Ekonomia matematyczna - 1.2

Transkrypt

1 Ekonomia matematyczna Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x y x y, dla x, y X), b) ciągła, c)ściśle wypukła (tzn. x y x x 1 y, dla x, y X, x y, 0, 1 ). Jeśli na takim polu preferencji określimy funkcję popytu konsumenta (agenta), to z twierdzenia 5.1 wynika,że przyporządkowuje ona każdej parze p,i, gdzie p 0, I 0, dokładnie jeden najlepszy koszyk p,i spełniający ograniczenia budżetowe. Pośrednia użyteczność Oprócz funkcji użyteczności, rozważa się tzw. funkcję pośredniej użyteczności v : R n R R zdefiniowaną wzorem v p,i max u x : x, p I,x R n, przyporządkowujacą cenom p i dochodowi I maksymalną użyteczność koszyka dostępnego przy tych cenach i dochodzie. Odpowiada ona wyborowi optymalnego koszyka czyli popytowi, tzn. v p, I u p, I. Twierdzenie 6.1 Jesli funkcja użyteczności u jest ciągła iściśle rosnąca, to funkcja pośredniej użyteczności v : R n R R ma następujące własności: n 1) jest ciągła w R R 2) jest jednorodna stopnia 0, tzn. v tp,ti v p,i dla t 0, p, I R n R 3) jestściśle rosnąca ze względu na I, 4) jest malejąca ze względu na p, 5) jest quasi-wypukła ze względu na p,i, 6) jeśli v jest różniczkowalna w p,i i v j p,i j p,i v p,i v p,i p,i 0, to zachodzi tożsamość Roy a: v p,i v p,i dla j 1, 2,...,n 1

2 Funkcja minimalnych wydatków - popyt Hicksa Rozważmy także tzw. funkcję minimalnych wydatków e : R n R R zdefiniowaną wzorem e p,u min x, p : u x u,x R n, przyporządkowujacą cenom p i poziomowi uzyteczności u minimalną cenę koszyka, którego użyteczność wynosi co najmniej u. Gdy u jest funkcjąściśle quasi-wklęsła, rosnącą i ciągłą, to zadanie minimalizacji wydatków min x, p : u x u,x R n, ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdej pary p, u. Oznaczymy je przez p,u Odwzorownie : R n R R n, które przyporządkowuje cenom i uzyteczności najtańszy koszyk p,u p,u, tzn. rozwiązanie zadania nazwiemy popytem Hicksa. Mamy więc min x, p : u x u,x R n, e p,u p, u, p. Twierdzenie 6.2 Jesli funkcja użyteczności u jest ciągła iściśle rosnąca, to funkcja wydatków e : R n R R ma następujące własności: 1) przyjmuje wartość 0 gdy u u 0 n 2) jest ciągła w R R 3) jest jednorodna stopnia 1 względem p, tzn.e tp,u te p, u dla t 0, p, u R n R 3) jest rosnąca ze względu na p, 4) przy każdym p, jestścisle rosnąca i nieograniczona ze wzgledu na u, 5) jest wklęsła ze względu na p, 6) jeśli u jestściśle quasi-wklęsła, to e jest rózniczkowalna względem p 0, I i zachodzi tożsamość Shepard a: j p,i e p,i dla j 1, 2,...,n. Pośrednia użyteczność i minimalne wydatki są wzgledem siebie dualne w sensie podanym w poniższym twierdzeniu. Twierdzenie 6.3 2

