IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW LEPKOSPRĘŻYSTEGO TŁUMIKA DRGAŃ

Transkrypt

1 DYNKON 008 XIII SYMPOZJUM DYNAMIKI KONSTRUKCJI Zeszyty Naukowe Politechiki Rzeszowskiej 58, Mechaika 74 Rzeszów-Bystre, 5-7 wrześia 008 IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW LEPKOSPRĘŻYSTEGO TŁUMIKA DRGAŃ Roma Lewadowski, Bartosz Chorążyczewski Politechika Pozańska, Istytut Kostrukcji Budowlaych ul. Piotrowo 5, Pozań Abstract: I the paper a ew method of parameters idetificatio of the three parameters fractioal, rheological Kelvi model is preseted. The parameters are estimated usig results obtaied from dyamical tests. The proposed method is simple ad effective. Results of example calculatio are preseted ad briefly discussed.. WPROWADZENIE We współczesym budowictwie obserwuje się stałe dążeie do projektowaia i budowaia kostrukcji coraz większych, budowaych z materiałów lekkich o podwyższoych parametrach wytrzymałościowych. Kostrukcje te są lekkie, wiotkie, mają miejsze możliwości tłumieia. Wszystko to sprawia, że są bardziej wrażliwe a obciążeia dyamicze. W wielu wypadkach zachodzi potrzeba redukcji przyspieszeń lub/i przemieszczeń dyamiczych tego typu kostrukcji. Jede ze sposobów redukcji drgań polega a wbudowaiu w kostrukcję pasywych tłumików drgań. Rolą pasywych tłumików drgań jest rozpraszaie (ajczęściej przez zamiaę a ciepło) części eergii przekazywaej kostrukcji przez działające a ią obciążeie zewętrze. Obszere omówieie możliwych do zastosowaia tłumików drgań moża zaleźć w pracach [, ]. Do ajczęściej stosowaych tłumików drgań zalicza się tłumiki lepkosprężyste. Tłumiki tego rodzaju dzieli się a lepkospreżyste tłumiki cieczowe i lepkosprężyste tłumiki wykoae z materiałów stałych. Przykładowy tłumik cieczowy pokazao a schematyczie Rys., a a Rys. pokazao schematyczie tłumik lepkosprężysty wykoay z materiałów stałych. Cylider tłumika cieczowego jest wypełioy żelem silikoowym cieczą o bardzo dużej lepkości. Typowy tłumik lepkosprężysty składa się z dwóch warstw materiału (o właściwościach lepkosprężystych) przymocowaych do płyt stalowych w sposób pokazay a Rys.. Warstwy lepkosprężyste są wykoae z kopolimerów (ajczęściej akrylowych) lub z substacji szklistych. Materiały lepkosprężyste rozpraszają eergię w trakcie odkształceń postaciowych powodowaych ruchem płyt stalowych względem siebie. Mają dobre właściwości tłumiące, mogą rozpraszać eergię także wtedy, gdy częstość siły wymuszającej jest mała. Istotą cechą materiałów lepkosprężystych stosowaych 03

2 Rysuek : Schemat tłumika cieczowego Rysuek : Schemat tłumika wykoaego z materiału lepkosprężystego do budowy omawiaych tłumików jest zależość ich właściwości lepkosprężystych od temperatury i częstości wymuszeia. Aaliza kostrukcji z wbudowaymi lepkosprężystymi tłumikami drgań wymaga dobrej zajomości właściwości dyamiczych tłumików. Właściwości te zależą w główej mierze od właściwości reologiczych materiału lepkospreżystego, z którego tłumik jest zbudoway oraz od kostrukcji tłumika w przypadku tłumika cieczowego. Mechaiczy model tłumika jest modelem reologiczym i składa się ze zbioru odpowiedio połączoych spręży i tłumików (patrz prace [3, 4]). W tym ujęciu do poprawego opisu zachowaia pojedyczego tłumika używa się układu rówań różiczkowych [4]. W istoty sposób zwiększa to wymiar zadaia dyamiczego. Poadto procedura wyzaczaia parametrów takiego modelu tłumika jest bardzo kłopotliwa (patrz [5, 6]). Ostatio do opisu właściwości tłumików lub materiałów lepkosprężystych zaczęto używać tzw. ułamkowych modeli reologiczych (the fractioal rheological models) oraz ułamkowego rachuku różiczkowego (the fractioal calculus). Ułamkowe modele reologicze rozważa się, między iymi, w pracach [7-0]. Istotą zaletą ułamkowych modeli reologiczych jest możliwość opisu dyamiczego zachowaia tłumika za pomocą jedego rówaia zawierającego małą liczbę parametrów. Ważym problemem związaym z zastosowaiem ułamkowych modeli reologiczych jest idetyfikacja parametrów modelu a podstawie daych doświadczalych. Proces idetyfikacji parametrów modelu jest tzw. problemem odwrotym, który iekiedy może być źle uwarukoway. Procedury idetyfikacji parametrów ułamkowych modeli reologiczych omawiae są w pracach [7, 8, 0-]. W iiejszej pracy przedstawia się ową metodę idetyfikacji parametrów trójparametrowego, ułamkowego modelu reologiczego, który może być użyty do opisu dyamiczego zachowaia tłumika lepkosprężystego. Zakłada się, że dyspouje się wyikami badań dyamiczych tłumika poddaego działaiu obciążeń harmoiczie zmieych. 04

