Efektywne wyznaczenie częstotliwości interwencji w cyfrowych quasi-ciągłych systemach sterowania w transporcie 2

Transkrypt

1 Logityk nuk Tdeuz Wcłwki Politechnik Krkowk w Krkowie Efektywne wyznczenie czętotliwości interwencji w cyfrowych qui-ciągłych ytemch terowni w trnporcie 2 Wprowdzenie Oecnie cechą chrkterytyczną ytemów terowni, moilnych czy tcjonrnych, jet prc w ieci komputerowej [], [2] Struktur tkiej ieci, iorąc pod uwgę przepływ ygnłów (generownych terowń i decyzji, wielkości regulownych i zdnych, itp) jet zwykle hierrchiczn wielopoziomow lu wielowrtwow [2] Njniżz wrtw to wrtw ezpośredniego terowni cyfrowego (ddc direct digitl control) relizując terowni w ukłdzie zmkniętym Wielkościmi regulownymi tutj ą zwykle prędkość orotow i liniow, loklizcj i orientcj pojzdu, prąd, tempertur (np tempertur wody chłodzącej ilnik, tempertur pliw ), kłd mieznki pliwowej, lepkość pliw (regulcj lepkości pliw przyczyni ie do optymlizcji efektywności plni, zmniejzeni koztów ekplotcji, zpewni dore plnie pliw, przez to mniejze znieczyzczenie środowik [2]) Cyfrowe ytemy (ukłdy) w wrtwie ddc mogą relizowć różne lgorytmy regulcji, tkże odpowidjące różnym werjom klycznych regultorów cigłych PID co widć w ztoownich [], [2], [3] Wtedy podcz yntezy tkiego cyfrowego regultor qui-ciągłego pojwi ię dodtkowy prmetr (ntw), którym jet czętotliwość interwencji regultor czyli czętotliwość prókowni f Cel prcy Jko model mtemtyczny proceu zminy ygnłu ciągłego n cyfrowy możn ztoowć modulcję impulowo-kodową (PCM Pule Code Modultion) z doierniem wrtości okreu prókowni T = / f wg twierdzeni Shnnon o prókowniu [4], [5], [6] Jet to prókownie zykie Wyznczon wrtość T, w enie twierdzeni Shnnon ędzie odpowiedni tkże dl proceu odwrotnego tj zminy ygnłu cyfrowego n ciągły (terownie cyfrowe generowne z czętotliwością f ) W rozwżnich pominięto proce kwntowni ygnłu ciągłego w poziomie i opercję odwrotną, tkże proce kodowni i opercję odwrotną, poniewż yntez lgorytmu terowni nie jet celem niniejzej prcy Zgdnieni te ą przedtwione w [], [5], [6], [7], [8] Celem niniejzej prcy jet wyznczenie łędów dykretyzcji jko funkcji czętotliwości = 2/ T w widmie ygnłu ciągłego (np wielkości regulownej), dykuj tych łędów i przyjęcie optymlnej wrtości tej czętotliwości do ztoowni w twierdzeniu Shnnon, y wyznczyć w poó efektywny czętotliwość interwencji (prókowni) f w cyfrowych qui-ciągłych ytemch terowni Fizyklnie t czętotliwość określ filtr dolnoprzeputowy w rzeczywitym torze 2 Dr inż T Wcłwki, diunkt, Politechnik Krkowk w Krkowie, Wydził Inżynierii Elektrycznej i Komputerowej, Intytut Elektrotechniki i Informtyki Artykuł recenzowny Logityk 6/205 36