3 Jesli funkcja użyteczności u jest ciągła iściśle rosnąca, to dla dowolnych cen p 0, dochodu I 0 oraz użyteczności u, funkcja pośredniej użyteczności v : R n R R oraz funkcja wydatków e : R n R R spełniają następujące równości: 1) e p,v p,i I, 2) v p,e p,u u. Uwaga Gdy posługujemy sie jedynie polem preferencji, a nie funkcją użyteczności, to możemy zdefiniować popyt Hicksa jako odwzorownie : R n R n R n, p, a p, a, które wyznacza jednoznaczny element ze zbioru x : a x minimalizujący x, p, tzn. p, a y y, p min x, p : a x a y, gdzie a - koszyk towarów z X. Gdy u jest funkcją użyteczności zgodną z relacją, to Zbiór p, a p,u a x X : a x, x, p I p a, p. jest niepusty i zwarty, a więc ciągła funkcja x x, p jest minimalizowana w którymś punkcie tego zbioru, powiedzmy x. Zauważmy,że x jest wyznaczone jednoznacznie. Istotnie: weźmy x, y X, x y i przypuśćmy,że obydwa minimalizują x, p na X, przy warunku x a. Bez straty ogólności możemy przyjąć x y. Wtedy x y, x y pociąga za sobą 1 2 x y a, ześcisłej wypukłości. Ale 1 2 x y 0, bo x 0, y 0, x y. Stąd, jeśli wybierzemy x X tak, by spełniona była nierówność 1 2 x y x oraz x leży wystarczająco blisko 1 2 x y, to spełniony będzie warunek x a, z ciągłości. Dla tak wybranego x, mamy x,p x, p y, p, przy p 0, więc x, y nie mają własności minimalności, sprzeczność. W rezultacie otrzymujemy,że wyżej zdefiniowane odwzorowanie p, a jest odwzorowaniem jednowartościowym. W tym przypadku twierdzenie 6.2 ma nastepujący odpowiednik. Twierdzenie 6.2 Odwzorowanie, dla p 0, a 0 ma następujące własności: 1) p,a a, 2) p,a jest ciągłe ze względu na p, a, 3) dla każdego ustalonego a 0 funkcja zmiennej p p f p, a p, a,p inf x, p : a x, 3

4 która wyraża minimalną wartość koszyków nie mniej preferowanych od a, posiada pochodne cząstkowe spełniające równosci f p, a j p, a,j 1,..n, gdzie j p, a jest j-tą współrzędną p, a, 4) f p,a 0, o ile a 0, 5) p, p,i p,i, f p, p,i I, dla p 0, I 0, 6) p,f p,a p, a, dla f p, a 0, 7), p 0, gdzie p 0, p p 0, p p, a p, a. 3 Także popyt Marshalla i popyt Hicksa są dualne względem siebie w następującym sensie. Twierdzenie 6.4 Jesli funkcja użyteczności u jest ciągła iściśle rosnąca, to dla dowolnych cen p 0, dochodu I 0 oraz użyteczności u, funkcja popytu Marshalla : R n R R oraz funkcja popytu Hicksa : R n R R spełniają następujące równości: 1) p,i p,v p, I, p, p,i p,i 2) p,u a p,e p,u a, p,f p, a p, a. 7. Równanie Słuckiego Dla dowolnego ustalonego a, liczba f p, a min jest minimalnym poziomem dochodu, który przy wektorze cen p zapewnia ten sam poziom preferencji (zadowolenia konsumenta) co koszyk a. Najtańszym zaś koszykiem zapewniającym ten sam poziom użyteczności co koszyk a, przy wektorze cen p, jest koszyk p, a. Używając wielkości p, a i f p, a możemy rozłożyć zmianę popytu p p, I p, I, odpowiadającą zmianie cen p, na dwie składowe: p p,i p, I p p,i p p, p, I p p, p,i p, I. Korzystając z własności (patrz 5) w twierdzeniu 6.2 ): mamy: f p, p,i I 4