3 W pracy używa się trzech symboli do opisu siły w tłumiku. Symbol u e ( ozacza wyiki pomiarów eksperymetalych, u ( t ) fukcję aalityczą aproksymującą wyiki eksperymetale, a symbol u ( rozwiązaie aalitycze rówaia ewolucji ułamkowego modelu reologiczego. Podobe ależy rozumieć ozaczeia q e (, q ( t ) i q (, które będą stosowae do opisu względych przemieszczeń tłumika.. OPIS UŁAMKOWEGO MODELU REOLOGICZNEGO W pracy rozpatruje się ułamkowy model reologiczy pokazay a Rys. 3. Pod względem budowy model różi się od modelu klasyczego tym, że zamiast elemetu tłumiącego mamy elemet typu sprigpot. Zachowaie elemetu sprigpot opisuje rówaie: u( = c Dt q( = c Dt q(, () gdzie c = c oraz, 0 <, to parametry elemetu, a symbol D t q( ozacza pochodą ułamkową rzędu ze względu a czas t. Szersze omówieie podstaw rachuku pochodych ułamkowych moża zaleźć w pracy [3]. Istieje kilka defiicji pochodych ułamkowych. Tutaj symbol D t q( ozacza pochodą ułamkową Riemaa- Liouville a z dolą graicą w (patrz [3]). Omawiay elemet może być rozumiay jako elemet o właściwościach pośredich między elemetem sprężystym, który otrzymamy podstawiając = 0 w (), a elemetem tłumiącym, który otrzymamy podstawiając =. Zachowaie modelu pokazaego a Rys. 3 opisują zależości: t u( = kq( + kτ D q(, () gdzie τ = c / k a symbolami k i c ozaczoo odpowiedio współczyik sztywości i współczyik tłumieia. Rysuek 3: Model reologiczy rozpatrywaego tłumika drgań 3. ROZWIAZANIE USTALONE RÓWNANIA EWOLUCJI ORAZ WARUNKI TERMODYNAMICZNEJ ZGODNOŚCI UŁAMKOWEGO MODELU REOLOGICZNEGO Dyamicze badaia tłumików drgań przeprowadza się w te sposób, że tłumik poddaway jest obciążeiu harmoiczie zmieemu, a po wytłumieiu drgań przejściowych mierzy się odpowiedź dyamiczą tłumika w staie ustaloym drgań. Badaia te przeprowadza się dla różych częstości wymuszeia λ. 05

4 Biorąc pod uwagę powyższe stwierdzeia zakłada się, że w staie ustaloym drgań zachowaie tłumika opisują fukcje: u( = u cos λt + u si λt, q( = q cos λt + q si λt. (3) c s Po podstawieiu zależości (3) do rówaia ewolucji () i uwzględieiu, że (patrz [3]) D t (cos λ = cos( λt + π / ), D t (si λ = si( λt + π / ), (4) dochodzi się do astępujących zależości: uc = ϕ qc + ϕqs, us ϕ qc + ϕqs [ + ( τλ) cos( / ) ] c s =, (5) ϕ = k π, ϕ = k( τλ) si( π / ). (6) W pracy [4] podao waruki jakie muszą być spełioe aby ułamkowy model reologiczy spełiał wymagaia wyikające z drugiego prawa termodyamiki. Waruki te sprowadzają się do wymagaia, aby zależe od częstości wymuszeia moduł sprężystości ' K ( λ) (ag. storage modulus) i moduł dyssypacji K " ( λ) (ag. loss modulus) miały wartości dodatie dla wszystkich możliwych częstości wymuszeia. Wielkości te są opisae zależościami: [ + ( τ λ) cos( π / ) ] π K = k, K = k( τ λ) si, (7) ' " Łatwo zauważyć, że K ( λ) 0 i K ( λ) 0 dla wszystkich λ o ile 0. Wobec tego rozpatryway model reologiczy spełiają waruki wyikające z drugiego prawa termodyamiki. 4. RÓWNANIA PĘTLI HISTEREZY Właściwości tłumiące tłumika są często charakteryzowae za pomocą pętli histerezy. Rówaie pętli histerezy rozpatrywaego modelu tłumika wyprowadzimy zakładając, że: q = q si λt. (8) ( 0 Biorąc pod uwagę, że (patrz [3], str. 3) λ + [ λ ( / ) ] D t q( = q0 si t π, (9) oraz podstawiając (8) i (9) do rówaia () otrzymuje się π [ + ( τλ) cos( π / ) ] q si λ t + k( τλ) q si cos t u ( = k 0 0 λ, (0) które po uwzględieiu (8) i tożsamości si ( π / ) + cos ( π / ) =, () 06