2 Logityk nuk przetwrzni ygnłów ciągłych w cyfrowe Przyjęto przy tym, że njwyżze czętotliwości w widmie ygnłów ciągłych odpowidją njmniejzym wrtościom tłych czowych oiektów dynmicznych generujących te ygnły Metodyk: prókownie przy pełnieniu wrunków twierdzeni Shnnon W poniżzym twierdzeniu równowżność ygnłu x ( ziorowi woich próek jet rozumin ntępująco [6]: ygnł x ( jet równowżny ziorowi woich próek, jeżeli n podtwie tego zioru możn wyznczyć wrtości x ( dl kżdego t z pełną dokłdnością Twierdzenie (Shnnon) [6] Niech x ( ędzie ygnłem, którego widmo X () pełni wrunek X () = 0 dl, = 2f Sygnł x ( jet równowżny ziorowi woich próek odległych od ieie o tły przedził T /, tzn x( = x( nt) : n = 0,, 2,, i, T /, () N podtwie Twierdzeni możn ygnł nlogowy ztąpić ygnłem dykretnym x (nt) Prktycznie jednk ygnł x ( i ygnł x ˆ( odtworzony n podtwie zioru próek różnią ię od ieie Wynik to m in z ntępujcych przyczyn [5] [6], [7] : Z złożeni, że X () = 0 dl wynik (zd nieoznczoności), że cz trwni ygnłu x ( jet nieogrniczony, tj t (, ), co w przypdku ygnłów potyknych w prktyce nie zchodzi Jednk ze wzrotem łąd x( xˆ( powodowny tym nruzeniem złożeń twierdzeni Shnnon możn dowolnie zmniejzć 2 Sygnły prókujące nie ą impulmi Dirc, ą tylko nieidelnymi impulmi protokątnymi, nieidentycznymi i nieokreowymi 3 Idelny filtr dolnoprzeputowy wyznczjący X ( ) z cłego zeregu egmentów widm nie itnieje i ztępuje ię go rzeczywitym filtrem dolnoprzeputowym, który w dziedzinie czu opiuje ię jko interpoltor lu ektrpoltor 4 Nie itnieje również filtr dolnoprzeputowy o czętotliwości odcięci dokłdnie równej, który ogrniczły widmo ygnłu rzeczywitego x ( Wyniki dni łędów dykretyzcji w dziedzinie czętotliwości Jkościow i ilościow nliz niektórych kutków nruzeni twierdzeni Shnnon zotł przeprowdzon w oprciu o poniżej określone łędy dykretyzcji Błąd dynmiczny, dl ( dowolnego, określ wyrżenie (2) ( = x( xˆ(, (2) gdzie x ( ygnł rzeczywity (wytępujcy podcz normlnej prcy ukłdu) lu tetowy poddwny dykretyzcji, jet to ygnł o widmie X ( ) nieogrniczonym, x ˆ( ygnł odtworzony z próek ygnłu x (, przy złożeniu, że widmo ygnłu x ( jet ogrniczone przez czętotliwość odcięci Błąd średniokwdrtowy ~ ( t ), dl t dowolnego, określ wyrżenie (3): 362 Logityk 6/205

3 Logityk nuk ~ ( = /2 2 x( xˆ( dt (3) Kwdrt tego łędu jet proporcjonlny do różnicy energii przenozonych przez ygnły x ( i x ˆ( Trnformt Fourier X () w enie zwykłym dl funkcji (ygnłu) x ( jet określon ntępująco: jt X ( ) = x( e dt, (4) gdzie cłk niewłściw rozumin jet w enie Riemnn Cłk t może yć uwżn z cłkę Leegue, gdy wymgne jet uogólnienie pojęci tej trnformty Odwrotn trnformt Fourier dl funkcji X () określon jet w poó ntępujący: j ( ) = ( ) t x t X e d, 2 (5) gdzie cłk niewłściw jet rozumin w enie wrtości głównej Dl nlizy łędów dykretyzcji ( i ~ ( t ) w dziedzinie czętotliwości, w wyrżenich (2) i (3) ztąpiono x ( widmem X () z pomocą odwrotnej trnformty Fourier (5) ˆ j ( ) = [ ( ) ( )] t t X X e d, 2 (6) /2 ~ [ ( ) ˆ 2 ( t ) = ( )], 2 X X d (7) gdzie X () jet trnformtą Fourier ygnłu x (, X ˆ ( ) jet trnformtą Fourier ygnłu x ˆ( Jko ygnły tetowe ztoowno ygnły z dwóch kl: ygnł cłkowlny z kwdrtem (ygnły o ogrniczonej energii) gdzie funkcj Heviide 2 ygnł olutnie cłkowlny x( =exp(, < 0, t (, ), (8) x( =exp( t ), < 0, t (, ) (9) Wyniki dykuji itnieni i wzjemnej jednoznczności trnformty Fourier dl ygnłów tetowych ą ntępujące: * Itnienie trnformty Fourier W przypdku ygnłu x( =exp(, < 0, t (, ) cłk Riemnn w wyrżeniu (4) jet zieżn dl dowolnego, czyli trnformt Fourier tego ygnłu itnieje w enie zwykłym Dl ygnłu x( =exp( t ), < 0, t (, ) z tego, że jet on cłkowlny olutnie wynik, że cłk Riemnn w wyrżeniu (4) itnieje dl dowolnego Logityk 6/

