Parowanie trypletowe elektronów zaindukowane oddzia lywaniami wymiennymi.

Transkrypt

1 Uniwersytet Jagielloński Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Parowanie trypletowe elektronów zaindukowane oddzia lywaniami wymiennymi. Zygmunt Starypan Praca magisterska wykonana w Zak ladzie Teorii Materii Skondensowanej Opiekun pracy: prof. dr hab. Józef Spa lek Kraków, czerwiec 004

2 Opiekunowi mojej pracy magisterskiej za wskazanie tematu oraz nieoceniona pomoc jakiej mi udzieli l w trakcie moich studiów, pragne goraco podziekować.

3 Spis treści 1 Wstep Wprowadzenie Uwaga metodologiczna Cel pracy Ogólne sformu lowanie problemu Coopera 8.1 Wprowadzenie Rozwiazanie problemu Gestość stanów, energia Fermiego i stacjonarne równanie Schrödingera Energia wiazania i potencja l parujacy w przestrzeni pedów Podsumowanie rozdzia lu Uk lad elektronów o spinowo-zależnych masach Wprowadzenie Rozwiazanie problemu Energia Fermiego i gestość stanów Energia wiazania i potencja l parujacy w przestrzeni pedów Podsumowanie rozdzia lu Problem Coopera w jezyku II kwantowania Podstawowe definicje w II kwantowaniu Rozwiazanie problemu Coopera w jezyku II kwantowania Podsumowanie rozdzia lu Podsumowanie pracy 36 3

4 Rozdzia l 1 Wst ep 1.1 Wprowadzenie. Zjawisko nadprzewodnictwa zosta lo odkryte w 1911 r. przez H. Kamerlinga Onnesa []. Zaobserwowa l on gwa ltowny spadek do zera oporu w próbce rteci, która sch lodzono poniżej temperatury 4, K. Druga podstawowa cecha stanu nadprzewodzacego, a mianowicie idealny diamagnetyzm, zosta la odkryta w 1933 r. przez Meissnera i Ochsenfelda. Zaobserwowane w lasności nowoodkrytych materia lów otwiera ly przed nimi szeroki zakres zastosowań. Poważnym ograniczeniem pierwszych nadprzewodników by ly: ma ly prad krytyczny, niskie krytyczne pole magnetyczne H C niszcace nadprzewodnictwo a także niska temperatura przejścia w stan nadprzewodzacy. Niezbedne zatem sta lo sie teoretyczne wyjaśnienie nowo odkrytego zjawiska, bowiem zrozumienie go mog lo pomóc w przezwycieżeniu ograniczeń wystepuj acych dla pierwszych odkrytych nadprzewodników. Pierwszym modelem, który w prosty sposób t lumaczy l efekt Meissnera- Ochsenfelda, by l model dwucieczowy, zaproponowany przez braci Londonów w 1934 r. Postulowali oni istnienie w nadprzewodniku dwóch rodzajów elektronów, tzw. sk ladowej normalnej i nadciek lej; przy czym ta nadciek la odpowiada la za bezoporowy przep lyw pradu. Już tak proste za lożenie pozwoli lo przewidzieć istnienie g l ebokości wnikania λ, na która nastepuje penetracja próbki przez nateżenie pola magnetycznego H. W 1950 r. Ginzburg i Landau podali fenomenologiczna (makroskopowa) teorie nadprzewodnictwa. W swym podejściu wykorzystali teorie Landaua dotyczaca przejść fazowych II rodzaju, w której wprowadza sie modyfikacje energii swobodnej Helmholtza o sk ladniki zawierajace parametr porzadku. Teoria ta okaza la sie niezwykle trafna i umożliwi la przewidzenie wielu dalszych w lasności nadprzewodników, zw laszcza przy obecności pola magne- 4

5 ROZDZIA L 1. WST EP 5 tycznego, m.in. odkrytych (teoretycznie) przez Abrikosova w 1957 r. nadprzewodników II rodzaju. W materia lach tych strumień pola magnetycznego powyżej wartości krytycznej nateżenia pola magnetycznego H = H c1 wnika do wnetrza próbki w postaci wirów. Pomimo sukcesów, przedstawione teorie mia ly jedna zasadnicza wade: nie dawa ly wyjaśnienia zjawiska nadprzewodnictwa na poziomie mikroskopowym. Ciagle nie znana by la przyczyna tak dziwnego zachowania sie elektronów w tych materia lach. Pierwsza mikroskopowa teoria nadprzewodnictwa zosta la przedstawiona w 1957 r. przez Bardeena, Coopera i Schriefera - jest to tzw. teoria BCS. Kluczem do jej sformu lowania sta lo sie rozwiazanie tzw. problemu Coopera [6]. Rozwiazanie to przewidywa lo efekt l aczenia sie pojedynczych elektronów w metalu w stany zwiazane par (tzw. pary Coopera) na skutek przyciagaj acego efektywnego oddzia lywania miedzy nimi. W spektrum wzbudzeń elektronowych uk ladu wystepuje wtedy przerwa energetyczna, oddzielajaca stan podstawowy od stanu rozerwanej pary elektronów. W rzeczywistym materiale nadprzewodzacym elektrony paruja sie (przy czym jeden elektron jest sparowany z wieloma innymi) i poniżej temperatury krytycznej T = T s pary elektronów kondensuja w silnie skorelowany kondensat par, które poruszaja sie poprzez uk lad bezoporowo. Teoria BCS opisuje doskonale klasyczne materia ly nadprzewodzace zwane nadprzewodnikami I rodzaju. W jej ramach można obliczyć wiele użytecznych w lasności ściśle zgadzajacych sie z doświadczeniem. Jednakże nie sprawdza sie ona w przypadku odkrytych w 1986 r. przez G. Bednorza i K. Müllera [9] nadprzewodników wysokotemperaturowych. Zjawiska zachodzace w tych materia lach próbuje sie opisać poprzez różnorodne modyfikacje teorii BCS, lub też przez zupe lnie nowe podejście teoretyczne. Pomimo wszelkich dotychczasowych starań, jednolita teoria nadprzewodnictwa wysokotemperaturowego nie zosta la jeszcze stworzona. Podobnie ma sie sytuacja z nadprzewodnictwem w materia lach takich jak uk lady cieżkich fermionów (CeCu Si, UBe 13, itd.) czy metale organiczne.

6 ROZDZIA L 1. WST EP 6 1. Uwaga metodologiczna. Oddzia lywanie wymienne charakteryzuje sie zależnościa od iloczynu skalarnego spinów S α S β, gdzie S α oraz S β sa operatorami spinu wyrażonymi w reprezentacji fermionowej, np. S α ( ) ( S α +, Sα, Sα z = a α a α, a 1 α a α, (a α a α a α a α ) ). W ogólności zatem bedziemy rozważać potencja l parujacy w I kwantowaniu jako zależny od cosθ αα, gdzie θ αα jest katem wzglednym pomiedzy spinami w stanach α α. Sprawa ma sie troche inaczej jeżeli używamy reprezentacji II kwantowania. Ściślej mówi ac, parowanie elektronów ze spinami równoleg lymi wymaga ze wzgledu na zakaz Pauliego nietrywialnego charakteru potencja lu parowania. A to zwykle oznacza, że funkcje falowe pary musza zawierać sk ladowe z niezerowym momentem pedu, co w konsekwencji prowadzi do nietrywialnej zależności katowej i to zarówno potencja lu parujacego jak i wynikajacych z niego funkcji falowych. W tej pracy bedziemy wiec zatem rozwijać w harmoniki sferyczne funkcje falowe przy potencjale rozwijanym w odpowiadajace im funkcje Legendre a.

