Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Transkrypt

1 Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 1

2 WPROWADZENIE Drodzy Czytelnicy! Pomysł n npisnie tej prcy zrodził się podczs lekcji mtemtyki w klsie 6. Nuczycielk powiedził nm o pojęciu silni, któr ył nm przydtn do rozwiązni trudniejszego zdni, którego treść rzmił nstępująco: Koledzy wyrli się do resturcji. Postnowili kupić 3 pizze, które ędą zwierły różne skłdniki. Do wyoru yły: pieczrki, szynk, ser, kurczk i ceul. N ile różnych sposoów mogą wyrć skłdniki do 3 pizz, tk żey się one nie powtrzły? Kżd pizz może zwierć tylko jeden z dostępnych skłdników. Silni tk mnie zinteresowł, że z ogromnym zpłem zczęłm przeszukiwć strony internetowe w poszukiwniu dodtkowych informcji. Wchodząc corz głęiej w wirtulną sieć, ntknęłm się n Symol Newton, Dwumin Newton no i wreszcie Trójkąt Pscl. Szczerze mówiąc, to włśnie ten osttni termin skojrzył mi się z populrnym kuchrzem, stąd tytuł mojej prcy. Zgodnie z tytułem moją prcę npisłm w formie przepisu. Dl doświdczonych kuchrzy jest on nlny, le dl moich rówieśników stje się pięciogwizdkowym (*****) dniem. (*) - łtwe (*****) - rdzo trudne Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 2

3 MENU Potrzene skłdniki Silni...4 Symol Newton 5 Dwumin Newton. 7 Przepis n Trójkąt Pscl Twórc przepisu...9 Trójkąt Pscl Co m piernik do witrk Przekątne w Trójkącie Pscl Trójkąt Pscl ciąg Fioncciego...15 Kolorownki w Trójkącie Pscl...16 Trochę pokominujemy Szczęśliwy rzut Litertur...23 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 3

4 SILNIA Zcznijmy od definicji silni. To pojęcie ędzie nm potrzene do zrozumieni kolejnych temtów tej prcy. Silni Symol: n! Możn zdefiniowć pojęcie silni w nstępujący sposó: dl n N n! n dl n 0 Prwdziwe są zleżności: n! (n-1)! n dl n > 0 (n1)! n! (n1) Uwg! 0! 1 A oto kilk przykłdów: 1! 1 4! ! Zuwżyłm, że: 0! 1! Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 4

5 SYMBOL NEWTONA Symol Newton Pierwszą rzeczą jką chciłym Wm przekzć o tym pojęciu jest to, do czego m on zstosownie. Głównie są to dwie rzeczy: pomoże nm przy potęgowniu dwuminów, do oliczeń komintorycznych - np. umożliwi on wyznczenie liczy komincji - czyli liczę sposoów n jkie dje się wyrć k elementów ze zioru n elementów dl n i k nturlnych. A oto Symol Newton, którego wrtość oliczmy w nstępujący sposó: n k n! k! ( n k)! gdzie n i k nleżą do zioru licz nturlnych orz k 0 i k n Szczególne przypdki: n 0 1 n 1 n Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 5

6 To ył teori, terz czs n prktykę. Przykłd zstosowni SYMBOLU NEWTONA. Rozwiążmy nstępujące zdnie: N ile sposoów możn wyrć reprezentcję 5 osó z grupy 7 osoowej? 7 5 5! 7! ( 7 5 )! ( ) ( 1 2) ( ) ( 6 7) ( ) ( 1 2) A co y yło gdyy k > n? Rozwiążmy tkie zdnie: N ile sposoów możn wyrć reprezentcję 7 osó z grupy 5 osoowej? Nie jest to możliwe. Przyjmijmy ztem: Przy rozwiązywniu tego typu przykłdów nie możemy stosowć SYMBOLU NEWTONA, poniewż: 5 7 7! 5! 5! ( 5 7 )! 7! ( 2)! Stąd wniosek, że jeśli k > n, wtedy: n 0 k Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 6

7 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 7 Zcznijmy od potęgowni dwuminów. Bez prolemu pordzimy soie z kwdrtem sumy i kwdrtem różnicy ( ) 2, ( ) 2, z sześcinem też nie powinno yć kłopotu. Ale jk oliczyć np. potęgę sumy licz i? W rozwiązniu tego prolemu pomocny ędzie Dwumin Newton. Dwumin Newton to wzór, zgodnie z którym potęgę dwuminu możn rozwinąć w sumę jednominów(*). Dwuminowy wzór Newton: Przykłd: ( ) i dl ( ) i dl DWUMIAN NEWTONA ( ) i k n k k n n k n

