ĘŚCIOWO KOHERENTNYM. τ), gdzie Γ(r 1. oznacza centralną częstotliwość promieniowania quasi-monochromatycznego.

Transkrypt

1 OBRAZOWANIE W OŚWIETLENIU CZĘŚ ĘŚCIOWO KOHERENTNYM 1. Propagacja światła a częś ęściowo koherentnego prof. dr hab. inŝ. Krzysztof Patorski Krzysztof PoniŜej zajmiemy się propagacją promieniowania quasi-monochromatycznego, częściowo-koherentnego, dla którego funkcję koherencji wzajemnej moŝna zapisać w postaci Γ, τ) Γ,) exp(-i2πν τ), gdzie Γ ) oznacza intensywność wzajemną (wzajemne natęŝenie), a ν oznacza centralną częstotliwość promieniowania quasi-monochromatycznego. Propagacja przez cienkie elementy optyczne Transmitancja amplitudowa cienkiego elementu: t(x,y) Fala po przejściu przez element: U 2 (r) = t(r) U 1 (r), gdzie r = (x,y) oznacza połoŝenie w płaszczyźnie elementu. Stosując definicję intensywności wzajemnej Γ ) = <U* ) U(r 2 )> mamy Γ 2 ) = t* ) t(r 2 ) Γ 1 ), (1) gdzie Γ 1,r 2 ) i Γ 2 ) oznaczają intensywności wzajemne światła padającego i przepuszczonego przez cienki element optyczny. PoniewaŜ intensywność w połoŝeniu r jest równa intensywności wzajemnej dla r 1 = r 2 = r, mamy I 2 (r) = t(r) 2 I 1 (r). (2) Unormowane natęŝenia wzajemne są więc powiązane wzorem γ 2 ) = γ 1 ). (3) Cienki element optyczny moŝe zmienić intensywność światła częściowo koherentnego, ale nie zmienia stopnia koherencji przestrzennej promieniowania. MoŜe mieć to miejsce tylko w przypadku losowej transmitancji elementu.

2 Transmisja przez dowolny układ optyczny Dowolny układ optyczny moŝe obejmować swobodną propagację w przestrzeni i/lub przejście przez grube elementy optyczne. Poprzednio wykazano, Ŝe w przypadku oświetlenia koherentnego zaleŝność między zespoloną amplitudą U 2 na wyjściu układu a zespoloną amplitudą U 1 na jego wejściu ma postać U 2 (r) = h(r, r ) U 1 (r ) dr, (4) gdzie r = (x, y) i r (x, y ) oznaczają, odpowiednio, współrzędnie w płaszczyźnie wyjściowej i wejściowej układu; h(r, r ) oznacza odpowiedź impulsową układu optycznego. y y x x U 1 (r ) h(r; r ) U 2 (r) Odpowiedź impulsowa h(r, r ) układu optycznego. PowyŜszy związek między losowymi funkcjami U 2 (r) i U 1 (r) przekształca się w zaleŝność między odpowiednimi funkcjami wzajemnych intensywności po wstawieniu ostatniego wzoru do definicji Γ 2, r 2 ) = <U 2 * ) U 2 (r 2 )> i uŝyciu zaleŝności Γ 1 ) = <U 1 * ) U 1 (r 2 )>, tzn. Γ 2 ) = h*, r 1 ) h(r 2 ) Γ 1 ) dr 1 dr 2. (5) PowyŜszy wzór umoŝliwia wyznaczenie wzajemnego natęŝenia na wyjściu układu optycznego znając wzajemne natęŝenie na jego wejściu oraz odpowiedź impulsową układu.

3 Wartość intensywności na wyjściu, z definicji I 2 (r) = Γ 2 (r, r), ma postać I 2 (r) = h*(r, r 1 ) h(r ) Γ 1 ) dr 1 dr 2. (6) Aby wyznaczyć rozkład intensywności na wyjściu musimy znać intensywność wzajemnąświatła na wejściu. W ogólności, aby wyznaczyć I 2 (r) nie wystarcza znajomość rozkładu intensywności na wejściu I 1 (r). 2. Obrazowanie w oświetleniu niekoherentnym Zakładamy na wejściu układu światło niekoherentne; intensywność wzajemna Γ 1 ) zeruje się juŝ dla małej odległości r 2 r 1. Odległość koherencji jest znacznie mniejsza od, przykładowo, rozdzielczości układu obrazującego. MoŜna teraz zapisać Γ 1 ) = [I 1 ) I 1 (r 2 )] 1/2 γ ), gdzie γ ) jest teraz bardzo wąską funkcją. MoŜemy ją zapisać w postaci funkcji delta γ ) = σδ ), gdzie σ = γ(r) dr oznacza obszar pod γ(r), a więc Γ 1 ) σ [I 1 ) I 1 (r 2 )] 1/2 δ ). (7) Jest to tylko zapis przybliŝony, gdyŝ intensywność wzajemna musi mieć wartość skończoną i δ() ; jest on stosowany przy obliczaniu wzorów typu (6). Podstawiając (7) do (6) (funkcja delta upraszcza całkę podwójną do całki pojedynczej) otrzymujemy gdzie I 2 (r) = I 1 (r ) h i (r; r ) dr, (8) h i (r; r ) = σ h(r; r ) 2 (9) oznacza funkcję odpowiedzi impulsowej dla oświetlenia niekoherentnego, nazywaną równieŝ funkcją rozmycia. Wzór (8) opisuje system liniowy obrazujący rozkład intensywności na wejściu w rozkład intensywności na wyjściu.

