Fizyka Laserów wykład 5. Czesław Radzewicz

Transkrypt

1 Fizyka Laserów wykład 5 Czesław Radzewicz

2 rezonatory optyczne, optyczne wnęki rezonansowe rezonatory otwarte: Fabry-Perot E t E 0 R 0.99 T 1 0 E r R R R 0. R 0.9 E t = TE 0 e iδφ R 0.5 R 0.9 E t Gires-Tournois E r = E 0 e iφ E r R R =1 rezonatory falowodowe

3 przypomnienie macierze ABCD w opt. geom. aby opisać promień potrzebujemy podać przepis na: r odległość od osi układu r kąt nachylenia Θ postulat liniowości prawdziwy dla zagadnień przyosiowych: r Θ = A B C D r 1 Θ 1 1 dett AD BC = n 1 n n 1 - współczynnik załamania dla ośrodka, w którym zaczynamy - współczynnik załamania dla ośrodka, w którym kończymy n

4 macierze ABCD 1 r 1 d r 1 d n 1 n 1 oo n n R n1 n n 1 n 1 n 1 = n R n f n 1 n cos (αd) αsin (αd) 1 α sin (αd) cos (αd) n n y d

5 mnożenie macierzy ABCD 1 1 r r 3 3 r 1 1 n n r 1 M M 3 M n M r n+1 Θ n+1 = M n M n 1 M M 1 r 1 Θ 1

6 rezonatory optyczne w opt. geom. przykład: rezonator -zwierciadlany f 1 = R 1 / f = R / f 1 f R 1 L R = L L L komórka elementarna optyka geometryczna: rezonator stabilny kiedy promień nie ucieka z luster (jego odległość od osi jest mniejsza niż promień mniejszego lustra. Macierz ABCD komórki elementarnej: M = f L f 1 1 L 0 1 = 1 L f L + L 1 L f 1 f 1 1 f 1 L f 1 1 L f 1 1 L f L f 1 po n obiegach: r n+1 Θ n+1 = M r n Θ n r n+1 = Ar n + BΘ n Θ n+1 = Cr n + DΘ n r n+ A + D r n+1 + r n = 0

7 rezonatory optyczne w opt. geom. r n+ A + D r n+1 + r n = 0 szukamy rozwiązań oscylujących: r n = r 0 e inθ r 0 e inθ e inθ A + D e inθ + 1 r-nie kwadratowe na x = e inθ Δ = 4 A+D 1 x jest zespolone tylko wtedy gdy Δ < 0 < A + D < warunek stabilności rezonatora (w podejściu opt. geometr.) x = e iθ = A + D ± i 1 A + D

8 rezonatory optyczne w opt. geom. Najprostszy rezonator dwu-zwierciadlany g i 1 L R i, i = 1, M = 1 L f L L f L f 1 f f 1 f 1 L f 1 L f + L f 1 f A + D 0 1 L R 1 1 L R 1

9 Biblia rezonatorów optycznych Herwig Kogelnik

10 wiązka gaussowska przybliżenie przyosiowe: E x, y, z = ψ(x, y, z)e ikz r-nie Helmholtza: r ψ ikψ = 0 r = 1 r r r r postulujemy: kr i P z + ψ = ψ 0 e q(z) rachunki q z = iz 0 + z ostatecznie: e ip(z) = 1 1+ζ ei tan 1 ζ ζ z z 0 E x, y, z = ψ ζ ei kz+tan 1ζ e i k x +y iz 0 +z amplituda z 0 - zasięg Rayleigha wiązki gaussowskiej faza fali płaskiej kształt frontu falowego + rozkład natężenia faza Guoy a

11 wiązka gaussowska E x, y, z = ψ ζ ei kz+tan 1ζ e i kr q(z) sens parametru q wiązki gaussowskiej: i iz 0 + z = z iz 0 z + z 0 i kr iz 0 + z = kz 0r z + z i kzr 0 z + z = r 0 w z i kr R(z) w z = λ 0z 0 nπ 1 + z z 0 R z = z 1 + z 0 z 1 q(z) = 1 R(z) i λ 0 πw (z) promień krzywizny frontu falowego promień wiązki

12 wiązka gaussowska r w 0 E x, y, z = ψ 0 w(z) e w (z) e i r R(z) e i kz+tan 1 ζ gaussowski rozkład natężenia sferyczne fronty falowe faza na osi I x, y, z = ψ 0 w 0 w(z) e r w (z) w (z) = λ 0z 0 nπ 1 + z z 0 = w z z 0, w 0 = w 0 = λ 0z 0 nπ = λz 0 π lim z w z = w 0 z z 0 = Θz Θ = w 0 z0 = λ 0 nπw 0 zasięg Rayleigha: z 0 w z 0 = z 0