8 0! 1 0 ( )!! 0! 0!! 0!! 1 ( )!!! 0!! 1 1! 1! 1! ( )! 7! 1!! 7 ( )! 7! 7! 1! 7! 2 ( )! 2! 2!! 6! 2!! 2 6 ( ) 6! 6!! 2! 6! 2 3 ( )! 3! 3!! 5! 3!! 56 5 ( ) 5! 5!! 3! 5! 56 4 ( )! 4! 4!! 4! 4! 70 Podstwiłm do wzoru gotowe wyniki i otrzymłm: ( ) Wrto zwrócić uwgę n symetrię współczynników: Wrtości Symoli Newton możn otrzymć w prostszy sposó tworząc telę zwną Trójkątem Pscl. Wyjśnieni do dziłu: (*)JEDNOMIAN wyrżenie lgericzne, które jest iloczynem. Nie występuje w nim dodwnie ni odejmownie (**) WIELOMIAN sum skończonej liczy jednominów, yw zwn sumą lgericzną. *** Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle

9 TWÓRCA PRZEPISU "Jesteśmy czymś, lecz nie jesteśmy wszystkim." Blise Pscl Blise Pscl frncuski mtemtyk ur. w 1623r., zm. w 1662r. To włśnie on oprcowł metodę wyznczni współczynników dwuminu dowolnego stopni (trójkąt Pscl). Był filozofem, mtemtykiem, fizykiem i pulicystą. W młodości ojciec zronił Psclowi uczyć się mtemtyki przed 15 rokiem życi. Wszelkie książki mtemtyczne zostły usunięte z domu, więc mły Pscl nie widząc innej możliwości zczął smodzielnie odkrywć różne twierdzeni mtemtyczne. Przyjciel Pscl rdzo luił gry hzrdowe. Zkłdł się, że przy rzucie dwiem kostkmi rz n 24 rzuty wypdną dwie szóstki, le niestety niewłściwie określił sznsę wygrni (prwdopodoieństwo przy 24 rzutch wynosi 0,4914) i ciągle przegrywł. Poprosił wtedy Pscl o rdę. Pscl zczął się zstnwić i w wyniku przemyśleń powstły zlążki sttystyki i rchunku prwdopodoieństw. Okzło się, że dopiero przy 25 rzutch prwdopodoieństwo wypdnięci dwóch szóstek jest większe od połowy (wynosi dokłdnie 0,5055). Owocem zinteresowni hzrdem jest więc rozwój nowych dziłów mtemtyki. Około połow studentów pierwszego roku historii n jednej z polskich wyższych uczelni n pytnie, kim ył Blise Pscl, odpowid ez zjąknięci - informtykiem i progrmistą (populrny język strukturlny progrmowni n cześć słynnego uczonego nosi nzwę - Pscl). Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 9

10 TRÓJKĄT PASCALA Trójkąt Pscl jest to ukłd liczowy n trójkątnej tlicy. Jk przyrządzić Trójkąt Pscl? Zczynmy od wierzchołk trójkąt wpisując tm jedynkę. Nstępnie wpisujemy tę smą liczę wzdłuż rmion trójkąt. Do kolejnych pustych pól trójkąt wpisujemy sumę dwóch licz położonych ezpośrednio nd dnym polem. Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 10

11 Co m piernik (Trójkąt Pscl) do witrk (Dwuminu Newton)? Liczy zpisne w n- tym wierszu to kolejne wrtości DWUMIANU NEWTONA. Rozwiąznie przykłdu umieszczone w TRÓJKĄCIE PASCALA. W miejsce pustych pól w ósmym wierszu wstwiłm współczynniki DWUMIANU NEWTONA. Wszystko się zgdz: sum licz znjdujących się nd dnym polem jest liczą znjdującą się w tym polu. Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 11

12 Przekątne w Trójkącie Pscl Przekątną w Trójkącie Pscl ędziemy określć odcinek równoległy do oku trójkąt. Pierwsz przekątn skłd się z smych jedynek. Drug przekątn to liczy nturlne. Trzeci przekątn m w soie mgiczną włściwość, poniewż skłd się z licz trójkątnych. Liczy trójkątne Są to liczy wyrżjące ilość elementów ( np. pieniążków) potrzenych do ułożeni corz większych trójkątów równoocznych. Liczy te podlegją pewnym stłym zsdom tworzeni. Oto sposó ich oliczeni: KROK 1: Wypiszmy w pierwszym wierszu sme jedynki, ezpośrednio pod nim w drugim wierszu liczy nturlne dodtnie. w pierwszej kolumnie są sme jedynki KROK 2: Nstępnie utwórzmy 3 wiersz licz trójkątnych - poprzez dodnie liczy stojącej ezpośrednią nd nią i liczy stojącej przed nią. Kolumn 1 Kolumn 2 Kolumn 3 Kolumn 4 Kolumn 5 Wiersz Wiersz Wiersz 3 (liczy trójkątne) Kolumn Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 12

