszeń kątowych. 9. Jeśli w pkt. 8 nie uzyskano pożądanych informacji należy zróżniczkować równania rzutów z pkt. 6. i wyznaczyć prędkości. Po kolejnym różniczkowaniu można wyznaczyć przyspieszenia. Bardzo pomocnicze może okazać się na tym etapie obrócenie układu współrzędnych o pewien kąt, co upraszcza niektóre składniki w równaniach rzutów. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 39

Mechanizmy krzywkowe Podstawowe informacje Mechanizm krzywkowy mechanizm składający się z krzywki i popychacza tworzących parę kinematyczną wyższą klasy IV. Krzywka porusza się najczęściej ruchem obrotowym (czasem postępowym, a popychacz ruchem postępowo zwrotnym (czasem wahadłowym). zalety prosta konstrukcja, łatwość wykonania, dowolne wymiary, łatwość uzyskania skomplikowanych przebiegów. wady niska wytrzymałość przy dużych obciążeniach, brak adaptacyjności 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 40

Mechanizmy krzywkowe Podstawowe informacje Podział mechanizmów krzywkowych: płaskie / przestrzenne z popychaczem centralnym / z popychaczem mimośrodowym z zamknięciem kinematycznym / z zamknięciem siłowym 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 41

Analiza i synteza mechanizmów krzywkowych Analiza mechanizmu krzywkowego wyznaczenie przebiegu przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki dla zadanej konstrukcji i geometrii mechanizmu. Synteza mechanizmu krzywkowego zaprojektowanie geometrii krzywki dla danej konstrukcji mechanizmu krzywkowego w celu uzyskania pożądanego przebiegu przemieszczenia, prędkości lub przyspieszenia popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki. Dodatkowo narzuca się pewne ograniczenia, np. maksymalny wznios popychacza, maksymalną prędkość lub przyspieszenie. Należy sprawdzić również trzecią pochodną wzniosu popychacza (udar), która powinna mieć skończone wartości. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 42

Wykład 5 Mechanizmy krzywkowe cd. Dynamika mechanizmów płaskich. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 43

Analiza i synteza mechanizmów krzywkowych Analiza Synteza zastąpienie pary IV klasy parami V klasy i zastosowanie metod wykreślnych (plany prędkości i przyspieszeń) graficzne wyznaczenie przebiegu wzniosu popychacza i jego różniczkowanie graficzne zastosowanie metody analitycznej (zastąpienie mechanizmu wielobokiem wektorów) graficzne konstruowanie zarysu krzywki poprzez obracanie koła bazowego i odkładanie pożądanego wzniosu popychacza analityczne projektowanie zarysu krzywki poprzez opis funkcyjny 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 44

Synteza mechanizmów krzywkowych Metoda analityczna Dla danego przebiegu przyspieszenia lub prędkości wzniosu popychacza w funkcji czasu (lub kąta obrotu) charakterystykę wzniosu popychacza otrzymuje się poprzez całkowanie. Przebieg wzniosu popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki możemy wprost wykorzystać do wygenerowania zarysu krzywki (lub po przekształceniu do współrzędnych biegunowych). Zastosowanie popychacza ostrzowego pozwala dokładnie odzwierciedlić zadaną funkcję wzniosu popychacza. Zastosowanie popychacza rolkowego wprowadza ograniczenie maksymalnej prędkości wzniosu popychacza wymaga ustalenia proporcji między wielkością krzywki a promieniem rolki. Często projektuje się krzywki o symetrycznym zarysie oraz gładkie (bez uskoków). 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 45

Dynamika mechanizmów 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 46

Dynamika mechanizmów Przegląd zagadnień Opis mechanizmu płaskiego za pomocą brył sztywnych i punktów materialnych. Wykreślne wyznaczanie sił i momentów sił bezwładności. Reakcje w parach kinematycznych. Siły napędzające i robocze. Pierwsze i drugie zadanie dynamiki mechanizmów. Zastosowanie metod wykreślnych, analityczno-wykreślnych i analitycznych. Tarcie w parach kinematycznych. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 47

Dynamika mechanizmów Reprezentacja członów mechanizmu Dla członu mechanizmu płaskiego jako bryły sztywnej podajemy: masa położenie środka masy masowy moment bezwładności względem osi prostopadłej do płaszczyzny ruchu i przechodzącej przez środek masy położenie punktów łączenia w pary kinematyczne 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 48

Dynamika mechanizmów Reprezentacja członów mechanizmu Metoda mas skupionych układ punktów materialnych równość mas położenie środka masy równość momentów bezwładności 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 49

Dynamika mechanizmów Siły i momenty sił bezwładności ε siła bezwładności B C = m a C B C M C Moment od sił bezwładności C a C M C = I C ε 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 50

Dynamika mechanizmów Pierwsze zadanie dynamiki Wyznaczenie sił i momentów sił działających na mechanizm wywołujących zadany ruch mechanizmu KINETOSTATYKA MECHANIZMÓW. 0. Zaprojektowanie mechanizmu do wykonywania konkretnego zadania. Ustalenie napędu i sprawdzenie zgodności z założeniami przebiegu przemieszczeń, prędkości i przyspieszeń. 1. W oparciu o wyznaczone przyspieszenia wyznaczyć siły bezwładności działające na człony ruchome mechanizmu w wybranym położeniu mechanizmu. 2.Dokonać rozkładu mechanizmu na podukłady ujawniając reakcje w połączeniach. 3. Zapisać równania d'alemberta dla podukładów mechanizmu (dla ruchu postępowego i obrotowego). 4. Rozwiązać powstałe równania metodą graficzną, analityczną lub mieszaną. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 51

Wykład 6 Dynamika maszyn. Redukcja mas i sił. Równanie ruchu maszyny. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 52