4 Logityk nuk * Wzjemn jednoznczność trnformty Fourier Trnformty Fourier ygnłów tetowych itnieją Jednk mogą wtedy nie itnieć cłki w wyrżeniu (5) Dl wyrnych ygnłów odpowiednie cłki itnieją Skorzytno z wrunków dottecznych podwnych w potci zepołu twierdzeń w literturze [5], [6] Cłki niewłściwe z modułu widm X ( ) ze względu n czętotliwość, w grnicch innych niż od do (np od do ) mogą nie itnieć tkże w enie wrtości głównej Dltego ędzie to w kżdym przypdku prwdzne Błąd ( określony przez wyrżenie (6) ozcowno od góry dl ygnłów tetowych (8) i (9) Skorzytno z zleżności Xˆ ( ) = X ( ) ( /(2 )), gdzie ( /(2 )) ygnł protokątny o prmetrch dornych tk, żey w przedzile (, ) widm X ˆ ( ) i X () nie różniły ię niczym Pondto ztoowno Twierdzenie 2 Cłki niewłściwe, o których mow w Twierdzeniu 2, to cłki niewłściwe, w których [9] : funkcj F jet określon w przedzile [, ), grnic cłkowni jet wielkością ogrniczoną, grnic cłkowni jet wielkością ogrniczoną lo = funkcj F jet cłkowln w enie Riemnn w przedzile domkniętym [, ] dl kżdego [, ) Twierdzenie 2 [9] Jeżeli cłk niewłściw jet również zieżn i zchodzi wtedy nierówność J = F( y) dy jet zieżn, to cłk J = F( y) dy F( y) dy F( y) dy (0) N mocy Twierdzeni 2 dl ygnłów tetowych zchodzi nierówność: ( X ( ) d () Przykłd oliczeniowy Przyjęto, że njmniejz tł czow oiektu fizycznego generującego ygnły, które podlegją cyfryzcji w proceie terowni i regulcji, jet równ 005, wtedy = 20 / Sygnł tetowy x( =exp( 20 Dl ozcowni łędu ( określonego przez równnie (), wg uzyknej metodologii, zdno cłkę J : J ( ) = 2 2 ln( (20) Cłk w wyrżeniu (2) jet rozieżn do Złożeni Twierdzeni 2 nie ą więc pełnione W tej ytucji próowno ezpośrednio wyznczyć cłkę w wyrżeniu (6) T cłk jet również rozieżn do, ni nie możn jej wyznczyć w enie wrtości głównej W ten poó otrzymno tylko trywilne ozcownie (, ntomit nie otrzymno zleżności między ( progiem (2) 364 Logityk 6/205