5 moża przepisać w postaci: u( k + k( τλ) q [ ( τλ) cos( π / ) ] q( q( + = 0 si( π / ) q 0. () Zależość () jest poszukiwaym rówaiem pętli histerezy ułamkowego modelu Kelvia. Możliwe jest zapisaie rówaia pętli histerezy w iej postaci. Teraz zakłada się, że przemieszczeia tłumika są opisae fukcją: co ozacza, że [ λ ( / ) ] q ( = q0 si t π, (3) D t q( = λ q0 si λ t. (4) Po podstawieiu zależości (4) do rówaia () moża apisać: [ si λ t cos( π / ) cos λ t si( / ) ] u( kτ Dt q( = k q0 π. (5) Po uwzględieiu () i (4) moża apisać drugą wersję rówaia pętli histerezy w postaci: [( τ λ) + cos( π / ) ] k ( ) ( ) u t D q t t λ D ( ) t q t + =. (6) k q0 si( π / ) λ q0 Na Rys. 4 pokazao, dla różych wartości parametru, wykresy pętli histerezy. Obliczeia wykoao przyjmując astępujące dae: k = 00.0 kn / m, c = Ns / m, λ =0,0 Hz. Widać, że właściwości tłumiące tłumika zmiejszają się wraz ze zmiejszaiem się wartości parametru. 5. IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW UŁAMKOWEGO MODELU REOLOGICZNEGO Załóżmy, że po przeprowadzeiu badań dyamiczych tłumika lepkosprężystego dyspoujemy przebiegami dyamiczymi sił u ei ( i przemieszczeń tłumika q ei ( otrzymaymi dla pewego zbioru częstości wymuszeia λ i, ( i =,,..., ). Propoowaa metoda idetyfikacja składa się z dwóch zasadiczych części. W pierwszej części procedury dokouje się aproksymacji wyików doświadczalych fukcjami trygoometryczymi opisującymi rozwiązaie ustaloe rówaia ewolucji (3). W drugiej części procedury idetyfikacyjej wyzaczoe zostaą parametry omawiaego modelu tłumika drgań. Dla częstości wymuszeia λ i wyiki eksperymetale są aproksymowae fukcjami: u ( = u cos λ t + u si λ t, q ( = q cos λ t + q si λ t. (7) i ci i si i ci i si i 07

6 Rysuek 4: Wykresy pętli histerezy dla różych wartości parametru Sposób wyzaczaia iezaych współczyików u ci, u si, q ci oraz q si zostaie omówioy a przykładzie fukcji aproksymującej pomierzoe zmiay siły w tłumiku. Do wyzaczeia wspomiaych współczyików stosuje się metodę ajmiejszych kwadratów. Fukcjoał błędu przyjęto o postaci: J = ( ui ( uci, u si ) ui ( uei ( ) dt. (8) t t W fukcjoale (8) symbole t i t ozaczają odpowiedio początek i koiec przedziału czasu, w którym wykoao pomiar siły w tłumiku. Z waruku stacjoarości fukcjoału (8) otrzymuje się astępujący układ rówań: I u + I u = I, I u + I u = I, (9) gdzie t cc ci sc si cu t t sc = I cc cos λ itdt, I ss = si λ itdt, I cs = I sc = si λ it cos λitdt, (0) t t t t ci I cu = uei ( cos λ itdt, I su = uei ( si λ itdt. () t Z układu rówań () wyzacza się poszukiwae współczyiki u ci i u si. Współczyiki q ci oraz q si wyzacza się w aalogiczy sposób. t t ss si t t su 08