Redukcja mas i sił Idea redukcji układ o jednym stopniu swobody m r (t) F r (t ) x r (t) lub M r (t) φ r (t) I r (t) układ o wielu stopniach swobody 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 53

Redukcja mas Energia kinetyczna E k = 1 2 m r v r 2 m r (t) x r (t) F r (t ) Całkowita energia kinetyczna układu E k (m i, I i, v i,ω i ) lub masa zredukowana v r = dx r(t ) dt M r (t) E k = 1 2 I r ω r 2 φ r (t) I r (t) zredukowany moment bezwładności ω r = d φ r(t) dt 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 54

Redukcja sił Moc układu P=F r v r m r (t) F r (t ) x r (t) Całkowita moc układu P(F i, M i,ω i, v i,...) lub siła zredukowana v r = dx r(t ) dt M r (t) P=M r ω r φ r (t) I r (t) moment zredukowany ω r = d φ r(t) dt 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 55

Redukcja mas i momentów bezwładności n m r = i=1 2 k v m i i 2 v + r j=1 2 ω I j j 2 v r n I r = i=1 2 k v m i i 2 ω + r j=1 I j ω j 2 ω r 2 Redukcja sił i momentów sił n P r = i=1 k v i P i cosα v i + r j=1 M j ω j v r n M r = i=1 k v i P i ω cosα i + r j=1 M j ω j ω r 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 56

Równanie ruchu maszyny dla ruchu postępowego m(t) F (t) v(t) de k =dw d ( 1 2 m(t) ) v(t)2 =F (t)dx 1 2 dm(t)v (t)2 +m(t)v(t)dv(t)=f (t)dx 1 2 dm(t)v(t)2 +m(t ) dx(t ) dv(t )=F (t )dx dt dm(t) v(t) 2 dx dm(t ) dt 2 v(t ) 2 dv(t) +m =F (t ) dt dv(t ) +m =F (t) dt if m=const. m dv(t) = P(t) o r m ẍ(t)=f (t ) dt 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 57

Równanie ruchu maszyny dla ruchu obrotowego M (t) φ (t) I (t) de k =dw d( I ω(t)2 ) =M (t)d φ 2...... di (t) ω (t) 2 +I (t) d ω(t ) =M (t ) d φ 2 dt di (t) ω(t) d ω (t) +I (t) =M (t) dt 2 dt if I=const. I d ω(t) =M (t ) o r I φ (t)=m (t ) dt 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 58

ω 1 (t ) M r (t) I r (t) rozwiązanie ogólne ω 1 g (t)=e e B I r t d ω 1 dt Redukcja mas i sił Przykład 1 Rozruch maszyny I r d ω 1 dt =M r + B I r ω 1 = A M P I r rozwiązanie szczególne ω 1 p (t)=f warunek początkowy ω 1 (t=0)=0 ω 1 (t)= A M P B ( 1 e t) B I r M r = A B ω 1 M P ω 1 (t) ω max = A M P B czas rozruchu (95% maks.) t 95 3 I r B 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 59 t

Wykład 7 Nierównomierność ruchu maszyny. Wstęp do automatyki. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 60

Nierównomierność biegu maszyny w ruchu ustalonym silnik maszyna φ (t) I R φ (t) ω max Nierównomierność biegu maszyny ω min δ= ω max ω min ω śr ω śr = ω max +ω min 2 t E k.max = 1 2 I ω 2 R max E k.min = 1 2 I ω 2 R min 2 Δ L=E k.max E k. min =δ I R ω śr 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 61

Nierównomierność biegu maszyny w ruchu ustalonym F R (t) maszyna x(t) m R ẋ(t) v max v min Nierównomierność biegu maszyny δ= v max v min v śr v śr = v max +v min 2 t 2 Δ L=E k.max E k. min =δ m R v śr 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 62

Nierównomierność biegu maszyny w ruchu ustalonym przyczyna nierównomierności biegu - przykład silnik M C M B maszyna M C Δ L M B φ (t) I R π 2π φ (t) φ max Δ L= (M C M B )d φ φ min ω(t) ω max 2 Δ L=E k.max E k. min =δ I R ω śr ω min δ= Δ L 2 I R ω śr φ (t) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 63

Koło zamachowe w ruchu ustalonym silnik maszyna silnik maszyna φ (t) I R φ (t) I KZ I R φ (t) φ (t) ω max ω min ω max ω min t t 2 Δ L=δ 1 I R ω śr założenie I R const. 2 Δ L=δ 2 (I R +I FW )ω śr δ 1 I R ω 2 2 śr =δ 2 (I R +I KZ )ω śr I KZ = ( δ 1 δ 2 1 ) I R 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 64

Podstawy automatyki 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 65

Podstawy automatyki Automatyka dyscyplina naukowa (z dziedziny nauk technicznych, wymieniana razem z robotyką) zajmująca się zagadnieniami sterowania procesami bez stałego nadzoru człowieka automatyka automatyzacja Teoria sterowania gałąź matematyki i cybernetyki zajmująca się analizą i modelowaniem matematycznym układów i procesów traktowanych jako układy dynamiczne ze sprzężeniem zwrotnym. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 66

Teoria sterowania Klasyczna teoria sterowania Współczesna teoria sterowania (od około 1950) układy o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO) układy o wielu wejściach i wyjściach układy liniowe często układy nieliniowe układy niezależne od czasu układy zależne od czasu opis za pomocą transmitancji opis równaniami stanu analiza w dziedzinie czasu i częstości analiza w dziedzinie czasu zainteresowanie odpowiedzią układu zainteresowanie stanem układu 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 67

Single Input Single Output (SISO) system x(t) OBIEKT y(t) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 68

Układy liniowe niezależne od czasu (Linear time-invariant LTI) Układ liniowy x (t) - wejście, y(t)=h(x (t)) - wyjście h(α x(t))=α h(x(t))=α y (t) skalowanie h(x 1 (t)+x 2 (t))=h(x 1 (t))+h(x 2 (t)) superpozycja 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 69

