Kombinatoryka. Karolina Lewalska 23 marca 2017
|
|
- Bartłomiej Chmiel
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kombiatoryka Karolia Lewalska 23 marca 2017 Zadaie 1 Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? Ile istieje liczb sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 9 sposobów, poieważ liczba ie może zaczyać się od zera, każdą astępą wybieramy a 10 sposobów = Istieje liczb aturalych sześciocyfrowych Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 9 sposobówi, poieważ liczba ie może zaczyać się od zera, cyfrą setek jest 6, czyli tylko jeda możliwoć, a kwszystkie pozostałe wybieramy a 10 sposobów = Istieje liczb aturalych sześciocyfrowych spełiających poday waruek. Zadaie 2 Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych o ie powtarzających się cyfrach? Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych o ie powtarzających 1
2 się cyfrach takich, w których cyfra setek to 6? Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 9 możliwości, poieważ liczba ie może zaczyać się od zera, drugą cyfrę wybieramy rówież a 9 sposobów, poieważ ie możemy wybrać cyfry z pierwszego miejsca, ale możemy zero, trzecią cyfrę wybieramy a 8 sposobów, bo ie możemy wybrać dwóch które już zostały wybrae i każdą astępą aalogiczie = Istieje liczb aturalych sześciocyfrowych spełiających poday waruek Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 9 możliwości, poieważ liczba ie może zaczyać się od zera, drugą cyfrę wybieramy rówież a 9 sposobów, poieważ ie możemy wybrać cyfry z pierwszego miejsca, ale możemy zero, cyfra setek to 6, czyli tylko jeda możliwość, trzecią cyfrę wybieramy a 8 sposobów, bo ie możemy wybrać dwóch które już zostały wybrae i każdą astępą aalogiczie = Istieje liczb aturalych sześciocyfrowych spełiających podae waruki. Zadaie 3 Ile liczb trzycyfrowych zawiera 3 lub 7? 2
3 Najpierw liczymy ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych (aalogiczie jak w Zad = Następie liczymy ile jest liczb ie zawierających ai 3 ai 7. Pierwszą cyfrę wybieramy a 7 sposobów, bo be 0, 3 i 7, a pozostałe a 8, bo bez 3 i = = 452 Od wszystkich mozliwych liczb trzycyfrowych odejmujemy te co ie zawirają ai 3 ai 7. W te sposób otrzymujemy liczbę liczb zawierających 3 lub 7. Istieją 452 liczby trzycyfrowe zawierające 3 lub 7. Zadaie 4 Ile liczb czterocyfrowych zawiera 0, 3 lub 7? Najpierw liczymy ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych (aalogiczie jak w Zad = Następie liczymy ile jest liczb ie zawierających ai 0 ai 3 ai 7. Każdą liczbę wybieramy a 7 sposobów, bo bez 0, 3 i = = 6599 Od wszystkich mozliwych liczb trzycyfrowych odejmujemy te co ie zawirają ai 3 ai 7. W te sposób otrzymujemy liczbę liczb zawierających 3 lub 7. Istieje 6599 liczb czterocyfrowych zawierających 0, 3 lub 7. 3
4 Zadaie 5 Grupa zajomych przyszła do ciastkari, w której było osiem rodzajów ciastek. Każdy kupił jedo ciastko. Z ilu osób składa się grupa jeśli wiadomo, że mogło być 512 różych możliwości wyboru? -liczba osób }{{} Były 63 osoby. Każda osoba ma 8 możliwości wyboru ciastka. 8 = 512 = 3 Zadaie 6 W kawiari, do której przyszło siedem osób było dziesięć gatuków ciastek. Każdy kupił jedo ciastko, przy czym każdy kupił ciastko iego rodzaju. Na ile sposobów moża było kupić ciastka? Pierwsza osoba ma 10 możliwości wyboru ciastka, druga już tylko 9, bo ie może wybrać tego ciastka co wybrała pierwsza, każda astępa aalogiczie. Moża było kupić ciastka a 10*9*8*7*6*5*4 sposobów. Zadaie 7 Na ile różych sposobów moża ustawić 24 osoby w szereg tak, by a dae trzy osoby stały obok siebie b dae dwie osoby ie stały obok siebie c między daymi dwiema osobami stały dokładie 4 ie osoby? a = 3! Najpierw policzymy a ile sposobów 3 osoby mogą zająć 3 miejsca. Pierwsza ma do wyboru 3, druga 2, a trzecia już tylko 1 miejsce. 4