7 W drugiej części omawiaej procedury idetyfikacyjej wyzacza się parametry rozpatrywaego tłumika drgań. Opracowao dwa sposoby idetyfikacji parametrów. Pierwszy sposób wykorzystuje wyprowadzoe powyżej rówaie pętli histerezy (). Jeżeli dla zadaej częstości wymuszeia λ i w chwili t = t q ( t ) = q > 0 i u t ) u 0 to z () otrzymuje astępującą zależość: ( = i > u k + π π ( τ λi ) cos = k + c i cos = λ q i. () Poadto, jeżeli w chwili t = t q ( t ) = 0 i u ( t ) = u i > 0 to z () otrzymuje się: π π u k( τ λi ) si = c λi si = q i. (3) Dla zadaej częstości wymuszeia λ i rówaia () i (3) tworzą ieliiowy układ dwóch rówań z trzema iewiadomymi: k, c, lub k, τ,. Zauważmy, że dla zadaej wartości układ te staje się układem liiowym ze względu a k i c. W trakcie badań tłumik jest wielokrotie obciążay siłowo lub kiematyczie z różymi częstościami, które to częstości ozaczać będziemy symbolem λ i, przy czym i =,,..,. W trakcie badań mierzy się przemieszczeia tłumika q ei ( i siły w tłumiku u ei (. Poadto po wykoaiu pierwszego etapu idetyfikacji łatwo moża ustalić, wyikające z badań eksperymetalych, wartości ui = u i, ui = u i oraz q = q. Teraz zakłada się, że wyikające z doświadczalie wartości u i, u i oraz q 0 i w przybliżeiu spełiają rówaia () i (3). Dla każdej częstości wymuszeia λ i ( i =,,.., ) moża wobec tego apisać: π u i ri = k + cλ π u i i cos 0, si = c λ i si 0 q. (4) q W powyższych rówaiach symbolami r i i s i ozaczoo reszty jakie otrzymuje się po podstawieiu daych eksperymetalych do rówań () i (3). Dla i =,,.., z (4) wyika adokreśloy układ ieliiowych rówań algebraiczych ze względu a parametry tłumika k, c i. Pseudo-rozwiązaiem tego układu rówań jest taki zbiór wartości k, c i który miimalizuje fukcjoał błędu o postaci: J ( k, c, ) = ( r i + s i ). (5) Załóżmy, że wartość parametru jest zadaa. Z waruków stacjoarości fukcjoału (6) ze względu a parametry k i c otrzymuje się astępujący układ rówań: 09

8 k k + c π u i λ i cos = q, u π i π i λ + = i cos c λi λi cos + si q q u π. (6) Optymalą wartość parametru wyzacza się metodą systematyczego przeszukiwaia zbioru wartości dopuszczalych. Wybiera się zbiór wartości ozaczoych symbolami j ( j =,,.., m ), gdzie j = j + Δ. Dla każdej wartości j z układu rówań (6) wyzacza się odpowiadające jej wartości k j i c j dwóch pozostałych parametrów. Te wartości j k j i c j dla których fukcjoał (5) ma wartość miimalą są poszukiwaym rozwiązaiem układu rówań (4) i rozwiązaiem omawiaego problemu idetyfikacji. Puktem wyjścia do opisu drugiego sposobu idetyfikacji parametrów tłumika drgań są rówaia (5). Przyjmijmy, że w rówaiach tych iewiadomymi są wielkości ozaczoe symbolami ϕ i ϕ. Po rozwiązaiu tego układu rówań otrzymuje się: q u + q u ϕ =, + q c c qc s s s q u q u ϕ =. (7) + q s c qc c s s Posługując się rezultatami pierwszego etapu procedury idetyfikacyjej moża, dla każdej częstości wymuszeia λ i, obliczyć ϕ i ϕ. Moża wobec tego apisać: qciuci + qsiu si ϕ i =, qsiuci qciusi ϕ i = qci + q, (8) si qci + qsi gdzie symbolami q ci, q si, u ci i u si ozaczoo wielkości uzyskae w trakcie pierwszego etapu idetyfikacji. Z drugiej stroy wielkości ϕ i ϕ dae są wzorami (6). Teraz zakłada się, że ϕi ϕ i a ϕ i ϕ i. Poieważ omawiae rówości będą spełioe tylko z pewym przybliżeiem to moża apisać (dla każdej częstości wymuszeia) astępujące rówaia: = + π r cos i k cλ i 0 ϕ i =, = π s si i c λ i 0 ϕ i =. (9) Podobie jak poprzedio rówaia (9) to ieliiowy, adokreśloy układ rówań algebraiczych ze względu a parametry k, c i. Pseudo-rozwiązaie tego układu ma być określoe w te sposób aby fukcjoał błędu (6) osiągał wartość miimalą. Jeżeli wartość parametru będzie zadaa to z waruków stacjoarości fukcjoału (60 ze względu a parametry k i c wyika astępujący układ rówań: 0