Układy liniowe niezależne od czasu (Linear time-invariant LTI) Układ niezależny od czasu wyjście układu nie zależy wprost od czasu jeżeli y(t)=h(x(t)) to y (t τ)=h(x(t τ)) Układ zależny od czasu jeżeli y(t)=h(x(t)) to y (t τ) h(x(t τ)) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 70

Sterowanie w otwartej pętli y d (t) pożądane wyjście obiektu KONTROLER sygnał sterujący u(t)=x(t) wejście obiektu OBIEKT y (t) wyjście obiektu 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 71

Sterowanie w zamkniętej pętli pożądane wyjście obiektu y d (t) + - błąd sterowani a e(t) KONTROLER sygnał sterujący u(t)=x(t) wejście obiektu OBIEKT y (t) wyjście obiektu 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 72

Wykład 8 Transformata Laplace'a. Transmitancja. Wyznaczanie odpowiedzi. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 73

Transformata Laplace'a Założenie: x (t) - sygnał taki, że dla t <0 x(t)=0 Transformata Laplace'a funkcji x(t): X (s)=l{x (t)}= 0 x(t)e st dt gdzie: s C, s=σ+ j ω, j= 1 Warunkiem koniecznym istnienia całki jest lokalna całkowalność x(t) dla t <0, ). Odwrotna transformata Laplace'a x(t): x (t)=l 1 {X (s)}= 1 γ+ j ω 2 π j lim ω γ j ω X (s)e st ds 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 74

δ(t) impuls jednostkowy skok jednostkowy 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 75

splot 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 76

Transmitancja Dany jest liniowy niezależny od czasu układ typu SISO o ciągłym sygnale wejściowym x(t) i wyjściowym y(t) d n y (t ) d n 1 y(t ) +a dt n 1 dt n 1 +...+a n 1 dy(t) dt +a n y(t )= dm x(t ) d m 1 x(t ) +b dt m 1 dt m 1 +...+b m 1 dx(t) dt +b m x(t) po transformacie Laplace'a z zerowymi warunkami początkowymi s n Y (s)+a 1 s n 1 Y (s)+...+a n 1 s Y (s)+a n Y (s)=s m X (s)+b 1 s m 1 X (s)+...+b m 1 s X (s)+b m X (s) (s n +a 1 s n 1 +...+a n 1 s+a n )Y (s)=(s m +b 1 s m 1 +...+b m 1 s+b m ) X (s) Transmitancja: G(s)= Y (s) X (s) = sm +b 1 s m 1 +...+b m 1 s+b m s n +a 1 s n 1 +...+a n 1 s+a n 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 77

Transmitancja G(s)= Y (s) X (s) = sm +b 1 s m 1 +...+b m 1 s+b m s n +a 1 s n 1 +...+a n 1 s+a n G(s)= Y (s) X (s) = (s z 1)(s z 2 )...(s z m ) (s p 1 )(s p 2 )...(s p n ) z 1, z 2,..., z m - zera transmitancji p 1, p 2,..., p n - bieguny transmitancji 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 78

Wejście i wyjście Transmitancja: G(s)= Y (s) X (s) Transformata Laplace'a wyjścia: Y (s)=g(s) X (s) Wyjście w dziedzinie czasu: y(t )=L 1 {Y (s)} y(t)=l 1 {G(s) X (s)}=l 1 {G(s)} L 1 {X (s)}=g(t) x(t) Splot: g(t ) x (t )= g(τ) x(t τ)d τ 0 g(t) - odpowiedź impulsowa układu ( y(t) dla x(t)=δ(t)) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 79

Wejście i wyjście dziedzina czasu x (t) g(t) y (t)=g(t) x(t) L L L -1 X (s) G(s) Y (s)=g(s) X (s) dziedzina zespolona 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 80

Przykłady funkcji sygnałów wejściowych Brak wejścia: x(t)=0 Wymuszenie impulsowe (Delta Diraca): δ(t)={ 0, t<0, t=0 0, t>0 Jendostkowe wymuszenie skokowe (funkcja Heaviside'a): 1(t)= { 0, t <0 1, t 0 H (t ) lub 1 + (t) Funkcja liniowo narastająca: x (t)= { 0, t <0 t, t 0 Funkcja harmoniczna: x(t)=a sin(ω t ) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 81

Wykład 9 Transmitancja widmowa. Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 82

Transmitancja operatorowa Dany jest liniowy niezależny od czasu układ typu SISO o ciągłym sygnale wejściowym x(t) i wyjściowym y(t) G(s)= Y (s) X (s) Y (s) - transformata Laplace'a sygnału wyjściowego X (s) - transformata Laplace'a sygnału wejściowego 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 83

Transmitancja operatorowa i widmowa Transmitancja operatorowa G(s) pełen opis dynamiki układu (dla dowolnych sygnałów wejściowych) s= j ω Transmitancja widmowa G( j ω) opis dynamiki układu w stanie ustalonym dla harmonicznego sygnału wejściowego 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 84

Transmitancja widmowa wejście: x(t)=sin(ω t) transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) G(s) s= j ω G( j ω)=p(ω)+ j Q(ω) A (ω)= G( j ω) = P 2 (ω)+q 2 (ω) wzmocnienie φ (ω)=arg G( j ω)=arctg Q P opóźnienie Wykres transmitancji widmowej Częstościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa Q(ω) ω= Wykres Nyquista ω=0 φ (ω i ) A (ω i ) ω i P(ω) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 85

wejście: x(t )=sin(ωt) Transmitancja widmowa transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) wykres wzmocnienia (amplitudowo-częstościowy) Wykres Bodego wykres przesunięcia fazowego (fazowo-częstościowy) L(ω) [db] ω [rad/s] φ (ω ) [rad] ω [rad/s] L(ω)=20 log A(ω) oś pozioma w skali logarytmicznej, oś pionowa w skali liniowej! 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 86

