POMIARY OPTYCZNE 1. Proste przyrządy optyczne. Damian Siedlecki

Transkrypt

1 POMIARY OPTYCZNE 1 { Proste przyrządy optyczne Damian Siedlecki

2 Lupa to najprostszy przyrząd optyczny, dający obraz pozorny, powiększony i prosty. LUPA Aperturę lupy ogranicza źrenica oka. Pole widzenia zależy od położenia oka względem lupy.

3 Kąt, pod jakim widzimy przedmiot okiem nieuzbrojonym Odległość dobrego widzenia - odległość, dla której oko ludzkie widzi ostry obraz o maksymalnie dużym powiększeniu, ale nie musi akomodować ( przystosowywać się ) do widzenia w odległości innej, niż wynika z fizjologicznego ustawienia mięśni oka. D 25cm LUPA tgα = h D

4 Kąt, pod jakim widzimy przedmiot okiem uzbrojonym w lupę: tgα = h L LUPA

5 Powiększenie kątowe lupy: Γ = tgα tgα = h L h D = D L h h = D L s s 1 s + 1 s = 1 f D L s s = D L s 1 f 1 s = D L 1 s f LUPA

6 Powiększenie kątowe lupy: Dla oka umieszczonego zaraz za lupą (l = 0) Γ = D L + D f Dla przedmiotu umieszczonego w ognisku (L = ): LUPA Γ = D f Dla obrazu powstającego w odległości dobrego widzenia: Γ = D f + 1

7 Luneta to przyrząd, służący do obserwacji przedmiotów dużych, ale odległych luneta tworzy obraz tego przedmiotu pomniejszony, ale w bliższej odległości od oka. Składa się z obiektywu (układ o dużej ogniskowej i dużej średnicy) i okularu (układ o małej ogniskowej i małej średnicy). LUNETA

8 Układ lunety jest układem teleskopowym = bezogniskowym (ognisko obrazowe obiektywu pokrywa się (niemal) z ogniskiem przedmiotowym okularu. LUNETA

9 Powiększenie wizualne lunety: Γ = f ob f ok LUNETA

10 Bieg promieni aperturowego i polowego w lunecie Keplera: Powiększenie wizualne lunety równe jest stosunkowi średnic źrenic: wejściowej, którą tworzy zwykle przesłona aperturowa, będąca oprawą obiektywu i wyjściowej, którą jest źrenica oka. Wielkość źrenicy oka (2-8 mm) decyduje więc o aperturze i jasności lunety. LUNETA

11 Typy lunet: - astronomiczne refraktory (Keplera) dwa układy soczewkowe, zbierające; - astronomiczne reflektory układy zwierciadlane; - ziemskie (nieodwracające) z dodatkową soczewką pomocniczą, - odwracającą obraz (też: lornetki); - ziemskie (holenderskie) Galileusza z okularem rozpraszającym. Luneta ziemska typu Galileusza: Dwa układy: - skupiający obiektyw (jak w astronomicznej); - rozpraszający okular (dzięki temu obraz jest pozorny, ale nie odwrócony). LUNETA

12 Bieg promieni aperturowego i polowego w lunecie Galileusza: W lunecie tej nie można ograniczać apertury oprawą obiektywu. Obraz tej oprawy jest pozorny i powstaje pomiędzy obiektywem i okularem. Jedynym ograniczeniem jest więc zawsze źrenica oka! Oprawa obiektywu pełni teraz rolę przysłony polowej. Ze względów konstrukcyjnych (korekcja aberracji dla układów rozpraszających jest trudniejsza) lunety ziemskie mają zwykle dużo mniejsze powiększenia od astronomicznych. LUNETA

13 Mikroskop to przyrząd do obserwacji przedmiotów małych, znajdujących się blisko obserwatora. Składa się ze skupiającego obiektywu o krótkiej ogniskowej, który daje rzeczywisty, powiększony i odwrócony obraz przedmiotu i okularu, również skupiającego, który pełni rolę lupy, przez która oglądamy obraz dawany przez obiektyw. MIKROSKOP

14 Powiększenie mikroskopu: Γ = dd f ob f ok d - długość tubusu (ok. 17cm) MIKROSKOP

15 Obiektyw daje obraz rzeczywisty, odwrócony, powiększony: β ob = d + Δ Okular działa jak lupa. Jego powiększenie wizualne wynosi: Całkowite powiększenie typowego mikroskopu jest równe: Γ = β ob Γ ok = d + Δ f ob W typowym mikroskopie maksymalne powiększenia są nie większe niż 2000 (obiektyw x100, okular x16). Większe powiększenia uzyskać trudno ze względu na dyfrakcję światła na soczewkach. W przypadku dużych obiektywów (x100) stosuje się ciecze immersyjne w celu zwiększenia kąta aperturowego. Apertura numeryczna obiektywu: MIKROSKOP D dd f ok f ob f ok NA = n sin u f ob Γ ok = D f ok

