Analiza MES w sterowaniu drganiami belki za pomocą elementów piezoelektrycznych

Transkrypt

1 Symulacja w Badaiach i Rozwoju Vol. 3, No. 4/2012 Ja FREUNDLICH, Grzegorz HOFFMAN, Marek PIETRZAKOWSKI Politechika Warszawska, IPBM, ul. Narbutta 84, Warszawa jfr@simr.pw.edu.pl, ghoffma@simr.pw.edu.pl, mpi@simr.pw.edu.pl Aaliza MES w sterowaiu drgaiami belki za pomocą elemetów piezoelektryczych 1 Wstęp Przetworiki piezoelektrycze w formie rozłożoych elemetów zitegrowaych z układem podstawowym zalazły waże zastosowaie w aktywej redukcji drgań kostrukcji ciekościeych. W układach tych elemety piezoelektrycze stosowae są jako elemety pomiarowe (czujiki) oraz elemety wykoawcze (aktuatory). Działaie czujików związae jest z prostym efektem piezoelektryczym, który polega a wytworzeiu ładuku elektryczego pod wpływem odkształceń elemetu. W aktuatorach wykorzystyway jest efekt odwroty, w którym zewętrze pole elektrycze powoduje odkształceie elemetu i oddziaływaie siłowe. Dobierając odpowiedie sprzężeie zwrote miedzy czujikiem a aktuatorem, moża wpływać a zachowaie układu główego zgodie z przyjętym celem. Przeważie dobór elemetów sterowaia w takich układach dokoyway jest przez odpowiedie obliczeia aalitycze lub/oraz umerycze. Założoe modele rzeczywistych kostrukcji ciekościeych sterowaych elemetami piezoelektryczymi wymagają zastąpieia uproszczoych obliczeń metodami aalityczymi zastosowaiem zaawasowaej symulacji komputerowej. Jedą z metod symulacji działaia takich układów jest metoda elemetów skończoych (MES) [1,2,3]. Stosowaie tej metody wymaga stworzeia odpowiedich modeli obliczeiowych badaych układów. W modelu takim ależy uwzględić między iymi wpływ sposobu połączeia elemetów piezoelektryczych do sterowaej kostrukcji, a także pętli sprzężeia zwrotego między czujikiem a aktuatorem a dyamikę badaego układu [4,5]. Opracoway model MES powiie być odpowiedio wiarygody. W pracy przedstawioo aalizę aktywego tłumieia drgań belki dla dwóch modeli połączeia elemetów piezoelektryczych z belką. W pierwszym modelu założoo połączeie doskoałe (bez warstwy pośrediczącej), atomiast w drugim modelu uwzględioo warstwę kleju w połączeiu elemetów sterujących z belką. Opracowao modele MES badaego układu, przeprowadzoo weryfikację odpowiediego modelu MES z modelem aalityczym. Zbadao wpływ uwzględieia warstwy kleju a otrzymae wyiki symulacji drgań układu. 2 Opis badaego układu Rozważaa jest belka wysięgikowa o długości l, szerokości b i grubości g. Do belki przymocowae są piezoelektrycze elemety rozmieszczoe symetryczie a jej górej i dolej powierzchi, między współrzędymi x 1 i x 2. Staowią oe parę czujik-aktuator pracującą w pętli ze sprzężeiem zwrotym, proporcjoalym do prędkości zmiay apięcia w czujiku. Aalizowao drgaia swobode belki przy początkowym 185

2 Ja FREUNDLICH, Grzegorz HOFFMAN, Marek PIETRZAKOWSKI wychyleiu jej końca oraz drgaia wymuszoe harmoiczie zmieą siłą F(t) przyłożoą w odległości x f od zamocowaia belki. Schemat układu pokazay jest a rysuku 1. Wprowadzoo dwa sposoby modelowaia połączeia elemetów piezoelektryczych z belką, tz. połączeie doskoale sztywe oraz połączeie z uwzględieiem ciekiej warstwy kleju. Przedstawioo wpływ warstwy kleju a charakterystyki dyamicze układu. W pierwszym etapie aalizy wykoao obliczeia porówawcze metodą aalityczą oraz MES, zakładając ideale połączeie elemetów piezoelektryczych z belką. x f x 2 x 1 F(t) g l b Rys. 1. Schemat aalizowaej belki Fig. 1. The schema of the aalysed beam 3 Model aalityczy badaej belki W celu uzyskaia rówaia ruchu układu zastosowao model belki według teorii Beroulliego z uwzględieiem tłumieia wewętrzego opisaego modelem Kelvia- Voigta. W rozważaym przypadku rówaie drgań poprzeczych belki ma astępującą postać: w w w Eb Jb + µ ( ) 4 b + 4 b Ab = F x x 2 f x x t ρ δ, (1) t gdzie: w(x, t) fukcja ugięcia belki, E b moduł Youga materiału belki, J b momet bezwładości przekroju poprzeczego belki, µ b czas opóźieia (współczyik tłumieia materiałowego), ρ b gęstość materiału belki, A b pole powierzchi przekroju poprzeczego belki, 186

