h = 10 / N, a N jest zadaną liczbą naturalną.

Transkrypt

1 5. CAŁKOWAIE I RÓŻICZKOWAIE FUKCJI 5.. Przykład wprowadzający Dae są ukcje cos oraz F si dla [,] związae zależościami: F dξ ξ oraz oraz ciąg wartości argumetu : dla,..., gdzie df d /, a jest zadaą liczbą aturalą. Zadaie umeryczego całkowaia Sormułowaie: wyzaczyć przybliżoe wartości F a podstawie Ituicyje rozwiązaie: F dla,...,.,,...,. R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-

2 calkowaie metoda prostokatów dla F estymata F R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-

3 9 8 calkowaie metoda prostokatów dla F estymata F R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-3

4 9 8 calkowaie metoda prostokatów dla F estymata F R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-4

5 9 8 calkowaie metoda prostokatów dla zaburzeie dayc rówomiere w [-.,.] F estymata F R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-5

6 R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-6 Wpływ losowyc zaburzeń dayc a wyik moża przeaalizować, modelując te zaburzeia za pomocą idetyczyc, iezależyc zmieyc losowyc...,, o zerowej wartości oczekiwaej i skończoej wariacji σ. Wówczas: [ ] ~ F co ozacza, że wartość oczekiwaa składowej błędu całkowaia, spowodowaej losowym zaburzeiem dayc: ~ F wyosi: [ ] E E ~ E F a jej wariacja: [ ] E E ~ E σ F gdy.

7 Zadaie umeryczego różiczkowaia Sormułowaie: wyzaczyć przybliżoe wartości a podstawie Ituicyje rozwiązaie: F F dla,...,. F,,..., ; R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-7

8 9 8 róziczkowaie metoda Eulera dla F estymata róziczkowaie metoda Eulera dla zaburzeie dayc rówomiere w [-.,.] R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-8

9 9 8 róziczkowaie metoda Eulera dla F estymata róziczkowaie metoda Eulera dla zaburzeie dayc rówomiere w [-.,.] R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-9

10 9 8 róziczkowaie metoda Eulera dla F estymata róziczkowaie metoda Eulera dla zaburzeie dayc rówomiere w [-.,.] R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-

11 R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5- Wpływ losowyc zaburzeń dayc a wyik moża przeaalizować, modelując te zaburzeia za pomocą idetyczyc, iezależyc zmieyc losowyc...,, o zerowej wartości oczekiwaej i skończoej wariacji σ. Wówczas: [ ] [ ] F F F F ~ co ozacza, że wartość oczekiwaa składowej błędu różiczkowaia, spowodowaej losowym zaburzeiem dayc: F F ~ wyosi: E ~ E F F a jej wariacja: E ~ E F F σ gdy.

12 5.. Całkowaie ukcji jedej zmieej metody klasycze Ogóla carakterystyka metod umeryczego całkowaia Podstawowa metoda umeryczego całkowaia ukcji jedej zmieej w "dużym" przedziale [ B] A,, tz. wyzaczaia całki ozaczoej B A d polega a: dokładym przedstawieiu tej całki w postaci sumy całek w "małyc" podprzedziałac: B d d d... A A d przybliżoym wyzaczeiu wartości każdej z całek składowyc. Podstawową metodą umeryczego wyzaczaia całki w jedym z "małyc" podprzedziałów: b I d a jest całkowaie ukcji iterpolującej ukcję, przy czym węzły iterpolacji mogą a, b. zajdować się także a zewątrz przedziału [ ] B K R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-

13 Wyikająca stąd ormuła całkowaia umeryczego: Iˆ A azywa się kwadraturą liiową. Węzły kwadratury : a < <... < < b oraz jej współczyiki A są wybierae tak, aby błąd przybliżeia całki I : R był możliwie mały. Iˆ I Kwadratura jest zbieża, gdy: R jeśli tylko ciąg podziałów przedziału [ a, b] a podprzedziały [, ] sup{,..., } jest ormaly, tz.: Kwadratura Iˆ jest rzędu p, jeżeli jest dokłada dla wszystkic wielomiaów stopia iższego iż p, ale ie dla wszystkic wielomiaów stopia p. R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-3

14 Kwadratury ewtoa-cotesa Kwadratura ewtoa-cotesa ma postać: Iˆ b a L d b a B, gdzie L jest wielomiaem iterpolacyjym Lagrage'a: L, opartym a rówoodległyc węzłac: atomiast przedziale [ ] a dla,..., b a / B, są współczyikami wyikającymi ze scałkowaia tego wielomiau w a, b. R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-4