16 Ważnym elementem mikroskopu jest jego układ oświetlający. Elementem odpowiedzialnym za geometrię wiązki oświetlającej jest kondensor. Stosowane są powszechnie dwa typy oświetlenia przedmiotu: przy oświetleniu krytycznym obraz źródła światła (włókno żarówki oświetlacza) odwzorowany jest w płaszczyźnie przedmiotu. Oświetlenie krytyczne umożliwia zmianę apertury mikroskopu poprzez zmianę apertury kondensora. Aby preparat był oświetlony równomiernie, włókno żarówki oświetlacza musi być rozciągłe i mieć stałą luminancję na całej powierzchni. MIKROSKOP

17 Przy oświetleniu typu Köhlera źródło światła odwzorowane jest w płaszczyźnie przysłony aperturowej obiektywu. Układ Köhlera pozwala na równomierne oświetlenie przedmiotu Dodatkowy kolektor K 1 odwzorowuje źródło światła na płaszczyznę aperturową kondensora. Obie przesłony aperturowa i polowa znajdują się w układzie kolektor-kondensor. MIKROSKOP

18 Teoria Abbego: teoria dyfrakcyjna używana do opisu sposobu powstawania obrazu w mikroskopie: Oświetlacz typu Köhlera tworzy równoległą wiązkę światła, padającą na obserwowany obiekt (płaszczyzna 0 ); Pole widzenia ograniczone jest przez przysłonę D P ; Przysłona D A ogranicza rozbieżność kątową wiązki oświetlającej. MIKROSKOP

19 Założenie: Obserwowanym przedmiotem jest sinusoidalna siatka o częstości przestrzennej ν = 1 X o której transmitancja (przepuszczalność) opisana jest wzorem: t x = A + B cos 2πνx Jak ZAPEWNE PAMIĘTACIE (???), płaska fala, padając na tak określoną strukturę, tworzy dwie wiązki ugięte pod kątami zależnymi od częstości przestrzennej przedmiotu: A B tan θ = ±νλ W płaszczyźnie ogniskowej obrazowej obiektywu 1 wiązki te skupiają się, tworząc obraz dyfrakcyjny przedmiotu. Obserwujemy trzy punkty (reprezentujące trzy fale): - środkowy, reprezentujący zerową częstość przestrzenną, czyli tło; - dwa boczne punkty, reprezentujące częstość przestrzenną. Te trzy fale tworzą następnie obraz podobny do przedmiotu w płaszczyźnie 0 MIKROSKOP

20 Uogólnienie: Jeśli nawet przedmiot nie jest sinusoidalną siatką, możemy przyjąć że jest periodyczny z okresem X 0 i zastosować rozkład Fouriera do jego transmitancji: t x = T 0 + T m cos 2πmx X 0 + m=1 Fala świetlna, padająca na taki przedmiot, ulega dyfrakcji i tworzy szereg fal płaskich, ugiętych pod kątami: Każda z tych wiązek po przejściu przez obiektyw skupia się w jego tylnej płaszczyźnie ogniskowej w innej odległości od osi: W płaszczyźnie tej tworzy się więc obraz dyfrakcyjny przedmiotu szereg punktów świecących o natężeniach zależnych od współczynników w rozwinięciu Fouriera. Z dodania (interferencji) tych fal powstaje obraz geometryczny (w płaszczyźnie 0 ). m=1 tan θ m = ±mλν, m = ±1, ±2, ξ m = f ob tan θ m = mf ob λν T m sin 2πmx X 0 MIKROSKOP

21 Nawet w przypadku przedmiotu nieperiodycznego możemy zastosować transformatę Fouriera. Fala płaska, padająca na przedmiot o dowolnej transmitancji amplitudowej t(x), ulega dyfrakcji i w płaszczyźnie ogniskowej obrazowej soczewki odwzorowującej otrzymujemy rozkład amplitudy świetlnej, opisany transformatą Fouriera: τ ν = + Przejście światła od płaszczyzny obrazu dyfrakcyjnego do płaszczyzny obrazu geometrycznego opisuje odwrotne przekształcenie Fouriera: + a więc obraz jest podobny do przedmiotu. t x exp 2πi λf xν t x ob = τ ν exp 2πi λz ob νx ob dx dν MIKROSKOP

22 Jak dotychczas, otrzymane wyniki (tworzenie obrazu) są analogiczne do tych, osiągniętych za pomocą teorii geometrycznej! Na czym więc polegają różnice (ograniczenia) teorii dyfrakcyjnej? Nawet wtedy, gdy apertura obiektywu jest bardzo duża, jest ona zawsze skończona. Nie wszystkie wiązki światła, ugięte na przedmiocie, trafią więc do obiektywu i zostaną skupione w płaszczyźnie obrazu dyfrakcyjnego. Oznacza to, że w drugiej części procesu tworzenia obrazu (transformata odwrotna) weźmie udział tylko skończona liczba fal składowych. Obliczanie odwrotnej transformaty Fouriera odbędzie się w skończonych granicach a więc otrzymany wynik musi się różnić od idealnego. Pewna część informacji o przedmiocie, zawarta w składowych harmonicznych o wysokich częstościach przestrzennych nie zostanie odtworzona w obrazie. MIKROSKOP

