PORÓWNANIE WYNIKÓW BADAŃ FIZYCZNEGO UKŁADU FALOWNIKA PRĄDU Z MODELEM IDEALNYM

Transkrypt

1 POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 76 Electrical Egieerig 213 Norbert MIELCZAREK* PORÓWNANIE WYNIKÓW BADAŃ FIZYCZNEGO UKŁADU FALOWNIKA PRĄDU Z MODELEM IDEALNYM Celem pracy jest sprawdzeie zbieżości wyików symulacyjych i aalityczych uproszczoego modelu jedofazowego falowika prądu z wyikami otrzymaymi w testach laboratoryjych układu fizyczego. Dodatkowym celem badań jest sprawdzeie czy wyzaczoe aalityczie a grucie teorii chaosu determiistyczego pukty, w których układ traci swoją stabilość są zgode z tymi obserwowaymi w układzie fizyczym. W pracy wykoao obliczeia aalitycze polegające a wyzaczeiu puktów bifurkacji układu, prowadzące do iestabilego zachowaia chaotyczego. Następie przeprowadzoo szereg symulacji dla parametru kotrolego będącego wzmocieie regulatora. Celowo wybrao model idealy przekształtika a przeprowadzoe symulacje skofrotowao z testami falowika fizyczego. 1. WSTĘP W czasach, gdy komputery zajdują się a każdym biurku iżyiera projektującego systemy sterowaia, programy symulacyje stały się powszechym arzędziem. Wielu iżyierów korzysta z tych programów, aby symulować działaie swojego produktu od fazy kocepcyjej do testów końcowych. Należy mieć przy tym świadomość różych makametów i ograiczeń wyikających z symulacji umeryczej: błędów zaokrągleń, błędów wyikających z zaimplemetowaych algorytmów. Ze względu a fakt, że istieje taka grupa układów, które ze względu a swoją złożoość lub zmieość struktury w czasie wymagają aalizy, jako układy chaotycze [1, 2]. Takie układy wymagają dokładych symulacji, gdyż są wrażliwe a waruki początkowe. Zastosowaie do badań symulacyjych programu MATLAB wiązało się z bardzo długimi czasami obliczeń. Także ograiczoa, iewielka liczba zaimplemetowaych algorytmów umeryczych metod całkowaia rówań dyamiki oraz brak arzędzi umeryczych do wyzaczaia wielkości charakteryzujących metody dyamiki ieliiowej (p. przekrojów Poicaré, wykładików Lapuowa itp.), przyczyiły się do opracowaia własego programu symulacyjego [3]. Wymagaiami stawiaymi opracowaemu oprogramowaiu były: możliwość kotroli dokładości obliczeń umeryczych, biblioteka metod * Politechika Pozańska.

2 48 Norbert Mielczarek używaych do badaia układów chaotyczych oraz większa szybkość obliczeń. W pracy przedstawioo wyiki symulacji umeryczych jedofazowego falowika prądu o strukturze mostka. Porówaie to zestawioo z obliczaiami aalityczymi oraz z badaiem układu fizyczego (rys. 1). 2. MODEL FALOWNIKA PRĄDU Badaia przeprowadzoo dla astępujących parametrów układu: L 5 mh, R 5, f s 2,5 khz, U z 2V. Przyjęto za parametr kotroly wzmocieie K, które jest zmieiae w zakresie K 2. Symulacje komputerowe przeprowadzoo za pomocą opracowaego programu ChaoPhS. Celem badań jest ie tylko weryfikacja poprawości obliczeń opisaego programu, ale rówież samego modelu matematyczego falowika a także możliwości uchwyceia zjawisk chaotyczych w układzie fizyczym jedofazowego falowika z prądowym sprzężeiem zwrotym sterowaego metodą modulacji PWM [4]. Model matematyczy został zbudoway w oparciu o model trazystorów jako łączików idealych. Rówaie stau badaego układu ma postać: Rys. 1. Schemat badaego falowika o strukturze mostka di R 1 i E v (1) dt L L przy czym zmiea jest zmieą dyskretą o wartości zależej od stau przewodzących zaworów: 1 t t1; t2 v (2) 1 t T; t1 t 2; 1 T Przy tych założeiach jest to układ o zmieej strukturze, która zależy od stau poszczególych zaworów ( T1 T4 ). Struktura pierwsza występuje przy