15 R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-5 Współczyikami B, wyzacza się w sposób astępujący: ξ ξ ξ ξ ξ d d d a a d b a,, ξ ξ ξ ξ d a b d,, A zatem: m l d B,,, ξ ξ dla...,, ; B, Błąd przybliżeia całki ˆ I I R ma postać: p p C R ξ, gdzie [ ] b a, ξ KWADRATURA l, m p C trapezów, / Simpsoa, 4, 6 4 /9 trzec ósmyc 3, 3, 3, 8 4 3/8 Mile'a 4 7, 3,, 3, /945 Bode'a 5 9, 75, 5, 5, 75, /96 Weddle'a 6 4, 6, 7, 7, 7, 6, /4

16 Przykład: Kwadratura trapezów : b a b a d b [ a ] metoda trapezow R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-6

17 R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-7 Zastosowaie kwadratury trapezów do "dużego przedziału" daje: B A B A K d d d d I... [ ] [ ] [ ] I B B A A K K ˆ... Jeżeli H B A K..., to: B H H A H d K k k B A Błąd obliczoej w te sposób całki jest sumą błędów estymat całek składowyc: 3 ˆ H I I K k k β ξ α gdzie [ ] A, α, ], [ k k k ξ i [ ] B K, β

18 Przykład: Całkę: I [ cos ] d wyzaczoo a podstawie wartości ukcji podcałkowej w puktac:, gdzie / 4, dla,..., 49 przy użyciu sześciu kwadratur ewtoa Cotesa. KWADRATURA Iˆ I trapezów -.88 Simpsoa -.4 trzec ósmyc -.7 Mile'a -.93 Bode'a Weddle'a R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-8

19 Obliczaie całek z osobliwościami i całek iewłaściwyc Metoda #: obciaie przedziału całkowaia. Przykład: Całkę I I e d przedstawić moża jako sumę trzec całek: e d I e d I e,, d 4 a astępie pomiąć I 6.5 : I I i, poieważ dla > 4 ukcja podcałkowa jest miejsza iż t 6 t t I e d e t dt < e dt e <.5 Poieważ I π , więc pomiięcie I i I powoduje błąd względy ok R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-9

20 Metoda #: zamiaa zmieyc w celu: trasormacji przedziału całkowaia p. [, ] [,], usuięcia osobliwości ukcji podcałkowej. Przykłady: Trasormacja γ v a dla osobliwości typu γ γ γ γ a, γ < : γ b ba d v v a dv, b > a a γ γ γ Trasormacja v b dla osobliwości typu b, γ < : γ b ba d v b v dv, b > a a γ Trasormacja v e dla całki w przedziale półieskończoym: l v d dv v γ γ γ R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-

21 Metoda #3: Całkowaie przez części: b b v d [ u v ] a v u a u d b a przy założeiu, że ukcje u i v mają ciągłe pocode w przedziale [ a, b]. Przykład: Całkowaie przez części: I.5 e d daje: I e d [ e ] e d e [ e ] 3 3 e d Fukcja podcałkowa w ostatiej całce jest ciągła w zerze. R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-

22 5.3. Całkowaie ukcji wielu zmieyc metody klasycze Całkowaie ukcji wielu zmieyc jest trudiejsze, poieważ: kostrukcja wielomiaów iterpolacyjyc jest możliwa tylko dla odpowiedio położoyc węzłów i odpowiedio regularyc obszarów całkowaia; akłady obliczeiowe rosą bardzo szybko z liczbą zmieyc. Jeżeli obszar całkowaia a a b b... M S R da się opisać układem ierówości: a M,,..., M M bm,,..., M to całkę wielokrotą moża przekształcić w całkę iterowaą: I S,..., M d d M b a d b a d b a,,,,...,..., M M,..., której umerycze wyzaczeie sprowadza się do M -krotego użycia kwadratur jedowymiarowyc. M d M R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-

23 Przykład: umerycze całkowaie ukcji, w obszarze koła jedostkowego: { }, S R oprzeć moża a przedstawieiu całki w postaci: g, g, d I d,,..., Rozwiązaie umerycze ma postać: Iˆ gdzie ˆ, A gˆ, g jest wyzaczoą umeryczie estymatą M ˆ, Am,,,, m m g przy czym A i m g :, A, są współczyikami odpowiedic kwadratur ewtoa-cotesa. R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-3

24 5.4. Całkowaie ukcji metodą Mote Carlo Metoda Mote Carlo służy do estymacja wartości oczekiwaej zmieej losowej y : μ y y py y dy gdzie p y y jest ukcji gęstości prawdopodobieństwa.g.p zmieej losowej y. Jeżeli { y,..., } jest ciągiem iezależyc realizacji zmieej losowej y, to: ˆμ y y jest ieobciążoą estymatą wartości oczekiwaej Jeżeli y, gdzie [ ] T μ y.... M, przy czym p jest o.g.p., to: μ y y py y dy p d oraz ˆ μ y R M gdzie { } {,..., } jest ciągiem iezależyc realizacji wektora losowego. R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-4