Transmitancja widmowa Skala liniowa i logarytmiczna A (wzmocnienie) 20logA [db] 1000 60 100 40 10 20 1 0 0,1-20 0,01-40 0,001-60 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 87

Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki Nazwa elementu Równanie Transmitancja proporcjonalny (bezinercyjny) y (t )=ku (t ) k inercyjny I rzędu T dy (t ) dt +y (t )=ku (t ) k Ts+1 całkujący t y (t )=k u (t )dt 0 dy (t ) =ku (t ) dt k s 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 88

Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki Nazwa Równanie Transmitancja różniczkujący y (t )=k du (t ) dt ks różniczkujący rzeczywisty (z bezwładnością) T dy (t ) dt +y (t )=k du (t ) dt ks Ts+1 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 89

Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki Nazwa Równanie Transmitancja opóźniający y (t )=u (t τ ) e τ s inercyjny II rzędu (oscylacyjny) 2 d 2 y (t ) dy (t ) T 1 +T dt 2 2 + dt +y (t )=ku (t ) k T 1 2 s 2 +T 2 s+1 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 90

18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 91

18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 92

Wykład 10 Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki z przykładami. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 93

Element proporcjonalny 1. Równanie: y (t )=ku (t ) u(t) - wejście, y (t) - wyjście 2. Charakterystyka statyczna: y=ku y u dla dy dt =0 du dt =0 3. Transmitancja: G( s)=k 4. Odp. skokowa: y(t)=k u 0 1(t) u(t) y (t ) dla u(t)=u 0 1(t) u 0 k u 0 t 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 94 t

Element proporcjonalny 5. Transmitancja widmowa: G( j ω)=k P(ω)=k, Q(ω)=0 6. Wykres Nyquista: Q(ω) P(ω) dla k >0 7. Wykres Bodego: L(ω) [db] 20 log k A(ω)= P 2 +Q 2 = k L(ω)=20 log A(ω) φ (ω)=arctan Q P = { 0, dla k 0 π, dla k<0} ω [rad/s] φ (ω ) [rad] ω [rad/s] 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 95

Element proporcjonalny Przykłady 1 ω 1 (t) przekładnia zębata: wejście prędkość kątowa ω 1 (t) wyjście prędkość kątowa ω 2 (t) ω 2 (t) 2 φ 1 (t) przekładnia zębata: wejście kąt obrotu φ 1 (t) wyjście kąt obrotu φ 2 (t) φ 2 (t) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 96

Element proporcjonalny Przykłady R 1 R 2 3 WZMACNIACZ OPERACYJNY: V supply wejście napięcie v 1 (t) wyjście napięcie v 2 (t) v 1 (t) 0V v 2 (t) v 2 (t )=v 1 (t ) ( 1+ R 2 R 1 ) 4 F 1 F 2 BELKA w stanie ustalonym: wejście siła F 1 wyjście siła F 2 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 97

Element proporcjonalny Przykłady 5 x 1 (t ) x 2 (t ) PODNOŚNIK HYDRAULICZNY: wejście przemieszczenie x 1 (t) wyjście przemieszczenie x 2 (t) 6 x(t) SIŁOWNIK PNEUMATYCZNY: wejście ciśnienie p 1 (t) p(t) wyjście przemieszczenie x(t) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 98

1. Równanie: Element inercyjny pierwszego rzędu T dy (t ) dt +y (t )=ku (t ) u(t) - wejście y (t) - wyjście 2. Charakterystyka statyczna: y=ku y dla dy dt =0 du dt =0 u 3. Transmitancja: G(s)= k Ts+1 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 99

Element inercyjny pierwszego rzędu 4. Odp. skokowa: Wejście: u(t)=u 0 1(t) Transformata Laplace'a wejścia: U (s)=u 0 1 s Transformata Laplacea wyjścia: Y (s)=g (s)u (s)= k u 0 s(ts +1) Wyjście: y(t)= L 1 {Y (s)}=k u 0 (1 e t /T ) u(t) u 0 k u 0 y (t) 0,950 k u 0 0,865 k u 0 0,632 k u 0 t T 2T 3T t 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 100

Element inercyjny pierwszego rzędu 5. Transmitancja widmowa: P(ω)= G( j ω)= k Tj ω+1 k T 2 ω 2 +1, Q(ω)= k T ω T 2 ω 2 +1 6. Wykres Nyquista: zał.: k >0 Q(ω) ω= 0 ω=0 k/2 k P(ω) k /2 ω=1/t 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 101

Element inercyjny pierwszego rzędu 7. Wykres Bodego: A(ω)= P 2 +Q 2 = k / T 2 ω 2 +1 L(ω)=20 log A(ω)=20 log k 20 log T 2 ω 2 +1 φ (ω)=arctan Q P =arctan ( T ω ) L(ω) [db] 20 log k 1 10T 1 T 20 log k 20 20 log k 3 10/T ω [rad/s] φ (ω ) [rad] π 4 1 100T 1 10 T 1 T 10 T ω [rad/s] 100 T π 2 20 log k 40 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 102

Element inercyjny pierwszego rzędu Przykłady 1 F(t) v(t) RUCH POSTĘPOWY PUNKTU MATERIALNEGO Z LINIOWYM TŁUMIENIEM: wejście siła F(t) wyjście prędkość v(t) Przykład: ruch samochodu po płaskim podłożu z oporem powietrza proporcjonalnym do prędkości (np. opisany za pomocą równania ruchu maszyny ze stałą masą zredukowaną) 2 M(t) ω(t) RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ Z LINIOWYM TŁUMIENIEM: wejście moment M(t) wyjście prędkość kątowa ω(t) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 103

