Pęd układu materialnego i bryły

Transkrypt

1 7... Pę ułau aerialego i bryły Pęe puu aerialego o asie i pręości v azyway iloczy asy puu i jego pręości: p v. (7.4) z v v Z powyższej efiicji wyia, że pę jes weore o ieruu pręości, a więc jes weore syczy o oru puu aerialego. Dla ułau puów aerialych o asach i pręości v (rys. 7.) pę bęzie rówy suie pęów poszczególych puów aerialych: r v r v r v O y x Rys. 7.. Wyzaczeie pęu ułau aerialego p v. (7.4) Wzór (7.4) oża przesawić w posaci: p r. (a) Wiziy, że wysępująca po zaie pochoej sua, zgoie ze wzore (4.8), jes oee sayczy S rozparywaego ułau aerialego wzglęe począu ieruchoego ułau współrzęych x, y, z : S r r. (b) Po posawieiu wzoru (b) o wzoru (a) i wyoaiu różiczowaia wzór (7.4) ożey zapisać w posaci: S p v v, (7.4) gzie jes asą całowią ułau aerialego. Z orzyaego wzoru wyia, że pę ułau aerialego jes rówy iloczyowi asy całowiej ułau aerialego i pręości v śroa asy. Poao wzór (7.4) pozwala a ie zefiiowaie pęu.

2 Pęe azyway pochoą wzglęe czasu oeu sayczego ułau aerialego wzglęe ieruchoego puu: S p. (7.43) Poieważ oe sayczy wzglęe śroa asy jes rówy zeru (parz p. 4.4), zae pę ułau aerialego wzglęe śroa asy jes aże rówy zeru. Pę bryły szywej ożey obliczyć, zieląc ją a eleey o asach i raując ją jao uła puów aerialych. Przybliżoą warość pęu orzyay po zsuowaiu pęów ych eleeów, raowaych jao puy aeriale. Z olei warość ołaą pęu orzyay po wyzaczeiu graicy suy, gy liczba eleeów ąży o iesończoości r p li v v r. ała wysępująca w y wzorze po zaie pochoej jes oee sayczy bryły wzglęe począu ułau współrzęych: r r. Z uwzglęieie powyższej zależości orzyujey wzór a pę bryły: r p ( r ) v. (7.44) Wiziy zae, że pę bryły, poobie ja pę ułau aerialego, jes rówy iloczyowi jej asy i pręości śroa asy.

3 7... Zasaa pęu i popęu. Zasaa zachowaia pęu Rozparzyy obecie uła słaający się z puów aerialych o asach i pręości v. Na poszczególe puy rozparywaego ułau aerialego ziałają siły zewęrze i z wewęrze. Na rysuu 7.3 v zazaczoo siły ziałające a wa v P c F puy o asach i l. Siły l Pl zewęrze ziałające a e r F l puy zasąpioo siłai r wypaowyi P i P l, siły l r l wzajeego oziaływaia v ięzy yi puai ozaczoo O przez F l i F l. y Wypaowa sił wewęrzych ziałających a pu o asie x P F, (7.45) w l l l a wypaowa wszysich sił ziałających a e pu Rys Siły zewęrze i wewęrze ziałające a puy ułau aerialego F P + P w. (7.46) Zae zgoie z rugi prawe Newoa ożey la owolego puu rozważaego ułau aerialego apisać yaicze rówaie ruchu w posaci: r P + Pw (,,..., ). (7.47) Po założeiu, że asa jes wielością sałą, lewą sroę ego rówaia ożey przesawić w posaci pochoej wzglęe czasu pęu v puu: r ( v ) v. Rówaie (7.47) oża obecie zapisać asępująco: ( v ) P + Pw Jeżeli oay sroai powyższych rówań, o orzyay: (,,..., ). (c)

4 ( v ) P + P w, a jeżeli zasąpiy suę pochoych pęów pochoą ich suy, o v P + Pz. () Lewa sroa rówaia () jes pochoą wzglęe czasu pęu ułau aerialego: v p. Pierwsza sua po prawej sroie rówaia () jes weore główy sił zewęrzych: P W, a ruga suą wszysich sił wewęrzych ziałających w cały ułazie aerialy i zgoie ze wzore (3.3) jes rówa zeru: P w F l l l. Osaeczie rówaie () oża zapisać w posaci: p W. (7.48) Rówaie o przesawia zasaę pęu ułau puów aerialych, órą oża wypowiezieć asępująco: Pochoa wzglęe czasu pęu ułau puów aerialych jes rówa weorowi główeu sił zewęrzych ziałających a e uła. W celu wyzaczeia ziay pęu ułau puów aerialych w sończoy przeziale czasu, p. o o, wywołaej przez siły zewęrze ziałające a e uła, scałujy rówaie (7.48) w y przeziale czasu. Orzyay wey: () p( ) p W. (7.49)