25 Zależość powyższa wykorzystać moża do przybliżoego obliczaia całki: I d S M gdzie S R, zakładając, że wektor losowy ma rozkład rówomiery w pewym ipersześciaie H S, tz.: c > dla H p, gdzie c dla H d Wówczas bowiem: I S p d c a zatem: I H c S gdzie Ω jest ukcją przyależości zbioru S H, zdeiiowaą wzorem: dla S S dla S H R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-5

26 Przykład: Wyzaczaie objętości stożka o parametrac r i : V z z y d y dy dz π, 3 r z r { [ ]}, y, z < z y, y <,, H z R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-6

27 Wyzaczaie objetosci stozka, r i, metoda Mote Carlo.3 estymata odiesieie.. V R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-7

28 R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" Różiczkowaie ukcji jedej zmieej Metody umeryczego różiczkowaia stosowae są do: estymacji gradietu w zadaiac optymalizacji, i w zadaiac rozwiązywaia rówań ieliiowyc, aalizy wrażliwości układów izyczyc, aalizy dokładości systemów pomiarowyc, dyamiczego odtwarzaia wielkości mierzoej. Metody oparte a ilorazac różicowyc Z deiicji pocodej: lim, wyika przybliżeie pocodej za pomocą: różicy progresywej: D F,, różicy wsteczej: D B,, różicy cetralej: D C,,

29 R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-9 Błąd umeryczego różiczkowaia jest sumą: błędu obcięcia błędu aproksymacji pocodej, błędu realizacja ormuły umeryczego różiczkowaia w arytmetyce zmieopozycyjej. Dla różicy progresywej: Błąd obcięcia ma wartość: D F /,, ξ ξ, ], [ ξ Błąd realizacja zmieopozycyjej moża oszacować astępująco: [ ],, ~ d o F D ε ε d o ε ε d o ε ε

30 δ EPS EPS ~ [ D F,, ] eps eps eps EPS gdzie: ε, ε są względymi błędami obliczaia i, zaś o i d są względymi błędami zaokrągleia wyików odejmowaia i dzieleia: ε, ε EPS oraz, eps Całkowity błąd przybliżeia o d za pomocą D F,, moża oszacować astępująco: ~ D F,, ξ EPS Prawa stroa tego oszacowaia osiąga miimum dla: ˆ F EPS, gdzie ξ ξ Optymaly krok różiczkowaia dla pozostałyc ormuł różicowyc wyosi: dla różicy wsteczej: ˆ ˆ ; dla różicy cetralej: ˆ 3 C 3 EPS. ξ B F R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-3

31 Przykład: Wyzaczyć umeryczie pocodą ukcji: dla metodą różicy progresywej i różicy cetralej dla różyc wartości kroku. Oszacować 6 optymalą wartość kroku, przyjmując eps.. Wartości dokłade ukcji i jej pocodyc są astępujące: / , /.7678, / Zakładając, że wszystkie jedyki łączie z reprezetowae są dokładie, zmieopozycyją realizację obliczeń zapisać moża jako: ~ d o p [ p ] s gdzie: p błąd zaokrągleia wyiku potęgowaia, s błąd sumowaia v, błąd pierwiastkowaia v v, d błąd dzieleia v 3 v ; błąd odejmowaia v 4 v3, p błąd potęgowaia v 4. R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-3

32 Wyika stąd astępujące oszacowaie błędu: δ [ ] 3. 5eps EPS oraz optymale długości kroku różiczkowaia: ~ ˆ 8. i F ˆ C wartości estymaty wartości błędu estymaty różica progresywa liia zieloa i różica cetrala czerwoe plusy R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-3

33 Różiczkowaie ormuł iterpolacyjyc i aproksymacyjyc obarczoe są zaczym błędem przypadkowym p. błędem pomiaru, to bezpośredie użycie ormuł różicowyc może prowadzić do zaczego wzmocieia wpływu tego błędu a wyik różiczkowaia. Jeżeli wartości Liiowe metody iterpolacji i aproksymacji prowadzą do estymaty ukcji postaci: ˆ ; p gdzie [ p... ] T K k p k ϕ { k,,..., K} k k ϕ jest ciągiem zayc liiowo iezależyc ukcji, zaś p jest wektorem parametrów uzyskayc w wyiku iterpolacji lub aproksymacji. p K Dla wielu układów { } ϕ pocoda ˆ ; p k jest dobrym przybliżeiem, tz.: K p k ϕ k k R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-33

34 Przykład: Wyzaczyć umeryczie pocodą ukcji Γ dla [, 6]. Jest to ukcja szybko rosąca dla [, 6] dla argumetów całkowityc Γ!, l. którą źle się przybliża wielomiaem; łatwiej przybliża się ukcję [ ] Poieważ: d d l [ ] pocodą ukcji moża wyzaczyć wg wzoru: ˆ gˆ gdzie ĝ jest wielomiaem iterpolującym [ ] l. R. Z. Morawski: "Wstęp do metod umeryczyc Całkowaie i różiczkowaie" 5-34