Przedmiot dynamiki

Transkrypt

1 7... Preiot aii Daia jest iałe echaii, tór ajuje się baaie ależości ię ruche ciał aterialch i siłai wwołująci te ruch. Postawą aii są prawa Newtoa prtocoe w pucie.. Ab prawa te bł słuse, w echaice ewtoowsiej ruch oosi o ułaów iercjalch. Z tch praw wia, że otcą oe putu aterialego. W aice prawa te bęie stosować ie tlo o putu aterialego, ale taże po ich opowiei prestałceiu o ułau putów aterialch, ciała stwego i brł stwej. Baaie ruchu putu aterialego o asie i prśpieseiu a, a tór iała siła F, sprowaa się o aali rugiego prawa Newtoa: a F. (7.) Powżse rówaie jest aic rówaie ruchu putu aterialego. Jeżeli wetor woąc ropatrwaego putu aterialego poprowao pocątu ieruchoego ułau współręch,, (rs. 7.) oac pre r, to, ja wiaoo ieati, prśpieseie a jest rugą pochoą wglęe casu wetora woącego. Zate rówaie (7.) prjie postać: r F. (7.) r Rs. 7.. Ruch putu aterialego po iałaie sił F Jest to wetorowe rówaie różicowe ruchu putu aterialego. W prostoąt ułaie współręch, prestawio a rs. 7., rówaiu teu opowiaają tr salare aice rówaia ruchu putu aterialego. F, F, F. (7.3) W rówaiach tch,, są współręi wetora woącego r, cli współręi putu aterialego, a F, F, F współręi sił F w prjęt ułaie współręch.

2 Daice rówaia ruchu putu aterialego (7.3) są w ogól prpau ułae trech rówań różicowch i staowią postawę aali aii putu aterialego. Roróżia tutaj wie grup agaień, tóre oówi w astępch putach.

3 7... Pierwse postawowe agaieie aii Pierwse postawowe agaieie aii polega a wacaiu sił iałającej a porusając się a ruche put aterial. Jest oo rówież ae jao agaieie proste aii. Jego rowiąaie wia bepośreio rugiego prawa Newtoa i ie astręca więsch truości. Jeżeli a rówaie ruchu putu aterialego w postaci: r r( t), to w wiu wurotego różicowaia wglęe casu otruje prśpieseie tego putu: r a i po postawieiu tej ależości o rówaia (7.) otruje siłę, a właściwie wpaową wsstich sił iałającch a a put: F r. (7.4) Prła 7.. Put aterial o asie porusa się w płascźie goie rówaiai ruchu: 3cosπt, 4siπt, gie t jest case. Wacć współręe sił iałającej a te put w fucji współręch putu,. Rowiąaie. Po rutowaiu wetorów wstępującch w rówaiu (7.4) a osie i otruje współręe sił iałającej a as put aterial, tóre wrażają wor: F, F. (a) Po wurot różicowaiu wglęe casu rówań ruchu otruje: π cosπt 4π 4π siπt π.,

4 Po postawieiu otrach wiów o worów (a) otruje ostatecie: F 4π, F π.

5 7..3. Drugie postawowe agaieie aii Drugie postawowe agaieie aii polega a wacaiu ruchu putu aterialego poaego iałaiu aej sił. Wii, że agaieie to jest owróceie pierwsego agaieia aii i stą jest oo rówież ae po awą agaieie owrote aii. Zagaieie to jest acie truiejse iż pierwse, poieważ ab wacć rówaie ruchu putu r r( t) pr aej sile F, ależ scałować rówaie różicowe (7.) lub rówoważ teu rówaiu uła trech salarch rówań różicowch (7.3). Z ursu ateati wiaoo, że operacja taa ie jest jeoaca i ab otrać rowiąaie jeoace, ależ wacć stałe całowaia. W t celu usi ać wartości fucji i jej pochoej (wae waruai pocątowi) w pewej chwili t (w chwili pocątowej): ( t ) ( t ) r. (7.5) r r, Zacie więse truości pr posuiwaiu rówaia ruchu putu aterialego ogą wiać fatu, że w prpau ogól siła F iałająca a put oże bć jeoceśie fucją casu t, położeia putu r i pręości putu. Wte aice rówaie ruchu putu (7.) ależ apisać w postaci: r F( t, r, ). (7.6) Rowiąaie ogóle tego rówaia różicowego lub rówoważego u ułau rówań salarch w prjęt ułaie współręch jest baro true i tlo w ielicch prpaach uaje się otrać rowiąaie ścisłe. Jeżeli ie a rowiąaia rówań różicowch, stosuje eto prbliżoe lub uerce. W als ciągu ograic się o ropatreia prostch prłaów, w tórch siła F bęie stała ora bęie fucją tlo jeej ieej casu, położeia lub pręości. Prła 7.. Put aterial o asie porusa się po wpłwe stałej sił F cost. Wacć jego pręość (t) ora rówaie ruchu r r(t); jeżeli cas t, to r() r i ().

6 Rowiąaie. Daice rówaie ruchu putu (7.) oże prestawić w postaci: r F F lub. Po scałowaiu otra: F F t +. (a) Po postawieiu w t rówaiu r/ ora poow całowaiu a: F F r t + t + t +. (b) Stałe całowaia i waca poach waruów pocątowch pre postawieie o rówań (a) i (b) r() r ora () la t, r. statecie pręość putu ora rówaie ruchu ają postać: F + t, F r r + +. t t (c) Z otrach reultatów wia, że g siła F bęie rówa eru, to put bęie się porusał goie pierws prawe Newtoa, cli ruche jeostaj po liii prostej. Prła 7.3. Put aterial o asie g porusa się po liii prostej F t N, gie t jest case włuż osi (rs. 7.) po wpłwe sił ( ) [ ] lico w seuach. Po ilu seuach put atra się i jaą rogę prebęie w t casie, jeżeli w chwili pocątowej t jego pręość c/s.

7 Rowiąaie. Poieważ put aterial porusa się włuż osi, aice rówaie jego ruchu oże apisać w postaci salarego rówaia różicowego. F F, s ( t) Rs. 7.. Waceie rogi putu aterialego lub ( t). (a) Po scałowaiu tego rówaia otruje pręość putu: t t +. (b) Po postawieiu o rówaia (b) waruu pocątowego la t waca stałą całowaia. Zate pręość putu wraża wór: t t + + t, t s. (c) as, po tór put się atra, oblic, postawiając we wore (c). Stą otruje rówaie waratowe e wglęu a cas t: t t,4. () Po obliceiu pierwiastów tego rówaia i oruceiu pierwiasta ujeego otruje cas, po tór put się atra: t, s. Drogę prebtą pre put aterial oblic, całując rówaie (b) w graicach o o t. t s t + t t + 5 t t 3,74. Prła 7.4. Put aterial o asie jest prciąga o śroa siłą o wartości P α/ 4 (rs. 7.3), gie α jest wartością stałą. Wacć pręość putu w chwili, g jego oległość M o putu bęie rówa /, jeżeli w chwili pocątowej (la t ),.

8 P M M o o Rs Waceie pręości putu aterialego Po postawieiu w powżs rówaiu: otra: a po roieleiu iech Rowiąaie. Na ropatrwa put iała tlo siła P, wobec tego jego rówaie różicowe a postać: α, 4 cli α 4, α. (a) 4 α. (b) 4 Po scałowaiu tego rówaia w graicach o o ora o o / otra: Stą pręość putu α 7α. 3 3, 4 4α. (c) 3 3 teliowi poostawia waceie rówaia ruchu putu.

9 Prła 7.5. iało o asie g rucoe pioowo o gór pręością pocątową 3 /s poouje opór powietra R, tórego wartość pr pręości [/s] wosi,4 [N]. blicć, po ilu seuach ciało osiągie ajwżse położeie H. Prjąć prśpieseie iesie g /s. Rowiąaie. Na ciało iałają sił ciężości i oporu powietra i obie są sierowae w ieruu preciw o ieruu ruchu (rs. 7.4). Zate rówaie różicowe ruchu a postać: H G R g,4, a po postawieiu ach licbowch oże apisać: ( +,). (a) Po roieleiu iech w rówaiu (a) a: V Rs Rut pioow uwglęieie oporu powietra. (b) +, Po scałowaiu tego rówaia w graicach o o ora o o t, uporąowaiu i astąpieiu różic logartów logarte ilorau otruje cas, po tór ciało osiągie ajwżse położeie:,,, +, +, t 5l t 5l,6,35s.