5 p p,i p p,f p, p, I, korzystając z własności (patrz 6) w twierdzeniu 6.2 ) mamy: a korzystając z obu tych własności mamy. Wykonując podstawienia, otrzymujemy Pierwszą składową p,f p,a p, a, p p, p,i p p, f p p, p,i, p,i p,f p, p,i p, p, I. p p,i p,i p p,f p, p,i p p,f p p, p,i p p, p,i p, p,i p p,f p, p,i p p, f p p, p, I tej sumy nazywa się efektem dochodowym, a drugą składową p p, p,i p, p,i nazywa się efektem substytucji. Zatem całowity efekt wpływu zmiany cen na zmianę popytu jest sumą efektu dochodowego i efektu substytucji. Równanie (R-S-sp) nazywamy równaniem Słuckiego w wersji różnicowej (lub ze skończonymi przyrostami). Z równania tego można wnioskować,że zmiana cen p wywiera wpływ na zachowanie konsumenta na dwa sposoby: - po pierwsze - przyczynia się do zmiany w realnym dochodzie konsumenta lub jego zdolności nabywczej, mimo,że nominalny poziom dochodu wydaje się nie zmieniony; - po drugie - pociąga za sobą zmianę w stosunkach cenowych, z której wynika substytucja pomiędzy towarami w optymalnym koszyku towarów. Efekt substytucji reprezentuje przesunięcie (zmianę) optymalnego koszyka towarów w obszarze obojętności (w tej samej klasie preferencji), do którego należał wyjściowy popyt p,i. Liczba f p p, p,i jest poziomem pozornego nominalnego dochodu, którym musiałby dysponować konsument, aby pozostać na tym samym poziomie preferencji (w tym samym obszarze obojętności), nawet w nowej sytuacji cenowej p p. Zatem efekt dochodowy reprezentuje przesunięcie optymalnego koszyka towarów w sytuacji cenowej p p, które powstaje przy zmianie dochodu z pozornego f p p, p, I na rzeczywisty f p, p,i. R-S-sp 5

6 Równanie Słuckiego w wersji różniczkowej Twierdzenie 7.1 Załóżmy,że dla funkcji uzytecznosci u, funkcja popytu Marshalla posiada pochodne cząstkowe i p,i i ciągłe pochodne cząstkowe i p,i, a funkcja popytu Hicksa posiada pochodne cząstkowe i p,i dla i 1,...,n i dla wszystkich p 0,I 0. Wówczas i p,i j p,i i p,i ij p, I, R-S-r dla i, j 1,...,n, gdzie: ij p,i i p,u, jest popytem Hicksa, u v p,i u p,i, p,u p, p,i. W równaniu Słuckiego w wersji różniczkowej: - składnik j p,i i p,i reprezentuje efekt dochodowy, - składnik ij p,i i p,u nazywany indeksem Słuckiego reprezentuje efekt substytucji. Macierzowa postać równania Słuckiego: i p,i n n i p,i j p,i 1 n ij p,i n n n 1 Twierdzenie Jeśli funkcja minimalnych wydatków e ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu, to macierz indeksów Słuckiego ij p,i n n jest symetryczna, tzn ij p,i ij p, I dla i,j 1, 2,...n. Macierzą elastyczności cenowych popytu nazywamy macierz ij p,i n n i p j p, I. i p, I n n Elementy głównej przekątnej, tzn. ii p,i i p p, I i p i i p, I 6

7 nazywamy elastycznościami cenowymi popytu, a elementy ij p,i i p j p,i i p, I dla i j nazywamy elastycznościami krzyżowymi popytu. Macierzą elastyczności dochodowych popytu nazywamy jednokolumnową macierz i d p,i n 1 i p, I I. j p,i n 1 Założymy dalej,że konsumenci mają podobne preferencje, tzn. ich popyt na towary może być podstawą do określenia własności tych towarów. Towar nr i nazywamy: a) towarem normalnym, gdy ii p, I 0, b) towarem Giffena gdy ii p,i 0, c) towarem wyższego rzędu gdy i d p,i 0, d) towarem niższego rzędu gdy i d p,i 0 Twierdzenie (prawa popytu) Jeśli wzrost dochodu konsumentów powoduje wzrost popytu na towar, tzn. towar jest wyższego rzędu, to spadek jego ceny powoduje wzrost popytu. Jeśli spadek ceny towaru powoduje spadek popytu na ten towar, to wzrost dochodu konsumentów powoduje spadek popytu na ten towar, tzn. jest to towar niższego rzędu. 7