Elementy nieliniowe występujące w układach elektronicznych można podzielić na następujące grupy:

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z Nr kol. 303 WŁODZIMIERZ SZMELCER Katedra Elektroiki NUMERYCZNE WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW SZEREGU FOURIERA FUNKCJI OKREŚLONEJ PRZEZ WARTOŚCI DYSKRETNE Stres zczeie. Podao metodę umeryczego wyzaczaia amplitud harmoiczych dla układów z elemetami ieliiowymi. Do aalizy ie wymagaa jest zajomość postaci aalityczej opisu elemetu, a jedyie zbiór wartości dyskretych uzyskay a drodze pomiarów. Jako przykład obliczeiowy podao trazystorowy wzmaciacz rezoasowy klasy BC, 1. Metody opisu elemetów ieliiowych Elemety ieliiowe występujące w układach elektroiczych moża podzielić a astępujące grupy: - posiadające łatwo mierzale charakterystyki, których opis matematyczy jest prosty - p. termistor, - charakterystyki są łatwe do zmierzeia, lecz opis matematyczy jest mało przydaty z uwagi a przybliżoy charakter lub iewygodą do dalszych obliczeń postać - p, trazystor, - zae są charakterystyki uzyskae z pomiarów, a iemożliwe jest podaie opisu matematyczego zjawisk z uwagi a ich iezajomość - p, półprzewodiki amorficze. Tak więc do dalszych rozważań mamy do dyspozycji astępujące postacie opisu elemetów ieliiowych: - tabele pomiarowe i wykresy, - rówaia opisujące zjawiska fizykale, - wzory empirycze.

2 4 Włodzimierz Szmelcer 2. Formułowaie modelu elemetu ieliiowego Praca zajmuje się przypadkami, dla których iezaa jest wystarczająco dokłada postać aalitycza elemetu, a jedyą rzetelą iformacją są charakterystyki uzyskae a drodze pomiarowej.- Przykładem takim jest trazystor dla dużych sygałów. Oczywiście, moża poszukiwać fukcji aproksymującej charakterystyki pomiarowe, lecz w wypadku dużej dokładości aproksymacji postać aalitycza jest uciążliwa do dalszych obliczeń. Poadto iezbęde jest sformułowaie kryterium jakości przybliżeia. W praktyce, postępowaie takie wymaga procedury wielokrotego przybliżaia - co czyi je mało operatywym. Cechą rozpatrywaych układów będzie skończoe widmo częstotliwościowe sygałów Yiejściowych i wyjściowych - arzucoe w główej mierze przez obwody rezoasowe. Przykładem takim mogą być wzmaciacze rezoasowe klasy C, układy przemiay częstotliwości, demodulatory i detektory, modulatory oraz układy z ieliiową rcaktacją. Dodatkowe założeia wyikające wyłączie z chęci uproszczeia rozważań 3ą astępujące: - charakterystyka elemetu ieliiowego jest jedozacza i posiada tylko część rzeczywistą, - widmo sygałów wejściowych ograiczoe jest do jedej częstotliwości. W pracy przyjęto, że model elemetu ieliiowego tworzy zbiór wartości dyskretych uzyskaych z pomiarów. Dla fukcji -jedowymiarowej ma o postać ZJt(v4x) (1 ) Dystrybucja IIl(~), wprowadzoa przez Bracewella [1] określoa jest astępująco IllCtf) 2 } % - áx) - całkowite (2)

3 Numerycze wyzaczaie współczyików szeregu Fouriera... 5 gdzieś - dystrybucja Diraca w sesie określoym przez Tempie^ p2] d x - odstęp między kolejymi wartościami dyskretymi(przedział próbkowaia ). Wyrażeie (1) ujmuje zależość sygału a wyjściu elemetu ieliiowego od kolejych wartości dx sygału a wejściu. 3. Numerycze wyzaczaie współczyików szeregu Fouriera z wartości dyskretych fukcji Na wejście elemetu ieliiowego podamy sygał opisay fukcją y(t). Na wyjściu uzyskamy przebieg (3) Zamy tylko wartości dyskrete fukcji f(t), a więc postaó f(łr) = g[y(f)] (*) - całkowite Dalsze postępowaie wykorzystuje możliwość całkowitego określeia fukcji o uciętym widmie a podstawie zbioru rzędych odległych od siebie o -kroty przedział próbkowaia. Warukiem jest tutaj, by przedział próbkowaia spełiał zależość g (5) gdzie: padku częstotliwość ajwyższej harmoiczej sygału wejściowego. Dokładą aalizę próbkowaia podaje Lide [3j. Przyjmowaie bardzo małych przedziałów próbkowaia ie przyosi żadych korzyści, a w przy-.