Element inercyjny pierwszego rzędu Przykłady 3 p 1 (t) p 2 (t) ZBIORNIK POWIETRZA: wejście ciśnienie p 1 (t) wyjście ciśnienie p 2 (t) 4 OGRZEWANY OBIEKT O MAŁEJ BEZWŁADNOŚCI: wejście moc grzałki h(t) wyjście temperatura obiektu T i (t) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 104

1. Równanie: Element całkujący dy(t) dt =k u(t ) u(t) - wejście y (t) - wyjście 2. Charakterystyka statyczna: y u u=0 dla dy dt =0 du dt =0 3. Transmitancja: G(s)= k s 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 105

Element całkujący 4. Odp. skokowa: Wejście: u(t)=u 0 1(t) Transformata Laplace'a wejścia: U (s)=u 0 1 s Transformata Laplace'a wyjścia: Y (s)=g(s)u (s)= k u 0 s 2 Wyjście: y(t)= L 1 {Y (s)}=k u 0 t u(t) u 0 y (t ) u 0 t 1/k t 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 106

5. Transmitancja widmowa: Element całkujący G( j ω)= k j ω P(ω)=0, Q(ω)= k ω 6. Wykres Nyquista: dla k >0 Q(ω) 0 ω= P(ω) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 107

Element całkujący 7. Wykres Bodego: A(ω)= P 2 +Q 2 = k ω L(ω)=20 log A(ω)=20log k ω φ (ω)=arctan Q P =arctan ( ) 20 db/dek dla k >0 40 20 L(ω) [db] 0 k/10 k 10k 100 k ω [rad/s] φ (ω ) [rad] π 2 ω [rad/s] 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 108

Element całkujący Przykłady 1 f(t) PROSTOPADŁOŚCIENNY ZBIORNIK PŁYNU: wejście wydatek dopływu f(t) wyjście poziom cieczy h(t) h(t) R C 2 WZMACNIACZ v 1 (t) OPERACYJNY: V wejście napięcie v 1 (t) supply wyjście napięcie v 2 (t) 0V v 2 (t) v 2 (t)= 1 t RC 0 v 1 (t)dt 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 109

Element całkujący Przykłady 3 ω(t) przekładnia zębata: wejście prędkość kątowa ω(t) wyjście kąt obrotu φ(t) φ(t) 4 CYLINDER HYDRAULICZNY: wejście wydatek cieczy f(t) f(t) wyjście przemieszczenie x(t) x(t) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 110

1. Równanie: Element różniczkujący idealny y(t)=k du(t) dt u(t) - wejście y (t) - wyjście 2. Charakterystyka statyczna: y=0 y u dla dy dt =0 du dt =0 3. Transmitancja: G( s)=k s 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 111

4. Odp. skokowa: Element różniczkujący idealny Wejście: u(t)=u 0 1(t) Transformata Laplacea wejścia: U (s)=u 0 1 s Transformata Laplacea wyjścia: Y (s)=g (s)u (s)=k u 0 Wyjście: y(t)= L 1 {Y (s)}=k u 0 δ(t) u(t) y (t ) u 0 t t 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 112

Element różniczkujący idealny 5. Transmitancja widmowa: G( j ω)= j k ω P(ω)=0, Q(ω)=k ω 6. Wykres Nyquista: dla k >0 Q(ω) 0 ω=0 P(ω) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 113

πφ (ω ) [rad] Element różniczkujący idealny 7. Wykres Bodego: A(ω)= P 2 +Q 2 = k ω L(ω)=20 log A(ω)=20 log k ω φ (ω)=arctan Q P =arctan ( ) +20 db/dek dla k >0 40 20 2 L(ω) [db] 0 20 k/10 k 10k ω [rad/s] ω [rad/s] 40 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 114

Element różniczkujący idealny Przykłady 1 φ(t) PRZEKŁADNIA ZĘBATA: wejście kąt obrotu φ(t) wyjście prędkość kątowa ω(t) ω(t) C R 2 WZMACNIACZ v 1 (t) OPERACYJNY: V wejście napięcie v 1 (t) supply wyjście napięcie v 2 (t) 0V v 2 (t) v 2 (t)= RC dv 1(t) dt 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 115

Element różniczkujący rzeczywisty 1. Równanie: T dy(t) dt + y (t)=k du(t) dt u(t) - wejście y (t) - wyjście 2. Charakterystyka statyczna: y u y=0 dla dy dt =0 du dt =0 3. Transmitancja: G(s)= k s Ts+1 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 116

Element różniczkujący rzeczywisty 4. Odp. skokowa: Wejście: u(t)=u 0 1(t) 1 Transformata Laplacea wejścia: U (s)=u 0 s Transformata Laplacea wyjścia: Y (s)=g (s)u (s)= k u 0 Ts+1 Wyjście: y(t)= L 1 {Y (s)}=k u 0 e t /T y (t ) u(t) k u 0 u 0 t 0,368 k u 0 0,135 k u 0 0,050 k u 0 T 2T 3T 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 117 t

5. Transmitancja widmowa: Element różniczkujący rzeczywisty G( j ω)= k j ω Tj ω+1 P(ω)= k T ω2 T 2 ω 2 +1, Q(ω)= k ω T 2 ω 2 +1 6. Wykres Nyquista: dla k >0 k /2 Q(ω) ω=1/t 0 ω=0 ω= k k P(ω) 2T T 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 118

Element różniczkujący rzeczywisty 7. Wykres Bodego: A(ω)= P 2 +Q 2 = k ω / T 2 ω 2 +1 L(ω)=20 log A(ω)=20log k ω 20 log T 2 ω 2 +1 φ (ω)=arctan Q P =arctan ( 1 T ω) 20 log k /T 20 log k /T 3 π 2 dla k >0 0 L(ω) [db] 1 10 T 1 T 10/T 20 log k /T 20 ω [rad/s] φ (ω ) [rad] π 4 ω [rad/s] 20 log k /T 40 1 100T 1 10 T 1 T 10 T 100 T 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 119

