Kondensacja Bosego-Einsteina

Transkrypt

1 Kondensacja Bosego-Einsteina W opisie kwantowo-mechanicznym stan konkretnego uk ladu fizycznego jest określony poprzez funkcje falowa ψ r, r 2,...), gdzie r i oznaczaja po lożenia poszczególnych cza stek. Ze wzgle du na nierozróżnialność cza stek dla obiektów o spinie ca lkowitym funkcja falowa ma w lasność symetryczności na zamiane miejscami dowolnej pary cza stek ψ r,..., r i,..., r j,...) = + ψ r,..., r j,..., r i,...) ) Symetryczność funkcji falowej ) implikuje, że stany kwantowe moga być zajmowane przez arbitralna liczbe takich cza stek. W uk ladzie cza stek swobodnych wygodnym oznaczeniem stanów kwantowych jest wektor kwazipe du k zaś postać stanów w lasnych hamiltonianu ma postać fal p laskich ψ k r) = V e i k r 2) o dopuszczalnych poziomach energetycznych ε k = h2 k 2 2m. 3) W uk ladzie wielu cza stek pozostaja cych w równowadze termodynamicznej ze soba prawdopodobieństwo obsadzenia poszczególnych poziomów energetycznych jest określone funkcja rozk ladu Bosego-Einsteina f BE ε k, T) = ε k µ k B T ). 4) Aby określić rozk lad cza stek na poszczególnych poziomach należy dopasować po lożenie potencja lu chemicznego µ µt) na podstawie znajmości średniej liczby cza stek w uk ladzie

2 N = k f BE ε k, T) = 2π) 3 /V = V 2π) 3 4π d k ε k µ k B T k 2 dk ) k 2 /2m µ k B T ). 5) Ze wzgle du na wymóg, aby prawdopodobieństwo 4) by lo nieujemne potencja l chemiczny µt) nie może znajdować sie powyżej najniższego z doste pnych poziomów energetycznych, czyli w tym wypadku ε k = 0. Sprawdźmy teraz czy istnieje taka temperatura T c nazwijmy ja krytyczna ), gdy potencja l chemiczny osia ga asymptotycznie wartość µt T + c ) = 0 implikuja c nieskończenie wielkie prawdopodobieństwo obsadzenia stanu ε k = 0? W przypadku trójwymiarowych cza stek swobodnych warunek określaja cy T c może być wyznaczony w naste puja cy sposób N = V 2π) 3 4π = V 2π 2 2mkB T c k 2 dk )3/2 ) k 2 /2m k B T c dt t e t 0 } {{ } =2,3 t h2 k 2 2mk B T c. 6) Na podstawie 6) temperatura krytyczna zależy od masy m i koncentracji cza stek n N/V poprzez relacje T c = 3, 3 2mk B n 2/3. 7) Powstaje teraz pytanie w jaki sposób wygla da dystrybucja cza stek w temperaturach niższych od T c? Aby zrozumieć te kwestie powinniśmy uwgle dnić, że potencja l chemiczny zachowuje sie w naste uja cy sposób µt) < 0 dla T > T c µt) = 0 dla T T c. 8) 2

3 Wyznaczaja c liczbe cza stek Ñ z zakresu energetycznego 0 < ε < przy użyciu schematu analogicznego do 6) znajdujemy Ñ = 2, 3 V 2π 2 2mkB T )3/2. 9) Na podstawie wyrażeń 6,9) wzgle dna liczba Ñ T )3/2 N = T c. 0) Pozosta la ilość cza stek T )3/2 N 0 N Ñ =. ) Tc ulega zamrożeniu na najniższym poziomie energetycznym ε = 0 a wie c w stanie o pe dzie k = 0), którego prawdopodobieństwo obsadzenia w temperaturach T T c jest nieskończenie duże. Tego rodzaju zamrożone obiekty nazywane sa przez fizyków kondensatem Bosego-Einsteina. Uwagi historyczne Koncepcje kondensacji, czyli zamrożenia makroskopowej liczby cza stek w jednym stanie kwantowym o najniższej energii, wprowadzi l w 925 roku Albert Einstein. Inspiracja by ly dla niego wyniki hinduskiego fizyka Satyendra Nath Bose), który w 924 roku wyprowadzi l wyrażenie opisuja ce rozk lad energii gazu fotonowego w oparciu o statystyke kwantowo-mechaniczna. A. Einstein by l jednak dość sceptycznie nastawiony do możliwości praktycznej realizacji kondensatu. Kondensacja BE oznacza, że poniżej temperatury T c makroskopowa porównywalna do liczby Avogadro) liczba cza stek N 0 znajduje sie w identycznym stanie kwantowym. Kondensat jest wie c czymś w rodzaju gigantycznego 3