13 wiązka gaussowska 4 0 w z w 0 = 1 + z z 0 R z z 0 = z z z 0 z - -4 z z

14 wiązki Gaussa-Hermita W kartezjańskim układzie odniesienia możemy zapisać pole jako iloczyn funkcji zależnych, odpowiednio, od x oraz y: E GH m,n x, y, z = H m wiązki lub mody TEM mn. x w(z) H n y w(z) ψ 0 r w 0 w(z) e w (z) e i r R(z) e i kz+(1+m+n)tan 1 ζ definicja wielomianu Hermite a: H n x 1 n e x i kilka pierwszych: H 0 x = 1 H 1 x = x H x = x 1 H 3 x = x 3 3x... d n e x dxn wiązki TEM mn są orto-normalne i tworzą bazę zupełną

15 wiązki Laguerre a-gaussa Symetria cylindryczna; oś symetrii = oś wiązki, współrzędne: r, φ, z E r, φ, z = ψ 0 e inφ w(z) r w(z) n L m n r w (z) e r w (z) e i r R(z) e i kz+(1+m+n)tan 1 z z 0 L m n - wielomian Laguerre a definicja wielomianu Laguerre a: L m n x = x n e x i kilka niskich: m! d m dx m e x x n+m L 0 l (x) = 1 L 1 l x = l + 1 x L l = 1 l + 1 l + l + x + 1 x. wiązki Laguerre a-gaussa są ortonormalne i tworzą bazę zupełną orbitalny moment pędu wiązki

16 wiązki Ince a-gaussa

17 wiązki Gaussa-* w rezonatorach optycznych propagacja wiązki gaussowskiej q = Aq 1 + B Cq 1 + D z 0 z 0 z 0 z f 1 f f 1 f = R 1 R L L L L wiązka gaussowska jest modem rezonatora gdy: q =. 1 q Aq + B B 1 Cq + D q = A D B i 1 + A D 1 q C = 0 A + D B na początku komórki elementarnej = 1 R i λ πw komórka elementarna ABCD mody poprzeczne

18 rezonator typu Z obszary stabilności d 3 =900mm [mm] 1,5 1,0 0,5 0,15 0,10 0,05 promień wiązki a) b) 0,0 0, ,5 c) d) 1,0 [mm] 0,5 0, z [mm] z [mm]

19 częstości modów rezonatora otwartego przykład: mody TEM mn R 1 R L E GH m,n x, y, z = H m x w(z) H n y w(z) ψ 0 r w 0 w(z) e w (z) e i r R(z) e i kz+(1+m+n)tan 1 ζ wiązka jest modem rezonatora gdy zmiana fazy na pełen obieg daje wielokrotność π: kl 1 + m + n tan 1 L z 0 = kπ, l liczba naturalna numerująca indeksująca mody podłużne ν lmn = c L l + 1 π 1 + m + n tan 1 L z 0 struktura: mody podłużne, mody poprzeczne Procedura dla dowolnego rezonatora stabilnego: wybrać komórkę elementarną policzyć macierz ABCD komórki elementarnej sprawdzić stabilność rezonatora < A + D < policzyć z 0 z r-nia w czerw. obwódce wyznaczyć częstości ν l00 ν l10 ν l0 ν l03 l 1 ν l01 ν l0 ν l30 l + 1 ν l11 ν l1 ν

20 częstości modów rezonatora otwartego przykład: rezonator dwu-zwierciadlany R 1 R L ν lmn = c L l + 1 π 1 + m + n tan 1 L z 0 ν lmn = c L l + 1 π 1 + m + n cos 1 1 L R 1 1 L R przypadki szczególne Fabry-Perot płasko-równoległy R 1 = R =, ν lmn = l c L konfokalny symetryczny R 1 = R = L ν lmn = l c 4L sferyczny symetryczny R 1 = R = L/ ν lmn = l c L

21 rezonatory otwarte ze stratami selekcja modu TEM 00

22 rezonatory otwarte ze stratami selekcja modu TEM 00

23 rezonatory astabilne G = g 1 g 1 1

24 falowody optyczne typy falowodów: płaskie, jednowymiarowe płachta płaskie D sztaba okrągłe standardowe fotoniczne Przyjmijmy, że kierunek propagacji światła to z. Pole w falowodzie ma postać E x, y, z = A n (x, y)e iβ nz gdzie n jest indeksem (zespołem indeksów). Zawsze mamy dyskretne rozwiązania nazywane modami falowodu. Ważna jest polaryzacja światła. Gruby podział: falowody jednomodowe vs falowody wielomodowe

25 falowody optyczne przykład 1: płaski falowód symetryczny, dwie rodziny rozwiązań: TE oraz TM. Apertura numeryczna falowodu: NA = n 1 n 1 1,510 n ef TE 0 1,505 TE 1 TE TE 3 V = NA d 1, β = πn eff λ

26 światłowody przykład : falowód cylindryczny ze skokiem współczynnika załamania V = πa λ NA LP 11 β = πn eff λ

27 Światłowody fotoniczne przykład 3: aktywny światłowód fotoniczny z podwójnym płaszczem

28 mikro-rezonatory falowodowe

29 rezonatory falowodowe mody porzeczne mody falowodu warunek fali stojącej dla modu poprzecznego o indeksie n: β n L = lπ (l jest liczbą naturalną) służy do wyznaczenia częstości rezonansowych (modów podłużnych rezonatora). Wszystkie rachunki muszą być wykonane numerycznie.