3 Porówaie wyików badań fizyczego układu falowika prądu z modelem przewodzących trazystorach T i T 1 4 ( T 2 i T 3 są wyłączoe). Druga struktura występuje, gdy załączoe są zawory T 2 i T 3, podczas gdy T i T 1 4 są wyłączoe. Czasy załączeń zaworów wyzaczae są a początku okresu sygału taktującego z wzorów: t1.5t 1 d, t2.5t 1 d (3) gdzie d jest współczyikiem wypełieia impulsu PWM o okresie T, tz. d td T.Względy czas wypełieia d zawiera się w przedziale d ; 1. Zależy o od różicy pomiędzy prądem zadaym I ref a prądem wyjściowym i (t) i jest zdefiioway jako: d ref. 5 K I i (4) gdzie K jest wzmocieiem w pętli ujemego sprzężeia zwrotego, atomiast i wartością prądu w chwili przyjścia impulsu taktującego. 3. PREZENTACJA WYNIKÓW BADAŃ W tej części porówao wyiki badań uzyskaych symulacyjie i aalityczie oraz wyiki z testów laboratoryjych układu fizyczego. Jako parametr kotroly, mający wpływ a tryb pracy układu przyjęto wzmocieie w pętli sprzężeia zwrotego K. Zmieiając tę wartość moża wprowadzać układ w sta chaosu determiistyczego, bądź pracować w trybie stabilym. W pracy [5] przeprowadzoo za pomocą odwzorowaia Poicaré aalizę stabilości, która pokazuje jak zmieia się sta pracy układu podczas zmiay parametru kotrolego K w zakresie K 2..2 K=.7 K=.629 K=.4 K=.2 K= plaszczyza zespoloa Rys. 2. Wartości włase odwzorowaia opisującego model przekształtika Na rysuku 2 pokazao zachowaie wartości własych odwzorowaia Poicaré [5] wyzaczoego dla wzoru (1) a płaszczyźie zespoloej dla badaego układu, przy zwiększaiu parametru K regulatora typu P. Przy

4 5 Norbert Mielczarek zwiększaiu K wartość własa przesuwa się z prawej stroy a lewą i przy wartości K, 629 wychodzi poza okrąg jedostkowy tracąc stabilość. Powoduje to pierwszą bifurkację w układzie i podwaja okres przebiegu prądu wyjściowego. Jest to pierwszy etap przejścia układu do pracy chaotyczej. Następie pokazao wyiki umeryczego rozwiązaia rówaia (1) opisującego baday przekształtik, które otrzymao w programie ChaoPhS oraz porówao je z pomiarami układu fizyczego. Rysuek 3 przedstawia diagram bifurkacji dla prądu wyjściowego i (t) dla wzmocieia K jako parametr. Tak jak wykazała wcześiej przeprowadzoa aaliza stabilości pierwsza bifurkacja pojawia się przy wartości K,629. Koleja bifurkacja występuje przy wartości K, 81. Dla większych wartości K układ zaczya zachowywać się w sposób chaotyczy. a) I I 1 I 2 I,63,81 K b) I 3 2,8 2,6 2,4 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,8,6,4 I 1 I 2,67,9,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 K Rys. 3. Diagramy bifurkacji dla prądu i (t) przy zmiaie wzmocieia K: a) wyiki symulacji; b) diagram otrzymay z testów układu fizyczego

5 Porówaie wyików badań fizyczego układu falowika prądu z modelem Na podstawie diagramu 3a moża stwierdzić zgodość obliczeń umeryczych z aalizą stabilości, która wykazała pojawiaie się pierwszej bifurkacji, gdy wartość własa odwzorowaia wychodzi poza okrąg jedostkowy (rys. 2). Z i t z okresem rówym okresowi T diagramu wyika, że mierząc wartość prądu modulacji PWM, dla K, 63 otrzymao za każdym razem wartość I aiesioą a diagram jako jede pukt. Po przekroczeiu wartości K, 63 wyikiem pomiaru prądu z okresem próbkowaia T są a przemia dwie wartości I 1 i I 2 (dwa pukty a diagramie). Następa bifurkacja przy K, 81 prowadzi do chaosu, to zaczy, że a diagramie pojawia się więcej puktów o wartościach ieprzewidywalych. Na rysuku 3 pokazao także wyiki otrzymae dla przekształtika fizyczego. Pomimo uproszczoego modelu umeryczego (rys. 3a), a rys. 3b widać dużą zbieżość wyików. Kształt diagramu, wartości prądu i dojście układu do stau chaotyczego podczas zwiększaia wzmocieia K odpowiadają wyikom obliczeń umeryczych dla modelu uproszczoego. Maksymala różica wartości wzmocień K zazaczoych a diagramie, dla których w układzie astępują bifurkacje jest rzędu 1%. Rozpatrywao dwa przypadki wartości prądu zadaego przemieą. W pierwszym przypadku fazie przyjęto, że prąd zaday I ref wartość stałą i I ref 3A. Na rysuku 4 porówao atraktory otrzymae a przekroju Poicaré dla pracy chaotyczej dla K 1 uzyskae symulacyjie (kolor czary) i z serii pomiarowej układu fizyczego (kolor czerwoy). Moża zauważyć podobieństwo kształtów atraktorów, lecz widocze są także różice wartości puktów tworzących te figury. Symulacja kolor czary Układ fizyczy kolor szary Rys. 4. Przekrój Poicaré dla prądu przekształtika dla K = 1 dla I ref 3A