7 ROZDZIA L 1. WST EP Cel pracy. Celem niniejszej pracy jest zbadanie mechanizmu tworzenia sie stanu zwiazane- go dwóch elektronów zaindukowanego oddzia lywaniami wymiennymi. Jak już to powiedzieliśmy wyżej, takie oddzia lywanie zależy w sposób nietrywialny od kata jaki tworza miedzy soba spiny elektronów. Prowadzić to powinno do nietrywialnego stanu spinowego czastek w stanie zwiazanym. Rozdzia l pierwszy zawiera krótka historie nadprzewodnictwa. W rozdziale drugim rozważamy mechanizm ogólnego parowania dwóch elektronów zaindukowanego oddzia lywaniami wymiennymi. Rozdzia l trzeci poświecony zosta l parowaniu dwóch elektronów, których masa dodatkowo zależna jest od rzutów ich spinów na zadana oś kwantyzacji (czyli od liczby kwantowej m ). Problem omówiony w tym rozdziale może wydawać sie bardzo abstrakcyjny i oderwany od rzeczywistości. Jednakże, jak pokazane zosta lo w pracach [4] i [5], istnieja uk lady ze zniesiona degeneracja spinowa elektronów, w których na skutek oddzia lywania kulombowskiego typu Hubbarda masa efektywna elektronów zależna jest od orientacji ich spinów. W rozdziale czwartym w zwiez ly sposób zosta ly przedstawione w jezyku II kwantowania problemy omówione w rozdzia lach poprzednich. Po l aczenie powyższych rozważań w jednolity formalizm pozwoli na stworzenie ogólnego modelu parowania elektronów zaindukowanego oddzia lywaniami wymiennymi.

8 Rozdzia l Ogólne sformu lowanie problemu Coopera.1 Wprowadzenie. W tym rozdziale rozważamy pojedyncza pare elektronów znajdujacych sie na lub powyżej powierzchni Fermiego i oddzia luj acych ze soba s labym potencja lem przyciagaj acym. O spinie wypadkowym stanów pary nie bedziemy nic zak ladać. W tym przypadku zaistnieć moga dwie możliwości parowania. Pierwsza to taka, w której rozpatrywane elektrony maja antyrównoleg le (przeciwne) spiny. Taka pare elektronów nazywamy para singletowa, zaś samo parowanie określa sie mianem singletowego. Druga z tych możliwości to taka, w której rozpatrywane elektrony maja równoleg le spiny. Taka pare elektronów nazywamy para trypletowa, a samo parowanie określa sie jako trypletowe. Oddzia lywanie pomiedzy elektronami wewnatrz kuli Fermiego a opisywana para elektronów jest na tyle s labe, że możemy je zaniedbać (mówimy wtedy, że pojedyncza para Coopera nie jest w stanie wzburzyć spokojnego morza Fermiego). Ściślej mówi ac, opisujemy elektrony w pobliżu powierzchni Fermiego jako niezależne kwaziczastki charakteryzujace elektronowa ciecz Fermiego-Landaua. Z powodu podobieństw zjawiska nadprzewodnictwa w różnych materia lach zak ladamy, że szczegó ly ich struktury elektronowej i krystalicznej nie maja wp lywu na jakościowe zrozumienie stanu nadprzewodzacego. Stad też zamiast periodycznego potencja lu pochodzacego od sieci krystalicznej jonów, wprowadza sie pud lo o objetości V, a efekty tych oddzia lywań kulombowskich a także oddzia lywanie odpychajace miedzy elektronami, zawarte sa w masie efektywnej kwaziczastek. 8

9 ROZDZIA L. OGÓLNE SFORMU LOWANIE PROBLEMU COOPERA9. Rozwiazanie problemu...1 G estość stanów, energia Fermiego i stacjonarne równanie Schrödingera. Przy periodycznych warunkach brzegowych, stany energetyczne elektronów w pudle potencja lu opisywane sa niezaburzona funkcja falowa [] postaci: Ψ n (r) = 1 e ikn r, (.1) V oraz energia: E kn = k n m, (.) gdzie wartości wektora falowego przyjmuja dyskretne wartości: k n = π [n 1,n,n 3 ], oraz n 1,n,n 3 Z, (.3) V 1 3 natomiast m jest masa efektywna elektronu w takim ośrodku. Ze wzgledu na degeneracje spinowa każdy stan może być obsadzony dwukrotnie. Dla T = 0 wszystkie poziomy energetyczne, aż do poziomu odpowiadajacego energii Fermiego E F = k F (zgodnie z zasad a m Pauliego), sa zape lnione. Oznacza to, że w przestrzeni pedów wszystkie stany pedowe wewnatrz kuli Fermiego o promieniu k F (wektor falowy Fermiego) sa obsadzone. W pracy tej używamy wymiennie pojecia wektora falowego k i pedu p = k, nawet bez pisania w tym drugim przypadku. Dla N elektronów w uk ladzie można latwo znaleźć wyrażenie na k F : k F = (3π N V )1 3. (.4) Natomiast gestość stanów w takim uk ladzie o objetości V dana jest wtedy zależnościa: ρ(e) = (m)3 π V E. (.5) 3 Regu la Pauliego oraz brak za lożeń dotyczacych spinów, rozważanych elektronów, prwadza do wniosku, że cześć przestrzenna funkcji falowej takiej pary w przypadku swobodnych czastek (bez oddzia lywania) jest nastepuj aca: Ψ(r 1,r ) = 1 V eik 1 r 1 e ik r dla pary singletowej, Ψ(r 1,r ) = 1 V [eik 1 r 1 e ik r e ik 1 r e ik r 1 ] dla pary trypletowej. (.6)

10 ROZDZIA L. OGÓLNE SFORMU LOWANIE PROBLEMU COOPERA10 Przedstawione powyżej zależności wynikaja z nastepuj acego rozumowania. Funkcja falowa uk ladu N fermionów jest antysymetryczna, co wiadomo z [1]. Dodatkowo wiemy, że cześć spinowa tej funkcji falowej jest odpowiednio: antysymetryczna dla singletu (spiny antyrównoleg le) i symetryczna w przypadku trypletu (spiny równoleg le). Wiec aby zachować antysymetrie ca lkowitej funkcji falowej uk ladu, która jest iloczynem swej cześci spinowej i przestrzennej, musimy przyjać jako zależności określajace odpowiednio jej cześci przestrzenne, funkcje dane w powyższym uk ladzie. W wyniku oddzia lywania elektronów, które prowadzi do ich wzajemnego rozpraszania, pedy k 1 i k przestaja być dobrymi liczbami kwantowymi. Oznacza to, że jako funkcje falowa uk ladu przyjmujemy superpozycje funkcji falowych danych równaniem (.1), w postaci: Ψ(r 1,r ) = χ σ1,σ 1 V k 1,k a k1,k e ik1 r1 e ik r, (.7) gdzie we wspó lczynnikach a k1 k kryje sie symetria (antysymetria) przestrzennej cześci funkcji falowej, natomiast χ σ1 σ jest spinowa cześci a rozpatrywanej funkcji falowej. Ponieważ wszystkie stany poniżej poziomu Fermiego sa obsadzone, musimy narzucić na wspó lczynniki a k1 k warunek uwzgledniaj acy zakaz Pauliego: a k1 k = 0 dla k 1, k k F. (.8) Stacjonarne równanie Schrödingera dla pojedynczej pary w rozpatrywanym przypadku ma postać: ] [ m r 1 m r + V (r 1,r ) Ψ(r 1,r ) = EΨ(r 1,r ). (.9) Opisuje ono problem dwóch cia l o jednakowych masach m 1 = m = m i energii potencjalnej wzajemnego oddzia lywania V (r 1,r ). Po transformacji zarówno funkcji falowej jak i równania Schrödingera do wspó lrz ednych środka masy (K,R) oraz wspó lrz ednych wzgl ednych (k,r) zdefiniowanych odpowiednio w postaci: { R = r 1 +r K = k 1 + k 1, oraz { r = r1 r 1 k = k 1 k,