3 Aaliza MES w sterowaiu drgaiami belki za pomocą elemetów piezoelektryczych F siła wymuszająca o amplitudzie F 0 i częstości ω; F( t) = F0 exp( iωt), przy czym i ozacza jedostkę urojoą, x f współrzęda położeia siły wymuszającej, δ (x) fukcja delta Diraca. Na podstawie rówaia (1) wyzaczoo przepustowość widmową G wf ugięcia belki w zależości od siły wymuszającej: G wf w( x, ω) 1 W ( x f ) W ( x) ( x, ω ) = =, (2) 2 F( ω) ρ A = γ + b b 1 gdzie ω jest -tą częstością drgań własych: ω l 2 EbJb 2 2 = k, = W x dx ρb A ( ) b 0 γ ( ω ω iµ ω ω) Fukcje włase belki wysięgikowej o długości l mają postać W x = si k l + sih k l cosh k x cos k x + ( ) ( )( ) ( cosk l + cosh k l)( sih k x si k x) gdzie k są pierwiastkami rówaia charakterystyczego cos( k l)cosh( k l) = 1 o wartościach k l = 1,875, 4,694,7,855,, 0.5(2 1) π. W celu wyzaczeia przebiegu drgań swobodych moża posłużyć się impulsową fukcją przejścia, która jest całką Fouriera przepustowości widmowej G wf : w ) b 1 h ( ω) = Gwf ( x, ω)exp( iωt dω. (4) 2π W przypadku badaia drgań aktywie tłumioych ależy wyzaczyć przepustowość widmową i impulsową fukcję przejścia układu zamkiętego z pętlą sprzężeia zwrotego, uwzględiając rówaia oddziaływaia czujika i aktuatora zgodie z opisem zawartym w pracy [6]. 4 Model MES badaej belki Model MES belki zbudowao z bryłowych elemetów dwudziestowęzłowych (3D Solid). Model te składał się ze 104 elemetów skończoych typu C3D20 [7] oraz 881 węzłów. Czujik i aktuator zbudowao także z bryłowych elemetów dwudziestowęzłowych (3D Solid) o właściwościach piezoelektryczych, z apięciem jako dodatkowym stopieiem swobody w węzłach. Każdy z przetworików zbudoway jest z 48 elemetów skończoych typu C3D20E [7] oraz 419 węzłów. Warstwy kleju łączące przetworiki piezoelektrycze z belką zbudowao z elemetów spajających (Cohesive). Są to bryłowe elemety ośmiowęzłowe. W elemetach tych zakłada się tylko jedą składową odkształceia liiowego (wzdłuż grubości kleju) oraz dwie składowe odkształceia postaciowego (w płaszczyzach poprzeczych do warstwy kleju). Odkształceia liiowe oraz postaciowe w płaszczyźie kleju są zerowe. Odkształceia obliczae są a podstawie przemieszczeń węzłów elemetu. Każdą warstwę zamodelowao przy użyciu 192 elemetów COH3D8 [7] oraz 450 węzłów. (3) 187

