Podstawy Fizyki III Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 13, Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz

Transkrypt

1 Podstawy Fizyki III Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 13, wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz Radosław Łapkiewicz

2 Wykład 1 - przypomnienie stosy warstw dielektrycznych macierz pojedynczej warstwy macierz stosu współczynnik odbicia warstwy ćwierćfalowe: pojedyncza, podwójna, wielokrotna stosy antyrefleksyjne, lustra dielektryczne lustra dichroiczne, polaryzatory cienkowartswowe wytwarzanie pokryć dielektrycznych

3 Interferometr Fabry-Perot, 1 fazy C B Θ Θ AB + BC = d cos Θ amplitudy Θ n A δ = kd cos Θ = 4πn λ d cos Θ E 0 t 1 r r 1 r E 0 t 1 r 1 r E = E 0 t 1 t r 1 r d λ to długość fali w próżni E 0 t 1 r 1 r E 0 t 1 r E 0 t 1 r 1 r E = E 0 t 1 t r 1 r pole fali przechodzącej: E 0 r 1 E 0 t 1 r E 1 = E 0 t 1 t E T = E 0 t 1 t 1 + r 1 r e iδ + r 1 r e iδ + E 0 t 1 E 0 r 1, t 1 r, t E T = E 0 t 1 t k=0 r 1 r e iδ k = t 1 t 1 r 1 r e iδ E 0

4 Interferometr Fabry-Perot, Θ n E T Θ E T = t 1 t 1 r 1 r e iδ E 0 1. Współczynniki obicia i transmisji dla luster mogą być zespolone r 1 = r 1 e iδ 1, r = r e iδ r 1 r = r 1 r e i δ 1+δ E 0 d r 1, t 1 r, t. Współczynnik załamania może być zespolony (wykład 3) n = n R + n I δ = 4πn d cos Θ = 4πn R d cos Θ + i 4πn I d cos Θ = δ λ λ λ R + iδ I E T = E 0 t 1 t r 1 r e iδ k t 1 t = 1 r Nowe oznaczenia: 1 r e iδ E 0 k=0 t 1 t = t 1 t e iδ T = Te iδ T r 1 r = r = r 1 r e δ Ie i δ R+δ 1 +δ = Re iδ, Δ = δ R + δ 1 + δ pozwalają zapisać pole fali przechodzącej oraz jej natężenie E T = Teiδ T 1 Re δ Ie iδ E 0 I T = E T = Te iδ T 1 Re δ Ie iδ E 0 = I 0 T 1 Re δ Ie iδ

5 Interferometr Fabry-Perot, n E T Θ E T = t 1 t 1 r 1 r e iδ E 0 1. Współczynniki obicia i transmisji dla luster mogą być zespolone r 1 = r 1 e iδ 1, r = r e iδ r 1 r = r 1 r e i δ 1+δ Θ E 0 d r 1, t 1 r, t. Współczynnik załamania ośrodka wypełniającego interferometr może być zespolony (wykład 3) n = n R + n I δ = 4πn λ d cos Θ = 4πn R λ d cos Θ + i 4πn I λ d cos Θ = δ R + iδ I Nowe oznaczenia: t 1 t = t 1 t e iδ T = Te iδ T r 1 r e iδ = r 1 r e δ Ie i δ R+δ 1 +δ = Re iδ, Δ = δ R + δ 1 + δ pozwalają zapisać pole fali przechodzącej oraz jej natężenie E T = Teiδ T 1 Re δ Ie iδ E 0 I T = E T = Te iδ T 1 Re δ Ie iδ E 0 = I 0 T 1 Re δ Ie iδ

6 Interferometr Fabry-Perot, 3 n E T Θ fazę fali przechodzącej liczymy z wyrażenia E T = Teiδ T 1 Re iδ E 0, z parametrami R = r 1 r e δ I, Δ = δ R + δ 1 + δ Θ R 0.99 δ R = δ 1 + δ E 0 d r 1, t 1 r, t R 0.9 faza fali odbitej...