10 7..4. Zasaa Aleberta Po preiesieiu obu wraów wstępującch w aic rówaiu ruchu putu aterialego (7.) a jeą stroę otra: F a. Po wprowaeiu o tego rówaia aiast a ficjej sił waej siłą bewłaości lub siłą Aleberta, P b a, otra asaę Aleberta la putu aterialego: F + P, (7.7) b tórą słowie wraża astępująco: Sua sił recwistch i sił bewłaości iałającch a put aterial jest w ażej chwili rówa eru. Z asa tej wia, że popre forale wprowaeie sił bewłaości agaieie aice oża sprowaić o agaieia statcej rówowagi sił. Prestawioą wżej asaę Aleberta otcącą swoboego putu aterialego astosuje o ułau putów aterialch. W t celu ropatr uła putów aterialch o asach i prśpieseiach a. Na poscególe put ropatrwaego ułau aterialego ogą iałać sił ewętre i wewętre. Zgoie poiałe wprowao w statce (p. 3..) siłai wewętri ai ropatrwaego ułau aterialego, a siłai ewętri sił pochoące o ich putów lub ciał ie ależącch o asego ułau aterialego. Na rsuu 7.5 aacoo sił iałające a wa put o asach i l. Sił ewętre astąpioo tutaj siłai wpaowi P i P l, a sił wajeego oiałwaia ię ti putai oacoo pre F l i F l. Zgoie treci prawe Newtoa sił te są rówe co o wartości, ale ają preciwe wrot: F F. l l

11 - a P F l P l r F l l r l - l a l Rs Sił ewętre, wewętre i bewłaości iałające a put ułau aterialego Siłę F iałającą a -t put oże prestawić w postaci su sił ewętrej P i wpaowej wsstich sił wewętrch P w : gie F P + P, (7.8) P w w l l F. (7.9) l Po oaceiu sił bewłaości iałającej a roważa put pre P a b asaę Aleberta la owolego putu ułau aterialego oże prestawić w postaci rówaia: P + P + P,,...,. (7.) w b ( ) Sua sił ewętrch, wewętrch ora sił bewłaości iałającch a owol put ułau aterialego jest w ażej chwili rówa eru. Jeżeli rówaie (7.) apise la ażego putu aterialego i oa stroai, to otra: + Pw + Pb P. (a)

12 Wstępująca w t rówaiu sua wsstich sił wewętrch owolego ułau aterialego goie e wore (3.3) jest rówa eru: Zate rówaie (a) prjie postać: P w. (7.) + Pb P. (7.) Poóż tera wetorowo aże rówań (7.) pre wetor woąc r i oaj wsstie rówaia stroai. W wiu tej operacji otra rówaie oetów: r P + r Pw + r Pb. (b) Poieważ sił wewętre, goie treci prawe Newtoa, iałają parai Fl Fl, i włuż jeej prostej, to sua oetów tch sił la całego ułau aterialego wglęe owolego biegua reucji jest rówa eru: i rówaie (b) prjuje postać: r P (7.3) w r P + r Pb. (7.4) rae rówaia (7.) i (7.4) prestawiają asaę Aleberta la ułaów aterialch, tórą oża sforułować astępująco: Sua sił ewętrch i sił bewłaości la aego ułau aterialego ora su oetów tch sił wglęe ieruchoego biegua reucji w ażej chwili są rówe eru. Prła 7.6. Put aterial M o ciężare G N, awieso w ierucho pucie a lice o ługości M s 3 c, twor wahało stożowe, t. ataca orąg w płascźie poioej, pr c lia twor pioe ąt α6 o (rs. 7.6a). Wacć siłę F w lice ora pręość putu M.

13 a) b) α α A M A a F G B Rs Waceie sił w lice i pręości putu Rowiąaie. Na put aterial iała siła ciężości G, siła w lice F ora siła bewłaości (ośroowa) B a, gie a jest prśpieseie ośroow (rs. 7.6b). Zgoie asaą Aleberta (7.) sua tch sił usi bć rówa eru: G + F+ B. Z rutu tch sił a osie i otruje wa rówaia rówowagi: P Fsiα + a, P Fcosα G. (a) Z rugiego rówaia otruje siłę w lice: G F N o cosα cos6. Po postawieiu o pierwsego rówaia (a) woru a prśpieseie ośroowe: otra rówaie: Stą pręość putu M a AM ssiα G Fsiα +. g ssiα F gs 9,8,3 o gssiα siα si6, / s. o G cosα cos6

14 7..5. Praca. Praca w achowawc polu sił. Eergia potecjala Pracą echaicą awa eergię ostarcoą ewątr a poocą ułau sił o ropatrwaego ułau A aterialego w casie jego ruchu. A P ele ogólego efiiowaia α prac ropatr ruch putu r r aterialego po tore rwoliiow po wpłwe sił A P. Put prłożeia A sił P jest opisa wetore woąc r (rs. 7.7). Pracą eleetarą sił P a presuięciu eleetar s, rów prrostowi proieia Rs lustracja o efiicji prac woącego r, awa iloc salar sił P i preiesceia r: L P r (7.5) lub orstając efiicji ilocu salarego L Prcosα ( Pcosα)r. (7.6) Jeostą prac w ułaie S jest żul rów prac iutoa a presuięciu etra: J N g s, a w ułaie techic ilogra sił ra etr: G 9,8 J. Mio oaceia prac eleetarej sbole powsechie użwa a oaceie różici upełej ależ paiętać, że praca eleetara ie jest a ogół różicą upełą żaej fucji. Na postawie worów (7.5) i (7.6) oża sforułować poiżse wiosi. a) Pracę wouje jeie słaowa sił stca o toru, a praca słaowej oralej jest rówa eru. b) Wartość prac oże bć arówo oatia, ja i ujea: la / jest oatia, a la α> π/ ujea. c) Jeżeli a put aterial iała uła sił P, tórch sua jest rówa wpaowej W P, to praca tej sił a presuięciu eleetar r jest rówa suie prac eleetarch poscególch sił a t presuięciu:

15 L W r P r+ P r+ + P r. ) Praca eleetara sił P a presuięciu wpaow r r jest rówa suie prac eleetarch tej sił a presuięciach słaowch: L W r P r r. + P r + + P Jeżeli wetor wstępujące po prawej stroie rówaia (7.5) prestawi a poocą współręch: P P i+ P j+ P j, r i+ j+, to pracę eleetarą oże prestawić w postaci: L P + P P. (7.7) + Jeżeli put prłożeia A sił P preieści się po rwej o putu A o A, to a postawie woru (7.7) praca woaa pre siłę P bęie całą rwoliiową: L P r P + P P. (7.8) ( + ) A A A A Wstępująca w powżs wore siła oże w ogól prpau bć fucją casu t, położeia w prestrei putu A ora pręości tego putu. Współręe sił P bęą ate fucjai casu, iech,, ora ich pochoch wglęe casu. Wte we wore (7.8) oże postawić:,, i aiast całi rwoliiowej otra całę oacoą w graicach całowaia o t o t t L P + P + P. (7.9) t Ze wglęu a astosowaia baro waż jest prpae, g siła P jest jeie fucją położeia (iejsca): P, P( r) a jej współręe są więti e aie ius pochoi cąstowi fucji U wglęe współręch,, :

16 P U U U, P, P. (7.) Waże, że fucja salara U(,, ) a ses fic eergii. Praca eleetara sił o współręch (7.) U U U U U U L P r i+ j+ r + +. Wrażeie wstępujące w awiasie po prawej stroie powżsego rówaia jest różicą upełą fucji U: U U U U + +. (7.) Z ateati wiaoo, że cała rwoliiowa różici upełej jest rówa różic wartości ońcowej i pocątowej różicowaej fucji. Zate pracę woaą pre siłę P a jej preiesceiu putu A o A wraża wór: U U U U U (7.) ( ). L AA Wii, że praca woaa pre siłę opisaą wore (7.) a preiesceiu jej położeia pocątowego o ońcowego jest rówa ubtowi fucji U. Fucję tę awa potecjałe albo eergią potecjalą, siłę P spełiającą warue (7.) siłą potecjalą lub achowawcą, a pole sił pole potecjal lub achowawc. Potecjał w oreślo pucie prestrei jest rów prac, tórą woują sił potecjale pr preiescaiu putu aterialego aego putu o putu, w tór potecjał jest rów eru. Poieważ put te oże bć obra owolie, potecjał jest oreślo ołaością o owolej stałej. Wia to tego, że fucja: U U + rówież spełia ależości (7.) i (7.). Ze woru (7.) wiają wie waże własości sił potecjalch. a) Praca sił potecjalej ie ależ o toru jej putu prłożeia, lec jeie o położeia tego putu w chwilach pocątowej i ońcowej. b) Praca woaa pre siłę potecjalą jest rówa ubtowi eergii potecjalej wiająceu preiescaia się putu prłożeia sił. Wia stą rówież, że praca po tore aięt jest rówa eru.