4 Ja FREUNDLICH, Grzegorz HOFFMAN, Marek PIETRZAKOWSKI Współpracę poszczególych elemetów zapewioo przez ałożeie więzów zgodości odpowiedich przemieszczeń między łączoymi powierzchiami. Rys. 2. Model MES badaego układu Fig. 2. The FE model of the aalysed structure 5 Obliczeia porówawcze drgań belki metodą aalityczą oraz MES Obliczeia porówawcze wykoao, zakładając ideale połączeie przetworików piezoelektryczych z belką. Przyjęto długość belki l = 0,27 m, szerokość b = 0,025m, grubość g = 0,001 m. Moduł Youga materiału belki przyjęto rówy E b = 2, MPa, gęstość ρ b = 7800 kg/m 3, współczyik tłumieia materiałowego odpowiadający czasowi opóźieia µ b = 10-5 s. Założoo, że czujik piezoelektryczy ma kształt prostokątej płytki o wymiarach 50x25 mm i grubości 0,254 mm, atomiast aktuator różi się grubością, która wyosi 0,381 mm. Założoo astępujące odległości mocowaia elemetów piezoelektryczych: x 1 = 0,046 m, x 2 = 0,096 m (rys. 1). Przyjęto, że czujik i aktuator mają jedakowe astępujące właściwości materiałowe: moduł Youga E s = 6, MPa, gęstość ρ s = 5900 kg/m 3, przeikalość elektryczą 33 = 1, F/m, współczyik piezoelektryczy d 31 = 2, CN -1. Obliczeia porówawcze wykoao dla drgań swobodych układu bez sterowaia. Zakładając początkowe, statycze ugięcie końca belki siłą skupioą F = 0,152 N (x f =0,270 m), wyzaczoo przebieg w czasie drgań końca belki. Obliczeia metodą aalityczą przeprowadzoo a podstawie wzorów (2) i (4) przy pomocy pakietu obliczeń symboliczych MATHEMATICA. Obliczeia metodą MES wykoao przy użyciu sytemu Abaqus, stosując opisay wyżej model MES aalizowaego układu. Przebiegi swobodych drgań końca belki, obliczoe dwoma metodami, przedstawioo a rysuku 3. Krzywe odpowiadające drgaiom wspomiaego puktu obliczoe 188

5 Aaliza MES w sterowaiu drgaiami belki za pomocą elemetów piezoelektryczych różymi metodami praktyczie się pokrywają. Obliczeia te potwierdzają zgodość obu modeli, a zatem poprawość zbudowaego modelu MES badaego układu. Dalsze obliczeia dotyczące wpływu warstwy kleju a dyamikę układu przeprowadzoo, stosując metodę elemetów skończoych. Rys. 3. Przemieszczeie końca belki w drgaiach swobodych liczoe metodą aalityczą oraz MES Fig. 3. Displacemet of the beam tip calculated by aalytical ad FE methods 6 Obliczeia drgań swobodych badaego układu W pierwszym etapie wykoao obliczeia MES częstości drgań swobodych badaego układu. Zajomość tych wartości koiecza jest do obliczeń drgań wymuszoych. Obliczeia wykoao dla modeli bez i z uwzględieiem warstwy kleju, mocującej elemety piezoelektrycze do belki. Wyiki obliczeń pierwszych sześciu częstości drgań własych układu zamieszczoo w tabeli 1. Pomimo że różica względa między częstościami własymi obliczoymi dla układu bez i z uwzględieiem warstwy kleju ie przekracza 2,6 % (dla pierwszej częstości własej wyosi 1,9 %), to w obliczeiach drgań wymuszoych ależy tę różicę uwzględiać, aby porówaie skuteczości aktywego tłumieia dla obu przypadków było poprawe. Tab. 1. Częstości włase drgań aalizowaej belki Tab. 1. Natural frequecies of the aalysed beam Bez kleju ω [1/s] Z klejem ω [1/s] 1 82,13 80,59 1, ,45 458,08 0, , ,00 1, , ,40 2, , ,60 0, , ,10 1,653 Postać [r] Różica wzgl. [%] 189