7 Interferometr Fabry-Perot, 4 Θ E 0 d n r 1, t 1 r, t E T Θ natężenie fali przechodzącej przez interferometr F-P I T = E T = I 0 T 1 Re iδ najpierw liczymy mianownik 1 Re iδ = 1 Re iδ 1 Re iδ = = 1 R cos Δ + R = = 1 R 1 + 4R 1 R sin Δ wprowadzamy: współczynnik dobroci 4R F = 1 R Transmisja (natężenia) przez interferometr F-P T F P = I T I 0 = T 1 R Fsin Δ T = t 1 t R = r 1 r e δ I Δ = δ R + δ 1 + δ

8 Interferometr Fabry-Perot, 5 T F P = I T I 0 = T max = T 1 R T 1 1 R 1+Fsin Δ W interferometrze bez strat: n I = 0 oraz T = 1 R co daje T max = 1. R 0. R 0.5 Bez absorpcji w ośrodku ale straty na lustrach (identycznych) T + R + A = 1, T = t, R = r T max = 1 R A 1 R = 1 A 1 R < 1 R 0.9 Bezstratne lustra (identyczne) ale absorpcja w ośrodku 1 R T max = < 1 T 1 Re δ I = 1 Re δ I tłumienie poza rezonansem T min = T max T max 1+F F

9 Interferometr Fabry-Perot, finesse T F P = T 1 R Fsin Δ Liczymy szerokość połówkową piku: T qπ + η 1 = T max 1 + Fsin qπ + η = 1 zakładając η π plus rachunki. (1 R) η = = π R F F = π R 1 R to finsesse (doskonałość) interferometru

10 Interferometr Fabry-Perot, 6 T F P = T 1 R Fsin Δ Częstości rezonansowe F-P zależą od parametru Δ: Δ = δ R + δ 1 + δ = nω d cos Θ + δ c 1 + δ przyjmując: δ 1 = δ = 0 oraz Θ = 0 mamy Δ = nω d c Maksima transmisji (częstości rezonansowe F-P) możemy indeksować liczbą naturalną q Δ = qπ co daje ω q = q cπ czyli qλ q = d nd q q 1 q 1 w rezonatorze mieści się całkowita liczba połówek fali (fala stojąca) Oznaczmy przez FSR odległość pomiędzy kolejnymi maksimami: FSR = ω q+1 ω q Wtedy szerokość połówkowa piku to δω = FSR F FSR (ang. Free Spectral Range) przedział dyspersji (interferometru)

11 Interferometr Fabry-Perot, 7 E 0 t 1 t r 1 r E 0t 1 r 1 r E = E 0 t 1 t r 1 r Rozważamy dobry, symetryczny (r 1 = r = r) interferometr Fabry-Perot R 1, T = 1 R E 0 t 1 r 1 r E 0 t 1 r E 0 t 1 r 1 r E = E 0 t 1 t r 1 r E 0 t 1 r E 0 r 1 E 1 = E 0 t 1 t Oznaczmy przez E ins pole wewnątrz interferometru propagujące się w prawo. Weźmy jego amplitudę tuż przed. lustrem. Mamy wtedy E T = te ins I T = t I ins E 0 t 1 E 0 r 1, t 1 r, t Zatem I ins = I T 1 R = FI T π R F π I T Dla rezonansu mamy I T I 0 Zatem I ins F π I 0 natężenie światła w rezonatorze może być bardzo duże

12 skanujący int. Fabry-Perot jedna fala monochromatyczna detektor ω = πc λ x rezonanse dla x = q λ gdzie q jest liczbą naturalną fale monochromatyczne ω, ω detektor x

13 Skanujący int. Fabry-Perot, rozdzielczość ω, ω detektor x Δ = δ 1 + δ + nωd c Δ = δ 1 + δ + nω d c Kryterium Taylora krzywe przecinają się w połowie wysokości: Fsin qπ + χ = 1 F Korzystamy z definicji finesse żeby wyliczyć: χ = π F minimalna różnica częstości, które możemy odróżnić: (rozdzielczość int. F-P) ω ω = FSR F Zdolność rozdzielcza: λ = ω = qf δλ δω maksymalna szerokość widma = FSR