5 A B C }{{} 21 }{{} A B C 21 Następie musimy sprawdzić a ile sposobów możemy ustawić trójkę wewątrz szeregu. Pierwsza opcja- A stoi a pierwszym miejscu, ostatia opcja- A stoi a 22 miejscu. Stąd cała trójka może się ustawić wewątrz szeregu a 22 sposoby. 3! 22 21! = 3! 22! Musimy jeszcze ustawić pozostałe 21 osób. Jest możliwe a 21! sposóbów. b 24! Możliwości ustawieia w szereg 24 osób. 2! 23! Liczymy ile jest możliwości ustawieia 24 osób, tak aby dae dwie stały obok siebie (aalogiczie jak w pukcie a 24! (2! 23! Od wszystkich możliwości odejmujemy te które ie pasują. Zadaie 8 W grupie liczącej 6 chłopców i 4 dziewczęta rozlosowao 5 biletów do teatru. Na ile sposobów moża rozlosować bilety? Na ile sposobów moża je rozlosować tak, aby co ajmiej dwa przypadły dziewczętom? ( 10 5 ( ( ( 4 3 ( ( 4 4 ( 6 1 ( ( ( ( ( ( Ze wszystkich 10 osób wybieramy 5, które dostaą bilety. ( 10 = 10! 5 5! 5! = 252 Rozpatrujemy 3 opcje: bilety dostaja 2 dziewczyki i 3 chłopców lub 3 dziewczyki i 2 chłopców lub 4 dziewczyki i 1 chłopiec. = 4! 2! 2! 6! 3! 3! + 4! 3! 1! 6! 2! 4! + 4! 4! 0! 6! 1! 5! = 186 5
6 Zadaie 9 Zaa jest zabawka dla dzieci, składająca się z dwuastu sześcieych klocków z aklejoymi a ściakach fragmetami obrazków. Na ile sposobów moża ułożyć te klocki w prostokąt (trzy rzędy po cztery klocki w rzędzie? 12! 12 klocków umieszczamy w 12 miejscach a 12! sposobów Z każdego klocka wybieramy jedą ściakę, więc mamy po 6 możliwości Każdy klocek możemy obrócić a 4 sposoby. 12! Zadaie 10 W turieju szachowym bierze udział 26 zawodików. W pierwszym etapie każdy zawodik gra z każdym. Ile di trzeba przezaczyć a te etap, jeżeli każdego dia może zostać rozegraych 25 partii? ( 26 2 = ! = Aby policzyć liczbę partii, musimy policzyć ile par da się utworzyć z 26 2! 24! uczestików. Iymi słowy, sprawdzamy a ile sposobów z 26 osób możemy wybrać = Na te etap trzeba przezaczyć 13 di. Zadaie 11 Zebrało się 20 szachistów z kraju A i 15 i z kraju B. Mają do dyspozycji 9 szachowic. Na ile różych sposobów moża dobrać szachistów do rozegraia pierwszej partii, jeli przeciwicy muszą pochodzić z różych krajów? ( 20 9 Z kraju A wybieramy 9 zawodików. 6
7 ( 15 9 Z kraju B wybieramy 9 zawodików. 9! Każdego zawodika z wybraych 9 z kraju A łączymy z jedym z wybraych z kraju B. (Pierwszy z A ma do wyboru dziewiąciu z B, drugi ośmiu, itd Zadaie 12 ( 20 9 ( 15 9 Trzeba wytypować delegację zlożoą z trzech dziewcząt i dwóch chłopców. Ile takich delegacji moża utworzyć, jeli w klasie jest 18 dziewcząt i 12 chłopców? ( 18 3 ( 18 3 ( 12 2 Zadaie 13 9! Wybieramy 3 dziewczyki. Do dziewczyek dobieramy 2 chłopców. Ile jest fukcji ze zbioru {1, 2, 3} w zbiór {1, 2, 3, 4}, które a są różowartościowe b ie są różowartościowe a f(1 4 opcje f(2 3 opcje f(3 2 opcje Fukcja ma być różowartościowa, więc f(2 ie może przyjąć wartości f(1, a f(3 ie może przyjąć wartości f(2 i f( = 24 b Liczymy ile jest wszystkich możliwych fukcji i odejmujemy te różowartościowe (z podpuktu a. 7