17 7..6. Prła sił potecjalch Sił sprężstości Waże obecie, że sił ostałceia sprężstego są siłai potecjali. W t celu ropatr sprężę śrubową, tórej oiec A jest uieruchoio, a oiec B oże się preiescać włuż osi (rs. 7.8). Założ, że w chwili, g spręża ie jest apięta, oiec B porwa się pute. A B Rs Prła sił sprężstej woującej pracę Jeżeli włuż sprężę o wartość, to goie prawe Hooe a bęie oa iałać a put B siłą P proporcjoalą o włużeia: P i, gie współci proporcjoalości jest awa stałą spręż, a a ius oaca, że siła P jest sierowaa preciwie o ieruu ostałceia spręż. Z powżsego woru wia, że współręa sił P jest fucją tlo współręej : P, ate potecjał U usi spełiać rówaie: P U U P. Po scałowaiu tego rówaia w graicach o o otruje wór a potecjał sił sprężstej: U. (7.3) Pracę sił sprężstej a sońco presuięciu, p. o o, oża oblicć e woru (7.), pr c la eergia potecjala U. Zate L. (7.4) U

18 Sił ciężości Jeżeli ropatr ograico obsar prestrei w pobliżu powierchi Ziei o ałch wiarach w porówaiu proieie Ziei, to oża prjąć, że a aż put aterial o asie ajując się w tej prestrei iała stała siła ciężości: G g, gie g jest prśpieseie iesi. Pr tai ałożeiu pole sił jest jeoro pole sił ciężości. G w tai polu sił prjie uła współręch,, o osi sierowaej pioowo w górę, to goie rs. 7.9 współręe sił ciężości G opisują ależości: G G,G g. (7.5) Ze woru (7.) wiaoo, że współręe sił potecjalch są rówe pocho cąstow potecjału U wglęe współręch więtch e aie ius: U U U G, G, G g. (7.6) Z powżsch rówań wia, że potecjał U jest jeie fucją ieej. Po postawieiu treciego rówaia (7.6) o woru (7.) otruje różicę potecjału pola sił ciężości: U g, a po scałowaiu tego rówaia potecjał sił ciężości U g +, (7.7) gie jest owolą stałą. Ze woru (7.7) wia, że la cost potecjał U jest rówież stał. Zate w prpau sił ciężości wsstie put ażej płasc poioej ają taą saą wartość potecjału. Powierchie, tórch put ają te sae wartości potecjału, awają się powierchiai ewipotecjali. Praca sił ciężości a owol rwoliiow tore jest goie e wore (7.) rówa różic potecjałów w położeiu pocątow i ońcow: U U g g, (7.8) ( ) h L gie h jest różicą wsoości (rs. 7.9).

19 A G A A h P r A M Rs Praca sił ciężości Rs. 7.. Siła wajeego prciągaia Sił wajeego prciągaia Waże, że siła, jaą ierucho put aterial o asie M iała a owol put aterial o asie, jest siłą potecjalą. Zgoie prawe powsechego ciążeia (.) put M iała a put i owrotie siłą P o wartości M P, (7.9) r gie jest stałą grawitacji, a r jest oległością as o ieruchoej as M. Jeżeli asę M uieści w pocątu ułau współręch,,, a asę w pucie A o wetore woąc r (rs. 7.), to siłę P oża opisać wore: M r, (7.3) r P gie r jest wetore jeostow o ieruu wetora r. G współręe wetora woącego r oac pre,,, to współręe sił P bęą astępujące: M M M, P, P. (7.3) r r r r r r P Łatwo waać, że potecjałe oawiaego pola sił jest fucja U (,,) M + r M (7.3)

20 pr c jest owolą stałą. Ab siła P bła potecjala, jej współręe (7.3) usą spełiać wor (7.). Po różicowaiu fucji (7.3) wglęe otra: U M ( + + ) Postępując poobie w oiesieiu o i, otra: 3 M M 3 r r r P. U M r r P, U M r r P. Pracę woaą pre siłę P a preiesceie as położeia o goie e wore (7.) i po uwglęieiu rówaia (7.3) apise w astępującej postaci: L U U M. (7.33) r r

21 7..7. Moc i sprawość Z techicego putu wieia iteresuje as cęsto ie tlo wartość prac, ale rówież cas, w jai ostała oa woaa. W t celu wprowaoo pojęcie oc. Mocą chwilową awa stosue prac eleetarej L o casu. L N. (7.34) Po postawieiu o tego woru prac eleetarej efiiowaej wore (7.5) otruje wór a oc sił P. P r N P. (7.35) Zate oc sił jest rówa ilocowi salareu sił P i pręości jej putu prłożeia. Ze woru (7.34) wii, że ię pracą eleetarą L i ocą N istieje prost wiąe: L N. Jeżeli siła P w chwili t ajuje się w pucie A, a w chwili t w pucie A (rs. 7.6), to praca L woaa pre tę siłę pr preiesceiu się po tore o A o A bęie rówa całce oc w graicach o t o t : t L N. (7.36) G a uła aterial iała uła sił, to oc tego ułau jest rówa suie oc poscególch sił: t N N. (7.37) Postawową jeostą oc w ułaie S jest wat (w srócie W). Jest to oc sił, tóra pracę jeego żula wouje w ciągu jeej seu: W J s. W pratce a oreśleie oc siliów i as są użwae więse jeosti ilowat (W) i egawat (MW): W W,

22 MW W W. W techic ułaie jeoste postawową jeostą oc jest ilogra sił ra etr a seuę: G s. Pratcą jeostą oc w t ułaie jest oń echaic KM: KM 75 G s. Mię jeostai oc w ułaie techic i w ułaie S istieją ależości: G s 9,8 W, KM 75 9,8 W,736 W, W, G s, W G s,36 KM. Do oce stau silia c as worstuje się pojęcie sprawości echaicej. Wiaoo, że cęść oc ostarcoej o silia (as) jest tracoa a pooaie oporów istiejącch w sa siliu (asie), a tlo cęść jest aieiaa a oc użtecą. Sprawością echaicą awa stosue oc użtecej N u (lub prac L u ) o oc włożoej N w (lub prac L w ): N L η N L u u. (7.38) Sprawość jest licbą bewiarową spełiającą ierówość: η. w w

23 7..8. Moc ułau sił iałającch a brłę stwą W poprei pucie efiiowaliś oc sił P iałającej a put aterial. becie oblic oc ułau sił ewętrch P, gie,,...,, prłożoch opowieio w putach A, A,..., A brł stwej, porusającej się a ruche wglęe ieruchoego ułau współręch,, (rs. 7.). W owol pucie (bieguie reucji) uieści rucho uła współręch,, porusając się rae brłą. Uła sił P repreetują wetor głów W i oet głów uiescoe w bieguie reucji, a ruch brł jest oreślo a poocą pręości biegua i pręości ątowej. M M P r W A Rs. 7.. Waceie oc ułau sił iałającch a brłę stwą Zgoie efiicją oc N sił P N P. Pręość owolego putu A goie e wore (5.9) oże apisać w astępując sposób: + r. Po postawieiu tego woru o woru a oc N sił P ora worstaiu własości ilocu iesaego (.3) otruje: N ( + r ) P + P ( r ) P + ( r P ) P.

24 Moc ułau sił iałającch a brłę stwą otra po suowaiu goie e wore (7.37) oc poscególch sił: N [ P + ( r P )] P + r P N. statecie N W + M. (7.39) Zgoie ależościai (3.5) i (3.6) w powżs wore W jest wetore głów, a M oete głów ułau sił ewętrch reuowach o biegua reucji. Wór (7.39) oża wraić słowie: Moc ułau sił ewętrch iałającch a brłę stwą jest rówa suie ilocu salarego wetora główego i pręości owolego biegua reucji ora ilocu salarego oetu główego reuowaego o tegoż biegua i pręości ątowej.