4 superatomu. Można go również traktować jako koherentna spójna ) paczke fal materii - czyli maser. Biora c pod uwage wzór na temperature krytyczna 7) kondensaty atmów jest tym latwiej uzyskać im lżejesze sa atomy. Inna możliwość jest ewentualne zwie kszanie ich koncentracji poprzez przy lożenie ciśnienia. W normalnych warunkach atmosferycznych oszacowanie temperatury krytycznej bozonowych atomów 4 He przewiduje T c 3, K. Dopiero kilkanaście lat później niemiecki fizyk F. London skojarzy l powyższe oszacowanie temperatury krytycznej dokonane przez A. Einsteina) z odkrytym w 937 roku zjawiskiem nadciek lości. Stan nadciek ly zosta l doświadczalnie zaobserwowany przy nieco niższej temperaturze T λ = 2, 7 K. Zanim przejdziemy do omówienia w laściwości fizycznych nadciek lego helu patrz naste pny rozdzia l) zastanówmy sie czy kondensacja BE realizuje sie również w innych wymiarach? Zjawisko kondenacji BE jest dość subtelnym efektem, który w istotny sposób zależy od takich czynników jak: a) wymiarowość uk ladu, b) zależność dyspersyjna ε = ε k, c) oddzia lywanie cza stek, d) profil potencja lu w uk ladach o ograniczonych rozmiarach przestrzennych, itp. Stosunkowo latwo można przeanalizować wp lyw wymiarowości uk ladu fizycznego. Na przyk lad dla cza stek o parabolicznej zależności dyspersyjnej ε k = k 2 /2m w uk ladach dwywymiarowych oszacowanie temperatury krytycznej daje 4

5 N = V 2π) 2 = V 2π mk B T c d k ) k 2 /2m dt k B T c e t 0 }{{} = Rozbieżność pojawiaja cej sie w 2) ca lki implikuje, że. 2) T dim=2 c = 0. 3) Również w uk ladach jednowymiarowych dla cza stek o parabolicxznej zależności dyspersyjnej zjawisko kondensacji BE nie realizuje sie. Omówienie wp lywu oddzia lywań zostanie przedstawione osobno przy okazji analizy charakteru wzbudzeń jednocza stkowych w nadcieczach kwantowych. Kondensaty BE atomów w pu lapkach przedstawione zostana również w dalszych rodzia lach w konteście wspó lczesnych technik wykorzystuja cych ch lodzenie laserowe do pu lapu temperatur 00 nk. Fenomenologiczna interpretacjia kondensactu BE Fenomenologiczne uzasadnienie zjawiska kondensacji można podać w oparciu o koncepcje de Broglie a fal materii. Wed lug takiego scenariusza pe d cza stek p h/λ, zatem średnia energia kinetyczna p 2 2m = h/λ)2 2m 4) z uwzgle dnieniem zasady ekwipartycji implikuje d lugość de Broglie a p 2 2m = 3 2 k BT 5) λ = h 3mkB T. 6) 5

6 W wysokich temperaturach oraz dla dużych mas cza stek d lugość fali 6) jest znacznie mniejsza niż odleg lości mie dzy cza stkami dlatego można je traktować w przybliżeniu jako biekty punktowe. Przy stopniowym och ladzaniu λt) ulega wyd lużeniu, aż w pewnej charakterystycznej temperaturze T c staje sie porównywalna do odle g lości mie dzycza steczkowej d. Jest to niemal równoważne warunkowi 7) wyrażonemu przez Einsteina. Podstawiaja c do d lugość de Broglie a 6) uzyskujemy k B T c = 3, 3 h2 2m n2/3 7) h 2 3mλ 2 = 3, 3 h 2 2π) 2 m [ d ] 2/3. 8) Po prostych przekszta lceniach algebraicznych otrzymujemy, że λ = 2π 9, 93 d d. 9) Kondensacja oznacza wie c powstanie przekrywaja cych sie paczek falowych. Zsynchronizowanie fal de Broglie a powoduje pojawienie sie kolektywnego zachowania cza stek. Powyższy schemat rozumowania jest jedynie pogla dowy i należe traktować go z ostrożnościa gdyż nie uwzgle dnia wielu ważnych czynników wp lywaja cych na kondensacje BE np. oddzia lywań, wymiarowości itp.) 6