8 Zadaie 14 Ile jest fukcji f ze zbioru {x, y, z} w zbiór {1,..., }? Ile sporód ich spełia waruek f(x = 3? Ile spełia waruek f(x f(z? = 3 f(x, f(y i f(z mają opcji. 1 = 2 f(x ma tylko jedą opcję, a f(y i f(z mają opcji. ( 1 = 2 ( 1 f(x, f(y mają opcji, a f(z ma -1 opcji, bo ie może mieć tej samej wartości co f(x. Zadaie 15 Ile jest fukcji f ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5} w zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Ile sporód ich spełia waruek f(2 f(4? Ile spełia waruek f(2 = f(4 = 3? = 7 5 Każdemu elemetowi z pierwszego zbioru możemy przyporządkować jede z 7 z drugiego zbioru = f(4 może przyjąć jedą z 6 wartości (bo ie może przyjąć tej samej co f(2, a wszystkie pozostałe mają po 7 możliwości = 7 3 f(2 i f(4 mają tylko jedą możliwość, a pozostałe po 7. Zadaie 16 Ile jest fukcji różowartościowych f ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5} w zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Ile sporód ich spełia waruek f(2 = 2? Ile spełia waruek f(2 f(2? f(1 ma 7 możliwości, f(2 ma 6 (ie może mieć tej samej co f(1, itd f(1 ma 7 możliwości, f(2=2, więc ma jedą możliwość, f(3 ma 5 (bo bez wartości f(1 i 2, itd. 8
9 Rozpatrujemy dwa przypadki f(1 2, więc ma 6 możliwości, f(2 ma 5, bo bez 2 i bez wartości f(1, f(3 też ma 5 możliwości, bo bez wartości f(1 i f(2, ale z możliwą 2, f(4 ma 4 możliwości, a f(5 ma 3 możliwości f(1=2, więc ma jedą możliwość, f(2 ma 6, bo bez 2, f(3 ma 5, itd. Zadaie 17 Na ile sposobów moża rozsadzić: a 3 osoby a 3-osobowej karuzeli; b 4 osoby a 4-osobowej karuzeli; c osób a -osobowej karuzeli? = 2160 UWAGA: dwa rozsadzeia uważamy za róże, jeżeli jeda osoba ma z co ajmiej jedej stroy iego sąsiada. a A C B 2 1 = 2! Osoba A siada a karuzeli jako pierwsza. Nie ma zaczeia a którym miejscu usiądzie, poieważ gdy karuzela się obróci to A zajdzie się w iym miejscu. Jako druga siada B, ma do wyboru dwa miesjca (za A albo przed A. C ma do wyboru już tylko jedo miejsce. 9
10 b = 3! Osoba A siada a karuzeli jako pierwsza. Nie ma zaczeia a którym miejscu usiądzie, poieważ gdy karuzela się obróci to A zajdzie się w iym miejscu. Jako druga siada B, ma do wyboru 3 miesjca. C ma do wyboru 2 miejsca, a D już tylko jedo. c ( 1! Miejsce pierwszej osoby ie ma zaczeia. Druga ma do wyboru wszystkie pozostałe, czyli -1, a każda astępa ma do wyboru o jedo miej. Zadaie 18 Na ile sposobów moża podzielić grupę 8-osobową a dwie grupy: 5-osobową i 3-osobową? Na ile sposobów moża podzielić tę grupę a dwie grupy 4- osobowe? (kolejość grup i uporządkowaie osób w grupie ie ma zaczeia ( ( ( ( = ( 8 5 = ( 8 4 Z ośmiu osób wybieramy 5 do pierwszej grupy i z pozostałych trzech wybieramy 3 do drugiej grupy. Z ośmiu osób wybieramy 4 do pierwszej grupy i z pozostałych trzech wybieramy 4 do drugiej grupy. Zauważmy jedak, że w te sposób policzylimy za dużo wyborów, bo gdy do jedej grupy weźmiemy osoby A, B, C i D, a do drugiej W, X, Y i Z, to to to jest te sam wybór, gdybyśmy do pierwszej grupy wzięli osby W, X, Y i Z, a do drugiej A, B, C i D. ( 8 4 2! Musimy więc policzyć ile razy powtórzylimy te wybory. Są dwie grupy więc mogą się oe ustawić w różych kolejociach a 2! sposobów. 10
11 Zadaie 19 Na ile sposobów moża 5 par sporód 10 osób? ( 10 2 ( 8 2 ( 6 2 ( 4 2 ( 2 2 5! Z 10 osób wybieramy 2, z pozostałych koleje dwie itd. Wszystko dzielimy przez liczbę możliwych ustawień pięciu par (aalogiczie jak w Zad.18 Zadaie 20 Komedat policji ma do dyspozycji 15 policjatów. Na ile sposobów może sporód tych policjatów utworzyć cztery patrole dwuosobowe? Na ile sposobów może utworzyć dwa patrole dwuosobowe i trzy trzyosobowe? ( 15 2 ( 13 2 ( 11 2 ( 9 2 4! ( 15 2 ( 13 2 ( 11 3 ( 8 3 ( 5 3 2! 3! Aalogiczie jak w poprzedich zadaiach, z 15 policjatów wybieramy 2, z pozostałych 2 itd. Wszystko dzielimy przez liczbę możliwych ustawień czterech par. Aalogiczie jak w poprzedich zadaiach, z 15 policjatów wybieramy 2, z pozostałych 2 lub 3 (tak aby utworzyć grupy podae w zadaiu. Wszystko dzielimy przez liczbę możliwych ustawień 2 par i 3 grup. Zadaie 21 Na ile sposobów moża podzeilić grupę 30-osobową a 7 grup: trzy 4-osobowe, dwie 3-osobowe, jedą 7-osobową oraz jedą 5-osobową? ( 30 4 ( 26 4 ( 22 4 ( 18 3 ( 15 3 ( 12 7 ( 5 5 3! 2! 1! 1! Aalogiczie jak w poprzedich zadaiach, z 30 osób wybieramy odpowiedie grupy i dzielimy przez liczbę ich możliwych ustawień. 11