25 7... Pę ułau aterialego i brł Pęe putu aterialego o asie i pręości awa iloc as putu i jego pręości: p. (7.4) Z powżsej efiicji wia, że pę jest wetore o ieruu pręości, a więc jest wetore stc o toru putu aterialego. Dla ułau putów aterialch o asach i pręości (rs. 7.) pę bęie rów suie pęów poscególch putów aterialch: r r r Rs. 7.. Waceie pęu ułau aterialego p. (7.4) Wór (7.4) oża prestawić w postaci: p r. (a) Wii, że wstępująca po aie pochoej sua, goie e wore (4.8), jest oete statc S ropatrwaego ułau aterialego wglęe pocątu ieruchoego ułau współręch,, : S r r. (b) Po postawieiu woru (b) o woru (a) i woaiu różicowaia wór (7.4) oże apisać w postaci: S p, (7.4) gie jest asą całowitą ułau aterialego. Z otraego woru wia, że pę ułau aterialego jest rów ilocowi as całowitej ułau aterialego i pręości śroa as. Poao wór (7.4) powala a ie efiiowaie pęu.

26 Pęe awa pochoą wglęe casu oetu statcego ułau aterialego wglęe ieruchoego putu: S p. (7.43) Poieważ oet statc wglęe śroa as jest rów eru (patr p. 4.4), ate pę ułau aterialego wglęe śroa as jest taże rów eru. Pę brł stwej oże oblicć, ieląc ją a eleet o asach i tratując ją jao uła putów aterialch. Prbliżoą wartość pęu otra po suowaiu pęów tch eleetów, tratowach jao put ateriale. Z olei wartość ołaą pęu otra po waceiu graic su, g licba eleetów ąż o iesońcoości r p li r. ała wstępująca w t wore po aie pochoej jest oete statc brł wglęe pocątu ułau współręch: r r. Z uwglęieie powżsej ależości otruje wór a pę brł: r p ( r ). (7.44) Wii ate, że pę brł, poobie ja pę ułau aterialego, jest rów ilocowi jej as i pręości śroa as.

27 7... Zasaa pęu i popęu. Zasaa achowaia pęu Ropatr obecie uła słaając się putów aterialch o asach i pręości. Na poscególe put ropatrwaego ułau aterialego iałają sił ewętre i wewętre. Na rsuu 7.3 aacoo sił iałające a wa P c F put o asach i l. Sił l Pl ewętre iałające a te r F l put astąpioo siłai r wpaowi P i P l, sił l r l wajeego oiałwaia ię ti putai oacoo pre F l i F l. Wpaowa sił wewętrch iałającch a put o asie P F, (7.45) w l l l a wpaowa wsstich sił iałającch a te put Rs Sił ewętre i wewętre iałające a put ułau aterialego F P + P w. (7.46) Zate goie rugi prawe Newtoa oże la owolego putu roważaego ułau aterialego apisać aice rówaie ruchu w postaci: r P + Pw (,,..., ). (7.47) Po ałożeiu, że asa jest wielością stałą, lewą stroę tego rówaia oże prestawić w postaci pochoej wglęe casu pęu putu: r ( ). Rówaie (7.47) oża obecie apisać astępująco: ( ) P + Pw Jeżeli oa stroai powżsch rówań, to otra: (,,..., ). (c)

28 ( ) P + P w, a jeżeli astąpi suę pochoch pęów pochoą ich su, to P + P. () Lewa stroa rówaia () jest pochoą wglęe casu pęu ułau aterialego: p. Pierwsa sua po prawej stroie rówaia () jest wetore głów sił ewętrch: P W, a ruga suą wsstich sił wewętrch iałającch w cał ułaie aterial i goie e wore (3.3) jest rówa eru: P w F l l l. statecie rówaie () oża apisać w postaci: p W. (7.48) Rówaie to prestawia asaę pęu ułau putów aterialch, tórą oża wpowieieć astępująco: Pochoa wglęe casu pęu ułau putów aterialch jest rówa wetorowi główeu sił ewętrch iałającch a te uła. W celu waceia ia pęu ułau putów aterialch w sońco preiale casu, p. o o t, wwołaej pre sił ewętre iałające a te uła, scałuj rówaie (7.48) w t preiale casu. tra wte: () t p( ) t p W. (7.49)

29 Rówaie to awa asaą pęu i popęu lub prawe ieości pęu. Prrost pęu ułau aterialego w sońco preiale casu jest rów popęowi wetora główego sił ewętrch iałającch a te uła. ałę prawej stro rówaia (7.49) awa popęe wetora główego lub ipulse wetora główego. Ta ruga awa a swoje uasaieie własca w prpau sił rótotrwałch, p. sił ereiowch. Łatwo auważć, że g wetor głów ułau sił ewętrch jest rów eru: W, popę tego wetora jest rówież rów eru, a asa pęu i popęu wia, iż pę ońcow jest rów pocątoweu: cli pę ułau aterialego jest stał: Jest to asaa achowaia pęu: ( t) p( ) p, p cost. (7.5) Jeżeli wetor głów ułau sił ewętrch iałającch a uła aterial jest rów eru, to pę tego ułau aterialego jest stał. G pę ułau aterialego prestawi w postaci ilocu as i pręości śroa as, to asa achowaia pęu: cost wia, że śroe as porusa się ruche jeostaj prostoliiow. Prła 7.7. Kloce o asie 4 g porusa się po rówi pochłej o ącie achleia α3 o po iałaie sił bęącej fucją casu P P(t) (rs. 7.4a). Miara tej sił ieia się w casie o o P 5 N goie wrese poa a rs. 7.4b. Współci tarcia ię locie i rówią., blicć pręość, jaą osiągie ciało w chwili t 3 s, jeżeli w chwili t pręość pocątowa / s.

30 a) N b) P(t) P P T α G t t Rs Waceie pręości loca Rowiąaie. Do rowiąaia aaia astosuje asaę pęu i popęu (7.49). W śl tej asa prrost pęu loca w casie o t o t t bęie rów popęowi wetora główego sił ewętrch iałającch a iego: t ( t ) p( ) p W. Wetor tego rówaia rutuje a oś rówoległą o rówi. Po uwglęieiu ależości (7.44) a: t W. (a) Zgoie rsuie sua rutów wsstich sił iałającch a loce a oś W P(t) gsiα T P(t) gsiα µgcosα, (b) gie T µn µgcosα. Po postawieiu (b) o rówaia (a) a: t P(t) g t t P(t) g ( siα + µcosα) t. ( siα + µcosα) (c) ała wstępująca w powżs wore jest rówa polu wresu prestawioego a rs. 7.4b, cli t P(t) P t. Po postawieiu tej rówości o (c) otruje wór a pręość :

31 P t ( siα + µcosα). + g t Po postawieiu ach licbowch otruje: o o ( +,cos3 ) 3, s ,8 si3 /. 4

32 7..3. Twiereie o ruchu śroa as Pę p w wprowao w poprei pucie rówaiu (7.48), wrażając asaę pęu, oże prestawić a poocą ilocu całowitej as ułau aterialego i pręości śroa jego as. tra wówcas: p ( ) W. (e) Wstępująca w t rówaiu pochoa pręości śroa as wglęe casu jest prśpieseie śroa as. Ma więc: a W. (7.5) Po apisaiu wetorów a i W w ułaie współręch,, : a a W W i+ a i+ W j+ a j+ W, (f) wetorowe rówaie (7.5) oże prestawić w postaci trech rówań salarch: a W,a W,a W. (7.5) Wetorowe rówaia (7.5) i rówoważe u tr rówaia salare (7.5) są aici rówaiai ruchu śroa as. Powalają oe a waceie ruchu śroa as po wpłwe ach sił ewętrch. trae rówaia (7.5) lub (7.5) powalają a sforułowaie twiereia, aego po awą twiereia o ruchu śroa as. Śroe as ułau aterialego porusa się ta ja put aterial o asie rówej całowitej asie ułau, a tór iała siła rówa wetorowi główeu sił ewętrch iałającch a te uła. Twiereie o ruchu śroa as wia rówież pierwsej całi asa pęu, cli asa pęu i popęu prestawioej w postaci: () t ( ) t W. (7.53) Twiereie to jest waż aręie baaia ruchu śroa as, ale ie powala a wciągięcie żach wiosów co o ruchu putów ależącch o ułau wglęe śroa as.