9 k k + c π λ i cos = ϕi, π i + c i = i π λ cos λ λ ϕi cos + ϕ i si π. (30) Optymalą wartość parametru określa się stosując opisaa wcześiej procedurę systematyczego przeszukiwaia zbioru rozwiązań dopuszczalych. Oczywiście moża zastosować w tym celu rówież ie procedury optymalizacyje. 6. WYNIKI PRZYKŁADOWEJ IDENTYFIKACJI PARAMETRÓW MODELU Przeprowadzoo procedurę idetyfikacyją posługując się sztuczie wygeerowaymi daymi doświadczalymi. Dla zbioru 9 częstości wymuszeia wyzaczoo, posługując się wzorami (5) i (6), wartości u ci, usi, q ci oraz q si. Tak otrzymae wartości omawiaych współczyików zostały losowo zaburzoe przy użyciu geeratora liczb losowych. Zaburzoe wartości u ci, u si, q ci i q si współczyików wyzaczao ze wzorów: u u ( + εγ ), u u ( + εγ ), q q ( + εγ ), q q ( + εγ ).(3) ci = ci si = si ci = ci si = si gdzie symbolami γ i ε ozaczoo odpowiedio liczbę losową o rozkładzie rówomierym wziętą z przedziału <, +> i poziom szumów. Następujące dae: = 9, λ = 0,5 Hz, λ =,0 Hz, λ 3 =,0 Hz, λ 4 = 4,0 Hz, λ 5 = 6,0 Hz, λ 6 = 8,0 Hz, λ 7 =0,0 Hz, λ 8 =,5 Hz, λ 9 =5,0 Hz, = 0. 6, k = 90,0 kn / m, c = 68,0 kns / m, u c = 0,0 kn, u s = 0,30 kn posłużyły do wyzaczaia sztuczych daych doświadczalych. Po zastosowaiu pierwszego sposobu idetyfikacji otrzymao astępujące wyiki: = 0.60, k = 90,469 kn / m, c = 67,786 kns / m. Po zastosowaiu drugiego sposobu idetyfikacji i wprowadzeiu szumów o itesywości ε = 0, 03 otrzymao: = 0.609, k = 9,5 kn / m i c = 64,984 kns / m.rezultaty uzyskae za pomocą obu procedur idetyfikacyjych pozostają w dobrej zgodości z wyikami dokładymi. Wykoao rówież obliczeia dla różych poziomów szumu wziętych z przedziału 0 0,05. Wyiki obliczeń przedstawioo a Rys. 5 i 6. Widać, że błędy wyzaczeia parametrów modelu są tego samego rzędu co poziom szumów reprezetujących błędy pomiarowe. Na Rys. 7 pokazao wykres fukcjoału błędu w zależości od wartości parametru. Widać, że ma o jedo maksimum. Wykoao rówież obliczeia posługując się daymi doświadczalymi dla tłumika zbudowaego z użyciem materiału VHB 4959 firmy 3M. Tłumik złożoy z dwóch warstw materiału lepkosprężystego, każda o grubości 3 mm zaprojektowao tak, aby pracował wyłączie a ściaie. Testy przeprowadzoo a staowisku MTS 80. W doświadczeiu wykorzystao astępujące czujiki: przetworik siły S9, przetworik przemieszczeń WA00 oraz przetworik przyspieszeń B (wszystkie produkcji Hottiger Baldwi Messtechik GmbH). Dae zbierao i przetwarzao za pomocą pakietu CATMAN firmy HBM. Parametry modelu