5 Rówaie o azyway zasaą pęu i popęu lub prawe zieości pęu. Przyros pęu ułau aerialego w sończoy przeziale czasu jes rówy popęowi weora główego sił zewęrzych ziałających a e uła. ałę z prawej sroy rówaia (7.49) azyway popęe weora główego lub ipulse weora główego. Ta ruga azwa a swoje uzasaieie zwłaszcza w przypau sił róorwałych, p. sił zerzeiowych. Ławo zauważyć, że gy weor główy ułau sił zewęrzych jes rówy zeru: W, popę ego weora jes rówież rówy zeru, a z zasay pęu i popęu wyia, iż pę ońcowy jes rówy począoweu: czyli pę ułau aerialego jes sały: Jes o zasaa zachowaia pęu: ( ) p( ) p, p cos. (7.5) Jeżeli weor główy ułau sił zewęrzych ziałających a uła aerialy jes rówy zeru, o pę ego ułau aerialego jes sały. Gy pę ułau aerialego przesawiy w posaci iloczyu asy i pręości v śroa asy, o z zasay zachowaia pęu: v cos wyia, że śroe asy porusza się ruche jeosajy prosoliiowy. Przyła 7.7. Kloce o asie 4 g porusza się po rówi pochyłej o ącie achyleia α3 o po ziałaie siły bęącej fucją czasu P P() (rys. 7.4a). Miara ej siły zieia się w czasie o o P 5 N zgoie z wyrese poay a rys. 7.4b. Współczyi arcia ięzy locie i rówią., Obliczyć pręość v, jaą osiągie ciało w chwili 3 s, jeżeli w chwili pręość począowa v / s.

6 a) N b) P() x P P T α G Rys Wyzaczeie pręości loca Rozwiązaie. Do rozwiązaia zaaia zasosujey zasaę pęu i popęu (7.49). W yśl ej zasay przyros pęu loca w czasie o o bęzie rówy popęowi weora główego sił zewęrzych ziałających a iego: ( ) p( ) p W. Weory z ego rówaia zrzuujey a oś x rówoległą o rówi. Po uwzglęieiu zależości (7.44) ay: v v Wx. (a) Zgoie z rysuie sua rzuów wszysich sił ziałających a loce a oś x W x P() gsiα T P() gsiα µgcosα, (b) gzie T µn µgcosα. Po posawieiu (b) o rówaia (a) ay: v v P() g P() g ( siα + µcosα). ( siα + µcosα) (c) ała wysępująca w powyższy wzorze jes rówa polu wyresu przesawioego a rys. 7.4b, czyli P() P. Po posawieiu ej rówości o (c) orzyujey wzór a pręość v :

7 v P ( siα + µcosα). v + g Po posawieiu aych liczbowych orzyujey: o o ( +,cos3 ) 3, s 5 3 v + 9,8 si3 /. 4

8 7..3. Twierzeie o ruchu śroa asy Pę p w wyprowazoy w poprzei pucie rówaiu (7.48), wyrażający zasaę pęu, ożey przesawić za poocą iloczyu całowiej asy ułau aerialego i pręości v śroa jego asy. Orzyay wówczas: p ( v ) v W. (e) Wysępująca w y rówaiu pochoa pręości śroa asy wzglęe czasu jes przyśpieszeie śroa asy. May więc: a W. (7.5) Po zapisaiu weorów a i W w ułazie współrzęych x, y, z: a a W W x x i+ a y i+ W y j+ a z j+ W y, (f) weorowe rówaie (7.5) ożey przesawić w posaci rzech rówań salarych: a W,a W,a W. (7.5) x x y Weorowe rówaia (7.5) i rówoważe u rzy rówaia salare (7.5) są yaiczyi rówaiai ruchu śroa asy. Pozwalają oe a wyzaczeie ruchu śroa asy po wpływe zaych sił zewęrzych. Orzyae rówaia (7.5) lub (7.5) pozwalają a sforułowaie wierzeia, zaego po azwą wierzeia o ruchu śroa asy. Śroe asy ułau aerialego porusza się a ja pu aerialy o asie rówej całowiej asie ułau, a óry ziała siła rówa weorowi główeu sił zewęrzych ziałających a e uła. Twierzeie o ruchu śroa asy wyia rówież z pierwszej całi zasay pęu, czyli z zasay pęu i popęu przesawioej w posaci: () v ( ) y z v W. (7.53) Twierzeie o jes waży arzęzie baaia ruchu śroa asy, ale ie pozwala a wyciągięcie żaych wiosów co o ruchu puów ależących o ułau wzglęe śroa asy. z

9 Z wierzeia o ruchu śroa asy wyia, że siły wewęrze ie ogą zieić ruchu śroa asy ai jego położeia. Twierzeie o oosi się ie ylo o ułau puów aerialych, ale rówież o ciała szywego i bryły. Nałożywszy bowie a uła puów aerialych warue, aby oległość owolych puów ułau była ieziea, orzyujey oel ciała szywego.

