Technika regulacji automatycznej

Transkrypt

1 Technika regulacji automatycznej Wykład 2 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 56

2 Plan wykładu Schematy strukturalne Podstawowe operacje na schematach blokowych Przykłady Podstawowe człony dynamiczne 2 z 56

3 Plan wykładu Schematy strukturalne Podstawowe operacje na schematach blokowych Przykłady Podstawowe człony dynamiczne 2 z 56

4 Plan wykładu Schematy strukturalne Podstawowe operacje na schematach blokowych Przykłady Podstawowe człony dynamiczne 2 z 56

5 Plan wykładu Schematy strukturalne Podstawowe operacje na schematach blokowych Przykłady Podstawowe człony dynamiczne 2 z 56

6 Schematy strukturalne W przypadku opisu złożonych układów dynamicznych, należy zwrócić uwagę na interpretację fizyczną zjawisk przebiegających w badanym układzie Złożony układ dynamiczny opisany jest skomplikowaną transmitancją dlatego wygodniej jest operować schematem strukturalnym Schemat strukturalny można uzyskać w sposób analityczny na podstawie równań operatorowych ukłądu bądź w wyniku badań eksperymentalnych Schemat strukturalny jest równoważny równaniom opisującym układ dynamiczny 3 z 56

7 Podstawowe elementy schematu strukturalnego element dynamiczny u(s) G(s) y(s) węzeł sumacyjny u y = u 1 + u 2 u 2 węzeł zaczepowy u u u 4 z 56

8 Przekształcanie schematów strukturalnych Sposoby przekształcania (upraszczania) schematów strukturalnych 1. metoda krok po kroku 2. metoda przekształcania równań opisujących układ fizyczny 3. metoda mnemotechniczna 4. metoda Masona Metody mnemotechniczna i Masona można stosować do ograniczonej klasy układów Metoda krok po kroku jest metodą uniwersalną można ją stosować do upraszczania dowolnego schematu strukturalnego Przekształcania schematu strukturalnego jest równoważne przekształcaniu ukłądu równań opisujących ten układ Przekształccanie schematu może prowadzić do: 1. zmiany układu połączeń elementów 2. uproszczenia schematu 5 z 56

9 Podstawowe operacje na schematach blokowych Połączenie szeregowe U(s) G 1 (s) G 2 (s) Y (s) U(s) G(s) Y (s) Transmitancja zastępcza G(s) = G 1 (s)g 2 (s) 6 z 56

10 Połączenie równoległe G 2 (s) U(s) + Y (s) G 1 (s) Transmitancja zastępcza U(s) G(s) Y (s) 7 z 56 G(s) = G 1 (s) + G 2 (s)

11 Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym + G 1 (s) U(s) ± Y (s) G 2 (s) U(s) G(s) Y (s) Transmitancja zastępcza 8 z 56 G(s) = G 1 (s) 1 G 1 (s)g 2 (s)

12 Zmiana kolejności węzłów zaczepowych u u u u u u u u 9 z 56

13 Zmiana kolejności węzłów sumacyjnych u 1 u u 4 ± + ± u 1 u ± + + ± u 3 u 2 u 3 1 z 56

14 Łączenie/rozdzielanie węzłów zaczepowych u u u u u u u u 11 z 56

15 Łączenie/rozdzielanie węzłów sumujących u 3 u 3 ± + + ± + u ± ± u 4 u 1 u 2 + u 1 u 2 12 z 56