11 ROZDZIA L. OGÓLNE SFORMU LOWANIE PROBLEMU COOPERA11 oraz przy dodatkowym za lożeniu, że potencja l oddzia lywania zależy jedynie od wzglednej odleg lości elektronów V (r 1,r ) = V ( r ) = V (r) otrzymujemy zarówno funkcje falowa w postaci 1 Ψ(r 1,r ) = χ σ1,σ a K,k e ik R e ik r, (.10) V jak i stacjonarne równanie Schrödingera typu ] [ 4m R 1 m r + V (r) E a K,k e ik R e ik r = 0, (.11) V w którym oczywiście nie wystepuje spinowa cześć funkcji falowej. Ponieważ wystepowa la po obu stronach równania i żaden z operatorów na nia nie dzia la l wie można by lo ja opuścić. W nastepnym kroku należy pomnożyć otrzymane równanie lewostronnie przez: 1 V e ik R e ik r a nastepnie obie strony tego równania wyca lkować wzgledem d 3 R i d 3 r. W wyniku takiego postepowania otrzymujemy równanie: ( ) ] δ(k K ) [δ(k,k K )a K,k 4m + k m E + a K,k V k k = 0, (.1) K,k gdzie: V k k = 1 V d 3 r e ik r V (r)e ik r. Widać, że ca le równanie jest mnożone przez δ(k K ), co oznacza, że ped środka masy jest w tym uk ladzie wielkościa zachowana, jak powinno być, gdyż oddzia lywanie wzajemne może jedynie zmienić ped wzgledny. Z tego też wzgledu wspó lczynniki a Kk, które wprowadzaja oddzia lywanie do funkcji falowej, bed a w dalszej cześci numerowane tylko indeksem k. Zatem, równanie na energie w lasna uk ladu przybiera teraz postać: ( ) K a k 4m + k m E + a k V k k = 0 (.13) k K,k i prowadzi ono do nastepuj acego równania a k = K,k 1 E(K) + E(k ) E a k V k k. (.14) gdzie: E(K) = K jest energi a 4m ruchu środka masy, E(k) = k jest m energia ruchu wzglednego nie oddzia luj acych elektronów, natomiast E jest energia stanu zwiazanego pary elektronów. k

12 ROZDZIA L. OGÓLNE SFORMU LOWANIE PROBLEMU COOPERA1 Ponieważ a k jest miara prawdopodobieństwa zaistnienia pary Coopera w stanie k wiec oczywistym jest, że najwieksze prawdopodobieństwo powstania pary Coopera jest wtedy gdy: k k F,k a : a k przyjmuje wartość maksymalna, (oczywiście należy pamietać, że k a k jest równe jedności), co z kolei pociaga za soba warunek: E(K) = 0. Dla pedu środka masy równego zeru, energia wiazania osiaga wartość maksymalna. Takie za lożenie oznacza, że w stanie podstawowym para Coopera (zarówno singletowa jak i trypletowa) nie niesie ze soba pradu elektrycznego (warunek k+k = 0 oznacza k = k, a to przy za lożeniu, że masy obydwu elektronów tworzacych pare sa równe daje otrzymany rezultat). Energie wiazania pary Coopera, definiujemy w nastepuj acy sposób: E = E K + E F, (.15) gdzie za lożyliśmy, że E(k) = E F Uwzgledniaj ac w (.14) zależność (.15) otrzymujemy: 1 a k = a [E(k k V k k. (.16) ) E F ] + Powyższe równanie jest punktem wyjścia do dalszych rozważań dotyczacych par Coopera... Energia wiazania i potencja l parujacy w przestrzeni pedów. Aby można by lo kontynuować rozpoczete rachunki należy powiedzieć czym tak naprawde sa wspó lczynniki a k oraz jaka postać w przestrzeni pedów ma potencja l parujacy V k k. Potencja l parujacy w przestrzeni pedów w ogólnym przypadku zależy od wartości obu wektorów k,k oraz od kata wzglednego miedzy nimi (oznaczmy go przez θ). Moglibyśmy zatem zapisać nasz potencja l w bazie ortonormalnych stowarzyszonych funkcji Legendre a Pl m. Jednakże w krysztale, w którym rozważamy pojedyncza pare Coopera, nie istnieje wyróżniony kierunek w przestrzeni. Zatem wartość liczby kwantowej m nie bedzie odgrywać tutaj roli. Warunek ten pozwala nam zapisać rozpatrywany potencja l w bazie ortonormalnych wielomianów Legendre a P l = 1 l l! l k x l (x 1) l wzgledem zmiennej x = cos θ = ˆk ˆk. W zależności powyższej ˆk i ˆk sa wersorami odpowiednio w kierunkach wektora k i k, natomiast θ jest katem wzglednym miedzy tymi wektorami.

13 ROZDZIA L. OGÓLNE SFORMU LOWANIE PROBLEMU COOPERA13 Wspó lczynniki a k zapiszemy w bazie ortonormalnych harmonik sferycznych Y lm (θ,ϕ), które zdefiniowane sa poprzez zależność: Yl m (θ,ϕ) = ε (l+1)(l m )! 4π(l+ m )! P m l (cosθ)e imϕ. gdzie: θ i ϕ sa wspó lrz ednymi wektora k, w sferycznym uk ladzie wspó lrz e- dnych, wprowadzonym w przestrzeni pedów, w którym wektor ten ma nastepu- j aca postać: k x = k sin θ cosϕ k y = k sin θ sin ϕ k z = k cos θ, natomiast element ε zdefiniowany jest nastepuj aco: { (-1) ε = m, dla m > 0; 1, dla m 0. (.17) Uk lad tych funkcji, (harmonik sferycznych), jest uk ladem zupe lnym, oznacza to, że zachodzi nastepuj aca relacja: Ylm(θ,ϕ )Y lm (θ,ϕ) = δ(θ θ )δ(ϕ ϕ ). (.18) lm Ostatecznie wiec mamy: l + 1 V k k = P l (cos θ)v l (k,k ), (.19) oraz l a k = lm a lm a l (k)y lm (θ,ϕ), (.0) gdzie: k = k, liczby a lm sa wspó lczynnikami rozwiniecia, θ jest k atem pomiedzy wektorami k i k. Natomiast modu l, zapewnia ujemna wartość potencja lu, co odpowiada parowaniu sie elektronów. Rozpatrywana para ma ustalona wartość liczby l (tutaj l = 0 lub l = 1), wiec dla tej w laśnie wartości l element v l jest nie zerowy, a dla innych wartości l przyjmuje wartość zero. Warunek ten (narzucony przez fizyke rozpatrywanego problemu) pozwala nam na opuszczenie sumowania po l, co też w rezultacie prowadzi do równania postaci: l + 1 V k k = P l (cos θ) v l (k,k ). (.1)

14 ROZDZIA L. OGÓLNE SFORMU LOWANIE PROBLEMU COOPERA14 Przyjmujac upraszczajace za lożenie, że rozważane elektrony oddzia luj a miedzy soba tylko w waskim przedziale wartości energii powyżej powierzchni Fermiego, możemy element v l przybliżyć wyrażeniem: { v l (k,k vl = const(k,k ) = ) dla k F < k,k < k a 0 w pozosta lych przypadkach gdzie k a jest wartościa pedu z za lożenia niewiele wieksz a od k F. Oznacza to, że przyciagaj ace oddzia lywanie miedzy elektronami jest ma le w porównaniu z energia Fermiego (jest to granica s labego sprzeżenia, która stanowi także g lówne za lożenie teorii BCS). Równanie (.16) przybiera wtedy postać: a k = 1 [E(k ) E F ] + k l + 1 a k P l (cos θ) v l. (.) Uwzgledniaj ac we wzorze (.) zależność (.0) otrzymujemy: kl m l+1 a l m a l (k )Y l m (θ,ϕ ) = v l P l (cos θ)a l m a l (k)y l m (θ,ϕ). [E(k ) E l m F ] + (.3) Równanie powyższe można nazwać uogólnionym równaniem Coopera. Przenoszac wszystkie wyrazy tego równania na jedna strone otrzymujemy równanie postaci: l m a l m a l (k )Y l m (θ,ϕ ) z którego wynika nastepuj acy uk lad: k kl m l+1 v l P l (cos θ)a l m a l (k)y l m (θ,ϕ) l+1 [E(k ) E F ] + = 0 (.4) l,m : a l (k )Y l m (θ,ϕ k ) = v l P l (cos θ)a l m a l (k)y l m (θ,ϕ), [E(k ) E F ] + (.5) Nastepnie wykorzystujac znana regu l e dla uk ladów o rozmiarach makro, pozwalajac a na zamienie sumy po stanach pedowych na calke po objetości w przestrzeni pedów, postaci: ( ) = V ( )d 3 k, (.6) (π) 3