14 Int. Fabry-Perot, prążki stałego nachylenia, 1 światło monochromatyczne wiązka rozproszona średnica pierścienia φ φ = f tan Θ fθ Dla małych kątów Δ = δ 1 + δ + nωd c cos Θ nωd 1 Θ = qπ c stąd Θ q = 1 q πc nωd najmniejszy pierścień znajdujemy z warunku: q 0 < nωd πc kolejne pierścienie odpowiadają coraz mniejszym wartościom q

15 Int. Fabry-Perot, prążki stałego nachylenia, a b δω = a b FSR

16 Interferometry Fabry-Perot, lustra sferyczne Konfokalny interferometr F-P. f d f FSR = c 4nd mody interferometru F-P (wykład 8)

17 Rzeczywiste interferometry Fabry-Perot Ograniczenia na finesse: 1. Dokładność powierzchni: płaskiej bądź sferycznej. Dokładność ustawienia 3. Jakość luster (R) F = π R 1 R R =

18 Siatka dyfrakcyjna, 1 Siatka dyfrakcyjna - N identycznych rys; każda z nich jest źródłem fali E n = E 0 e inδφ Pod kątem α pada fala płaska monochromatyczna. Obserwujemy światło pod kątem β (też fala płaska). geometria: δ = kδl = kd sin α + sin β Całkowite pole to: E = N n=0 E n = E 0 N n=0 e inδ = 1 einδ 1 e iδ E 0 a natężenie sin Nδ I = E = sin δ I 0 gdzie I 0 to natężenie światła od jednej rysy

19 Maksima dla: I = sin Nδ sin δ I 0 δ = mπ, m = 0, ±1, ±, Siatka dyfrakcyjna, N 5 N 5 kd sin α+sin β = mπ daje wzór siatkowy: sin α + sin β = m λ d indeks m numeruje rzędy ugięcia Dyspersja kątowa siatki dyfrakcyjnej (ustalamy kąt padania): d sin α + sin β = m d dλ dβ = m dλ d cos β

20 Siatka dyfrakcyjna, 3 I = sin Nδ I 0 sin δ N = 5 N = 5 Szerokość maksimum szukamy 1. zera w 1. rzędzie ugięcia I π + ξ = 0 sin Nπ + Nξ = 0 Nξ = π ξ = π N γ/π Przyjmijmy γ ξ π γ = N

21 ze wzoru siatkowego: δ = ωd sin α + sin β = mπ c δ = ω d sin α + sin β = mπ + ζ c Siatka dyfrakcyjna, 4 sin Nδ I = sin δ I 0 I ξ δ Stosujemy kryterium Rayleigha: maksimum jednej linii pokrywa się z pierwszym minimum drugiej mπcd ω = sin α + sin β ω mπ + ζ cd = sin α + sin β mπ δω ω = ω ω ω = ζ mπ = 1 mn spektralna zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej λ δλ = mn

22 Spektrometr siatkowy Jak ustalić? Szczelina wejściowa + kolimator Jak rozdzielić różne? Ogniskowanie dalekie pole spektrometr siatkowy sin β = m λ sin α d dβ dλ = m d cos β f Parametry: Dyspersja liniowa: Rozdzielczość Jasność Przedział spektralny (FSR) mm/nm λ δλ = mn a/f Czerny-Turner jakość obrazowania a

23 Dyspersja kątowa pryzmatów, 1 A geometria: plus prawo Snella φ 1 + φ = ε + α ψ 1 + ψ = α n 1 1 B 1 1 B n 1 sin φ 1 = n sin ψ 1 sin φ = n sin ψ plus brutalna siła ε = φ 1 + φ α, φ = sin 1 n sin ψ, ψ = α ψ 1, ψ 1 = sin 1 sin φ 1 n metoda ekstremalnego odchylenia szukamy dε = 0 dλ rachunki.. φ 1 = φ, ψ 1 = ψ, d ε dλ > 0 - kąt minimalnego odchylenia (ugięcia) dla minimalnego odchylenia mamy (bez dowodu): φ 1 = 1 ε min + α ψ 1 = 1 α pomiar współczynnika złamania: n = sin φ 1 = sin sin ψ 1 ε min +α sin α