12 Zadaie 22 Dzieci bawią się klockami a których wyrzeźbioe są litery. Układają klocki jede obok drugiego. Ile różych słów mogą utworzyć (wykorzystując wszystkie klocki, gdy układaka składa się z liter słowa: a MARCHEW b ANALFABETA c MATEMATYKA d KONSTANTYNOPOLITAŃCZYKIEWICZÓWNA a MARCHEW 7! W wyrazie MARCHEW mamy do dyspozycji 7 różych liter. Możemy je ustawić a 7! sposobów. b ( ANALFABETA ! W wyrazie ANALFABETA mamy 10 liter, z czego 4 to A. Wybieramy ajpierw 4 miejsca a A, a astępie ustawiamy pozostałe litery. c ( MATEMATYKA ( ( ! W wyrazie MATEMATYKA mamy 10 liter, z czego 3 to A, 2 to M i 2 to T. Wybieramy ajpierw 4 miejsca a A, 2 miejsca a M, 2 a T, a astępie ustawiamy pozostałe litery. d KONSTANTYNOPALITAŃCZYKIEWICZÓWNA 32 litery: 4xN, 3xA, 3xI, 3xO, 3xT, 2xC, 2xK, 2xW, 2xY, 2xZ, 1xE, 1xL, 1xŃ, 1xÓ, 1xP, 1xS ( 32 4 ( 28 3 Zadaie 23 ( 25 3 ( 22 3 ( 19 3 ( 16 2 ( 14 2 ( 12 2 ( 10 2 ( 8 6! 2 Wykazać, że wśród dowolych 12 liczb zajdują się dwie, których różica jest podziela przez 11. Liczymy reszty z dzieleia przez 11 wszystkich dwuastu liczb. Umieszczamy liczby w szufladkach w zależości od reszty. Mamy więc 11 szufladek. Z zasady szufladkowej, w jedej szufladce (s muszą zaleźć się co 12
13 ajmiej dwie liczby postaci a = 11k + s i b = 11t + s. a b = 11k + s (11t + s = 11k + 11t liczba podziela przez 11 Zadaie 24 Niech A będzie ustaloym dziesięcioelemetowym podzbiorem zbioru {1, 2, 3,..., 50}. Wykazać, że w zbiorze A istieją dwa róże pięcioelemetowe pozdbiory takie, że sumy elemetów każdego z ich są rówe. ( 10 5 Liczymy ile jest możliwych 5- elemetówych podzbiorów. l{x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 } = B A 15 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x Z tego wyika, że mamy 226 możliwych sum. Wszystkie podzbiory umieszczamy w szufladkach w zależoci od sumy elemetów. Skoro rozkładamy 252 podzbiory w 226 szufladkach, to w jedej szufladce muszą zaleźć się co ajmiej 2 podzbiory. Zadaie 25 Ile liczb całkowitych ze zbioru {1, 2, 3,..., 1000} dzieli się przez 7 lub 13? D 7 = 1000 = 142 Liczymy ile w tym zbiorze jest liczb 7 podzielych przez 7. D 13 = 1000 = 76 Liczymy ile jest liczb podzielych 13 D 7 D 13 = D 91 = Zadaie 26 przez 13. = 10 Niektóre liczby są podziele zarówo przez 9 i przez 13, zatem policzylimy je dwukrotie, więc musimy je odjąć. D 7 D 13 = = 208 Ile liczb całkowitych z przedziału od 0 do 349 ie jest podzielych ai przez 4 ai przez 7? 13
14 D 4 = = = 88 Liczymy ile w zbiorze {1, 2,..., 349} 4 jest liczb podzielych przez 4 i dodajemy 1, bo 0 też jest podziele przez 4. D 7 = = = 50 Liczymy ile w zbiorze {1, 2,..., 349} jest liczb podzielych przez 7 i dodajemy 1, bo 0 też jest podziele przez 7. D 4 D 7 = D 28 = = = 13 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 4 i 7. D 4 D 7 = = = 225 Od wszystkich 350 liczb ze zbioru odejmujemy te podziele porzez 4 lub 7. Zadaie 27 Ile liczb całkowitych z przedziału od 0 do 538 jest podzielych przez 5 lub 7 lub 9? D 5 = = 108 Liczymy ile w tym zbiorze jest liczb 5 podzielych przez 5. D 7 = = 77 Liczymy ile jest liczb podzielych 5 D 9 = przez = 60 Liczymy ile jest liczb podzielych przez = 16 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 5 i = 12 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 5 i = 9 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 7 i 9. Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 5, 7 i 9. D 5 D 7 = D 35 = D 5 D 9 = D 45 = D 7 D 9 = D 63 = D 5 D 7 D 9 = D 315 = = 2 D 5 D 7 D 9 = =