16 Przesuwanie węzła zaczepowego przed sumujący u 1 u 3 ± ± + u 3 u 2 u 1 u 3 ± + ± + ± ± u 3 u 2 13 z 56

17 Przesuwanie węzła sumującego przed zaczepowy u 1 u 2 ± ± + u 3 u 1 u 1 ± + ± u 2 ± ± + u 3 u 1 14 z 56

18 Przesuwanie węzłów zaczepowych u G(s) y u u G(s) 1 G(s) y u 15 z 56

19 Przesuwanie węzłów zaczepowych cd u y y u y G(s) G(s) y G(s) 16 z 56

20 Przesuwanie węzłów sumacyjnych u 1 u 2 ± + ± G(s) y u 1 ± y G(s) + ± u2 G(s) 17 z 56

21 Przesuwanie węzłów sumacyjnych cd u 1 G(s) ± + ± y u 2 u 1 ± ± + 1 G(s) G(s) y u 2 18 z 56

22 Przykłady Przykład 1 Wyznaczyć transmitancję zastępczą poniższego układu z 56

23 Rozwiązanie 1. rozdzielamy węzeł zaczepowy 172 i liczymy transmitancję połączenia z pełnym sprzężeniem zwrotnym 2. przesuwamy węzeł zaczepowy 172 i liczymy transmitancję połączenia szeregowego 3. łączymy węzły zaczepowe 173 i 174, a następnie je rozdzielamy 4. liczymy transmitancję połączenia ze sprzężęniem zwrotnym, a następnie połączenia szeregowego 5. rozdzielamy węzeł zaczepowy 174 i liczymy transmitancję połączenia z pełnym sprzężeniem zwrotnym 6. wyznaczamy transmitancję zastępczą układu poprzez wyznaczenie transmitancji połączenia ze sprzężenim zwrtotnym 2 z 56

24 Przykład 2 Wyznaczyć transmitancję zastępczą poniższego układu z 56

25 Rozwiązanie 1. przesuwamy węzeł zaczepowy 172 za transmitancję G 2 2. przesuwamy węzeł sumacyjny 173 przed transmitancję G 1 i łączymy węzły sumacyjne 3. liczymy transmitancję połączenia szeregowego 4. rozdzielamy węzeł sumacyjny liczymy transmitancję połączenia ze sprzężeniem zwrotnym 6. liczymy transmitancję połączenia równoległego 7. wyznaczamy transmitancję zastępczą układu poprzez wyznaczenie transmitancji połączenia szeregowego 22 z 56

26 23 z 56 Podstawowe człony dynamiczne

27 Człon proporcjonalny Równanie w dziedzinie czasu Transmitancja y(t) = Ku(t) Y (s) = KU(s) G(s) = Y (s) U(S) = K Transmitancja widmowa G(s) = K G(jω) = K Przykład: G(s) = 2 24 z 56

28 Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b) (a) (b) Step Response Impulse Response Amplitude 2 Amplitude Time (sec) Time (sec) 25 z 56

29 Charakterystyki Bodego Bode Diagram 7.5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 26 z 56

30 Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram 1.5 Imaginary Axis Real Axis 27 z 56

31 Człon inercyjny I rzędu Równanie różniczkowe Transmitancja Transmitancja widmowa T dy(t) dt G(s) = G(jω) = + y(t) = Ku(t) K 1 + Ts K 1 + jt ω Przykład: zbiornik zasilany cieczą o swobodnym wypływie 28 z 56

32 1 Przykład: G(s) = 1 +.1s Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b) (a) (b) Step Response Impulse Response Amplitude.6.4 Amplitude Time (sec) Time (sec) 29 z 56

33 Charakterystyki Bodego Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 3 z 56

34 Charakterystyka Nyquista.5 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Ćwiczenie Wykreślić charakterystyki czasowe i częstotliwościowe dla systemu 31 z 56 G(s) = 1 1.1s

35 Człon inercyjny II rzędu Równanie różniczkowe Transmitancja T 1 T 2 d 2 y(t) dt + (T 1 + T 2 ) dy(t) dt G(s) = Transmitancja widmowa G(jω) = K (1 + T 1 s)(1 + T 2 s) + y(t) = Ku(t) K (1 + jt 1 ω)(1 + jt 2 ω) Przykład: dwa zbiorniki połączone ze sobą, ciecz wpływa do pierwszego zbiornika i swobodnie wypływa z drugiego zbiornika 32 z 56

36 2 Przykład: G(s) = (1 +.1s)(1 + s) Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b) (a) Step Response (b) Impulse Response Amplitude 1.5 Amplitude Time (sec) Time (sec) 33 z 56