33 Z twiereia o ruchu śroa as wia, że sił wewętre ie ogą ieić ruchu śroa as ai jego położeia. Twiereie to oosi się ie tlo o ułau putów aterialch, ale rówież o ciała stwego i brł. Nałożws bowie a uła putów aterialch warue, ab oległość owolch putów ułau bła ieiea, otruje oel ciała stwego.

34 7..4. Ruch ułau o ieej asie Do tej por w roważaiach otcącch pęu ułau aterialego ałaaliś, że całowita asa ułau ie ulega iaie w casie ruchu. becie ajie się ruche ułau aterialego, tórego asa bęie się ieiać upłwe casu popre ołącaie lub ołącaie eleetów as. Taa iaa as ułau bęie iała wpłw a jego ruch. Tpow prłae ruchu ułau o ieej asie są raiet, tórch w casie prac silia astępuje wpłw gaów spaliowch, a t sa iejsa się asa raiet. prłae ogą bć urąeia o trasportu ciągłego e ieiającą się w casie ilością preosoego ateriału. W alsch roważaiach e rouiałch wglęów ograic się jeie o wprowaeia rówaia ruchu ciała o ieej asie. Do ułożeia rówaia ruchu worsta asaę pęu (7.48) apisaą w postaci: ( ) W. Prjij, e śroe ułau aterialego o asie porusa się wglęe ułau oiesieia pręością i w pewej chwili asa ułau aca się ieiać w sposób ciągł. Załaając, że w casie o ułau orwa się (lub prłąca o iego) asa eleetara pręością bewglęą b, oreśli eleetarą iaę pęu. W chwili pocątowej t pę ułau wosi, a w chwili t + +. ( )( ) b Eleetarą iaę pęu otra pre ojęcie ależości (i) o (h). ( ) [( )( ) + ] + + ( ). b Po poiięciu ilocu różice jao ałej wartości rugiego ręu eleetara iaa pęu ( ) w, b b (g) (h) (i) (j)

35 gie w b i jest pręością as wglęe as, cli pręością wglęą. Po uwglęieiu wrażeia (h) w rówaiu (e) otra rówaie ruchu ułau o ieej asie awae rówaie Miescersiego: lub w postaci R+ W, w + W (7.54) gie R w (7.55) i jest reacją cąsti eleetarej. Jeżeli wstępująca we wore (7.55) pochoa / >, cli asa ułau wrasta upłwe casu, to wetor R a wrot pręości wglęej w i jest siłą haującą. G asa ułau aterialego bęie aleć upłwe casu, cli / <, to wetor R bęie iał wrot preciw o pręości wglęej w, a więc bęie siłą apęową. Jeżeli rówaie (7.54) astosuje o baaia ruchu raiet i ałoż, że wetor pręości wglęej w wpłwającch raiet gaów jest stc o trajetorii lotu, to wetor R bęie siłą ciągu raiet (rs. 7.5). R w W Rs Ruch ułau o ieej asie Prła 7.8. Raieta o asie pocątowej porusa się w prestrei ięplaetarej pręością pocątową. Po włąceiu silia pręość wglęa w wpłwającch raiet proutów spalaia paliwa jest stała, a jej wetor jest stc o trajetorii lotu. Wacć pręość raiet po iejseiu się jej as o ora rówaie jej ruchu s s(t).

36 Rowiąaie. Poieważ raieta porusa się w prestrei ięplaetarej, sił ewętre a ią iałające oża poiąć, ate W, a aice rówaie ruchu raiet a postawie (7.54) po uwglęieiu (7.55) oża apisać w postaci: w lub, lub w. (a) w Po scałowaiu tego rówaia w graicach wacoch pre warui pocątowe, cli la t () i (), otruje: a po obliceiu całe + w l. w, co o (b) Poieważ wetor pręości i w iałają włuż jeej prostej i ają wrot preciwe (rs. 7.3), wetorow wór (b) oża apisać je wore salar: wl. Powżs wór ostał po ra pierws wprowao pre rosjsiego ucoego polsiego pochoeia K. iołowsiego. Wetorow wór (b) lub rówoważ u (c) prestawia prawo ia pręości raiet. Ze worów tch wia, że pręość raiet ależ o stosuu as ońcowej raiet o jej as pocątowej. Tera wac rówaie rogi raiet w fucji casu. Postawiws o woru (c) s, otruje rówaie różicowe o postaci: s wl. Po scałowaiu tego rówaia w graicach o s o s i o o t otruje rówaie ruchu raiet: (c)

37 s s + t w l. t () Ab oblicć wstępującą w t rówaiu całę, ależ ać fucję ia as w casie. Załóż, że w casie prac silia raiet jej asa aleje właico weług woru: αt e, gie jest stał współciie. W t prpau t l t t αt le t αt Po postawieiu otraego wiu o woru () otruje rówaie ruchu raiet w fucji casu: s s + t + wαt. (e).

38 7.3.. Defiicja rętu i ręt ułau aterialego Kręte putu aterialego o asie wglęe putu awa oet pęu p tego putu aterialego wglęe putu : r p r. (7.56) Z powżsej efiicji wia, że ręt efiiowa poobie ja oet sił wglęe putu jest wetore prostopał o płasc wacoej pre put i wetor pręości (rs. 7.6). Kręt putu bęie rów eru, poa prpaai trwiali (r i ), g wetor r i bęą współliiowe. Jeżeli bęie ieli uła putów aterialch o asach opisach wetorai woąci r i porusającch się pręością (rs. 7.7), to ręt tego ułau aterialego wglęe ieruchoego putu bęie rów suie rętów (suie oetów pęów) ieruchoego putu bęie rów suie rętów (suie oetów pęów) o r Rs Kręt (oet pęu) putu aterialego r p r. (7.57)

39 7.3.. Reucja rętu o śroa as Wór (7.57) opisuje ręt ułau aterialego oblico wglęe owolego ieruchoego putu. Zaaj sobie ptaie, jai bęie ręt tego saego ułau aterialego wglęe śroa as. W t celu prjij w śrou as pocąte ruchoego ułau współręch o osiach,, rówoległch o opowieich osi ieruchoego ułau współręch,, (rs. 7.7). W tej stuacji uła,, bęie się porusał ruche postępow wglęe ułau ieruchoego,, pręością śroa as. r r r Rs Roła pręości ułau putów aterialch Pr tai ałożeiu pręość bewglęa ażego putu aterialego wglęe ułau ieruchoego,, bęie suą pręości uoseia rówej pręości śroa as i pręości wglęej wgęe ułau ruchoego,,, awaej alej pręością wglęe śroa as: +. (a) Kręt ropatrwaego ułau putów aterialch wglęe śroa as wrai wór: r, (7.58) gie r jest proieie woąc put aterial o asie w ułaie,,. Z rsuu 7.7 wia, że proień woąc r jest rów suie proieia woącego śroa as r i proieia r : r r + r.

40 Po waceiu tej ależości r r r i postawieiu o woru (7.58) otra: ( r r ) r r. (b) Pierwsa sua po prawej stroie tego woru, goie e wore (7.57), jest ręte wglęe ieruchoego putu, ruga aś jest pęe oawiaego ułau aterialego. Na postawie woru (7.4) oże apisać: p gie jest asą całego ułau. Zate rówaie (b) prjie postać:, lub r + r. (7.59) Kręt ułau putów aterialch wglęe owolego ieruchoego putu jest rów rętowi tego ułau wglęe śroa as powięsoeu o ręt r as całowitej supioej w śrou as. Wór (7.58) prestawia ręt ułau aterialego wglęe śroa as oblico la ruchu bewglęego, poieważ wstępująca w t wore pręość jest pręością wglęe ieruchoego ułau oiesieia. Zastaów się, ceu bęie rów ręt tego ułau aterialego wglęe śroa as waco la ruchu wglęego. W t celu postaw o woru (7.58) ależość (a). r r r + r ( + ) r r + + r r. Ale sua r,

41 poieważ oet statc ułau wglęe śroa as jest rów eru. statecie a: r r. (7.6) Z otraej ależości wia stwiereie: Kręt ułau putów aterialch wglęe śroa as waco la ruchu bewglęego jest rów rętowi wglęe śroa as wacoeu la ruchu wglęego.