15 Zadaie 28 Ile liczb aturalych ze zbioru {21, 22, 23,..., 2000} jest podzielych przez 9, 11, 13 lub 15? 15
16 {21,..., 2000} = {1,..., 2000} {1,..., 20} Zauważmy, że poday zbiór ie zaczya się od 1, jest więc różicą dwóch zbiorów. D 9 = = = 220 Liczymy ile w tym zbiorze jest 9 9 liczb podzielych przez 9. D 11 = = = 180 Liczymy ile w tym zbiorze jest liczb podzielych przez 11. D 13 = = = 152 Liczymy ile w tym zbiorze jest liczb podzielych przez 13. D 15 = = = 132 Liczymy ile w tym zbiorze jest liczb podzielych przez 15. D 9 D 11 = D 99 = = 20 Liczymy ile jest liczb podziel D 9 D 13 = D 117 = D 9 D 15 = D 45 = D 11 D 13 = D 143 = D 11 D 15 = D 165 = D 13 D 15 = D 195 = D 9 D 11 D 13 = D 1287 = D 9 D 11 D 15 = D 495 = ych zarówo przez 9 i 11. = 17 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9 i 13. = 44 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9 i 15 (UWAGA 9 i 15 ie są względie pierwsze, więc bieżemy ajmiejszą wspólą wielokrotość. = 13 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 11 i 13. = 12 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 11 i 15. = 10 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 13 i 15. Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9, 11 i 13. = 4 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9, 11 i 15 (9 i 15 ie są względie pierwsze! = D 9 D 13 D 15 = D 585 = = 3 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9, 13 i D 11 D 13 D 15 = D 2145 = = Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 11, 13 i D 9 D 11 D 13 D 15 = D 6435 = 2000 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9, 11, 13 i = D 9 D 11 D 13 D 15 = ( ( =
17 Zadaie 29 Ile liczb aturalych ze zbioru {99, 100, 101,..., 3456} ie jest podzielych ai przez 6 ai przez 7 ai przez 9? {99,..., 3456} = {1,..., 3456} {1,..., 98} Zauważmy, że poday zbiór ie zaczya się od 1, jest więc różicą dwóch zbiorów. D 6 = = = 560 Liczymy ile w tym zbiorze jest 6 6 liczb podzielych przez 6. D 7 = = = 479 Liczymy ile w tym zbiorze jest 7 7 liczb podzielych przez 7. D 9 = = = 374 Liczymy ile w tym zbiorze jest 9 9 liczb podzielych przez 9. D 6 D 7 = D 42 = = 80 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6 i D 6 D 9 = D 18 = = 187 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6 i 9 (6 i ie są wględie pierwsze!. D 7 D 9 = D 63 = = 53 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 7 i D 6 D 7 D 9 = D 126 = = 27 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6, 7 i D 6 D 7 D 9 = ( = = 3358 Liczymy ile jest elemtów z zbiorze = 2238 Następie odejmujemy te które ie pasują. Zadaie 30 Ile liczb całkowitych z przedziału {444,..., 4444} ie jest podzielych ai przez 6 ai przez 8 ai przez 9? 17
18 {444,..., 4444} = {1,..., 4444} {1,..., 443} Zauważmy, że poday zbiór ie zaczya się od 1, jest więc różicą dwóch zbiorów. D 6 = = = 667 Liczymy ile w tym zbiorze jest 6 6 liczb podzielych przez 6. D 8 = = = 500 Liczymy ile w tym zbiorze jest 8 8 liczb podzielych przez 8. D 9 = = = 444 Liczymy ile w tym zbiorze jest 9 9 liczb podzielych przez 9. D 6 D 8 = D 24 = = 167 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6 i 8 (6 i ie są wzgledie pierwsze!. D 6 D 9 = D 18 = = 222 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6 i 9 (6 i 9 ie są wględie pierwsze!. D 8 D 9 = D 72 = = 55 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 7 i D 6 D 8 D 9 = D 72 = = 55 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6, 8 i D 6 D 8 D 9 = ( = = 4001 Liczymy ile jest elemtów z zbiorze = 2979 Następie odejmujemy te które ie pasują. Zadaie 31 W kolejce do kia stoi osób (kolejość ie zmieia się. Osoby te wpuszczae są do kia w k grupach, z których każda składa się z jedej lub więcej osób. Na ile sposobów moża utworzyć tych k grup? 18