Element różniczkujący rzeczywisty Przykłady 1 OBWÓD RC: wejście napięcie u 1 (t) wyjście napięcie u 2 (t) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 120

Element opóźniający 1. Równanie: y(t)=u(t τ) u(t) - wejście y (t) - wyjście 2. Charakterystyka statyczna: y=u y u dla dy dt =0 du dt =0 3. Transmitancja: G(s)=e τ s 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 121

Element opóźniający 4. Odp. skokowa: Wejście: u(t)=u 0 1(t) 1 Transformata Laplacea wejścia: U (s)=u 0 s Transformata Laplacea wyjścia: Y (s)=g (s)u (s)= u 0 τ s s e Wyjście: y(t)= L 1 {Y (s)}=u 0 1(t τ) u(t) y (t ) u 0 u 0 τ t t 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 122

Element opóźniający 5. Transmitancja widmowa: G( j ω)=e τ j ω e x =cos x j sin x P(ω)=cos(τ ω), Q (ω)= sin(τ ω) 6. Wykres Nyquista: Q(ω) 1 ω= 3 π 2 τ ω= π τ 1 0 ω=0 1 P(ω) ω= π 2 τ 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 123 1

Element opóźniający 7. Wykres Bodego: L(ω)=20 log A(ω)=20 log 1=0 φ (ω)=arctan Q P A(ω)= P 2 +Q 2 =1 =arctan ( tan(τ ω))= τ ω L(ω) [db] 0 1 10 T 1 T 10 T ω [rad/s] π φ (ω ) [rad] π τ 10 π τ ω [rad/s] 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 124

Element opóźniający Przykłady 1 TRANSMISJA BEZPRZEWODOWA: wejście dane wysłane wyjście dane odebrane nadajnik odbiornik 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 125

Element inercyjny drugiego rzędu 1. Równanie: T 1 2 d 2 y(t) dt 2 +T 2 dy(t) dt + y(t)=k u(t) 2. Charakterystyka statyczna: y=ku y u dla dy dt =0 du dt =0 3. Transmitancja: G( s)= k T 1 2 s 2 +T 2 s+1 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 126

Element inercyjny drugiego rzędu 4. Odp. skokowa: Wejście: u(t)=u 0 1(t) Transformata Laplacea wejścia: U (s)=u 0 1 s Transformata Laplacea wyjścia: Y ( s)=g (s)u (s)= wyjście: y (t )= L 1 {Y (s )}= k u 0 s(t 1 2 s 2 +T 2 s+1) ={ k u 0 T 1 2 (1 e ht ( cosωt + h ω sin ω t )), dla h ω 0 k u 0 T 1 2 ( 1+e ht (( h+w 2 w 1 ) wt h+w )) e 2 w ewt, dla h ω 0 gdzie: h= T 2 2T, ω = 1 2 2 0, ω= ω 1 T 0 h 2, w= h 2 2 ω 0 1 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 127

Element inercyjny drugiego rzędu 4. Odp. skokowa: y (t) h<ω 0 u(t) k u 0 u 0 h=ω 0 t h>ω 0 t 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 128

Element inercyjny drugiego rzędu 5. Transmitancja widmowa: k G( j ω)= T 2 1 ω 2 +T 2 j ω+1 P(ω)= k (1 T 2 1 ω 2 ) (1 T 2 1 ω 2 ) 2 +T 2 2 ω, Q (ω)= k T 2 ω 2 (1 T 2 1 ω 2 ) 2 +T 2 2 ω 2 6. Wykres Nyquista: dla k >0 Q(ω) 0 ω= ω=0 k P(ω) dla h<ω 0 dla h=ω 0 dla h>ω 0 ω=1/t 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 129

Element inercyjny drugiego rzędu 7. Wykres Bodego: L(ω)=20 log A(ω) φ (ω)=arctan Q P A(ω)= P 2 +Q 2 dla h<ω 0 dla h=ω 0 dla h>ω 0 L(ω) [db] 20 log k 1 1 10T 1 T 1 20 log k 20 10 T 1 ω [rad/s] φ (ω ) [rad] π 2 1 100T 1 10 T dla k >0 1 T 10 T ω [rad/s] 100 T π 20 log k 40 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 130

Element inercyjny drugiego rzędu Przykłady 1 UKŁAD DRGAJĄCY: wejście siła F(t) wyjście przemieszczenie y(t) punkt materialny o masie m F(t) y(t) liniowa sprężyna o sztywności k liniowy tłumik o współczynniku c 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 131

Element inercyjny drugiego rzędu Przykłady 1 F(t) x(t) RUCH POSTĘPOWY PUNKTU MATERIALNEGO Z LINIOWYM TŁUMIENIEM: wejście siła F(t) wyjście przemieszczenie x(t) Przykład: ruch samochodu po płaskim podłożu z oporem powietrza proporcjonalnym do prędkości (np. opisany za pomocą równania ruchu maszyny ze stałą masą zredukowaną) 2 M(t) φ(t) RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ Z LINIOWYM TŁUMIENIEM: wejście moment M(t) wyjście kąt obrotu φ(t) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 132

Element inercyjny drugiego rzędu Przykłady 4 OGRZEWANY OBIEKT O DUŻEJ BEZWŁADNOŚCI: wejście moc grzałki h(t) wyjście temperatura obiektu T i (t) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 133

Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki nazwa elementu Proporcjonalny Inercyjny pierwszego rzędu Całkujący Różniczkujący idealny Różniczkujący rzeczywisty Element opóźniający Inercyjny drugiego rzędu transmitancja k k Ts+1 k s ks ks Ts+1 e τ s k T 2 1 s 2 +T 2 s+1 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 134