13 Włśnie tkie liczy zwier 3 przekątn Trójkąt Pscl. No i rzeczywiście chy dorze trfiliśmy z tym skłdnikiem, poniewż idelnie sprwdz się w prktyce. Terz przejdźmy do czwrtej przekątnej, którą stnowią liczy pirmidlne, zwne liczmi czworościennymi. KROK 3. Terz ukłdmy trzecią wrstwę z 3 kulek. Liczy pirmidlne Wyorźmy soie, że ze szklnych kulek lu jkichkolwiek innych elementów udujemy ostrosłup czworościn foremny, według pewnych zsd: KROK 1. Tworzymy z 10 kulek trójkąt równooczny. KROK 2. N tych kulkch ukłdmy kolejną wrstwę w ksztłcie trójkąt, tym rzem z 6 kulek. KROK 4. Nstępnie ukłdmy osttnią, czwrtą wrstwę zwierjącą 1 kulkę. Otrzymliśmy ryłę czworościn foremny podony do pirmidy. Czwrt licz czworościenn: 20 określ ilość wszystkich kul tworzących pirmidę. Możemy zuwżyć, że kżd krwędź skłd się z 4 kulek. Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 13

14 Liczy pirmidlne tworzy się rdzo podonie jk liczy trójkątne. N początku wypisujemy w 1 wierszu sme jedynki, w drugim liczy nturlne dodtnie. Nstępnie zpisujemy pod spodem trzeci wiersz skłdjący się z licz trójkątnych. Nstępnie oliczmy w 4 wierszu liczy pirmidlne, które są sumą liczy znjdującej się ezpośrednią nd nią i przed nią. W kolumnie pierwszej są sme jedynki. Kolumn 1 Kolumn 2 Kolumn 3 Kolumn 4 Kolumn 5 Wiersz Wiersz Wiersz 3 (liczy trójkątne) Wiersz 4 (liczy pirmidlne) Nsze dnie, czyli Trójkąt Pscl jest potrwą rdzo wyrfinowną. Im dlej sięgmy tym rdziej odkrywmy kolejne smki. Kżdy z nich m ogromną i różnorodną głęię. Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 14

15 Trójkąt Pscl ciąg Fioncciego Leonrdo Fioncci rozwiązywł pewną zgdkę, której treść rzmił nstępująco: W styczniu dostłeś prę nowo nrodzonych królików. Po dwóch miesiącch pr t rodzi po rz pierwszy nową prę, potem regulrnie jedną nową prę co miesiąc. Podonie m się rzecz z kżdą nową prą królików: po dwóch miesiącch od urodzeni rodzi on po rz pierwszy nową prę, potem jedną nową prę co miesiąc. Ile królików ędziesz mił w grudniu? Fioncci rozwiązując tę zgdkę odkrył pewien ciąg licz nzwnych później ciągiem Fioncciego. Oto te liczy: 1, 1, 2, 3, 5,, 13, 21, 34, Kolejn licz w ciągu Fioncciego powstje jko sum dwóch poprzednich. Ciąg tych licz otrzymujemy sumując liczy znjdujące się po przekątnej w Trójkącie Pscl. Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 15

16 Kolorownki w Trójkącie Pscl A terz dodjmy kolorów nszemu dniu. Pokolorujmy inną rwą liczy przyste i nieprzyste. T kolorownk jest łudząco podon do TRÓJKĄTA SIERPIŃSKIEGO. Jest to niekończący się ukłd trójkątów. Jego konstrukcj jest nstępując: Zczynmy od trójkąt równoocznego o oku. Dzielimy go n 4 przystjące trójkąty równooczne o oku ½, nstępnie środkowy trójkąt wyrzucmy. Kżdy z trzech pozostłych trójkątów znowu dzielimy n 4 przystjące trójkąty o oku ¼, nstępnie z kżdego z tych 4 trójkątów wyrzucmy trójkąt środkowy, otrzymując w ten sposó 9 trójkątów. Postępujemy tk dlej w nieskończoność. TRÓJKĄT SIERPIŃSKIEGO jest przykłdem frktl. Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 16

17 Co się stnie, jeśli zmlujemy wszystkie pol z liczmi nieprzystymi, pozostłe ( z liczmi przystymi) zostwimy puste? Przyjmuję: n- liczy nieprzyste, p- liczy przyste. A terz zmlujmy pol z liczmi przystymi Zuwżyłm, że te kolorownki są również podone do Trójkąt Sierpińskiego. Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 17

18 Co się stnie, gdy zmlujemy pol z liczmi podzielnymi przez 2? Mlujemy pol z liczmi podzielnymi przez 3 Zuwżyłm, że w wyniku tkiego postępowni otrzymujemy figury symetryczne. Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 1