19 ( 1 k 1 Będziemy rozdzielać grupy parierkami. Gdy w kolejce stoi osób, możemy postawić barierkę w -1 miejscach (przy dwóch osobach tylko w jedym: między pierwszą, a drugą; przy trzech osobach w dwóch miejscach: między pierwszą a drugą i między drugą a trzecią; itd.. Żeby podzielić kolejkę a k grup potrzebujemy k-1 barierek. Zatem z -1 możliwych miejsc między ludźmi wybieramy k-1 a barierki. Zadaie 32 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 9, gdzie x i jest dodatią liczbą całkowitą? ( ( = jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 6 grup jak w poprzedim zadaiu. Każda grupa odpowiada wartości x i. Zadaie 33 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 9, gdzie x i jest ieujemą liczbą całkowitą? y i = x i + 1 x i 0 y i = 1 Zwróćmy uwagę a to, że x i jest luczbą ieujemą, a ie dodatią. Zatem, gdy jakieś x i = 0 musimy postawić dwie barierki w tym samym miejscu. Nie możemy tak zrobić, więc zamieiamy ieujeme x i a dodatie y i x x x x x x = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 15 19
20 ( ( = 14 5 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedim zadaiu. 15 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 6 grup. Każda grupa odpowiada wartości y i. Liczby rozwiązań pierwszego i drugiego rówaia są rówe. Zadaie 34 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 31, gdzie x 1 1, x 2 2, x 3 3, x 4 4, x 5 5, x 6 6 to liczby całkowite? y 1 = x 1 y 2 = x 2 1 y 3 = x 3 2 y 4 = x 4 3 y 5 = x 5 4 y 6 = x 6 5 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x 1 + x x x x x 6 5 = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 16 ( ( = 16 5 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 16 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 6 grup. Każda grupa odpowiada wartości y i. Liczby rozwiązań pierwszego i drugiego rówaia są rówe. Zadaie 35 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 31, gdzie x 1 > 7, x 2 3, x 3 > 4, x 4 3, x 5 0, x 6 > 6 to liczby całkowite? 20
21 x 1 > 7 x 1 6 x 3 > 4 x 3 5 x 6 > 6 x 6 7 Zamieiamy wszystkie ierówości moce a słabe. y 1 = x y 2 = x 2 2 y 3 = x 3 4 y 4 = x y 5 = x y 6 = x 6 6 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x x x x x x 6 6 = 31 y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 31 ( ( = 30 5 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 31 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 6 grup. Zadaie 36 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 31, gdzie x 1 3, x 2 = 2, x 3 3, x 4 > 4, x 5 > 5, x 6 = 6 to liczby całkowite? x 4 > 4 x 4 5 x 5 > 5 x 5 4 Zamieiamy wszystkie ierówości moce a słabe. x 2 = 2 x 6 = 6 y 1 = x 1 2 y 3 = x y 4 = x 4 4 y 5 = x Podstawiamy zae wartości i w te sposób otrzymujemy rówaie z tylko 4 iewiadomymi. x x 3 + x 4 + x = 31 x 1 + x 3 + x 4 + x 5 = 31 8 = 23 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x x x x =
22 y 1 + y 3 + y 4 + y 5 = 26 ( ( = 25 3 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 26 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 4 grupy (według owego rówaia. Zadaie 37 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 = 17, gdzie x 1 4, x 2 = 3, x 3 > 2, x 4 = 1, x 5 5, x 6 > 1, x 7 > 2 to liczby całkowite? x 3 > 2 x 3 3 x 6 > 1 x 6 0 x 7 > 2 x 7 1 Zamieiamy wszystkie ierówości moce a słabe. x 2 = 3 x 4 = 1 y 1 = x 1 3 y 3 = x 3 2 y 5 = x 5 4 y 6 = x y 7 = x Podstawiamy zae wartości i w te sposób otrzymujemy rówaie z tylko 6 iewiadomymi. x x x 5 + x 6 + x 7 = 17 x 1 + x 3 + x 5 + x 6 + x 7 = 17 4 = 13 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x x x x x = 13 6 y 1 + y 3 + y 5 + y 6 + y 7 = 7 ( ( = 6 4 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 7 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 5 grup (według owego rówaia. 22