15 ROZDZIA L. OGÓLNE SFORMU LOWANIE PROBLEMU COOPERA15 otrzymujemy: l,m : a l (k )Y l m (θ,ϕ ) = ( ) l+1 V v l d 3 kp l (cos θ)a l m a l (k)y l m (θ,ϕ). (.7) (π) 3 [E(k ) E F ] + Po przejściu do wspó lrz ednych sferycznych w przestrzeni k, rozpatrywany uk lad przybiera nastepuj ac a postać: l,m : a l (k )Y l m (θ,ϕ ) = ( ) V al (k)k dk l + 1 v (π) 3 [E(k l P l (cos θ)y l ) E F ] + m (θ,ϕ)sinθdθdϕ (.8) Po obustronnym wymnożeniu każdego z równań stanowiacych nasz uk lad przez (k ), i wyca lkowaniu obydwu stron każdego z nich po sk ladowej przestrzennej wektora k, otrzymujemy uk lad postaci: l,m : Y l m (θ,ϕ ) a l (k )(k ) dk = ( ) V (k ) a l (k)k dk l + 1 (π) 3 [E(k ) E F ] + dk v l P l (cos θ)y l m (θ,ϕ)sinθdθdϕ (.9) Nastepnie uwzglednieniaj ac fakt, że a l (k )k dk = a l (k)k dk i jest to wartość skończona, rozpatrywany uk lad przechodzi w uk lad postaci: l,m : Y l m (θ,ϕ ) = l+1 V dk (l + 1) v l P l (cos θ)y l m (θ,ϕ) sin θdθdϕ (k ) dk. (.30) (π) 3 [E(k ) E F ] + Nastepnie mnożac obydwie strony każdego równania ostatniego uk ladu przez Yl m (θ,ϕ ), otrzymujemy: ( ) V (π) 3 l,m : Yl m (θ,ϕ )Y l m (θ,ϕ ) = l+1 (k ) v l dk P [E(k l (cos θ)y l ) E F ] + m (θ,ϕ )Y l m (θ,ϕ)sinθdθdϕ. (.31)

16 ROZDZIA L. OGÓLNE SFORMU LOWANIE PROBLEMU COOPERA16 Teraz obustronnie zsumujemy po l i m równania otrzymanego uk ladu, co w rezultacie da nam równanie postaci: ( V ) (k l+1 ) l dk (π) 3 [E(k ) E F ] + l m Y l m (θ,ϕ )Y l m (θ,ϕ ) = P l (cos θ) l m Y l m (θ,ϕ )Y l m (θ,ϕ)sinθdθdϕ, (.3) które po uwzgl ednieniu warunku zupe lności harmonik sferycznych, przechodzi w równanie ( V ) (k l+1 ) l dk (π) 3 [E(k ) E F ] + δ(θ θ )δ(ϕ ϕ ) = P l (cos θ)δ(θ θ)δ(ϕ ϕ)sinθdθdϕ. W ostatnim kroku należy wykonać obustronnie nastepuj ac a operacje: lim (θ θ ),(ϕ ϕ ) ()dθ dϕ, (.33) która to, po zamianie kolejnościa wykonania granicy i ca lek po prawej stronie równania, prowadzi nas do wyniku: ( V ) (k l+1 ) l dk (π) 3 [E(k ) E F ] + P l (1)sinθ dθ dϕ = 1. (.34) Powyższe równanie bardzo latwo wyrazić poprzez g estość stanów, co też zosta lo uczynione poniżej. Ea E F ρ(ɛ) (ɛ ɛ F ) + dɛ =, (.35) l+1 l P l (1) gdzie: E a określa górna granice istotnego przedzia lu energii ze wzgledu na procesy rozpraszania, natomiast P l (1) dane jest jako: [ ] 1 d l P l (1) = lim 1) l (.36) x 1 l l! dx l(x i dla interesujacych nas przypadków (tzn. l = 0 lub l = 1) wynosi: P 0 (1) = P 1 (1) = 1 (.37)

17 ROZDZIA L. OGÓLNE SFORMU LOWANIE PROBLEMU COOPERA17 Zauważmy, że E a E f (granica s labego sprzeżenia) oraz oddzia lywanie parujace stanowi bardzo ma l a energie w porównaniu z istotna zmiennościa energii kinetycznej czastek, co sprawia, że ρ(ɛ) nie zmienia sie istotnie w przedziale [E F,E a ]. Z powyższych wniosków wynika, że gestość stanów wystepuj ac a w (.35) może zostać przybliżona przez gestość stanów odpowiadajac a energii Fermiego, tzn. ρ(ɛ) = ρ(ɛ F ). Tak wiec teraz można wyznaczyć energie wiazania elektronów w pare Coopera jako: E a E F l = (.38) exp( ρ(e F ) l+1 ) 1. v l Ograniczenie energetyczne E F < ɛ < E a wynika z faktu, że efektywne oddzia lywanie parujace spowodowane jest np. przez fonony, czyli skwantowane drgania sieci krystalicznej. Maksymalna czestość tych drgań określa czestość Debye a ϖ D a odpowiadajaca jej energia ϖ D określa maksymalna dawke energii, jaka elektrony moga wymieniać miedzy soba w procesie rozpraszania prowadzacym do parowania. Możemy zatem napisać: E a E F ϖ D, co prowadzi do zależności: l = ϖ D exp( ρ(e F ) ) 1 ϖ ρ(e De F ) l+1 v l. (.39) l+1 v l Formu la (.39) wyraża zależność energii wiazania rozpatrywanej pary elektronów, w funkcji wartości gestości stanów odpowiadajacej energii Fermiego. Bardzo latwo można ten wzór przekszta lcić, tak aby l zależna by la od pedu Fermiego, co też pokazano poniżej: l = ϖ D π exp( ) 1 ϖ V mk l+1 De F v l. (.40) V mk l+1 F v l W powyższej zależności V oznacz obj etość uk ladu. Przybliżone równości w (.39) i (.40) wynikaja z za lożenia, że w rozpatrywanych przypadkach (tzn. l = 0 lub l = 1) zachodzi zależność: v l ρ(e F ) 1. Warunek ten oznacza, że jeśli oznaczymy przez E przedzia l energii przypadajacy na jeden niezaburzony stan kwantowy, to v l E. To w laśnie oznacza przybliżenie s labego sprzeżenia. Poniższe zwiaki: { pl ξ l, l ( p l) 4m,

18 ROZDZIA L. OGÓLNE SFORMU LOWANIE PROBLEMU COOPERA18 pozwalaja w latwy sposób oszacować średni rozmiar pojedynczej pary Coopera, który wynosi: ξ l =, (.41) m l gdzie, energia wiazania l dana jest równaniami (.38), (.39) i (.40). Przyjmujac w otrzymanych zależnościach l = 0, otrzymujemy wyniki dla parowania singletowego. Jeżeli zaś przyjmiemy l = 1, to otrzymamy wyniki dla trypletowego parowania elektronów zaindukowanego oddzia lywaniami wymiennymi. Przede wszystkim interesujace dla ans sa zależności opisujace energie wiazania powsta lej pary Coopera, które w tym wypadku dane sa odpowiednio dla singletu i trypletu w postaci: 0 = ϖ D exp( ρ(e F ) 1 v 0 ) 1 ϖ De ρ(e F ) 1 v 0, (.4) ϖ D 1 = exp( ) 1 ϖ ρ(e De F ) 3 v 1. (.43) 3 ρ(e F ) v 1 Dodatkowo, wstawiajac (.4) lub (.43) do (.41), otrzymamy wzory określaja- ce średni szacowany rozmiar powsta lej pary, które dane sa odpowiednio dla singletu i trypletu w postaci: ξ 0 = exp 1, (.44) 8mϖ D 1 ρ(ɛ F ) v 0 oraz ξ 1 = exp 1. (.45) 8mϖ D 3 ρ(ɛ F ) v 1 Szacowany rozmiar singletowej pary Coopera (co jest podane w [3]), wynosi: ξ [Å]. Wniosek jaki możemy wyciagn ać z tego wyniku jest taki, że w realnym materiale nadprzewodzacym wystepuje równoczesne przekrywanie sie funkcji falowych ogromnej liczby par Coopera. Jest tak dlatego, że odleg lość klasyczna miedzy elektronami w metalu wynosi d ee = ( V N )1 3 1Å. Mamy wiec wtedy do czynienia z problemem wielu cia l, a do jego rozwiazania trzeba uciec sie do metod stosowanych w takich wypadkach. Zajmuje sie tym oczywiście teoria BCS, której fundamentalnym za lożeniem jest to, iż pojedyncza para porusza sie w średnim polu wszystkich innych par w uk ladzie.

