Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 15, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Transkrypt

1 Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 5, wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner

2 Wykład 4 - przypomnienie interferencja nieskończenie wielu fal monochr. o różnych kierunkach wiązka gaussowska, zasada nieoznaczoności przyosiowe r-nie Helmholtza, wyprowadzenie wiązki gaussowskiej wiązki TEM własności wiązki gaussowskiej parametr M prawo BCD dla wiązek gaussowskich

3 konstrukcja Huygensa, tylko fale biegnące do przodu!!! Christiaan Huygens ?

4 całka Fresnela-Kirchoffa model skalarny (zaniedbujemy polaryzację światła) P r r 0 P 0 pole na powierzchni E = E r e ikr n P wkład do pola w P 0 od elementu d de 0 = E r 0 e ikr 0d = E r r 0 e ik r 0+r d ugustine Fresnel Formuła Kirchoffa-Fresnela E P 0 = iλ e ik r 0+r gdzie kąty Θ 0 i Θ to Θ 0 = n, r 0, Θ = n, r cos Θ 0 cos Θ r r 0 d Gustaw Kirchoff Całkę Kirchoffa można wyprowadzić z twierdzenia Greena i równania Helmholtza

5 Formuła Sommerfelda rnold Sommerfeld P r0 P 0 Formuła Sommerfelda E x 0, y 0, z = iλ E(x, y, 0) z e ikr0 dxdy r 0 r 0

6 Zasada Babineta E x 0, y 0, z E x 0, y 0, z Jacques Babinet E x 0, y 0, z E x 0, y 0, z = E x 0, y 0, z + E x 0, y 0, z Uwaga: w rzeczywistości amplituda pola jest wielkością zespoloną i rysunki powyżej należy traktować wyłącznie jako ilustrację pomysłu Babineta a nie rzeczywiste rozkłady pola

7 Dyfrakcja Fraunhofera, na wejściu i na wyjściu mamy fale płaskie r h δ = r r h h r δ P r P r 0 P 0 Całka F-K upraszcza się wtedy do E P 0 = C e ikr 0 r 0 d ogólnie, dla Fraunhofera Przybliżenie Fraunhofera: δ h Liczba Fresnela N F = h rλ + r r 0 λ e ikr 0 E P 0 = C E d r 0

8 Dyfrakcja Fraunhofera, szczelina, E x, y, z = Ue ikz y r 0 = r 0 + y sin Θ z D r 0 Θ P 0 ; x 0, y 0, z E x, y, 0 = U E P 0 = C U eikr 0 d = r 0 gdzie β = kd sin Θ CU r 0 e ikr 0 dxdy = C D/ e ik r 0+y sin Θ dy D/ sin β = C β funkcja sinc: sin x sinc x = x

9 Dyfrakcja Fraunhofera, 3 sin β E β = C β sin β I β = I 0 β szczelina, β + = kd sin Θ + Θ = λ D ΔΘ = λ D kdθ + = π Θ + = λ D

10 Dyfrakcja Fraunhofera, 4 y szczelina, 3 E x, y, z = Ue i k yy+k z z k D Θ z k = 0, k y, k z r 0 P 0 ; x 0, y 0, z E x, y, 0 = Ue ik yy E P 0 = C E x, y, 0 eikr 0 d = r 0 gdzie β = D ksin Θ k y CU r 0 e ikr 0e ik yy dxdy = C e ik r 0 y sin Θ +ik y y dy sin β = C β centralny prążek dla sin Θ = k y /k

11 Dyfrakcja Fraunhofera, 5 odbicie od wąskiego lustra y P0 D P ' 0 z i E x, y, z k = Ue i k yy+k z z sin β E P 0 = C β β = D ksin Θ i k sin Θ k = 0, k sin Θ i, k cos Θ i centralny prążek dla Θ = Θ i 0 0 kąt odbłysku (ang. blaze angle)

12 Dyfrakcja Fraunhofera, 6 y identyczne szczeliny, E x, y, z = Ue ikz d D Θ z D r 0 r 0 = r 0 + y sin Θ P 0 ; x 0, y 0, z E x, y, 0 = U (d D)/ E P 0 = C e ik r 0 y sin Θ dy gdzie β = kd sin Θ (d+d)/, γ = kd sin Θ sin β = = C cos γ β (d+d)/ + C e ik r 0 y sin Θ dy (d D)/