4 6 Włodzimierz Szmelcer padku pomiarów obarczoych błędem może dodatkowo zmiejszyć dokładość obliczeń. Podobe zagadieie zostało omówioe przez autora [4J. Próbkowaie fukcji opisaej przez wyrażeie (3 ) zapisujemy \f(t) m ( ).y^f(rm (t - r) (6) Trasformata Pouriera fukcji f(t) pomożoej przez Hl(-p) ma pot ać _ f(t) iii(- ) ś ' r m (ur>p(u) (7 ) symbol * ozacza splot Poieważ ie zay postaci aalityczej fukcji f(t), ie możemy podać jej trasformaty P(u). Łatwo atomiast wyzaczyć f (u ) modelu dyskretego fukcji f(t) trasformatę v ^, -jatiu \ f(f)<i(t - r) & r \ f(r)e = p'(u) (8) Poadto fukcja f(t) jest fukcją okresową o okresie T, a model T T dyskrety wyzaczoy jest dla przedziału -, Trzeba więc uzupełić go dla wartości będących wielokrotością T. Operację tę zapisujemy astępująco (dla T =» 1) f(t) U I ( ) * m ( ) a rp'(u) III (u) (9) Przejście z przekształceia Pouriera do szeregu Pouriera polegać będzie a pozostawieiu w widmie tylko wartości dyskretych, dla puktów odpowiadających całkowitym wielokrotościom częstotliwości sygału a wejściu elemetu. By odtworzyć trasformatę P(u) sygału f(t), trzeba dokoać filtracji, co odpowiada odrzuceiu tej części widma, która odpowiada częstotliwościom większym iż f (5).

5 Numerycze wyzaczaie współczyików szeregu Fouriera... 7 Zapisujemy to astępująco P(u) - IH(u) H ( u ) (10) fi Fukcja filtracji Il(u) określoa jest astępująco 1 u < u g 0,5 u o U g (11) 0 u > U g gdzie: u - pukt widma odpowiadający częstotliwości graiczej f. g g Możliwe jest rówież podaie wartości pośredich fukcji f(1t) z wyrażeia F(u) 2 \ f(t) H I ( ) * \ sie - f(t)aic -E- (12) 4. Przykład obliczeiowy Dla trazystorowego wzmaciacza rezoasowego klasy BC ze wspólą bazą, iteresować as będzie zależość I_ = f(uot) dla ustaloego a- \j JAt» pięcia zasilaia, pur.ktu pracy i oporości obciążeia. Dla uproszczeia obliczeń posługiwać się będziemy we współrzędych uogólioych, którą przedstawia tablica. charakterystyką Tablica 16 t f(t) ,9 0, O O

6 8 Włodzimierz Szmelcer Wartości podae w tablicy przedstawiają zależość apięcia a oporości obciążeia, przy podaiu a wejście wzmaciacza sygału siusoidalego o określoej amplitudzie. Zależość ta została podaa z charakterystyk statyczych Obliczeie amplitudy pierwszej harmoiczej 1 Przyjmujemy: u - 1, t» j 1 ^ - f(2 * 1 ) c o s - 0,248» Obliczeie aęlitudy drugiej harmoiczej 1 Przyjmujemy: u - 2, T = g- ^ 4 J ] ^07 =0 5. Wioski Podae postępowaie odzacza się dużą prostotą. Pozwala oo, oprćoz uprzedio podaych zastosowań ułatwić stosowaie metody fukcji opisującej do aalizy układdw ieliiowych w teorii regulacji. Poadto, dużą zaletą jest łatwość określeia sposobu wyboru wartości dyskretych fukojl. Iym zastosowaiem może być syteza sygałów o określoym widmie częstotliwościowym.

7 Numerycze wyzaczaie współczyików szeregu Fouriera... 9 LITERATURA [ij BRACEWELL R. j The Fourier Tr ara forma ad Its Applicatios. HoGraw- Hill, Ic [2] TEMPIE G.: Thoories ad appllcatios of geerallsed fuotios. J. Lod. Math. Soo [3] UNDEN D.A.: A Discussio of Samplig Theorems. Proc. IRE. t. 47» s. 1219, czerwiec [4] SZMELCER W.j Praca dyplomowa s. 14» Katedra Elektroiki MHG^EHHOE OIIPEflEJIEHHE K03&M1UJIIHT03 Pfi^A ype fljifa ftyhk lf. RAHHCWi HEPE3 GEOP JU4GKPETHHK SHAUIHhK G o i e p K a K w e PaccuoTpeH uetojs, 'ihcjiehhoro opeaejieita awuihtya rapuohhuecjtiuc cocía- Bjiaouiiuc jia CMCTeu o HejiKHeflHNMH saeuehtamh. fljia upoaesehha ahaj H3a ae ayjiho 3aHae akajiaihiieckoii 4>opufci oimcahhh HejmeiiHoro 3JieaeTa, a tojjłko coboayhoctb flkcxpethiix 3HaveHitti oay^ehhux yteu H3epeHHü, flah pauep pacuéta TpaH3CTopHoro pesohahchoro ycaahteaa k u. EU.

8 10 Włodzimierz Szmelcer THE NUMERICAL CALCULATION OP FOURIER SERIES COEFFICIENTS FOR FUNCTION DEFINED BY IT SAHPHED VALUES Summary The umerical calculatio method of defiitio of the harmoic amplitudes for systems with oliear elemets is described. For the aalysis is ot eeded aalytical form of the oliear elemet descriptio but oly set of samples obtaied through meastomets. The resoace BC class trasistor amplifier is calculated for a example. Rękopis złożoo w Redakcji w diu 15.X.1970 r.