19 ROZDZIA L. OGÓLNE SFORMU LOWANIE PROBLEMU COOPERA19.3 Podsumowanie rozdzia lu. W rozdziale niniejszym przeanalizowano ogólny mechanizm parowania elektronów zachodzacego w kanale o określonym l. Z przedstawionego modelu, wynikaja zależności opisujace energie i rozmiar zarówno singletowej, jak i trpletowej pary Coopera. Wartym uwagi jest fakt, że w stanie podstawowym zarówno singletowa jak i trypletowa para Coopera nie niosa ze soba pradu elektrycznego (przypadek par bezpradowych), co jak latwo sie domyślić, ulegnie zmianie, gdy taka para znajdzie sia w polu elektrycznym lub magnetycznym. Należy zwrócić uwage na to, że jeżeli potencja l parujacy w przypadku parowania singletowego, przyjmiemy tak jak w oryginalnym podejściu Coopera [3] i oznaczymy go jako ṽ 0 to zachodzi wtedy: ṽ 0 = 1 v 0, gdzie v 0 jest odpowiednim wspó lczynnikiem rozwiniecia potencja lu V k k w bazie ortonormalnych wielomianów Legendre a. W obu przedstawionych przypadkach parowania można dodatkowo rozważać uk lady z efektywna masa elektronów zależa od kierunku spinu, co (dla przypadku parowania singletowego) zosta lo pokazane w pracy [3]. Wspomniane powyżej zagadnienie, jest przedmiotem badań przeprowadzonych w nastepnym rozdziale.

20 Rozdzia l 3 Uk lad elektronów o spinowo-zależnych masach 3.1 Wprowadzenie. W rozdziale tym rozważana bedzie pojedyncza para elektronów, znajdujacych sie, podobnie jak poprzednio, na lub powyżej powierzchni Fermiego i oddzia luj acych ze soba s labym potencja lem przyciagaj acym. Tym razem bedzie- my dodatkowo zak ladać, że masy elektronów tworzacych pare Coopera zależa od rzutu spinu na zadana oś kwantowania (czyli od liczby kwantowej σ). Takie spinowo-zależne masy zosta ly wprowadzone w przypadku uk ladów skorelowanych elektronów i opisane m. in. w pracy [4]. Podobnie, jak w przypadku omówionym w poprzednim rozdziale, również i w tym zaistnieć moga dwie możliwości parowania elektronów, tzn. parowanie singletowe oraz parowanie trypletowe. Różnica pomiedzy tym a poprzednio omówionym problemem, wynika w laśnie z zależności masy elektronu od rzutu jego spinu na zadana oś kwantowania. Podobnie, jak poprzednio, również i tym razem bedziemy zak ladać, że oddzia lywanie pomiedzy elektronami wewnatrz kuli Fermiego a opisywana para elektronów można zaniedbać oraz, że szczegó ly struktury elektronowej i krystalicznej badanych materia lów nie maja wp lywu na jakościowe zrozumienie parowania. Stad też zamiast periodycznego potencja lu wprowadzamy pud lo potencja lu o objetości V = L 3. 0

21 ROZDZIA L 3. UK LAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH1 3. Rozwiazanie problemu Energia Fermiego i g estość stanów. Na wstepie rozważmy uk lad N swobodnych elektronów, których masy zależa od rzutu ich spinów na zadana oś kwantyzacji, znajdujacych sie w pudle potencja lu o objetości V. Na uk lad ten nak ladamy dodatkowo periodyczne warunki brzegowe. Stany energetyczne elektronów tego uk ladu opisane sa podobnymi zależnościami jak w rozdzia lach poprzednich. Różnica, która miedzy nimi wystepuje jest zależność energii od spinu. Tak wiec, mamy przestrzenna cześć funkcji falowej w postaci: Ψ n (r) = 1 e ikn r, (3.1) V oraz energie dana w postaci: gdzie: E knσ = k n m σ, (3.) k n = π [n 1,n,n 3 ], n 1,n,n 3 Z (3.3) V 1 3 oraz m σ jest efektywna spinowo-zależna masa elektronu w stanie kwantowym σ (m m ). Ze wzgledu na zależność masy elektronu od rzutu jego spinu na oś kwantyzacji w uk ladzie tym mamy zniesiona degeneracje spinowa stanów jednoczastkowych. Dla ustalenia uwagi w dalszej cześci tego rozdzia lu bedziemy przyjmować, że: m < m. Oczywiście, brak degeneracji spinowej w uk ladzie powoduje, że każdy stan może być obsadzony tylko jeden raz. Z zależności (3.) wnioskujemy, że elektrona o mniejszej masie odpowiada wieksza energia (w rozpatrywanym przypadku spin σ = pociaga za soba wieksz a energie). Ponieważ zgodnie z rozk ladem Fermiego-Diraca, dla temperatury T = 0 elektrony zape lniaj a wszystkie poziomy energetyczne aż do poziomu Fermiego, wiec wiecej zostanie obsadzonych stanów z σ =, jest to spowodowane wieksz a ilościa dozwolonych wartości wektora falowego k n. Oczywiście, ped Fermiego przyjmuje w tej sytuacji wieksz a wartość niż dla σ =. Mówimy wtedy o rozszczepieniu kuli Fermiego w przestrzeni pedów rozważanego uk ladu, (jest to odbiciem za lożenia, że m < m ). Ponieważ uk lad znajduje sie w stanie równowagi, wiec ma ustabilizowana, i tylko jedna dla obu rodzajów elektronów, wartość energii Fermiego: E F = k Fσ m σ = k Fσ. (3.4) m σ

22 ROZDZIA L 3. UK LAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH Z zależności powyższej latwo wyznaczamy zwiazek pomiedzy k Fσ i k Fσ w postaci: k Fσ = mσ m σ k Fσ (3.5) W powyższych równaniach, tak jak i w dalszej cześci tego rozdzia lu, przyjeta zosta la konwencja oznaczania rzutów spinu na zadany kierunek w postaci σσ. Taki zapis, jak latwo sie przekonać, jest uniwersalny. Uwzglednia on bowiem wszystkie możliwości ustawienia spinów rozpatrywanych elektronów tworzacych dana pare. Wykorzystujac zależności określajace ca lkowit a liczbe elektronów N = N σ + N σ i ca lkowit a gestość stanów w uk ladzie ρ = ρ σ + ρ σ oraz wzór (3.5), otrzymujemy dla zadanej liczby elektronów w uk ladzie (wynoszacej N), wyrażenia opisujace: wartość pedu Fermiego dla zadanej orientacji spinów k Fσ = [ 6π N V m 3 σ m 3 σ + m 3 σ ] 1 3 ; (3.6) gestość stanów dla zadanej orientacji spinów ρ σ (E) = V ( )3 mσ E; (3.7) 4π energi e Fermiego i ca lkowit a gestość stanów E F = ρ(e) = V 4π [ 6π N V [ (mσ )3 1 m 3 σ + m 3 σ + ( mσ ] 3 ; (3.8) ] )3 E. (3.9) Podstawiajac w powyższych zależnościach σ =, σ = otrzymujemy wyniki dla konkretnego ustawienia spinów. W szczególności, wszystkie powyższe zależności oprócz (3.7), redukuja sie do zależności znanych dla uk ladu, w którym nie mamy do czynienia ze spinowo-zależnymi masami elektronów. Podobnie, jak poprzednio, jako funkcje falowa uk ladu, przyjmujemy superpozycje funkcji falowych (3.1), w postaci: 1 Ψ(r 1,r ) = χ σσ a k1,k V e ik1 r1 e ik r, (3.10) k 1,k