Wykład 11 Algebra schematów blokowych. Regulatory automatyczne i sterowanie. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 135

Algebra schematów blokowych transmitancja X(s) G(s) Y(s) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 136

Algebra schematów blokowych węzeł informacyjny X(s) X(s) X(s) X(s) Jedno wejście, wiele wyjść 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 137

Algebra schematów blokowych węzeł sumacyjny C(s) A(s) + + B(s) A(s)+B(s)-C(s) Wiele wejść, jedno wyjście 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 138

Algebra schematów blokowych połączenie szeregowe x(s) y(s) x(s) y(s) G 1 (s) G 2 (s) G R (s) G R (s)=g 1 (s) G 2 (s) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 139

Algebra schematów blokowych połączenie równoległe G 3 (s) + x(s) - y(s) x(s) y(s) G 1 (s) G R (s) + G 2 (s) G R (s)= - G 1 (s) + G 2 (s) + G 3 (s) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 140

Algebra schematów blokowych połączenie ze sprzężeniem zwrotnym x(s) + y(s) x(s) y(s) G 1 (s) G R (s) G 2 (s) G R = G 1 1+G 1 G 2 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 141

Algebra schematów blokowych zmiana kolejności węzłów informacyjnych X(s) X(s) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 142

Algebra schematów blokowych przeniesienie węzła sumacyjnego za blok transmitancji X(s) + + A(s) G(s) Y(s) X(s) G(s) + + G(s) Y(s) A(s) Y=(X+A)G Y=XG+AG 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 143

Algebra schematów blokowych zmiana kolejności węzłów sumacyjnych Przykład 2 - UWAGA NA ZNAKI! A(s) - + - + A(s) + + + - B(s) C(s) C(s) B(s) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 144

Algebra schematów blokowych zmiana kolejności bloku transmitancji i węzła informacyjnego G(s) G(s) G(s) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 145

Regulatory automatyczne i sterowanie 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 146

Sterowanie w zamkniętej pętli pożądane wyjście obiektu y d (t) + - błąd sterowani a e(t) REGULATOR sygnał sterujący u(t)=x(t) wejście obiektu OBIEKT y(t) wyjście obiektu 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 147

Sterowanie w zamkniętej pętli błąd sterowani a e(t) REGULATOR sygnał sterujący u(t) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 148

Podstawowe regulatory dwustanowy trójstanowy Proporcjonalny (P) Całkujący (I) Różniczkujący (D) Proporcjonalno-całkująco-różniczkujący (PID) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 149

Regulator dwustanowy u(t) błąd sterowani a e(t) u max e 0 e 0 e(t) sygnał sterujący u(t) u min { u max, jeżeli e>e 0 u(t)= u min, jeżeli e< e 0 bez zmian, w pozostałych przypadkach} e o - histereza konstrukcyjna lub programowalna 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 150

Przykład 1 Sterowanie prędkością (tempomat) pojazd na płaskim podłożu m masa pojazdu, f(t) siła napędowa, d(t)=c*v(t) opór powietrza, v(t) prędkość pojazdu m dv(t ) = f (t) d (t) dt G(s)= V (s) F (s) = 1 ms+c Prędkość zadana v d (t) + - Błąd prędkości e(t) REGULATOR Siła napędowa f (t) POJAZD Prędkość zmierzona v (t) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 151

Ograniczenie wartości sygnałów (saturacja) wyjście wejście 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 152

Strefa nieczułości wyjście wejście 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 153

Przykład 2 Sterowanie poziomem wody x 1 (t) h(t) x 1 (t)[m 3 /s] - dopły wody (sterowany) x 2 (t) x 2 (t )[m 3 /s] - odpływ wody (niesterowany, nie mierzony) v (t )[m 3 ] - objętość wody w zbiorniku h(t)[m] - poziom wody w zbiorniku A [m 2 ] - pole powierzchni przekroju zbiornika prostopadłościennego 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 154

Wykład 12 Regulator PID. Stabilność. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 155

Sterowanie w zamkniętej pętli pożądane wyjście obiektu y d (t) + - błąd sterowani a e(t) REGULATOR sygnał sterujący u(t)=x(t) wejście obiektu OBIEKT y (t) wyjście obiektu 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 156

Transmitancje podstawowych regulatorów Regulator Transmitancja Proporcjonalny (P) Całkujący (I) Różniczkujący idealny (D) Różniczkujący rzeczywisty (D) k P 1 T i s T d s T d s T s+1 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 157

Transmitancje podstawowych regulatorów Regulator Transmitancja Proporcjonalno-całkujący (PI) k P ( 1+ 1 T i s) Proporcjonalnoróżniczkujący (PD) k P (1+T d s) 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 158

Transmitancje podstawowych regulatorów Regulator Transmitancja Proporcjonalno-całkującoróżniczkujący (PID) w postaci standardowej z różniczkowaniem idealnym k P ( 1+ 1 T i s +T d s ) Proporcjonalno-całkującoróżniczkujący (PID) w postaci równoległej z różniczkowaniem idealnym k P +k i 1 s +k d s 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 159

Transmitancje podstawowych regulatorów Regulator Proporcjonalno-całkującoróżniczkujący (PID) w postaci standardowej z różniczkowaniem rzeczywistym Proporcjonalno-całkującoróżniczkujący (PID) w postaci równoległej z różniczkowaniem rzeczywistym Transmitancja k P ( 1+ 1 T i s + T d s Ts+1) k P +k i 1 s +k d s Ts+1 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 160

Regulator PID postać standardowa z różniczkowaniem idealnym 1 k P 1 T i s + + + T d s 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 161

Regulator PID postać równoległa z różniczkowaniem idealnym k P k i 1 s + + + k d s 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 162

Regulatory - odpowiedzi na wymuszenia skokowe błąd sterowani a e(t) REGULATOR sygnał sterujący u(t)? 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 163