10 7..4. Ruch ułau o zieej asie Do ej pory w rozważaiach oyczących pęu ułau aerialego załaaliśy, że całowia asa ułau ie ulega ziaie w czasie ruchu. Obecie zajiey się ruche ułau aerialego, órego asa bęzie się zieiać z upływe czasu poprzez ołączaie lub ołączaie eleeów asy. Taa ziaa asy ułau bęzie iała wpływ a jego ruch. Typowy przyłae ruchu ułau o zieej asie są raiey, z órych w czasie pracy silia asępuje wypływ gazów spaliowych, a y say ziejsza się asa raiey. Iy przyłae ogą być urzązeia o rasporu ciągłego ze zieiającą się w czasie ilością przeoszoego aeriału. W alszych rozważaiach ze zrozuiałych wzglęów ograiczyy się jeyie o wyprowazeia rówaia ruchu ciała o zieej asie. Do ułożeia rówaia ruchu wyorzysay zasaę pęu (7.48) zapisaą w posaci: ( v ) W. Przyjijy, ze śroe ułau aerialego o asie porusza się wzglęe ułau oiesieia z pręością v i w pewej chwili asa ułau zaczya się zieiać w sposób ciągły. Załaając, że w czasie o ułau orywa się (lub przyłącza o iego) asa eleeara z pręością bezwzglęą v b, oreśliy eleearą ziaę pęu. W chwili począowej pę ułau wyosi v, a w chwili + v v + v. ( )( ) b Eleearą ziaę pęu orzyay przez ojęcie zależości (i) o (h). ( v ) v [( )( v v) + v ] v v v + v+ v ( v v ) v. b v v Po poiięciu iloczyu różicze v jao ałej warości rugiego rzęu eleeara ziaa pęu ( v ) v v w, b b (g) (h) (i) (j)

11 gzie v w v b v i jes pręością asy wzglęe asy, czyli pręością wzglęą. Po uwzglęieiu wyrażeia (h) w rówaiu (e) orzyay rówaie ruchu ułau o zieej asie azywae rówaie Mieszczersiego: lub w posaci v R+ W, v v w + W (7.54) gzie R v w (7.55) i jes reacją cząsi eleearej. Jeżeli wysępująca we wzorze (7.55) pochoa / >, czyli asa ułau wzrasa z upływe czasu, o weor R a zwro pręości wzglęej vw i jes siłą haującą. Gy asa ułau aerialego bęzie aleć z upływe czasu, czyli / <, o weor R bęzie iał zwro przeciwy o pręości wzglęej v w, a więc bęzie siłą apęową. Jeżeli rówaie (7.54) zasosujey o baaia ruchu raiey i założyy, że weor pręości wzglęej v w wypływających z raiey gazów jes syczy o rajeorii lou, o weor R bęzie siłą ciągu raiey (rys. 7.5). R v w v W Rys Ruch ułau o zieej asie Przyła 7.8. Raiea o asie począowej porusza się w przesrzei ięzyplaearej z pręością począową v. Po włączeiu silia pręość wzglęa v w wypływających z raiey prouów spalaia paliwa jes sała, a jej weor jes syczy o rajeorii lou. Wyzaczyć pręość raiey po ziejszeiu się jej asy o oraz rówaie jej ruchu s s().

12 Rozwiązaie. Poieważ raiea porusza się w przesrzei ięzyplaearej, siły zewęrze a ią ziałające oża poiąć, zae W, a yaicze rówaie ruchu raiey a posawie (7.54) po uwzglęieiu (7.55) oża zapisać w posaci: v v v w lub, lub v v w. (a) v w Po scałowaiu ego rówaia w graicach wyzaczoych przez warui począowe, czyli la v () v i (), orzyujey: a po obliczeiu całe v v + v w l. v v v w, vco o (b) Poieważ weory pręości v i v w ziałają wzłuż jeej prosej i ają zwroy przeciwe (rys. 7.3), weorowy wzór (b) oża zapisać jey wzore salary: v v vwl. Powyższy wzór zosał po raz pierwszy wyprowazoy przez rosyjsiego uczoego polsiego pochozeia K. iołowsiego. Weorowy wzór (b) lub rówoważy u (c) przesawia prawo ziay pręości raiey. Ze wzorów ych wyia, że pręość raiey zależy o sosuu asy ońcowej raiey o jej asy począowej. Teraz wyzaczyy rówaie rogi raiey w fucji czasu. Posawiwszy o wzoru (c) s v, orzyujey rówaie różiczowe o posaci: s v v wl. Po scałowaiu ego rówaia w graicach o s o s i o o orzyujey rówaie ruchu raiey: (c)

13 s s + v v w l. () Aby obliczyć wysępującą w y rówaiu całę, ależy zać fucję ziay asy w czasie. Załóży, że w czasie pracy silia raiey jej asa aleje wyłaiczo weług wzoru: α e, gzie jes sały współczyiie. W y przypau l α le α Po posawieiu orzyaego wyiu o wzoru () orzyujey rówaie ruchu raiey w fucji czasu: s s + v + v wα. (e).