23 ROZDZIA L 3. UK LAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH3 gdzie we wspó lczynnikach a k1 k kryje sie symetria (antysymetria) przestrzennej cześci funkcji falowej, natomiast χ σσ jest spinowa cześci a funkcji falowej pary. Oczywistym jest, że i w tym (najbardziej ogólnym z dotychczas rozważanych) przypadku, musimy narzucić na wspó lczynniki a k1 k warunek: a k1 k = 0 dla k 1, k k F. (3.11) Niezależne od czasu Równanie Schrödingera przybiera zatem postać: ] [ r m 1 r σ m + V (r 1,r ) Ψ(r 1,r ) = EΨ(r 1,r ). (3.1) σ Po transformacji, zarówno funkcji falowej jak i równania Schrödingera, do wspó lrz ednych środka masy (K,R) oraz wspó lrz ednych wzgl ednych (k,r) danych odpowiednio w postaci: { R = m σr 1 +m σ r m σ+m σ K = k 1 + k 1 oraz { r = r1 r 1 k = mσk 1 m σ k m σ+m, σ i po dodatkowym za lożeniu, że potencja l oddzia lywania zależy jedynie od wzglednej odleg lości elektronów V (r 1,r ) = V ( r ) = V (r) otrzymujemy funkcje falowa w postaci: 1 Ψ(r 1,r ) = χ σσ a K,k e ik R e ik r (3.13) V oraz stacjonarne równanie Schrödingera dane jako: ] [ M R 1 µ r + V (r) E a K,k e ik R e ik r = 0, (3.14) V gdzie: M = m σ + m σ jest masa ca lkowit a powsta lej pary, natomiast µ = mσm σ m σ+m jest masa σ zredukowana uk ladu tych dwóch czastek. K,k K,k

24 ROZDZIA L 3. UK LAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH4 W nastepnym kroku mnożymy obustronnie otrzymane równanie przez: 1 e ik R e ik r a nastepnie V obie strony tego równania ca lkujemy wzgledem d 3 R i d 3 r, w wyniku czego otrzymujemy równanie: ( ) ] δ(k K ) [δ(k,k K )a K,k M + k 4µ E + a K,k V k k = 0, (3.15) K,k gdzie: V k k = 1 V d 3 r e ik r V (r)e ik r. Podobnie jak poprzednio, teraz również otrzymaliśmy równanie, które jest mnożone przez δ(k K ), co, jak wiadomo oznacza, że ped środka masy jest w tym uk ladzie wielkościa zachowana. Zaś oddzia lywanie zaburza jedynie ped wzgledny k rozpatrywanej pary elektronów. Z tego też wzgledu wspó lczynniki a K,k, które wprowadzaja oddzia lywanie do funkcji falowej, bed a w dalszej cześci zapisywane tylko z indeksem k. Zatem równanie na energie w lasna uk ladu przybiera teraz postać: 1 a k = a E(K) + E(k k V k k. (3.16) ) E gdzie: E(K) = K jest energi a M ruchu środka masy, E(k) = k jest energi a µ ruchu wzglednego elektronów natomiast E jest energia stanu zwiazanego rozpatrywanej pary. Rozważana para oddzia luj acych elektronów jest stanem zwiazanym. Energie wiazania tego stanu możemy zdefiniować poprzez nastepuj ac a zależność: E = E K + E F p l, (3.17) gdzie: l = 0, 1, natomiast p = l,...,l. Przyjmujac powyższa definicje za lożyliśmy, że E(k) = E F dla rozpatrywanego przypadku. Stosowana notacja pozwala na odróżnienie od siebie wszystkich możliwości parowania, które moga sie tutaj pojawić, tzn. 1. parowanie singletowe, (l = 0, p = 0) (l = 1, p = 1),. parowanie trypletowe (l = 1, p = 0), (l = 1, p = -1). Uwzgledniaj ac w (3.16) zależność (3.17) otrzymujemy: 1 a k = [E(k ) E F ] + p a k V k k. (3.18) l k k

25 ROZDZIA L 3. UK LAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH5 Z faktu, że a k jest miara prawdopodobieństwa zaistnienia pary Coopera w stanie o pedzie wzglednym k wynika, że najwieksze prawdopodobieństwo powstania tej pary jako stanu zwiazanego ma miejsce, gdy k k F,k a : a k przyjmuje wartość maksymalna, (należy pamietać, że k a k maksymalnie może być równe jedności), co w oczywisty sposób pociaga za soba: E(K) = 0. Przedstawione powyżej rozumowanie prowadzi do wniosku, że w stanie podstawowym, singletowa para Coopera, dla przypadku mas elektronów ja tworzacych zależnych od rzutu spinu na wyróżniona oś kwantyzacji, nie jest tak jak poprzednio para bezpradow a, tylko niesie ze soba prad elektryczny. Mamy bowiem K = k + k = 0, co oznacza, że k = k a to daje nam p = p, co ze wzgledu na fakt m m pociaga za soba nastepuj acy warunek: v v, gdzie v,v oznaczaja odpowiednio predkości parujacych sie elektronów). Zatem suma pradów j = e( p F m + p F m ) 0 Natomiast trypletowa para Coopera (w każdej z odmian) jest tak jak poprzednio para bezpradow a, tzn. nie niesie ze soba wypadkowego pradu elektrycznego. 3.. Energia wiazania i potencja l parujacy w przestrzeni pedów. Aby możliwe by lo kontynuowanie rozpoczetych rachunków, należy teraz zastanowić sie nad postacia (w przestrzeni pedów) potencja lu parujacego V k k, oraz określić postać wspó lczynników a k. Potencja l paryjacy w przestrzeni pedów w ogólnym przypadku zależy od wartości obu wektorów k,k oraz od kata wzglednego miedzy nimi (oznaczmy go jako θ). Dlatego rozpatrywany potencja l zostanie zapisany w bazie ortonormalnych stowarzyszonych funkcji Legendre a postaci: Pl m l+1 (x) = (l m )! ( 1 x (l+ m )! ) m m P x m l (x), wzgledem zmiennej x = cos θ = ˆk ˆk, gdzie ˆk, ˆk sa wersorami odpowiednio w kierunkach wektora k i k, natomiast P l (x) jest wielomianem Legendre a, który zdefiniowany zosta l w poprzednim rozdziale. Na uwage zas luguje fakt, że w odróżnieniu od problemu omówionego w poprzednim rozdziale, w tym zak ladamy, że mamy w jakiś sposób z laman a symetrie spinowa uk ladu, co objawia sie tym, że efektywne masy elektronów tworzacych pare Coopera, sa zależne od rzutu ich spinu na zadana oś kwantowania. Dlatego też potencja l parujacy wystepuj acy w tym problemie zosta l zapisany w bazie ortonormalnych stowarzyszonych funkcji Legendre a Pl m (x) (gdzie m określa rzut spinu pary na zadana oś kwantowania), a nie tak jak poprzednio w bazie ortonormalnych wielomianów Legendre a P l (x).

26 ROZDZIA L 3. UK LAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH6 Wspó lczynniki a k podobnie jak poprzednio zapiszemy w bazie ortonormalnych harmonik sferycznych Y lm (θ,ϕ), gdzie θ i ϕ sa wspó lrz ednymi wektora k w sferycznym uk ladzie wspó lrz ednych, w przestrzeni pedów, w którym wektor ten ma postać: k x = k sin θ cos ϕ, k y = k sin θ sin ϕ, k z = k cos θ. Uk lad harmonik sferycznych, jest zupe lnym uk ladem funkcji, oznacz to, że zachodzi relacja: Ylm(θ,ϕ )Y lm (θ,ϕ) = δ(θ θ )δ(ϕ ϕ ). (3.19) lm Ostatecznie wiec mamy: l + 1 (l p)! V k k = (l + p)! P p l (cos θ)v p l (k,k ), (3.0) oraz lp a k = lm a lm a l (k)y lm (θ,ϕ), (3.1) gdzie: k = k, liczby a lm sa wspó lczynnikami rozwinieciae, natomiast modu l zapewnia ujemna wartość potencja lu, co odpowiada parowaniu elektronów. Oczywiście zachodzi: m,p = l,...,l. Rozpatrywana para elektronów ma z góry ustalona wartość liczby kwantowej l (tutaj l = 0 lub l = 1). Wiec dla tej w laśnie wartości l elementy v p l (k,k ) przyjmuja niezerowe wartości a dla innych wartości l przyjmuja on wartości równe zeru. Powyższe rozumowanie prowadzi nas do równania postaci: l + 1 (l p)! V k k = (l + p)! P p l (cos θ)v p l (k,k ) (3.) p Teraz uściślimy sformu lowanie: rozważamy elektrony znajdujace sie na lub powyżej powierzchni Fermiego. Przyjmiemy bowiem za lożenie, że rozważane elektrony oddzia luj a miedzy soba tylko w waskim przedziale wartości energii, powyżej powierzchni Fermiego. Możemy zatem elementy v p l (k,k ) przybliżyć wyrażeniem: { v p v p l (k,k l = const(k,k ) = ) dla k Fσ < k,k < k aσ 0 w pozosta lych przypadkach, gdzie k aσ jest wartościa pedu niewiele wieksz a od k Fσ.