4 U 1 (r ) h(r; r ) U 2 (r) I 1 (r ) h i (r; r ) I 2 (r) Układ optyczny jako układ liniowy w oświetleniu koherentnym (a) i niekoherentnym (b). W pewnych układach optycznych funkcja odpowiedzi impulsowej h(r; r ) jest funkcją r - r, czyli h(r - r ). W tym przypadku układ jest nazywany układem przestrzennie niezmienniczym lub izoplanatycznym i mamy h i (r; r ) = h i (r - r ). Całki opisane wzorami (4) i (8) reprezentują dwuwymiarowe sploty. Układy moŝna teraz opisać za pomocą funkcji przenoszenia H(ν x ) i H i (ν x ), które są transformatami Fouriera, odpowiednio, funkcji h(r) = h(x, y) i h i (r) = h i (x,y). Przypomnijmy, Ŝe dla oświetlenia koherentnego odpowiedź impulsowa układu optycznego wynosiła h(r) P(x/λd 2, y/λd 2 ), (1) gdzie P(ν x ) jest transformatą Fouriera funkcji źrenicy p(x, y), a d 2 jest odległością płaszczyzny obrazu od układu optycznego. Dla układu bezaberracyjnego funkcja źrenicy jest równa jedności w źrenicy i zero poza nią. Natomiast w przypadku oświetlenia quasi-monochromatycznego i przestrzennie niekoherentnego rozkłady intensywności w płaszczyźnie przedmiotu i obrazu są powiązane liniowo funkcją odpowiedzi impulsowej gdzie λ jest długością fali odpowiadającąśredniej częstotliwości ν. h i (r) = σ h(r) 2 P(x/λd 2, y/λd 2 ) 2, (11)

5 Dla koherentnie oświetlonego układu optycznego ze źrenicą kołową funkcja odpowiedzi impulsowej wynosi (patrz część wykładu Odwzorowanie w oświetleniu koherentnym ) h(x, y) [J 1 (2πν s ρ) / πν s ρ]; ρ = (x 2 + y 2 ) 1/2, (12) gdzie ν s = θ/2λ, θ = 2a/d 2, a oznacza promieńźrenicy kołowej. Dla oświetlenia niekoherentnego funkcja odpowiedzi impulsowej dana jest więc wzorem Na rysunku poniŝej pokazano obydwie funkcje h(x, y) i h i (x, y). h i (x, y ) [J 1 (2πν s ρ) / πν s ρ] 2. (13) 1 h(ρ) a) 1 h i (ρ) b) ρ ρ s ρ s ρ 1 H(ν ρ ) 1 H i (ν ρ ) ν s ν ρ 2ν s ν ρ Funkcje odpowiedzi impulsowej i funkcje przenoszenia dla bezaberracyjnego układu optycznego ze źrenicą kołową i liczbą otworu F # w przypadku: a) oświetlenia koherentnego i b) niekoherentnego. Obydwie funkcje odpowiedzi impulsowej osiągają pierwszą wartość zerową gdy 2πν s ρ = lub ρ = ρ s / 2πν s = λ/πθ, skąd otrzymujemy ρ s 1.22 λ/θ. (14) Obrazem punktu jest plamka o intensywności h i (x, y) i promieniu ρ s. Jednocześnie ρ s jest miarą rozdzielczości układu optycznego.