37 Charakterystyki Bodego Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 34 z 56

38 Charakterystyka Nyquista 1.5 Nyquist Diagram 1 Imaginary Axis Real Axis 35 z 56

39 Człon oscylacyjny Równanie różniczkowe T 2 d 2 y(t) dt + 2ξ T dy(t) dt + y(t) = Ku(t) gdzie T stała czasowa, ξ współczynnik tłumienności, K wzmocnienie Transmitancja Transmitancja widmowa Przykład: układ obrotowy 36 z 56 G(s) = G(jω) = K T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1 K 1 T 2 ω 2 + j2ξ T ω

40 2 Przykład: G(s) = s 2 +.2s + 1 Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b) (a) (b) 3.5 Step Response 2 Impulse Response Amplitude Amplitude Time (sec) Time (sec) 37 z 56

41 Charakterystyki Bodego 4 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 38 z 56

42 Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram 15 1 Imaginary Axis 5 ω = ω = ω = Real Axis Ćwiczenie Wykreślić charakterystyki częstotliwościowe dla systemu z poprzedniego zadania dla ξ =.1,.5,1,5 39 z 56

43 Człon różniczkujący (idealny) Równanie różniczkowe gdzie T d stała czasowa Transmitancja Transmitancja widmowa y(t) = T d du(t) dt G(s) = T d s G(jω) = jt d ω Przykład: G(s) = 2s 4 z 56

44 Charakterystyki Bodego 3 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 41 z 56

45 Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram 1 ω = 5 Imaginary Axis ω = 5 ω = Real Axis Ćwiczenie Wykreślić charakterystyki czasowe idealnego członu różniczkującego 42 z 56

46 Człon całkujący (idealny) Równanie różniczkowe gdzie T i stała czasowa Transmitancja T i dy(t) dt = Ku(t) G(s) = K T i s Transmitancja widmowa K G(jω) = j T i ω Przykład: G(s) = 2.1s 43 z 56

47 Charakterystyki Bodego Bode Diagram 3 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 44 z 56

48 Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram 1 8 ω = Imaginary Axis ω = ω = 8 ω = Real Axis Ćwiczenie Wykreślić charakterystyki czasowe idealnego członu całkującego 45 z 56

49 Człon opóźniający Równanie różniczkowe gdzie T stała czasowa Transmitancja Transmitancja widmowa y(t) = u(t T ) G(s) = e st G(s) = e jωt Przykład: transport substancji 46 z 56

50 Przykład: G(s) = e.1s Charakterystyki Bodego Bode Diagram 1 Magnitude (db) Phase (deg) z Frequency (rad/sec)

51 Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram 1.5 Imaginary Axis Real Axis Ćwiczenie Wykreślić charakterystyki czasowe członu opóźniającego. Wykorzystać właściwości przekształcenia Laplace a 48 z 56

52 Człon całkujący (rzeczywisty) Równanie różniczkowe gdzie T stała czasowa Transmitancja Transmitancja widmowa T d 2 y(t) dt 2 G(s) = G(s) = + dy(t) dt K s(ts + 1) = Ku(t) KT ω jk T 2 ω 3 ω Przykład: zlinearyzowany model silnika prądu stałego 49 z 56

53 Przykład: G(s) = 2 s(.1s+1) Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b) (a) Amplitude Step Response Time (sec) (b) Amplitude Impulse Response Time (sec) 5 z 56

54 Charakterystyki Bodego 5 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 51 z 56

55 Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram ω = Imaginary Axis ω = ω = 8 ω = Real Axis 52 z 56

56 Człon różniczkujący (rzeczywisty) Równanie różniczkowe gdzie T stała czasowa Transmitancja Transmitancja widmowa T dy(t) dt + y(t) = K du(t) dt G(s) = Ks Ts + 1 G(s) = Kω2 + jkω 1 T 2 ω 2 Przykład: model transformatora w biegu jałowym 53 z 56

57 Przykład: G(s) = 2s.1s+1 Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b) (a) Amplitude Step Response Time (sec) (b) Amplitude Impulse Response Time (sec) 54 z 56

58 Charakterystyki Bodego 3 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 55 z 56

59 Charakterystyka Nyquista Nyquist Diagram 1 5 Imaginary Axis ω = ω = ω = Real Axis 56 z 56