27 ROZDZIA L 3. UK LAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH7 W powyższej definicji pojawi l sie element v p l, który w porównaniu z definicja zawarta w rozdziale poprzednim, dodatkowo zależy od liczby kwantowej p. Sytuacja ta jest odzwierciedleniem faktu, iż potencja l parujacy zależy nie tylko od rodzaju parowania, z którym mamy do czynienia ale także od jego odmiany (w przypadku parowania trypletowego). Powyższa notacja w prosty sposób określa rodzaj i odmiane parowania a przez to i potencja l parujacy, z którym mamy do czynienia. Dlatego bedzie ona stosowana w dalszej cześci tego rozdzia lu. Równanie (3.18) przybiera zatem postać: { } 1 l + 1 (l p)! a k = [E(k ) E F ] + p a k l (l + p)! P p l (cos θ)v p l. k p (3.3) Uwzgledniaj ac we wzorze (3.3) zależność (3.1) otrzymujemy: l m a l m a l (k )Y l m (θ,ϕ ) = l+1 kl m (l p)! p (l+p)! vp l P l m (cos θ) a l m a l (k)y l m (θ,ϕ) [E(k ) E F ] + p l (3.4) Powyższe równanie, przez analogie do równania otrzymanego wcześniej, można nazwać uogólnionym równaniem Coopera dla przypadku z lamanej symetrii spinowej w uk ladzie. Po przeprowadzeniu rachunków, które z technicznego punktu widzenia sa takie same jak te przeprowadzone w poprzednim rozdziale, otrzymujemy zależność: ( V ) l+1 (k ) dk (π) 3 [E(k ) E F ] + p l p (l p)! (l + p)! P p l (1)vp l sinθ dθ dϕ = 1, która po uwzglednieniu nastepuj acych wyników: { P 0 0 = 1 dla parowania singletowego, P 1 1(1) = P1 1 (1) = 0 i P1 0 (1) = 1 dla parowania trypletowego, przechodzi w równanie postaci: (3.5) ( V ) l+1 (k ) vp l dk (π) 3 [E(k ) E F ] + p l sinθ dθ dϕ = 1, (3.6)

28 ROZDZIA L 3. UK LAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH8 gdzie tym razem mamy: { l = 0, m = 0, dla parowania singletowego, l = 1, m = 0, dla parowania trypletowego. Otrzymane powyżej równanie bardzo latwo przekszta lcamy do postaci: k dk (π) k E µ F + p =, (3.7) l+1 l V vp l gdzie zamieniliśmy k na k. Ponieważ rozpatrujemy bardzo waski przedzia l wartości wektora falowego k, wiec możemy w powyższej zależności wykonać nastepuj ace przybliżenie: k F p l = k Fσ+k Fσ. Dodatkowo, musimy teraz podać obszar ca lkowania po który wykonywać bedziemy ca lk e dana w postaci (3.7). Obszar ten to odcinek na osi k o poczatku w punkcie, któremu odpowiada mniejsza z dwóch rozważanych wartości pedu Fermiego, oznaczmy go przez k Fσ. Natomiast jego koniec znajduje sie w punkcie k aσ. Ped ten odpowiada z za lożenia pedowi niewiele wiekszemu od wiekszej z rozważanych wartości pedu Fermiego. Tak wiec, otrzymujemy nastepuj ace równanie: kaσ k Fσ kdk k µ E F + p l = k F p l (π) l+1 vp l, (3.8) które po wykonaniu elementarnego ca lkowania przechodzi w równanie postaci: kaσ µ p (E F l p l ) k Fσ µ (E F p l ) = exp π. (3.9) l+1 µv k F p l vp l Po uwzgl ednieniu poniższych zależności: k aσ = k Fσ + k; k Fσ µ k Fσ σ k Fσ σ = E F ( mσ m σ 1); k Fσ µ k Fσ σ k Fσ σ = E F ( m σ m σ 1); ϖ D = m σ (k Fσ + k) m k σ Fσ = m σ k Fσ k + m σ ( k) ;

29 ROZDZIA L 3. UK LAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH9 i wykonaniu prostych przekszta lceń, wyznaczamy z równania (3.9) zależność opisujac a energie wiazania pary Coopera, w postaci: [ ( ) 1 p l = exp 1] m σ µ ϖ D + E F ( m σ m σ π µv l+1 k F v p l p 1) E F l (m σ 1) exp m σ µv Powyższa zależność, można po zdefiniowaniu wielkości: m σσ = m σ m σ, zwanej rozszczepienim masowym, zapisać ostatecznie jako: [ ( ) 1 p l = exp 1] m σ µ ϖ D E F m σσ 1 m σ π µv l+1 k F p l vp l + 1 exp m σ µv π l+1 k F p l vp l π l+1 k F p l vp l. (3.30). (3.31) Oszacowanie średniego rozmiaru pojedynczej pary Coopera w tym przypadku, prowadzi do nastepuj acej zależności: [(m σ + m σ ) p l ] 1 m σ µ ϖ D E F m σσ ξ p l = [(m σ + m σ ) p l ] 1 = [ ( ) exp 1 m σ π µv l+1 k F p l vp l + 1 exp m σ µv ] 1 1 π l+1 k F p l vp l gdzie, energia wiazania p l dana jest równaniami powyżej., (3.3) Jeżeli przyjmiemy w otrzymanych zależnościach (wzory (3.30), (3.31) i (3.3)): 1. l = 0, p = 0, to otrzymamy wtedy wyniki dla singletowego parowania elektronów w uk ladzie, w którym wyst epuje rozszczepienie masowe m;. l = 1, p = 0, to otrzymamy wyniki dla parowania trypletowego w uk ladzie o spinowo-zależnych masach elektronów.

30 ROZDZIA L 3. UK LAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH30 Mamy zatem: energia wi azania dla parowania singletowego [ ( ) = exp 1] m µ ϖ D E F m π µv 1 k F 0 0 v exp m m µv energia wiazania dla parowania trypletowego 0 1 = ϖ D exp µv π 3 k F 0 1 v0 1 π 1 k F 0 0 v Średni rozmiar pary Coopera w przypadku parowania singletowego [ ( ξ0 0 1 = exp (m +m ) π µv 1 k F 0 0 v0 0 m µ ϖ D E F m exp m m µv ) 1 π 1 k F 0 0 v 00, (3.33) ]1 średni rozmiar pary Coopera w przypadku parowania trypletowego ξ1 0 = exp 8mϖ D µv π 3 k F 0 1 v) (3.34) 1 1, (3.35), (3.36) gdzie m oznacza mase pojedynczego elektronu tworzacego dana pare. Powyższe wzory opisuja energie i średni rozmiar wszystkich możliwych par Coopera jakie moga powstać na skutek oddzia lywania wymiennego miedzy elektronami, w uk ladzie ze spinowo-zależnymi masami elektronów. W szczególności, w przypadku parowania singletowego, redukuja sie one, po podstawieniu m = m, do znanych z poprzedniego rozdzia lu wzorów opisujacych singletowa pare Coopera w uk ladzie, w którym nie wystepuje rozszczepienie masowe m. Natomiast w przypadku parowania trypletowego, struktura zależności opisujacych energie i średni rozmiar trypletowej pary Coopera w uk ladzie o spinowo zależnych masach elektronów jest taka sama jak w uk ladzie, w którym masy elektronów nie zależa od ich spinu.