5 Logityk nuk odcięci Pojwienie ię doiernej wielkości wynik z ztoowni w ukłdzie zminy ygnłu nlogowego n cyfrowy filtru dolnoprzeputowego, ukłd ten przeprowdz, mówiąc inczej, modulcję PCM Błąd średniokwdrtowy ~ ( t ) oliczony wg (7) jet równy ~ ( = ( rc tg ) /2 (3) Z nlizy tego równni widć, że ~ ( 0, wtedy gdy ( rc tg ) 0, tj wtedy gdy 2 20 W ten poó prwdzono itnienie cłki niewłściwej w wyrżeniu (7) i znleziono zleżność ~ ( t ) od 2 Sygnł tetowy x( =exp( 20 t ) Dl tego ygnłu 2 ( rc tg 2 20 (4) i widć, że ( 0, gdy, w poó ymptotyczny Błąd średniokwdrtowy ~ ( t ) jet równy: ~ 2 ( = 2 2 (20) 0 rc tg ) 20 /2 (5) Cłk niewłściw w wyrżeniu (7) jet zieżn, gdyż wg równni (5), gdy, to prw tron równni 0, gdy, to prw tron równni do wrtości tłej Dykuj otrzymnych wyników i wnioki: otteczne określenie okreu prókowni T Błędy dykretyzcji ( i ~ ( t ) ą mirą prokymcji ygnłów tetowych x ( ygnłmi x ˆ(, dl t (, ), podcz gdy ygnł fizyczny (w rzeczywitym ukłdzie) itnieje tylko dl t [ 0, ) 2 Użycie ygnłów wykłdniczych jko tetowych umożliwiło w proty i jednoznczny poó, przy dniu łędów i doorze T uwzględnienie njmniejzej tłej czowej oiektu terowni lu ogólniej, oiektu fizycznego generującego ygnły, które podlegj cyfryzcji w proceie terowni i regulcji w odpowiednim ukłdzie związnym z trnportem 3 Sygnł x( =exp( t ) cłkowlny olutnie jet zrzem ygnłem cłkowlnym z kwdrtem, możn dl niego ozcowć łąd ( W tym enie ygnł ten dotrcz więcej informcji o proceie prókowni, potrzenej do określeni T niż ygnł x( =exp(, i dltego zotł on wykorzytny do ottecznego określeni T Wg zleżności (4) i (5) dl = 300 (wtedy f = /(2 ) = 50Hz ) łąd ~ ( t ) = 0,0005, łąd ( rząd 4 0 Wtedy okre prókowni Logityk 6/

6 Logityk nuk T = 2 / = 6,67 m Te wrtości łędów uznno z dopuzczlne Zgodnie z twierdzeniem Shnnon okre prókowni T powinien pełnić nierówność T {(6,67/2) m = 3,34m},( f {(250) Hz) (6) Strezczenie W prcy przeprowdzono nlizę proceu dykretyzcji ygnłu ciągłego Ntępnie, twierdzenie Shnnon o prókowniu i nliz niektórych łędów dykretyzcji zotły przyjęte jko podtw przedtwionej metody wyoru wrtości okreu prókowni (czętotliwości interwencji) w yntezie qui-ciągłych ukłdów terowni w trnporcie Anliz wrtości łędów dykretyzcji zotł przeprowdzon w dziedzinie czętotliwości dl wyrnych ygnłów tetowych Słow kluczowe: ytemy terowni, trnport, modulcj kodowo-impulow, okre prókowni Efficient Determintion of Smpling Time in Digitl Qui-Continuou Control Sytem in Trnporttion Atrct In thi pper there h een tken up the invetigtion of the continuou ignl converionthen, the mpling theorem nd nlyi ome of dicretiztion error hve een umed to e i of the uggeted method mpling time evlution during ynthei of qui-continuou control ytem in trnporttion Thee nlyi of vlue of the error h een crried out in frequency-domin for elected ignl Key word: control ytem, trnporttion, pule code modultion, mpling theorem, mpling time LITERATURA / BIBLIOGRAPHY [] Szklrki L, Kozioł R, Cyfrowe terownie w ukłdch npedów elektrycznych, PWN, Wrzw 986 [2] Brzózk J, Regultory i ukłdy utomtyki, MIKOM, Wrzw 2004 [3] Nri A, Hzz A, Bouerhne IK, Hdjeri S, Sicrd P, The Efficiency of The Inference Sytem Knowledge Strtegy for Induction Motor Liner Speed Control of n Urn Electric Vehicle, Journl of Automtion, Moile Rootic & Intelligent Sytem, vol 4, no, 200 [4] Borodziewicz W, Jzczk K, Cyfrowe przetwrznie ygnłów, Wrzw 987 [5] Wojnr A, Teori ygnłów, WNT, Wrzw 980 [6] Sztin J, Podtwy teorii ygnłów, WKiŁ, Wrzw 982 [7] Ozimek E, Podtwy teoretyczne nlizy widmowej ygnłów, PWN, Wrzw-Poznń 985 [8] Kczorek T, Teori terowni, PWN, Wrzw 98 [9] Lej F, Rchunek różniczkowy i cłkowy, PWN, Wrzw Logityk 6/205