6 Funkcje przenoszenia układów liniowych o funkcjach odpowiedzi impulsowej h(x, y) i h i (x, y) są ich transformatami Fouriera i wynoszą (15) (16) gdzie ν ρ = (ν x2 + ν y2 ) 1/2. Na rysunku zostały one unormowane tak, aby ich wartości dla ν ρ = były równe 1. Dla oświetlenia koherentnego funkcja przenoszenia, o stałej wartości w źrenicy, ma częstość odcięcia równą ν s = θ/2λ linii/mm. Natomiast dla oświetlenia niekoherentnego wartość funkcji przenoszenia obniŝa się w przybliŝeniu liniowo i spada do zera dla częstości przestrzennej 2ν s = θ/λ linii/mm. Dla przedmiotu znajdującego się w nieskończoności, d 2 = f. Kąt θ = 2a/f stanowi odwrotność liczby otworu obiektywu, F # = f /2a. Częstości odcięcia ν s i 2ν s moŝna teraz powiązać z liczbą otworu: dla oświetlenia koherentnego wynosi ona 1/2λF #, a dla niekoherentnego 1/λF #. Uwaga: Nie naleŝy bezpośrednio porównywać funkcji przenoszenia H(ν x ) i H i (ν x ), gdyŝ dotyczą one róŝnych wielkości fizycznych. 3. Propagacja koherencji przestrzennej w swobodnej przestrzeni Jeśli na wejściu mamy oświetlenie niekoherentne, to we wzorze (5) moŝemy zastąpić wzajemne natęŝenie Γ 1 ) funkcją σ[i 1 ) I 1 (r 2 )] 1/2 δ ) i podstawić do wzoru (5). Otrzymujemy wtedy zamiast całki podwójnej całkę pojedynczą Γ 2 ) = σ h*, r) h(r 2, r) I 1 (r) dr. (17) Z wzoru (17) wynika, Ŝe światło w płaszczyźnie obrazu nie jest juŝ niekoherentne. W ogólności, stopień koherencji światła zwiększa się z odległością propagacji. Jest to oczywiste z uwagi na kątowe rozprzestrzenianie sięświatła w przestrzeni ze źródła niekoherentnego. ZauwaŜmy równieŝ, Ŝe do dwóch róŝnych punktów leŝących w płaszczyźnie odległej od źródła moŝe dochodzić promieniowanie ze wspólnego obszaru źródła. W ten sposób zaburzenia w płaszczyźnie oddalonej od źródła stają się częściowo koherentne.

7 Twierdzenie Van Citterta-Zernike RozwaŜmy propagację światła w wolnej przestrzeni na odległości d. W płaszczyźnie wejściowej mamy rozkład intensywności I(x, y), promieniowanie quasi-monochromatyczne, przestrzennie niekoherentne. Między płaszczyznami odległymi o d moŝna przyjąć przybliŝenie Fraunhofera. Wtedy odpowiedź impulsową opisuje wzór znany z dyfrakcji Fraunhofera h(r, r ) = h exp{iπ(x 2 + y 2 ) / λd} exp{-i2π(xx + yy ) / λd}, (18) gdzie r = (x, y, d) i r = (x, y, d) stanowią współrzędne w płaszczyznach wyjściowej i wejściowej, odpowiednio, a h = (iλ/d) exp(i2πd/λ) jest stałą. Wstawiając (18) do (17) w celu wyznaczenia Γ(x 1, y 1, x 2, y 2 ), tzn. intensywności wzajemnej w punktach (x 1, y 1 ) i (x 2, y 2 ), otrzymujemy gdzie σ 1 = σ h 2 = σ / λ 2 d 2 oznacza stałą. Mając I(x, y) moŝna łatwo wyznaczyć Γ(x 1, y 1, x 2, y 2 ) jako dwuwymiarową transformatę Fouriera I(x,y) obliczoną dla ν x = (x 2 x 1 )/λd i ν y = (y 2 y 1 )/λd. Unormowana wartość intensywności wzajemnej jest równa (19) (2) Jest to związek między rozkładem intensywności w źródle niekoherentnym a stopniem koherencji przestrzennej w jego dalekim polu dyfrakcyjnym. MoŜna go równieŝ wyrazić poprzez analogię do dyfrakcji Fraunhofera na otworku, którego zespolona transmitancja odpowiada rozkładowi intensywności w źródle. (21)

8 Przykładowo, załóŝmy źródło kołowe o promieniu a i jednorodnym rozkładzie intensywności I(x,y) = I. Ze wzoru (21) mamy γ(x 1, y 1, x 2, y 2 ) = 2J 1 (πρθ s /λ) / πρθ s /λ, gdzie ρ = [(x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 ] 1/2 jest odległością między rozpatrywanymi punktami, θ s = 2a/d. Funkcja Bessela J 1 (...) osiąga pierwsze zero dla argumentu równego Promień obszaru koherencji jest równy ρ c = 3.832(λ/πθ s ), a więc ρ c = 1.22 λ/θ s. Gwiezdny interferometr Michelsona (pomiar wymiaru kątowego gwiazd) Otrzymana zaleŝność na promień obszaru koherencji ρ c = 1.22 λ/θ s moŝe słuŝyć jako podstawa do pomiaru wymiaru kątowego gwiazd. Jeśli przyjmiemy, Ŝe rozkład intensywności gwiazdy moŝna traktować jako kołowe źródło o średnicy 2a leŝące w odległości d od płaszczyzny obserwacji, to stopień koherencji spada do zera gdy między punktami w płaszczyźnie obserwacji mamy odległość ρ c. Mierząc ρ c dla danej długości fali λ moŝemy wyznaczyć θ s (patrz ćwiczenie laboratoryjne). ρ f ekran