42 Kręt brł Wac ręt brł o asie porusającej się ruche owol, a więc brł swoboej. Poobie ja w ieatce brł (p. 5.3.) prjie wa uła współręch jee ierucho o pocątu w ierucho pucie i osiach,,, a rugi rucho, stwo wiąa brłą o osiach,, (rs. 7.8) i pocątu ie w owol pucie, lec w śrou as. W brle wiel ślowo eleet as o wetore woąc gie r r r + r, (c) i+ j+, r i+ j+. Zając pręość śroa as i pręość ątową, oże oblicć pręość owolego putu brł (wór 5.3). Zate pręość eleetarej as Zgoie efiicją ręt eleetu as wglęe ieruchoego putu r. Kręt brł bęie rów całce powżsej ależości rociągiętej a całą asę brł: r. Po postawieiu o tego woru ależości (c) i () otra: + r. () ( r + r ) ( + r ) r + r ( r ) + r + r ( r ). r r r + Rs pis położeia owolego eleetu brł stwej

43 Wstępujące po całai wielości r, i ie polegają całowaiu i ogą bć wciągięte pre ai całe: r + r + r r r r ( ). Dwie śroowe całi są oetai statci brł wglęe śroa as, a więc są rówe eru: r, a pierwsa cała jest asą całowitą brł:. statecie ręt brł oże apisać w postaci: ( r ) + r r. (7.6) ała wstępująca w t wore jest ręte śroa as pręością ątową. ( r ) Zate wór (7.6) oże apisać w postaci: brł w jej ruchu wglęe r. (7.6) + r. (7.63) Kręt brł wglęe owolego ieruchoego putu jest rów rętowi brł wglęe śroa as (w jej ruchu wglęe śroa as pręością ątową ) powięsoeu o ręt r as brł porusającej się pręością śroa as. becie oblic współręe wetora w rucho ułaie współręch,, o pocątu w śrou as (rs. 7.8). W t ułaie współręch wetor wstępujące we wore (7.6) ają astępujące współręe: i+ j+ r i+ j+,,

44 i + j+. Po ropisaiu powójego ilocu wetorowego e woru (7.6), goie e wore (.34) otra: r r r ( r ) ( r ) ( r ) r. Pierwsa cała wstępująca po prawej stroie powżsego rówaia jest bieguow oete bewłaości wglęe śroa as : a więc ( r ), ( r ) r. (7.64) Współręe rętu otra po rutowaiu tego wetora a osie,, : i ( r ), j ( r ), ( r ). Po postawieiu o tch worów ilocu salarego: r + + ora włąceiu pre całi współręch pręości ątowej otruje:, ( ) ( ), ( ). ałi wstępujące w powżsch worach są efiiowai w p. 6.. oetai bewłaości brł wglęe opowieich płasc i oetai ewiacji. Po worstaiu ależości (6.7) i (6.9) ię oetai

45 bewłaości wglęe biegua, płasc i osi ora opowiei uporąowaiu wraów współręe rętu brł opisują wor: D D, D + D, + D D. (7.65) Z powżsch worów wia, że o obliceia rętu brł swoboej wglęe śroa as usi ać wsstie osiowe oet bewłaości i wssie oet ewiacje, cli tesor bewłaości. Wor (7.65) acie się uprascają, g osie,, są główi cetrali osiai bewłaości. W t prpau, ja wiaoo p. 6.5, wsstie oet ewiacje są rówe eru i ręt i+ j+. (7.66) Jeżeli ałoż, że osią obrotu brł jest p. oś, to pręość ątowa porje się osią obrotu:. Wówcas ręt waco e worów (7.65) a postać: a a postawie woru (7.66) D i D j+, (7.67). (7.68) Z porówaia worów (7.67) i (7.68) wia, że jeżeli oś obrotu jest główą cetralą osią bewłaości, to wetor rętu leż a tej osi; g ta ie jest, ierue wetora rętu ie porwa się osią obrotu. Prła 7.9. Korba A o asie obraca się pręością ątową woół osi prechoącej pre put i prostopałej o płasc rs Na ońcu A orb jest osaoa ciea A jeoroa tarca o asie i proieiu r, tóra toc się be pośligu r po ierucho ole o proieiu R. Wacć ręt ułau wglęe osi. R A Korbę A uważać a pręt jeoro. Rs Waceie rętu ułau

46 Rowiąaie. Kręt ułau wglęe osi słaa się rętu porusającej się ruche obrotow woół osi ora rętu się ruche postępow śroa ciężości A tarc pręością orb A tarc porusającej A ora ruche obrotow pręością wglęe osi rówoległej o osi i prechoącej pre śroe tarc: Kręt orb A wglęe osi +. (a). (b) Kręt tarc wglęe tej saej osi a postawie woru (7.63) oże wraić ależością: + R + r. (c) ( ) A We worach (b) i (c) i są opowieio oetai bewłaości orb wglęe osi prechoącej pre put i tarc wglęe osi prechoącej pre jej śroe A. Zgoie e worai (f) i (a) prłau 6.: Pręość śroa tarc ( R + r) ( R + r), r r. () 3 3 A ( R + r). (e) Poieważ put (rs. 7.9) stu tarc ierucho ołe jest chwilow śroie obrotu tarc, a rówież: r, A ( R + r) A stą. (f) r r Po uwglęieiu w wiąach (b) i (c) worów (), (e) i (f) ora po ich postawieiu o rówaia (a) otruje ręt ułau wglęe osi. R 3 R 3 ( + r) + r ( + r)( 7R + r). ( R + r) r + R ( + r)( R + r)

47 Zasaa rętu i porętu. Zasaa achowaia rętu Załóż, że a uła aterial słaając się putów aterialch o asach porusającch się pręością (rs. 7.7). Na aż put iech iała siła ewętra P ora sił wewętre F l. Zgoie rugi prawe Newtoa oże la owolego putu roważaego ułau aterialego apisać aice rówaie ruchu: lub r P + P w (,,... ) P + Pw, W powżs rówaiu goie e wore (7.45) P w jest wpaową sił wewętrch iałającch a put o asie. Poóż wetorowo aże rówań obustroie pre wetor woąc r i oaj wsstie rówaia stroai. tra: r r r P. (e) ( P + Pw ) r P + Druga sua po prawej stroie tego rówaia jest suą oetów sił wewętrch wglęe putu i ja waao w p (wór 7.3), jest rówa eru. Z olei sua oetów sił ewętrch wglęe putu jest rówa oetowi główeu (3.6): o M r P. Suę wstępującą po lewej stroie rówaia (e) oże prestałcić: w r ( r ) r. + r ( r ) Wia tego, że lewa stroa rówaia (e) jest pochoą rętu całego ułau aterialego wglęe ieruchoego putu. statecie otruje:

48 traa ależość różicowa jest asaą rętu. M. (7.69) Pochoa wglęe casu rętu ułau putów aterialch wglęe owolego ieruchoego putu jest rówa oetowi główeu wsstich sił ewętrch wglęe tego saego putu. Po obustro scałowaiu rówaia (7.69) w graicach o o t otra: () t ( ) t M. (7.7) ała wstępująca w t rówaiu osi awę porętu oetu główego, a sao rówaie jest asaą rętu i porętu. Prrost rętu ułau aterialego wglęe owolego ieruchoego putu jest rów porętowi oetu główego sił ewętrch wglęe tego saego putu. Rówaia (7.69) i (7.7) są słuse ie tlo la ułau putów aterialch, ale i la brł. ęsto się ara, że oet głów ułau sił ewętrch wglęe obraego ieruchoego biegua reucji jest stale rów eru bąź jest poijalie ał, M. Wte cała po prawej stroie rówaia (7.7) jest rówa eru i asaa rętu i porętu prechoi w asaę achowaia rętu: t, cli t lub () ( ) ( ) ( ) cost jeżeli M, to cost. (7.7) traą asaę achowaia rętu oża wraić słowie: Jeżeli oet głów sił ewętrch wglęe ieruchoego putu reucji jest rów eru, to ręt ułau aterialego (brł) wglęe tego putu jest wielością stałą.