10 ułamkowego obliczoo posługując się metodą idetyfikacji. Otrzymao astępujące wartości parametrów: = 0, 3755, k = 603, N / m i c = 30333,9 Ns / m. Rezultaty obliczeń przedstawioo rówież a Rys. 8a i 8b, a których porówao ustaloe w trakcie pierwszego ' etapu idetyfikacji wartości modułów K ( λ) i K " ( λ) z wartościami wyzaczoymi ze wzorów (7). Na wspomiaych rysukach rezultaty etapu idetyfikacji ozaczoo rombami, a wartości wyikające ze wzorów (7) małymi kwadratami. Otrzymae rezultaty upoważiają do stwierdzeia, że zapropooway model adaje się do opisu dyamiczego zachowaia tłumików lepkosprężystych. 7 6 błąd względy [%] poziom szumów [%] Rysuek 5: Względe błędy parametru (romb), parametru k (krzyżyk) i parametru c (trójką w zależości od poziomu szumów pierwsza metoda idetyfikacji parametrów 6 5 błąd względy [%] poziom szumów [%] Rysuek 6: Względe błędy parametru (romb), parametru k (krzyżyk) i parametru c (trójką w zależości od poziomu szumów druga metoda idetyfikacji

11 fukcoał błędu 9.0E+ 8.0E+ 7.0E+ 6.0E+ 5.0E+ 4.0E+ 3.0E+.0E+.0E+ 0.0E+0 0% ułamkowy parametr alfa Rysuek 7: Zależość fukcjoału błędu od parametru 3% 5% a) b) Porówaie K',0E+06,0E+06 Porówaie K",0E+05,0E+04,0E+03,0E+0,0E+0,0E+00 K' dośw. K' model [rad/s],0e+05,0e+04,0e+03,0e+0,0e+0,0e+00 K" dośw. K" model [rad/s] Rysuek 8: Porówaie wartości modułu: a) K ( λ), b) K ( ). ' " λ 7. UWAGI KOŃCOWE W pracy omówioo metodę wyzaczaia parametrów ułamkowego, trójparametrowego modelu Kelvia, który może być wykorzystay jako model obliczeiowy tłumika lepkosprężystego. Opisaa metoda idetyfikacji parametrów modelu jest stosukowo prosta i efektywa pod względem umeryczym. Przedstawioe wyiki idetyfikacji parametrów wybraego materiału lepkosprężystego upoważiają do stwierdzeia, że zapropooway model adaje się do opisu dyamiczego zachowaia tłumików lepkosprężystych. Podziękowaia Praca powstała w ramach tematu DS -08/08. 3

12 LITERATURA [] C. Christopoulos, A. Filiatrault, Priciples of passive supplemetal dampig ad seismic isolatio, IUSS Press, Pavia, Italy, 006. [] R. Lewadowski, Dyamika kostrukcji budowlaych, Wydawictwo Politechiki Pozańskiej, Pozań, 006. [3] S. W. Park, Aalytical modelig of viscoelastic dampers for structural ad vibratio cotrol, Iteratioal Joural of Solids ad Structures, 00, 38, [4] A. Palmeri, F. Ricciardelli, A. De Luca, G. Muscolio, State space formulatio for liear viscoelastic dyamic systems with memory, Joural of Egieerig Mechaics, 003, 9, [5] S. Gerlach, A. Matzemiller, Compariso of umerical methods for idetificatio of viscoelastic lie spectra from static test data, Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig, 005, 63, [6] S.M.F.D Syed Mustapha, T. N. Philips, A dyamic oliear regressio method for the determiatio of the discrete relaxatio spectrum, Joural of Physcis D, 000, 33, 9 9. [7] A. Aprile, J. A. Iaudi, J. M. Kelly, Evolutioary Model of Viscoelastic Dampers for Structural Applicatios, Joural of Egieerig Mechaics, 997, [8] N. Makris, M. C. Costatiou, Fractioal-derivative Maxwell model for viscous dampers, Joural of Structural Egieerig, 99, 7, [9] R. L. Bagley, P. J. Torvik, Fractioal calculus a differet approach to the aalysis of viscoelastically damped structures, AIAA J., 989, 7, [0] A. Schmidt, L. Gaul, Fiite elemet formulatio of viscoelastic costitutive equatios usig fractioal time derivatives, Joural of Noliear Dyamics, 00, 9, [] T. Pritz, Aalysis of four-parameter fractioal derivative model of real solid materials, Joural of Soud ad Vibratio, 996, 95, [] T. Pritz, Five-parameter fractioal derivative model for polymeric dampig materials, Joural of Soud ad Vibratio, 003, 65, [3] I. Podluby, Fractioal Differetial equatios, Academic Press, 999. [4] A. Lio, Thermomechaically cosistet formulatios of the stadard liear solid usig fractioal derivatives, Arch. Mech., 00, 53,