23 Zadaie 38 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 = 99, gdzie x 1 2, x 2 > 5, x 3 3, x 4 = 4, x 5 > 5, x 6 1, x 7 = 1 to liczby całkowite? x 2 > 5 x 2 4 x 5 > 5 x 5 6 x 4 = 4 x 7 = 1 Zamieiamy wszystkie ierówości moce a słabe. Podstawiamy zae wartości i w te sposób otrzymujemy rówaie z tylko 6 iewiadomymi. x 1 + x 2 + x x 5 + x 6 1 = 99 y 1 = x 1 1 y 2 = x y 3 = x 3 2 y 5 = x 5 5 y 6 = x x 1 + x 2 + x 3 + x 5 + x 6 = 99 3 = 96 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x x x x x = 96 1 y 1 + y 2 + y 3 + y 5 + y 6 = 95 ( ( = 94 4 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 95 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 5 grup (według owego rówaia. Zadaie 39 Stosując każdą z podaych metod, pokazać, że ( ( ( a Zastosować rozwiięcie wyrażeia (1 + x 2 23 ( 2 = ( 2
24 b Rozważyć wybór osób ze zbioru 2 osób, który składa się z mężczyz i kobiet. c Zliczyć ajkrótsze drogi w odpowiediej kracie. b Sposób 1: ( 2 Wybieramy osób z 2 osób. Sposób 2: Wybór osób liczymy w zależoci od liczby wybraych kobiet. ( ( ( 0( 1 1.(..( ( ( 0 + Rozpatrujemy wszystkie przypadki. Zaczyamy od sytuacji, w której wybrao 0 kobiet i mężczyz, dalej wybrao 1 kobietę i -1 mężczyz i tak dalej, aż do wyboru kobiet i 0 mężczyz. ( ( ( ( ( ( = ( ( ( ( ( ( = = ( 2 ( 2 ( 2 = Ostateczie: ( ( 2 = 2 ( ( ( Zadaie 40 Pokazać, że: a ( ( k = k b ( ( ( +1 k = k k 1 c k ( ( k = 1 k 1 d ( ( ( ( +k 1 k 1 = k 1 0 k 1 + k 1 ( 1 k ( k 24 ( 1 k 1 0
25 e ( ( ( ( = 2 1 f ( ( ( ( ( ( 0( k k k k ( k 0 = 2 k ( k a W lososwaiu brało udział osób. K z ich otrzyma agrody. Na ile sposobów moża wyłoić zwycięzcę? Sposób 1: ( k Sposób 2: ( k Ostateczie: ( ( k = k. Z osób wybieramy k osób, które otrzymają agrody. Z osób wybieramy -k osób, które ie otzrymają agrodód. b Na pierwszym roku matematyki jest studetów zwykłych i jede starosta. Studeci piszą kolokwium z logiki w dwóch turach. W pierwszej turze może pisać k studetów. Na ile sposobów moża wybrać studetów piszących wcześiej? Sposób 1: ( +1 k Z +1 studetów wybieramy k studetów, którzy będą pisali w pierwszej turze. Sposób 2: Wybór ( studetów w zależoci od obecości starosty. k Najpierw rozpatrujemy wybór k studetów bez starosty. ( k 1 Ostateczie: ( ( ( +1 k = k + k 1. Następie wybór k studetów ze starostą. Starosta a pewo został wybray, więc dobieramy k-1 zwykłych studetów. c Sporód osób wybieramy drużyę k osób, składającą się z jedego kapitaa i zawodików. Na ile sposobów możemy to zrobić? 25
26 Sposób ( 1: k k Z osób wybieramy k osób do drużyy. Z wybraych osób wybieramy jedą, która będzie kapitaem. Sposób 2: ( 1 k 1 Ostateczie: k ( ( k = 1 k 1. Najpierw z osób wybieramy jedą, która będzie kapitaem, a stępie z pozostałych wybieramy k-1 zawodików. f studetów uzyskało z ćwiczeń z aalizy 51 puktów potrzebych do zaliczeia przedmiotu. k z ich było ambitych i przyszło a egzami. Wszyscy otrzymali lepsze ocey- 4 albo 5. Na ile sposobów mogli zostać oceiei studeci? Sposób 1: Liczymy ( ( według oce 0 k ( 1 ( k 1.(..( k 0 Sposób 2: ( k Rozpatrujemy wszystkie możliwe przypadki. Po kolei: ikt ie dostał 5, wszyscy, którzy przyszli dostali 4; jeda osoba dostała 5, reszta która przyszła dostała 4; itd aż do sytuacji, w której wszyscy, którzy przyszli, dostali 5, ikt ie dostał 4. Wybieramy k ambitych studetów. 2 k Każdy z ich ma dwie możliwoci ocey. Ostateczie: ( ( ( ( ( ( ( 0( k k k 2 ( + + k k 0 = 2 k k 26
KOMBINATORYKA ZADANIA