49 Reucja asa rętu i porętu o śroa as Zastaów się, jaą postać prjie asaa rętu i porętu (7.7), jeżeli a biegu reucji prjie ie owol put, lec śroe as ułau aterialego. W celu uieleia opowiei a postawioe ptaie postaw o rówaia (7.69) wór (7.59): + r ora twiereie o oecie głów (3.9): M M + r W i ooaj różicowaia: ( r ) + M + r W, r ( ) + + r M + r W. (f) Drugi wra po lewej stroie powżsego rówaia jest rów eru, poieważ jest to iloc wetorow wetorów rówoległch: r, a pochoa wstępująca w treci wraie jest pochoą wglęe casu pęu ułau aterialego, rówą wetorowi główeu ułau sił ewętrch (7.48): ( ) p W. Po uwglęieiu powżsch ależości w rówaiu (f) i uprosceiu otra asaę rętu pr reucji o śroa as: M. (7.7) Z olei po scałowaiu tego rówaia o era o t otra asaę rętu i porętu reuowaą o śroa as ułau: () t ( ) t M. (7.73)

50 Wii, że forala postać otrach rówań (7.7) i (7.73) jest taa saa ja rówań (7.69) i (7.7), ale rówaia (7.7) i (7.73) ie opisują ruchu śroa as. Do opisu ruchu śroa as ależałob astosować asaę pęu (7.48). Jeżeli ałoż tera, że oet sił ewętrch wglęe śroa as ułau aterialego bęie stale rów eru, M, to asaa rętu i porętu (7.73) reuowaa o śroa as prejie w asaę achowaia rętu wglęe śroa as, co oża apisać w astępując sposób: jeżeli M, to cost (7.74) lub ująć słowie: Jeżeli oet głów sił ewętrch wglęe śroa as ułau aterialego jest rów eru, to ręt tego ułau aterialego wglęe śroa as jest wielością stałą. Prła 7.. Put aterial A o asie acął się porusać włuż cięciw B (rs. 7.a) poioej jeoroej tarc ołowej o proieiu R i asie weług rówaia: bsit, gie oaca współręą oieroą ja a rs. 7., pewą stałą, a b B. Tarca oże się obracać be tarcia woół osi pioowej prechoącej pre śroe tarc. Wacć pręość ątową tarc w fucji casu t, jeżeli oległość cięciw o śroa tarc wosi b, a tarca w chwili pocątowej t bła ieruchoa. a) b) α w R A R r A α b A b A u B Rs. 7.. Waceie pręości ątowej tarc Rowiąaie. Na uła iałają sił ewętre ciężości tarc i putu aterialego ora reacje w łożsach osi obrotu tarc. Sił ciężości są rówoległe o osi obrotu, więc ich oet wglęe osi obrotu są awse

51 rówe eru. Nie ają oetu wglęe tej osi rówież reacje w łożsach. Zate goie asaą achowaia rętu (7.7) ręt ułau wglęe osi ie ulega iaie. Poieważ w chwili pocątowej t, g put A bł jesce ierucho, ręt ułau bł rów eru, ate w owolej chwili t ręt tego ułau rówież bęie rów eru. Po ropocęciu ruchu putu A tarca acie się porusać ruche obrotow pręością ątową w ieruu preciw o ruchu putu (rs. 7.b). Pręość putu tarc, w tór w chwili t ajuje się put A, cli pręość uoseia putu A r b + b si t. u + Pręość putu A wglęe tarc (pręość wglęa) w bcost. Z olei pręość bewglęa putu A jest rówa suie wetorowej pręości uoseia i pręości wglęej: +. A Rut wetora pręości bewglęej putu A a ierue prostopał o proieia A r jest rów cosα. u w w u Kręt ułau w chwili t wglęe osi obrotu słaa się rętu i rętu tarc wglęe tej osi. Kręt putu A putu A r( cosα ) ( rcosα r) w u w u ( wb b + si t r) ( b cost b + si t b + ) [ b cost b ( + si t) ], a ręt tarc wglęe osi obrotu R. Poieważ ręt całowit ułau jest w ażej chwili rów eru, otruje: [ b cost b ( + si t) ] R.

52 Z powżsego rówaia ajuje pręość ątową tarc: b cost. b ( + si t) + R

53 7.4.. Eergia ietca ułau putów aterialch Eergią ietcą putu aterialego o asie, porusającego się pręością, awa połowę ilocu as putu i waratu jego pręości: E. Dla ułau putów aterialch o asach porusającch się pręością eergia ietca bęie rówa suie eergii ietcch poscególch putów aterialch: E. (7.75) Poobie ja w prpau rętu ułau putów aterialch (7.3.), pręość bewglęą ażego putu aterialego rołoż a pręość uoseia, wwołaą ruche postępow ruchoego ułau współręch,, o pocątu w śrou as wglęe ułau ieruchoego,,, i pręość wglęą wglęe ułau ruchoego (rs. 7.7): +. Po postawieiu tej ależości o woru (7.75) ora prestawieiu waratu pręości w postaci ilocu salarego otra: E ( + + ) + ( + ) ( + ) +. (a) Drugi wra po prawej stroie powżsego rówaia jest rów eru, poieważ wstępująca w i sua jest pęe ułau putów aterialch w jego ruchu wglęe ruchoego ułau współręch,,. Wiaoo jeaże, że pę jest rów ilocowi as całowitej i pręości śroa as (7.44), tóra w stosuu o ruchoego ułau oiesieia,, jest rówa eru. Zate

54 . stati wra jest eergią ietcą ułau putów aterialch w jego ruchu wglęe ruchoego ułau oiesieia,, : E c. (7.76) Po oaceiu as całowitej ropatrwaego ułau aterialego pre rówaie (a) prjuje postać: E E +. (7.77) Zależość (7.77) osi awę twiereia Koeiga. Eergia ietca ułau putów aterialch jest rówa eergii tegoż ułau w jego ruchu wglęe śroa as ora eergii ietcej as całowitej porusającej się pręością śroa as.

55 7.4.. Eergia ietca brł W celu waceia eergii ietcej brł o asie porusającej się ruche ogól postąpi poobie ja pr wacaiu rętu brł (p ). W brle ślowo wieli eleet as (rs. 7.8) porusając się pręością goą e wore (5.3): Eergia ietca tego eleetu E, + r. (b) a eergia brł jest rówa całce wglęe całej as tego wrażeia: E. (c) Po postawieiu o woru (c) pręości w postaci (b) otra: E ( + r ) ( + r ) ( ) ( ) ( ) + r + r r. () Po prestałceiu wrażeń pocałowch w rugiej i treciej całce o postaci: r r, ( ) ( ) ( r ) ( r ) [ r ( r )] ora włąceiu pre całi i, jao wielości ieależch o iech całowaia,,, wór () oże apisać: E + ( ) + ( r r r ). (e) Pierwsa cała jest asą brł, ruga oete statc wglęe śroa as, a trecia ręte brł w ruchu wglęe śroa as (7.6), cli, ora ( r r ) r. Po uwglęieiu powżsch ależości we wore (e) otruje:

56 E +. (7.78) Pierws wra w powżs wore jest eergią ietcą brł w jej chwilow ruchu obrotow wglęe śroa as: E. (7.79) Zate eergię ietcą brł oże prestawić w postaci ietcej e wore (7.77): Jest to twiereie Koeiga la brł. E E +. (7.8) Eergia ietca brł w ruchu ogól jest suą eergii ietcej brł w jej chwilow ruchu obrotow wglęe śroa as i eergii ietcej as całowitej porusającej się pręością śroa as. Ab oblicć eergię E we wore (7.79), prestawi iloc salar a poocą współręch wetorów i ach w ułaie rucho,, : E ( + + ). Po postawieiu w t wore współręch rętu ach worai (7.65) i uporąowaiu wraów eergię ietcą brł w jej ruchu wglęe śroa as oże prestawić w postaci: E ( + + ) + D + D (7.8) ( ) D Zate, poobie ja w prpau rętu, o obliceia eergii ietcej brł w jej ruchu wglęe śroa as usi ać wsstie osiowe i ewiacje oet bewłaości. G osie,, są główi cetrali osiai bewłaości, oet ewiacje iają, a wór (7.8) uprasca się o postaci: ( + + ). (7.8) E