6 52 Norbert Mielczarek Drugim rozpatrywaym przypadkiem zadaego prądu I ref jest przebieg siusoidaly o częstotliwości 5 Hz i amplitudzie 3A. Układ działa wówczas jak falowik prądu. a) t [s],21,22,23,24,25,26,27,28,29,3,26,24,22 i(t),2,18,16,14,12,1,8,6,4 b), f[hz] t [s] f[hz] Rys. 5. Przebiegi prądu oraz widmo częstotliwości a wyjściu przekształtika dla modelu symulacyjego (a) i układu fizyczego (b) dla pracy okresowej K =,2 Przebiegi prądów wyjściowych dla pracy stabilej (rys. 5) i chaotyczej (rys. 6) dla układu symulacyjego (a) i fizyczego (b) przedstawioo a kolejych

7 Porówaie wyików badań fizyczego układu falowika prądu z modelem rysukach. Pod przebiegami zamieszczoo także widmo częstotliwości dla tych przypadków. Dla pracy stabilej widmo to jest bardziej płaskie i oprócz częstotliwości modulowaej siusoidy występuje tylko składowa związaa z modulacją PWM, atomiast dla pracy chaotyczej występuje więcej składowych częstotliwości. a) t [s] -3,11,12,13,14,15,16,17,18,19,2,28,26,24,22 i(t),2,18,16,14,12,1,8,6 b),4,2 1 2 f [Hz] 3 f[hz] t [s] f[hz] Rys. 6. Przebiegi prądu oraz widmo częstotliwości a wyjściu przekształtika dla modelu symulacyjego(a) i układu fizyczego (b) dla pracy chaotyczej K = 1

8 54 Norbert Mielczarek 4. PODSUMOWANIE W pracy celowo porówao symulacje przeprowadzoe dla modelu układu idealego z testami falowika fizyczego [5]. Pokazae wyiki pomiarowe są bardzo zbieże z wyikami uzyskaymi dla modelu z zaworem idealym. Zaletą zastosowaia uproszczoego modelu jest szybszy czas obliczeń symulacyjych, łatwość wyprowadzeia odwzorowaia Poicaré i możliwość aalityczego badaia stabilości. Różice w fukcjoowaiu układu rzeczywistego w stosuku do idealego ajbardziej widocze są w kształcie atraktory (rys. 4) oraz wartości K, dla której pojawia się bifurkacja w układzie. Wartość ta różi się tylko o 6, 35 procet. Niezgodości te wyikają ze staów przejściowych pojawiających się podczas załączaia oraz wyłączaia zaworów eergoelektroiczych. Podczas stabilej pracy układu rozbieżości modelu idealego i rzeczywistego zmiejszają się. Pomimo uproszczoego modelu układu struktura atraktora uzyskaego w pomiarach układu fizyczego ie została zmieioa. LITERATURA [1] Schuster H. G.: Chaos determiistyczy. Wprowadzeie. PWN, Warszawa [2] Ott E.: Chaos w układach dyamiczych. WNT, Warszawa [3] Porada R, Mielczarek N.: Modelig of Chaotic Systems i Program ChaoPhS. CMS: Kraków 25. [4] Tuia H. (red.): Układy eergoelektroicze. Obliczaie, modelowaie, projektowaie. WNT, Warszawa, [5] Mielczarek N., Porada R.: Cotrol of power electroics devices usig time delayed feedback. CMS: Kraków 27. COMPARISON OF RESULTS OF LABORATORY TESTS OF CURRENT INVERTER WITH RESULTS OF IDEAL MODEL The aim of this paper is to verify covergece of simulatios ad aalytical results of simplified model of 1-phase curret iverter with results obtaied i laboratory tests of physical iverter. The secodary goal was to check, if aalytical appoited o the base of theory o determiistic chaos poits, where system loses its stability comply with those observes i physical iverter. I paper were used aalytical results cosistig o appoitig poits of bifurcatio of system coductig to ustable chaotic behaviors. The it was performed various simulatios for cotrol parameter that was a cotrol gai. Itetioally it was chose ideal model of coverter ad coducted simulatios was compared with tests of physical iverter.