Regulator proporcjonalny (P) G(s)=K p K p x 0 wyjście x 0 wejście czas 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 164

Regulator całkujący (I) G(s)= 1 T i s wyjście x 0 wejście T i czas 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 165

Regulator proporcjonalno-całkujący (PI) G(s)=K p( 1+ 1 T i s) 2 K p x 0 wyjście K p x 0 x 0 wejście T i czas 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 166

Regulator różniczkujący idealny (D) + G(s)=T d s wyjście x 0 wejście czas 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 167

Regulator różniczkujący idealny (D) G(s)=T d s T d x 0 Δ t sygnały dyskretne x 0 wejście wyjście Δ t czas 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 168

Regulator proporcjonalno-różniczkujący (PD) + G(s)=K P (1+T d s) wyjście K p x 0 x 0 wejście czas 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 169

Regulator różniczkujący rzeczywisty (D) G(s)= T d s T s+1 u max =x 0 T d T wyjście 0,368 u max x 0 wejście 0,135 u max 0,05u max T T T czas 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 170

Regulator proporcjonalno-różniczkujący rzeczywisty (PD) K P x 0( 1+ T d T ) G(s)=K p( 1+ T d s T s+1) K p x 0 wyjście x 0 wejście czas 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 171

Regulator PID w postaci standardowej z różniczkowaniem idealnym + G(s)=K p( 1+ 1 T i s +T d s) wyjście 2 K p x 0 K p x 0 x 0 wejście czas T i 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 172

Regulator PID w postaci standardowej z różniczkowaniem rzeczywistym K P x 0( 1+ T d T ) G(s)=K p( 1+ 1 T i s + T d s T s+1) wyjście 2 K p x 0 K p x 0 x 0 wejście czas T i 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 173

regulator PID charakterystyka działania Czynnik proporcjonalny zazwyczaj niezbędny do działania regulatora, gdyż powoduje generowanie sygnału sterującego zbliżającego wyjście układu do wartości zadanej; zwiększanie jego wartości zazwyczaj zmniejsza błędy sterowania; sygnał sterujący jest uzależniony tylko od aktualnej wartości błędu; Czynnik całkujący akumuluje błędy; niezerowy błąd powoduje wzrost sygnału sterującego, co zazwyczaj pomaga osiągnąć wartość zadaną; sygnał sterujący jest uzależniony od wcześniejszego przebiegu błędów; problem nasycenia całkowania; wygładza zakłócenia; Czynnik różniczkujący reaguje na zmiany wartości błędu; przy stałym błędzie generuje zerowy sygnał sterujący; sygnał sterujący wynika z trendu przyszłego błędu; czynnik bardzo podatny na zakłócenia; 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 174

regulator PID problem nasycenia całkowania (integral windup) Po dużej zmianie wartości zadanej czynnik całkujący może wygenerować bardzo duży sygnał sterujący na skutek długiego akumulowania błędu. Sygnał ten może wręcz osiągnąć maksymalną dopuszczalną wartość. Sygnał sterujący będzie tak duży dopóki wartość zakumulowanego błędu nie zacznie spadać, a to ma miejsce dopiero po osiągnięciu przeciwnego znaku błędu. Działanie układu sterowania jest zatem przez długi czas zablokowane, co niekorzystnie wpływa na zachowanie układu. Możliwe rozwiązanie problemu: wyłączanie i zerowanie zakumulowanego błędu, jeśli wartość błędu jest poza pewnym małym obszarem wokół zera. 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 175

regulator PID metody doboru nastawów regulatora Analityczna Symulacyjna Eksperymentalna 1: wyznaczyć transmitancję zredukowaną układu sterowania 2: wyznaczyć odpowiedź na wymuszenie skokowe 3: dobrać parametry Kp, Ki i Kd do uzyskania zadowalającego kształtu odpowiedzi skokowej (można badać również odpowiedzi na dowolne wymuszenia lub charakterystyki Bodego) 1: wyznaczyć transmitancję zredukowaną układu sterowania 2: dokonać symulacji działania układu dla dowolnego interesującego nas wymuszenia 3: dobrać parametry Kp, Ki i Kd do uzyskania zadowalającego kształtu Strojenie ręczne lub metody: Zieglera-Nicholsa Pessena Cohen a-coon a Åström a Hägglund a 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 176

regulator PID metoda Zieglera-Nicholsa (PID w formie standardowej) 1. Ustawić regulator na działanie proporcjonalne o minimalnej wartości wzmocnienia. 2. Obserwować odpowiedzi skokowe układu. Przejść do punktu 3 jeśli zaobserwuje się niegasnące oscylacje wyjścia układu. Jeśli brak oscylacji lub zanikają, to należy podnieść nieznacznie współczynnik wzmocnienia i powtórzyć punkt 2. 3. Dla uzyskanego w punkcie 2 wzmocnienia krytycznego K kryt i zmierzonego okresu oscylacji T kryt wyznaczyć nastawy według tabeli: k p T i T d Klasyczna reguła Zieglera-Nicholsa 0,6 K u 0,5 T u 0,125 T u Wersja Pessen 0,7 K u 0,4 T u 0,15 T u Bez przeregulowania 0,2 K u 0,5 T u 0,333 T u 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 177

dt = 0.5 p_błąd = 0. suma = 0. Kp = 1. Ki = 1. Kd = 1. start: regulator PID (równoległy) programowanie (pseudokod) wartość zadana + błąd PID sterowanie pomiar OBIEKT wartość_zadana = wartość_zmierzona = błąd = wartość_zadana wartość_zmierzona suma = suma + błąd * dt pochodna = (błąd p_błąd) / dt wyjście = Kp* błąd + Ki*suma + Kd*pochodna p_błąd = błąd wait(dt) goto start wyjście 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 178

regulator PID symulacja regulator PID w sterowaniu ruchem samochodu 18.01.2018 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 179