6 Ja FREUNDLICH, Grzegorz HOFFMAN, Marek PIETRZAKOWSKI W astępym etapie badao przebieg drgań swobodych układu ze sprzężeiem zwrotym, w którym sygał sterujący jest proporcjoaly do prędkości zmia apięcia geerowaego przez czujik. W przypadku układu bez warstw kleju obliczeia przeprowadzoo, przyjmując astępujące wartości współczyika wzmocieia: k v = 0; 0,1; 0,3 s, atomiast gdy uwzględioo warstwy kleju k v = 0; 0,1; 0,3; 0,5 s. Wszystkie obliczeia dotyczyły przebiegu drgań puktu zajdującego się a swobodym końcu belki. Obliczoe przebiegi drgań dla różych współczyików wzmocieia k v pokazao a rysuku 4 w przypadku ieuwzględieia warstw kleju oraz a rysuku 5 w przypadku modelu z uwzględioymi warstwami kleju. Rys. 4. Przemieszczeie końca belki przy różych współczyikach wzmocieia model bez warstwy kleju Fig. 4. Displacemet of the beam tip calculated for various amplificatio factors the model without a glue layer Korzystając z wyzaczoych przebiegów drgań obserwowaego puktu belki, obliczoo logarytmicze dekremety tłumieia według wzoru 1 A δ = l, (4) m A + m gdzie A amplituda przemieszczeia w chwili t, A +m amplituda przemieszczeia odpowiadająca przesuięciu w czasie o m półokresów. Wartości dekremetów tłumieia zamieszczoo w tabeli 2. Porówując wyiki obliczeń dla obu modeli połączeia piezoelemetów z belką, widać, że uwzględieie warstwy kleju w połączeiu powoduje obiżeie skuteczości aktywego tłumieia tym większe, im większy jest współczyik wzmocieia k v w pętli sprzężeia zwrotego. Dla współczyika wzmocieia k v =0,1 s różica względa δ w wyosi 11,4%, atomiast dla k v =0,3 s różica ta wyosi 29,0 % (tab. 2). Stąd wiosek, że uwzględieie warstwy kleju łączącej piezoelemety z kostrukcją sterowaą może zaczie wpływać a wyiki obliczeń symulacyjych. 190

7 Aaliza MES w sterowaiu drgaiami belki za pomocą elemetów piezoelektryczych Rys. 5. Przemieszczeie końca belki przy różych współczyikach wzmocieia model z warstwą kleju Fig. 5. Displacemet of the beam tip calculated for various amplificatio factors the model with a glue layer Tab. 2. Logarytmiczy dekremet tłumieia Tab. 2. Logarithmic dampig decremet k v [s] Bez kleju δ Z klejem δ δ w [%] 0,0 0,022 0,022-0,1 0,033 0,029 11,4 0,3 0,052 0,037 29,0 0,5-0,056-7 Obliczeia drgań wymuszoych układu Obliczeia MES drgań wymuszoych układu z aktywym tłumieiem, tak jak poprzedio, wykoao dla modelu bez i z uwzględieiem warstwy kleju mocującej elemety piezoelektrycze do belki. Zbadao odpowiedź układu a wymuszeie siłą harmoiczą o amplitudzie F 0 = 0,01 N, przyłożoą w odległości x f = 106 mm (rys. 1). W przypadku ieuwzględieia warstwy kleju, obliczeia wykoao, przyjmując współczyiki wzmocieia k v = 0; 0,1; 0,3 s, atomiast w modelu z warstwami kleju przyjęto k v = 0; 0,1; 0,3; 0,5 s. Tak jak w obliczeiach drgań swobodych, zbadao przemieszczeia puktu a swobodym końcu belki. Drgaia tego puktu w modelu bez warstw kleju przy różych współczyikach wzmocieia k v pokazao a rysuku 6, a w modelu z uwzględioymi warstwami kleju a rysuku

8 Ja FREUNDLICH, Grzegorz HOFFMAN, Marek PIETRZAKOWSKI Rys. 6. Przemieszczeie końca belki przy różych współczyikach wzmocieia model bez warstwy kleju Fig. 6. Displacemet of the beam tip calculated for various amplificatio factors the model without a glue layer Rys. 7. Przemieszczeie końca belki przy różych współczyikach wzmocieia model z warstwą kleju Fig. 7. Displacemet of the beam tip calculated for various amplificatio factors the model with a glue layer Na podstawie uzyskaych przebiegów drgań (rys. 6 i 7), wyzaczoo amplitudy drgań s ustaloych przed i po włączeiu sterowaia. Ustaloe wartości amplitud A u przy włączoym sterowaiu zamieszczoo w tabeli 3. Widać, że amplitudy drgań aktywie tłumioych w przypadku modelu z warstwą kleju są większe iż aalogicze otrzymae bez jej uwzględieia. Dla współczyika k v = 0,1 s różica względa wyosi 21%, atomiast dla k v = 0,3 s różica ta osiąga 47%. 192