13 Dyfrakcja Fraunhofera, 7 identyczne szczeliny, E P 0 I P 0 β = sin β = C cos γ β sin = I β 0 cos γ kd sin Θ β, γ = kd sin Θ γ = kd sin Θ + = π sin Θ + = λ d brakujący rząd dyfrakcji π/ 4π π 0 π 4π 0 π/ γ β

14 Dyfrakcja Fraunhofera, 8 dx = D y r otwór kołowy, dy D Θ z r 0 E P 0 = C E x, y, 0 eikr 0 d = r 0 D C iky sin Θ e D gdzie σ = = C J σ σ kd sin Θ D y dy J - funkcja Bessela. rodzaju rzędu J σ = i m π π 0 i mυ+σ cos υ e dυ

15 Dyfrakcja Fraunhofera, 9 otwór kołowy, E P 0 = C J σ σ J σ I P 0 = I 0 σ kd sin Θ σ = dysk iry Pierwszy ciemny pierścień dla: σ = skąd kd sin Θ = sin Θ 3.83 π πd sin Θ λ λ D. λ D 3.83

16 Dyfr. Fraunhofera, rozdzielczość obrazowania sin Θ 3.83 π λ D. λ D

17 Dyfrakcja Fresnela r h r 0 P 0 r P P z z 0 P h r 0 Formuła Kirchoffa-Fresnela E P 0 = iλ iλz 0 z e ik r 0+r cos Θ 0 cos Θ r r 0 e ik r 0+r d P 0 d Rozwinięcie w szereg Taylora + x + x x 8 + r 0 + r = z 0 + h + z + h = z 0 + h z 0 h4 8z z 0 + h z 0 h4 8z z 0 + z + h przypomnienie: przybliżenie Fraunhoffera h z 0 + z λ przybliżenie Fresnela h 4 8 z 0 + z + z 3 0 z 3 h4 8 λ + z 3 0 z 3 r 0 + r z 0 + z + h + z 0 + z

18 r Strefy Fresnela r 4 r 3 r P r P 0 r = z 0 + λ z z 0 r = z 0 + λ r m = z 0 + m λ Formuła Kirchoffa-Fresnela E P 0 e ik r 0+r d iλz 0 z Strefy:. Obszar ograniczony r daje pole E 0. Pierścień ograniczony przez r r daje pole E 3. Pierścień ograniczony przez r r 3 daje pole E 4. Pierścień ograniczony przez r 3 r 4 daje pole E Pole całkowite: E = E 0 + E + E + E 3 + E 0 E + E E 3 +

19 obrazowanie Płytka strefowa Fresnela r m r 0m r m P P 0 r n rn z z 0 r m + r 0m z + z 0 = m λ z + r m + z 0 + r m z + z 0 = m λ dla rozsądnej jasności r m z + r m skąd z + z 0 = mλ r m czyli z, r 0m z 0 + r m z 0 r m = mλ z + z0

20 Płytka strefowa Fresnela ogniskowanie fala płaska monochromatyczna r m r 0m z 0 = f Dla z = mamy ogniskowanie; r m = mλf Uwaga na aberracje chromatyczne soczewki Fresnela; jeśli mamy soczewkę o danej ogniskowej f dla danej długości fali λ to = mλ r f r m = mλ f m i dla innej długości fali λ = mλ = mλ f r f m mλ f = λ f λ

21 Płytka strefowa Fresnela siatka dyfrakcyjna wielokrotne ogniska r m+ 0 β r m β z z Lokalnie traktujemy płytkę strefową Fresnela jak siatkę dyfrakcyjną, która ugina światło tak, że trafia ono do ogniska. by tak było stała siatki dyfrakcyjnej musi spełniać r-nie d = r m+ r m = m + λf mλf Fazowa płytka strefowa Fresnela = λf m + m = λf m + m λf m wzór siatkowy w przybliżeniu przyosiowym: sin β l β l = l λ, l = 0, ±, ±, d z r m β = mλf λ λf m = f z l = f, l = 3, 5, 7, l ogniska tylko dla nieparzystych l. Zastanów się dlaczego.