57 Jeżeli ruch brł jest ruche obrotow woół stałej osi obrotu, p. l, pręością ątową, to eergia ruchu obrotowego A A E l, (7.83) R r gie l jest oete bewłaości wglęe osi obrotu l. S Prła 7.. Kołowrót o asie 5 i proieiach r ora R,5r toc się be pośligu ał obwoe po poioej listwie (rs. 7.7). Śroe A as tego ołowrotu ajuje się a osi setrii obrotowej i a stałą pręość. Na uż obwó awiięto Rs. 7.. Waceie eergii ietcej lię, a tórej ońcu awiesoo ołowrotu ciężare o asie. Proień bewłaości ołowrotu wglęe osi setrii prostopałej o płasc rsuu jest rów. blicć eergię ietcą tego ułau. i Rowiąaie. Eergia ietca ułau jest rówa suie eergii ietcej ołowrotu E porusającego się ruche płasi i eergii ietcej ciężara E porusającego się ruche postępow: E E + E. Wór a eergię ietcą ołowrotu, goie rówaie (7.8) wiając twiereia Koeiga, po uwglęieiu ależości (7.83) a postać: E +, (a) gie oet bewłaości ołowrotu wglęe osi setrii obrotowej Eergia ietca ciężara i 5i. (b) E. (c)

58 Poieważ ołowrót toc się be pośligu, chwilow śroe obrotu ajuje się w pucie S stu ołowrotu listwą. Korstając własości chwilowego śroa obrotu, oże apisać: R + r r ( R + r), A. () r Zgoie rsuie pręość ciężara jest rówa suie geoetrcej pręości i A. Stą warat pręości 9 A +. (e) 4 Po oaiu woru (c) o (a) i uwglęieiu ależości (b), () i (e) otruje całowitą eergię ietcą ułau: E i 49 i r 8 r 5 8

59 Zasaa prac i eergii ietcej Dla ażego putów aterialch ułau oówioego w p. 7.. i prestawioego a rs. 7. apise, ta ja popreio, aice rówaie ruchu (7.47): w P P r + albo ( ),,..., w + P P. Poóż salarie aże tch rówań pre pręość i oaj je stroai: ( ) + + w w P P P P. (e) Zgoie efiicją poaą w p pierwsa sua w rówaiu (e) jest ocą ułau sił ewętrch: N P, (7.84) a ruga powója sua ocą wsstich sił wewętrch: w w N P. (7.85) Waże, że lewa stroa rówaia (e) jest pochoą wglęe casu eergii całowitej ułau putów aterialch: ( ). E + statecie rówaie (e) prjuje postać: N N w E +. (7.86)

60 Zate pochoa wglęe casu eergii ietcej ułau aterialego jest rówa suie oc wsstich sił ewętrch i wewętrch. Po scałowaiu obustroie rówaia (7.86) o o t otra: () t E( ) N + t t E N. (f) ałi wstępujące w powżs rówaiu, goie e wore (7.36), prestawiają opowieio pracę sił ewętrch i wewętrch: t t w L N, L w N w. (g) Po wprowaeiu oaceń (g) o rówaia (f) otruje asaę prac i eergii ietcej la ułau putów aterialch: ( t) E( ) L L w E + lub po wprowaeiu oaceń E(t) E, E() E E L L w E +. (7.87) Prrost eergii ietcej ułau putów aterialch w sońco preiale casu jest rów prac woaej w t sa casie pre wsstie sił ewętre i wewętre. Be preprowaaia owou etoą aalitcą oża auważć, że praca sił wewętrch jest ściśle wiąaa e iaą oległości ię putai ułau aterialego. G oległości ię putai ułau aterialego ie ulegają iaie, praca sił wewętrch bęie rówa eru. Zate la brł stwej lub ciała stwego praca sił wewętrch jest rówa eru, L w. W tej stuacji asaę prac i eergii ietcej la brł stwej oża apisać w postaci: E. (7.88) E L Prrost eergii ietcej brł stwej w sońco preiale casu jest rów prac woaej w t sa casie pre wsstie sił ewętre iałające a tę brłę. Prła 7.. Do bęba ołowrotu o proieiu r i asie jest prłożo stał oet obrotow M. Do ońca wiotiej li awiiętej a bębe procowao ciężar o asie, tór presuwa się po rówi pochłej o ącie achleia α(rs. 7.). Współci tarcia ię asą a rówią wosi µ. Jaą pręość ątową osiągie bębe po obróceiu się o ϕ raiaów, jeżeli w

61 chwili pocątowej uła bł w spocu? Masę li poiąć, a bębe uważać a jeoro walec. N rϕ ϕ, r T M α G Rs. 7.. Waceie pręości ątowej bęba Rowiąaie. Do rowiąaia aaia astosuje asaę prac i eergii ietcej (7.88): E L. E Z uwagi a to, że uła w chwili pocątowej ajował się w spocu, jego eergia ietca bła rówa eru, E. truje więc: E L. (a) Eergia ietca ułau słaa się eergii ietcej ruchu postępowego as ora ruchu obrotowego bęba: E +. Poieważ oet bewłaości bęba wglęe osi obrotu i pręość są rówe: r, r, a: E r + r ( + ) r. (b) 4 4 Pracę L woują: oet obrotow M, słaowa sił ciężości G rówoległa o rówi ora siła tarcia T. Jeżeli auważ, że pr obrocie bęba o ąt ϕ ciężar o asie presuie się w górę rówi o rϕ, oże apisać:

62 ( α ) L Mϕ gsi + T rϕ. Po postawieiu o tego woru T µn µ gcosα woaa praca M L g( siα + µcosα) rϕ. (c) r Po postawieiu ależości (b) i (c) o woru (a) otruje rówaie: są 4 M r ( + ) r g( siα + µcosα) rϕ, r M gr + ( siα + µcosα) ϕ.

63 Zasaa achowaia eergii becie ropatr ruch ułau aterialego, a tór iałają sił potecjale, arówo ewętre ja i wewętre. W pucie 7..5 uowoioo, że jeżeli a put aterial iała siła potecjala, to praca woaa pre tę siłę jest rówa ubtowi eergii potecjalej. Prjie be owou, że ależość ta jest słusa ie tlo la ażego putu, ale i la całego ułau aterialego. Zate pracę sił ewętrch i wewętrch oże apisać w postaci: L L w U U w U U,, w (h) gie U i U oacają eergię potecjalą sił ewętrch w położeiu pocątow i ońcow, a U w i U w eergię potecjalą sił wewętrch w położeiu pocątow i ońcow. Po postawieiu worów (h) o rówaia asa prac i eergii ietcej (7.87) otra: lub E E U U + U w U w E + U + U w E + U + U w. (i) Z rówaia (i) wia, że sua eergii ietcej i eergii potecjalej sił ewętrch i wewętrch jest w aż położeiu ułau wielością stałą. Po wprowaeiu o rówaia (i) oaceń: otra: albo ogólie U U + U w i U U + U w E + U E + U E + U cost. (7.89) Jest to asaa achowaia eergii echaicej. G a uła aterial iałają sił potecjale, wte sua eergii ietcej i potecjalej tego ułau jest wielością stałą. Zasaa achowaia eergii echaicej jest słusa rówież w prpau, g iałające sił oża rołożć a sił potecjale i sił, tóre ie są potecjale, ale ie woują prac, p. reacje głaich powierchi. Uła ateriale, o tórch oosi się asaa achowaia eergii echaicej, awa ułaai achowawci, a sił siłai achowawci. Uła, tórch ie otc ta asaa, awa ułaai roprasająci lub ss-patwi, p. uła tarcie.

64 Zasaa achowaia eergii echaicej jest trecią asaą achowaia w aice, po asaie achowaia pęu i asaie achowaia rętu. Należ paiętać, że asa achowaia są słuse tlo wówcas, g są spełioe opowieie ałożeia pocioe pr ich wprowaaiu. Prła 7.3. iei jeoro pręt A o ługości L i asie oże się obracać be tarcia woół osi poioej prostopałej o osi pręta prechoącej pre jego oiec (rs. 7.3). Jaą pręość ależ aać ońcowi A w L/ chwili, g pręt jest w spocu w położeiu rówowagi stałej, ab woał o ćwierć obrotu? U A A g Rs Waceie pręości pocątowej ońca pręta L Rowiąaie. Na pręt iała siła ciężości, tóra jest siłą potecjalą. Zate o rowiąaia aaia oże astosować asaę achowaia eergii echaicej (7.89): E + +. (a) U E U Jeżeli poio erowej eergii potecjalej prjie a wsoości śroa ciężości, ja a rsuu, to U. Po woaiu ćwierć obrotu pręt ajie położeie poioe i atra się. Jego eergia ietca bęie rówa eru, E. Rówaie (a) bęie iało więc postać: E U. (b) W chwili pocątowej eergia ietca E. Moet bewłaości pręta jeoroego wglęe jego ońca (patr prła 6.) Z olei pręość ątowa pręta L 3. A. L