23 W szczególności, gdy przedmiotem będzie siatka periodyczna o jednej, stałej częstości przestrzennej 0, to wiązki światła ugięte na tej strukturze trafią do obiektywu a następnie wezmą udział w tworzeniu obrazu tylko wtedy, gdy apertura obiektywu będzie równa co najmniej: u 0 = arcsin(νλ) Ma ona związek ze zdolnością rozdzielczą obiektywu często wyrażaną przez najmniejszą odległość d między dwoma odwzorowanymi punktami: d = λ D 2 z gdzie D/2z jest połówkowym kątem aperturowym obiektywu. MIKROSKOP

24 Tak więc obraz dawany przez obiektyw o skończonych rozmiarach jest zawsze rozmyty. Rozmycie to powstaje jako wynik dyfrakcji światła na ograniczeniu, jakim jest przesłona aperturowa (źrenica wejściowa) tego obiektywu. Obrazem punktowego przedmiotu jest więc nie punkt, ale plamka o skończonych rozmiarach, zwana punktową funkcją rozmycia. W przypadku istnienia w układzie aberracji, wpływają one również na kształt tej plamki i dlatego nazywamy ją także plamką aberracyjną. Dyfrakcyjna teoria odwzorowania wyjaśnia oczywiście sposób powstawania obrazu nie tylko w mikroskopie. Na przykład obrazem dalekiej gwiazdy (punkt!) w lunecie jest punktowa funkcja rozmycia równa obrazowi dyfrakcyjnemu (dalekiego pola) źrenicy wejściowej. MIKROSKOP

25 Przykład: Dla źrenicy kołowej o średnicy D amplitudową punktową funkcją rozmycia jest krążek Airy ego: h x = J 1 πdx λf πdx λf Rozkład natężenia światła w obrazie punktu nazywamy natężeniową punktową funkcją rozmycia, np. (dla źrenicy kołowej): H x = h(x ) 2 = J 1 2 πdx λf πdx λf 2 MIKROSKOP

26 Dla niewielkich przesunięć możemy z dobrym przybliżeniem przyjąć, że obrazem dwóch punktów leżących w niewielkiej odległości od siebie jest suma dwóch identycznych punktowych funkcji rozmycia, przesuniętych względem siebie o wielkość zależną od i od powiększenia poprzecznego układu. Jeśli przedmiot jest oświetlony niekoherentnie, to dodają się natężeniowe funkcje rozmycia: H ξ = H ξ β Δ 2 + H ξ + β Δ 2 Gdy odległość między punktami jest zbyt mała, plamki aberracyjne nakładają się, uniemożliwiając rozróżnienie poszczególnych punktów. MIKROSKOP

27 Kryterium rozdzielczości Rayleigha orzeka, że bezaberracyjny układ optyczny umożliwi rozróżnienie dwóch punktów, jeżeli maksimum punktowej funkcji rozmycia jednego punktu przypadnie na pierwsze minimum dyfrakcyjne punktowej funkcji rozmycia drugiego punktu. Kryterium rozdzielczości

28 Przykład I: dla źrenicy kwadratowej o boku a odległość ta wynosi: θ gr = λ a Zwana jest ona dwupunktową zdolnością rozdzielczą. Przykład II: dla źrenicy kołowej o średnicy D odległość ta wynosi: θ gr = 1.22 λ D (liczba 1.22 wynika z warunku na minimum funkcji Bessela). W praktyce, granicę zdolności rozdzielczej wyznacza się, obserwując testy kreskowe, składające się z pól pokrytych układami równoległych i równoodległych linii. Kryterium rozdzielczości

29 Aparat fotograficzny służy do odwzorowania przedmiotu na kliszy fotograficznej za pomocą obiektywu. Przedmiot zwykle znajduje się daleko (tzn. odległość przedmiotowa jest dużo mniejsza niż ogniskowa obiektywu) więc obraz powstaje tuż za ogniskiem obrazowym. Aperturę obiektywu fotograficznego ogranicza regulowana przesłona irysowa w obiektywie. O polu widzenia decyduje wielkość kliszy. Aparat fotograficzny

30 W procesie rejestracji obrazu ważna jest wielkość oświetlenia w płaszczyźnie kliszy. Oświetlenie to jest proporcjonalne do kwadratu odwrotności liczby otworowej N=f/D: E~ D f Odwrotność liczby otworowej nazywana jest otworem względnym (jasnością) i zapisywana w postaci: 1: f D Obiektyw fotograficzny powinien charakteryzować się dużym polem widzenia. Ważna jest też tzw. głębia ostrości. 2 Im krótsza ogniskowa obiektywu, tym większa głębia ostrości. Aparat fotograficzny