KOMBINATORYKA ZADANIA Magdalea Rudź 25 marca 2017 1 Zadaie 1. a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 1.1
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości
Sceariusz lekcji: Kombiatoryka utrwaleie wiadomości 1 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: za pojęcia: permutacja, wariacja i kombiacja, zdarzeie losowe, prawdopodobieństwo, za iezbęde wzory. b) Umiejętości
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz:
Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C A B C Zadanie 1
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 1. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń
Kombiowaie o ieskończoości.. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch marzec 208 Szybkie przypomieie z wykładu Prezetacja multimediala do wykładu. Permutacje,
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie o sumach cyfr poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 1 Popatrzmy a astępujące trzy zadaia: Zadaie 1. Ile jest liczb dwudziestocyfrowych o sumie cyfr rówej 5? Zadaie. Oblicz, ile jest liczb dwudziestocyfrowych
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoPodstawowe cechy podzielności liczb.
Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się
Bardziej szczegółowo1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.
1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Lista 1 Zadaie1.Wyzaczwszystkieparywrelacjiρ X Y,gdzie (a)x={1,2,3},y={6,7,8}iρ={(x,y):x y}, (b)x=y= Niρ={(x,y):x 2 +y 2 10}. Zadaie 2. Które z własości, tz. zwrotość, symetrię, atysymetrię, przechodiość,
Bardziej szczegółowopitagorejskie, równanie Pella i jedno zadanie z XVI Olimpiady Matematycznej
pitagorejskie, rówaie Pella i jedo zadaie z XVI Olimpiady Matematyczej Wszyscy, którzy mieli do czyieia ze szkoła poadpodstawowa słyszeli iewatpliwie określeie twierdzeie Pitagorasa To twierdzeie było
Bardziej szczegółowoW wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch
Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi
Bardziej szczegółowoModuł 4. Granica funkcji, asymptoty
Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.
Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3
Bardziej szczegółowoTypy zadań kombinatorycznych:
Typy zadań kombinatorycznych: I. Ustawianie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności Przestawieniem nazywamy ustawienie elementów danego zbioru w pewnej kolejności. Liczba przestawień określa na
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ
ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie
Bardziej szczegółowoRównania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach
Rówaia liiowe rzędu drugiego stałyh współzyikah Rówaiem różizkowym zwyzajym liiowym drugiego rzędu azywamy rówaie postai p( t) y q( t) y r( t), (1) gdzie p( t), q( t), r( t ) są daymi fukjami Rówaie to,
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium
Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych dla iewidomych POZIOM PODSTAWOWY Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 4 6 7
Bardziej szczegółowoLiczby pierwsze o szczególnym. rozmieszczeniu cyfr:
Liczby pierwsze o szczególym rozmieszczeiu cyfr Adrzej Nowicki Wydział Matematyki i Iformatyki, Uiwersytetu M. Koperika w Toruiu. (aow @ mat.ui.toru.pl) 30 paździerika 1999 M. Szurek w książce [4] podaje
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoIV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce
IV Uiwersyteca Sobota Matematycza 4 wietia 208 Fucje tworzące w ombiatoryce Dla ciągu a 0 a a 2... defiiujemy fucję tworzącą: G(x) = a x = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + =0. Zajdź fucje tworzące dla poiższych
Bardziej szczegółowo