19 A co otrzymmy, gdy zmlujemy pol z liczmi podzielnymi przez 4? Zmlujmy pol z liczmi podzielnymi przez 5 Zoserwowłm, że gdyyśmy chcieli n części tlicy Trójkąt Pscl zmlowć pol z liczmi podzielnymi przez 5 możemy postępowć według nstępującej instrukcji: Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 19

20 KROK 1. Zczynjąc od wierzchołk dzielimy trójkąt Pscl n identyczne pski skłdjące się z czterech wierszy, pomiędzy którymi jest odstęp 1 wiersz. KROK 2. Kżdy psek dzielimy n przystjące trójkąty. W kżdym psku m yć ich więcej o 2 niż w poprzednim. KROK 3. Gdy już podzieliliśmy w ten sposó pski, to mlujemy co 2 trójkąt. Jeżeli liczę określjącą miejsce dnego trójkąt w psie przyjmiemy jko n, to jeżeli n jest podzielne przez 2, wtedy dny trójkąt zwier liczy podzielne przez 5. Pomlujmy pol z liczmi podzielnymi przez 6 I znowu otrzymliśmy przykłd symetrii osiowej. Dlszą zwę z kolorownkmi pozostwim czytelnikowi. Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 20

21 Trochę pokominujemy, czyli komincje Trójkąt Pscl Zcznijmy od wyjśnieni czym są KOMBINACJE: Jeśli ziór skłd się z n różnych elementów, to kżdy jego podziór k - elementowy nzywmy komincją. Przykłd zstosowni TRÓJKĄTA PASCALA w komincjch: Z Trójkąt Pscl możemy ez żdnych oliczeń odczytć ile komincji oiektów jest możliwych. Wystrczy wyrć odpowiedni wiersz i odpowiednią w nim liczę. Oto zdnie: Ani udł się do cukierni i kupił 12 różnych cistek. N ile różnych sposoów może wyrć 3 z nich? Zmist męczyć się nd długimi oliczenimi wystrczy odnleźć w trójkącie Pscl 12 wiersz (wierzchołek trójkąt z liczą 1, to wiersz zerowy) i wyrć z niego liczę n 3 miejscu (nie licząc 1). Mmy odpowiedź n nsze pytnie. Wiersz 12 w TRÓJKĄCIE PASCALA: Jeżeli nie mieliyście w poliżu Trójkąt Pscl możecie posłużyć się SYMBOLEM NEWTONA ! 3! 9! 9! ! 220 Odp.: Cistk możn wyrć n 220 różnych sposoów. Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 21

22 Szczęśliwy rzut, czyli orły i reszki Trójkąt Pscl Myślę, że nie spodziewliście się, że TRÓJKĄT PASCALA m coś wspólnego z pieniędzmi. A jednk! Przykłd zstosowni TRÓJKĄTA PASCALA: Rzucmy monetą 3 rzy. Jk jest ilość możliwych ukłdów orłów i reszek w tkim przypdku? Spójrzmy n trzeci wiersz TRÓJKĄTA PASCALA (wierzchołek trójkąt z liczą 1, to wiersz zerowy): Trzeci wiersz ozncz liczę możliwych komincji przy trzech rzutch. Pierwsz licz 1 ozncz liczę komincji dl orłów (OOO). Drug licz 3 ozncz liczę możliwych komincji dl dwóch orłów i jednej reszki (ORO, OOR, ROO). Trzeci licz ozncz liczę możliwych komincji dl dwóch reszek i jednego orł (RRO, ORR, ROR). Czwrt licz ozncz liczę możliwych komincji dl reszek (RRR). *** Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 22

23 Myślę, że t uczt dl umysłu ył rdzo sycąc. Jeżeli ktoś jest ndl głodny, to widocznie jest łkomczuchem mtemtycznym. Mm ndzieję, że czytjąc tę prcę nie nudziliście się i dowiedzieliście się wielu ciekwych rzeczy. Litertur: Boiński Z., Kurlyndchik L., Uscki M.: Elementrne metody w komintoryce, Wydwnictwo Aksjomt, Toruń 2002 Encyklopedi. Mtemtyk, Wydwnictwo Greg, 2012 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 23

24 DODATEK DO PRACY Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 24

25 DZIELNIKI BĘDĄCE NATURALNYMI POTĘGAMI LICZBY 2 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 25

26 DZIELNIKI BĘDĄCE NATURALNYMI POTĘGAMI LICZBY 3 DZIELNIKI BĘDĄCE NATURALNYMI POTĘGAMI LICZBY 5 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 26

27 DZIELNIKI BĘDĄCE LICZBAMI PIERWSZYMI Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 27

28 DZIELNIKI BĘDĄCE ILUSTRACJĄ DATY FINAŁU KONKURSU ( ) Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle 2