24 Dyspersja kątowa pryzmatów, A B ' l dyspersja współczynnika załamania n = n(λ) skutkuje kątem ugięcia zależnym od długości fali ε = ε(λ) Mówimy o dyspersji kątowej pryzmatu B 1 ' l 1 n B 1 t B dε = dε dn dλ dn dλ Niezbyt trudne ale bardzo żmudne rachunki dają: dε = t dn dλ l dλ

25 monochromator pryzmatyczny B 1 ' A n t B ' l B Jak ustalić 1? Szczelina wejściowa + kolimator Jak rozdzielić różne? Ogniskowanie dalekie pole monochromator spektrometr siatkowy l 1 B 1 Parametry: Dyspersja liniowa: Rozdzielczość Jasność Przedział spektralny (FSR) mm /nm λ dn = t δλ dλ a/f cały obszar transmisji

26 Dudnienia, paczki falowe, 1 fale monochromatyczne: ω 1 i ω : E(t) = E 0 e iω 1t + E 0 e iω t interferują co skutkuje dudnieniami E(t) = E cos Δωt gdzie Δω = ω ω 1. Jeśli ω = ω 1 to Δω = ω 1 kilka fal o częstościach harmonicznych: ω 0, ω 0, 3ω 0, E t = E 0 E(t) = E 0 N n=1 N n=1 e inω 0t e inω 0t Własności: okres T = π ω 0 czas trwania jednego impulsu N 5 N 10 δt T N

27 E. Goulielmakis, et al. Science 317, (007) attosekundy

28 A. L. Cavalieri et al. Nature 449, (007) attosekundy, zastosowania

29 Dudnienia, paczki falowe, wiele fal o równoodległych częstościach E t = E 0 N = E 0 e iω 0t n=1 N e i ω 0+nδω t = n=1 e inδωt = = E 0 e iω 0t 1 einδωt 1 e iδωt 0 0 I 0... natężenie Nδωt E t = E sin 0 sin δωt ciąg impulsów z okresem T = π δω o czasie trwania δt π Nδω N 5 N 5

30 Femtosekundy synchronizacja modów laser intensity (arb. units) L N 0, n 0 t=1/(n ) T=1/ E t = E 0 time (1/ ) N/ N/ laser intensity (arb. units) δν e i ω 0+nδω+φ n t c L ν k kc L N 0, n random time (1/ )

31 Femtosekundy wyniki G. Stibenz et al. Appl. Phys. B83, (006)

32 pole w postaci E t = Ae t τ e iωt daje natężenie I t = A e t τ Impuls gaussowski t Ae t szerokość połówkową Δt profilu natężenia liczmy z równości skąd e Δt τ = 1 Δt = lnτ Transformata Fouriera daje E ω = πτae τ ω ω0 skąd widmo to I ω = πτ A e τ ω ω 0 a jego szerokość połówkowa to Δω = τ ln E t ΔωΔt = 4ln ΔνΔt = ln π Dla dowolnego impulsu mamy ΔνΔt > κ gdzie κ jest rzędu jedności i zależy od kształtu impulsu ograniczenie furierowskie zasada nieoznaczoności Heisenberga

33 Impuls gaussowski ze świergotem weźmy pole w postaci E t = Ae Γt e iω 0t, Γ = a + ib Impuls ma częstość zależną od czasu (świegot) ω t = ω 0 + bt prosty rachunek daje szerokość połówkową (FWHM) profilu czasowego natężenia Δt = ln a Transformata Fouriera daje widmo a a +b ω ω 0 I ω e 1 o szerokości połówkowej Δω = 8ln a 1 + b a ΔωΔt = 4ln - impuls fourierowsko ograniczony b ΔωΔt = 4ln 1 + a - impuls ze świergotem