31 ROZDZIA L 3. UK LAD ELEKTRONÓW O SPINOWO-ZALEŻNYCH MASACH Podsumowanie rozdzia lu. W rozdziale niniejszym przeanalizowany zosta l ogólny mechanizm parowania elektronów zaindukowanego oddzia lywaniami wymiennymi w uk ladzie, w którym wystepuj a efektywne spinowo-zależne masy elektronów. Z modelu, który zosta l tutaj przedstawiony wynikaja zależności opisujace energie i rozmiar, zarówno singletowej jak i trpletowej pary Coopera. Sa to wzory od (3.30) do (3.36). Z zależności powyższych widać, że opisany tutaj model parowania redukuje sie do omówionego wcześniej modelu, w którym nie wystepuje rozszczepienie masowe. Wszystkie wyniki, które otrzymaliśmy dla parowania z degeneracja spinowa w uk ladzie, otrzymujemy z omówionego w tym rozdziale modelu jeżeli po lożymy: m σ = m σ. Zauważmy, że w stanie podstawowym singletowa para Coopera nie jest para bezpradow a ale niesie ze soba prad elektryczny. Sytuacja taka wynika z faktu z lamania symetrii spinowej uk ladu, co przejawia sie w różnicach efektywnych mas elektronów tworzacych taka pare. Zwróćmy jeszcze uwage na fakt, że w przypadku parowania trypletowego, w uk ladzie ze zniesiona degeneracja spinowa, powsta la para Coopera ustawia sie zawsze w taki sposób aby jej wypadkowy spin by l prostopad ly do wyróżnionego kierunku kwantowania. Sytuacja taka pozwala na sterowanie zachowaniem sie trypletowej par Coopera, poprzez czynnik zadany z zewnatrz, np. pole magnetyczne lub pole elektryczne. Jednak, aby mieć pe lny obraz przedstawionej tutaj sytuacji, należy rozważyć uogólniona na przypadek dowolnego parowania, teorie BCS. Wreszcie należy zwrócić uwage na to, że jeżeli potencja l parujacy, który zosta l wprowadzony w oryginalnym podejściu Coopera, dla przypadku parowania singletowego [3], oznaczymy jako ṽ 0, to zachodzi wtedy: ṽ 0 = 1 v0, 0 gdzie v0 0 jest odpowiednim wspó lczynnikiem rozwiniecia potencja lu V k k w bazie ortonormalnych stowarzyszonych funkcji Legendre a.

32 Rozdzia l 4 Problem Coopera w j ezyku II kwantowania Równorzednym formalizmem do I kwantowania jest w przypadku nierelatywistycznym II kwantowanie. Jest to formalizm, który zosta l podany kilka lat po sformu lowaniu mechaniki falowej. Jego nazwa bierze sie stad, że operatory opisujace czastki maja podobna strukture do wartości oczekiwanej operatorów w I kwantowaniu, można by zatem powiedzieć, że mamy do czynienia z powtórnym kwantowaniem. W efekcie zamiast pakietów falowych, z którymi mamy do czynienia w mechanice falowej Schrödingera, pojawia sie dobrze określony jezyk czastkowy. Otrzymany w ten sposób obraz jest bardzo prosty w interpretacji i bardzo czesto pozwala na kierowanie sie intuicja. Dowód równoważności obu tych formalizmów można znaleźć np. w [7]. 4.1 Podstawowe definicje w II kwantowaniu. Operatory jedno i dwuczastkowe sa zdefiniowane w reprezentacji II kwantowania za pomoca nastepuj acych zależności: Ô 1 = d 3 rψ σ(r)o 1 (r)ψ σ (r) (4.1) σ Ô = σσ d 3 rd 3 r Ψ σ(r)ψ σ (r )O (r,r )Ψ σ (r )Ψ σ (r) (4.) gdzie: O 1 (r) oraz O (r,r ) sa operatorami w obrazie Schrödingera, natomiast Ψ σ (r) jest operatorem pola dla zadanej spinowej liczby kwantowej σ. 3

33 ROZDZIA L 4. PROBLEM COOPERA W J EZYKU II KWANTOWANIA33 Zależne od spinu operatory pola konstruowane sa wed lug nastepuj acych regu l: Ψ σ (r) = a iσ φ i (r)χ σ, (4.3) i gdzie: {φ i (r)} jest zupe lnym zbiorem ortonormalnych, jednoczastkowych funkcji falowych a χ σ jest cześci a spinowa funkcji falowej, spe lniaj ac a nastepu- jac a relacje χ σχ σ = δ σσ, natomiast a kσ,a kσ s a odpowiednio operatorami anihilacji i kreacji czastki w stanie jednoczastkowym kσ. Operatory te spe lniaj a nastepuj ace regu ly (anty)komutacji (znak + odpowiada fermionom, a bozonom): [a iσ,a i σ ] = δ ii δ σσ ; [a iσ,a i σ ] = [a iσ,a i,σ ] = 0. (4.4) Stan próżni 0 zdefiniowany jest nastepuj acym zwiazkiem: a kσ 0 0. Dzia laj ac operatorami kreacji na stan próżni 0, można zbudować ca l a przestrzeń Focka, mówmy wtedy o tzw. reprezentacji liczb obsadzeń. Regu ly (anty)komutacji spe lniane przez operatory kreacji i anihilacji cza- stek w oczywisty sposób przenosza sie na (zależne od spinu) operatory pola. Regu ly te dla spinowych operatorów pola maja nastepuj ac a postać (znak + odpowiada fermionom, a bozonom): [Ψ σ (r), Ψ σ (r )] = [Ψ σ (r), Ψ σ (r ) ] = 0 [Ψ σ (r), Ψ σ (r ) ] = δ σσ δ (r r ) (4.5) Ca lkowity (niezależny od spinu) operator pola dany jest w nastepuj acej postaci spinorowej: Ψ(r) = σ Ψ σ (r) i ( ai φ i (r) a i ). (4.6)

34 ROZDZIA L 4. PROBLEM COOPERA W J EZYKU II KWANTOWANIA34 4. Rozwiazanie problemu Coopera w jezyku II kwantowania. Opierajac sie na informacjach zawartych w poprzednim paragrafie można hamiltonian oddzia luj acej pary elektronów zapisać w przestrzeni pedów w nastepuj acej postaci: Ĥ = kσ ɛ k a kσ a kσ + k,k V σσ k,k a kσ a kσ a k σ a k σ; k, k > k F. (4.7) Od razu zosta lo tutaj za lożone, że rozpatrywane elektrony maja przeciwnie skierowane pedy. Natomiast przyjmujac odpowiednio σ = σ lub σ = σ otrzymamy hamiltonian odpowiadajacy jednej z możliwych pary Coopera, która może powstać. Pierwszy wyraz w hamiltonianie opisuje swobodna propagacje elektronów umieszczonych powyżej powierzchni Fermiego przez kryszta l. Zosta l on wyprowadzony przy wykorzystaniu definicji operatora jednoczastkowego w II kwantowaniu i przy wyborze operatora pola w postaci: Ψ σ (r) = k a k,σ χ σ 1 V e ikr. (4.8) Natomiast drugi wyraz przedstawia oddzia lywanie. Wyraz z oddzia lywaniem można wyprowadzić przy użyciu metody transformacji kanonicznej, w drugim rzedzie rachunku zaburzeń, prowadzonym dla hamiltonianu opisujacego uk lad elektron-fonon. Stan w przestrzeni Focka, rozpatrywanej pary elektronów, postulowany jest w postaci: F = α k a kσ a kσ 0, (4.9) k gdzie stan 0 jest stanem podstawowym uk ladu w T = 0 (wszystkie poziomy poniżej powierzchni Fermiego sa obsadzone). Oczywiście, tak jak poprzednio, wspó lczynniki α k musza spe lniać warunek uwzgledniaj acy zakaz Pauliego. Dodatkowo normalizacja wektora stanu ( F F = 1) narzuca na nie warunek postaci: α k = 1. (4.10) k Wykorzystujac teraz zależności (4.7) i (4.9) możemy zbudować funkcjona l energii wed lug nastepuj acej formu ly: E{a k,αk } = F Ĥ F. Nast epnie stosujac metode mnożników Lagrange a, w której uwzgledniamy wiaz (4.10)