9 Aaliza MES w sterowaiu drgaiami belki za pomocą elemetów piezoelektryczych Tab. 3. Amplitudy drgań końca belki z włączoym sterowaiem Tab. 3. Vibratio amplitudes of the beam tip with the cotrol activated k v [s] Bez kleju s A u [mm] Z klejem s A u [mm] Różica wzgl. [%] 0,1 1,19 1, ,3 0,76 1, ,5-0,79 Zając wartości amplitud drgań ustaloych z włączoym i wyłączoym sterowaiem, obliczoo także wartości współczyika redukcji amplitudy κ : s Au Au κ = 100%, (5) Au gdzie: A u ustaloa amplituda drgań bez sterowaia. Porówując wartości współczyika κ zamieszczoe w tabeli 4, widać, że uwzględieie warstwy kleju w modelu obliczeiowym powoduje zmiejszeie współczyika κ o 38 % przy współczyiku wzmocieia k v = 0,1 s oraz o 29 % przy współczyiku k v = 0,3 s. Tab. 4. Obliczoy współczyik κ Tab. 4. Calculated κ coefficiet k v [s] Bez kleju κ [%] Z klejem κ [%] 0,1 32,3 20,1 0,3 59,8 42,5 0,5-56,4 8 Wioski Zbudowao model MES belki z aktywym tłumieiem elemetami piezoelektryczymi pracującymi w pętli zamkiętej. Wykazao zgodość przebiegów drgań swobodych belki wyzaczoych w obliczeiach aalityczych oraz MES. Wykoao symulację MES aktywego tłumieia drgań badaej belki, wykorzystując procedury użytkowika systemu ABAQUS. Zbadao wpływ warstwy kleju między belką a elemetami piezoelektryczymi a redukcję amplitud drgań belki. Wykazao obiżeie efektywości zastosowaego sterowaia w przypadku obliczeń z uwzględieiem warstwy kleju w połączeiu elemetów piezoelektryczych z belką. Literatura 1. She M. H., A ew modellig techique for piezoelectically actuated beams, Computers ad Structures, 50(3), 1995, Yi S.,Lig S. F., Yig M., Hilto H. H, Viso J. R., Fiite elemet formulatio for aisotropic coupled piezoelectro-hygro-thermo-viscoelasto-dyamic problems, It. Joural for Numerical Methods i Egieerig, 45, ,

10 Ja FREUNDLICH, Grzegorz HOFFMAN, Marek PIETRZAKOWSKI 3. Balamuruga V., Narayaa S., Active vibratio cotrol of smart shells usig distributed piezoelectric sesors ad actuators, Smart Materials ad Structures, 10, , Tridade M. A., Bejeddou A., Ohayo R., Piezoelectric active vibratio cotrol of damped sadwich beams, 246(4), , Su D., Tog L., Effect of debodig i active costraied layer dampig patches o hybrid cotrol of smart beams, Iteratioal Joural of Solids ad Structures 40, , Pietrzakowski M., Experimet o a catilever beam cotrol ad theoretical approximatio, J. of Theoretical ad Applied Mechaics, 40(3), pp , ABAQUS Olie Documetatio: Versio 6.11, Dassault Systèmes, 2011 Streszczeie W pracy przedstawioo symulacje MES swobodych i wymuszoych drgań belki, aktywie tłumioych układem elemetów piezoelektryczych pracujących z prędkościowym sprzężeiem zwrotym. Zbadao dwa modele układu model bez i z uwzględieiem warstwy kleju mocującej elemety piezoelektrycze do kostrukcji główej. W celu pokazaia efektywości tłumieia drgań obliczeia wykoao dla kilku wartości współczyika wzmocieia w pętli sprzężeia zwrotego. Symulacje wykazały widoczą różicę amplitud otrzymaych z obliczeń przy zastosowaiu obu modeli. Wartości amplitud drgań w przypadku modelu z uwzględieiem warstw kleju są zaczie miejsze iż te otrzymae przy użyciu modelu z doskoałym połączeiem czujika i aktuatora z belką. Słowa kluczowe: drgaia belki, aktywe tłumieie, elemety piezoelektrycze The fiite elemet aalysis i piezoelectric cotrol of beam vibratio Summary FE simulatios of the beam free ad forced vibratio suppressed by piezoelectric cotrol system with velocity feedback are accomplished. Two models of examied system are cosidered - the model without ad with takig accout of a glue layer coectig piezoelectric trasducers to the mai structure. Several cotrol gai values are used i calculatios to show active dampig effects. The calculatios demostrate oticeable differece betwee calculated amplitudes usig both models. Amplitude values obtaied usig the model with glue layers are oticeable lower tha that obtaied for the perfectly boded sesor/actuator patches. Keywords: beam vibratio, active dampig, piezoelectric elemets 194