x y

Transkrypt

1 Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka jest wartość wielomianu P(), który interpoluje zbiór węzłów i =[- 4 5 ], y i =[ ] w punkcie =. Wykorzystaj metodę Newtona. Rozwiązanie: P()= 6,588. Znajdź wartość wielomianu interpolującego metodą Newtona w punkcie =, dla zbioru węzłów: - 0 y Znajdź współczynniki wielomianu interpolującego P() korzystając z metody Lagrange a dla węzłów interpolacji i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. 5. Wyznacz współczynniki interpolacji trygonometrycznej dla węzłów interpolacji t i =[ ], y i =[ 5 7 -]. 6. Wyznacz błąd numeryczny obliczenia wyrażenia (a+b )/ b a) wykorzystując arytmetykę błędów (epsilonów), b) współczynnik uwarunkowania bazujący na pochodnej cząstkowej funkcji dla maszyny liczącej w układzie dziesiętnym (B=0), z liczbą cyfr znaczących t=4, oraz przy założeniu, że dane wejściowe są określone z błędem i są równe: a=5+-0.0, b= (Podpowiedź: układ dziesiętny i liczbę cyfr znaczących wykorzystaj do określenia precyzji maszynowej epsilon czyli błędu zaokrągleń.) 7. Oszacuj błąd względny (w procentach) rozwiązania układu równań

2 = + 8 =7 jeżeli wartości prawych stron są określone z dokładnością równą ±5%. Załóż, że współczynniki, -, - i 8 z lewej strony są dokładne! (Podpowiedź: wykorzystaj współczynnik uwarunkowania macierzy z lewej strony.) 8. Zakładając, że przybliżamy wartość funkcji f()= - w punkcie = za pomocą rozwinięcia w szereg Taylora wokół punktu 0 = I wykorzystujemy do tego tylko dwa pierwsze wyrazy szeregu: f a ( ) = f ( 0 ) + ( 0 ) f ( 0 )! oblicz dokładną wartość błędu obcięcia tego przybliżenia. (Podpowiedź: oblicz pozostałe wyrazy szeregu Taylora dopóki pochodna f() nie będzie równa zero.) 9. Korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora oblicz przybliżoną wartość funkcji f()=cos() w punkcie i+ =π / bazując na wartości funkcji I jej pochodnych w i =0, z dokładnością R. (Podpowiedź: R oznacza resztę pozostałą po obcięciu szeregu po pierwszej pochodnej). 0. Oblicz współczynniki wielomianu aproksymującego a +b+c poniższe dane metodą najmniejszych kwadratów: i =[ ], y i =[0 4 ].. Oblicz współczynniki wielomianu aproksymującego a +c poniższe dane metodą najmniejszych kwadratów: i =[ ], y i =[0 4 ].. Użyj regresji liniowej do przybliżenia węzłów aproksymacji (metoda najmniejszych kwadratów dla funkcji liniowej f()=a+b): i =[ ], y i =[0 4 ].. Korzystając z eliminacji Gaussa z wyborem element głównego a) w wierszach znajdź rozwiązanie układu równań liniowych A=b , b =, 4 5 9

3 4. Wyznacz macierz odwrotną metodą Gaussa-Jordana z wyborem element głównego 0 6 8, Solution : Korzystając z metody a) eliminacji Gaussa (Podpowiedź: współczynniki użyte do eliminacji tworzą macierz L, a macierz będąca wynikiem eliminacji staje się macierzą U.) b) Doolittle a wyznacz dekompozycję macierzy Napisz macierz permutacji P, która zamieni wiersze i 4 w macierzy o rozmiarach Napisz macierz permutacji P, która zamieni kolumny i 4 w macierzy o rozmiarach Zakładając, że mamy dwie macierze będące wynikiem dekompozycji LU (na egzaminie zostaną podane) wyznacz rozwiązanie układu równań, którego prawa strona jest równa (będzie podane). 9. Wykorzystując dekompozycję LU (metoda Crouta) oblicz wartość wyznacznika macierzy: Wykorzystując dekompozycję LU (metoda Doolitle a) rozwiąż układ równań: = + 8 =7

4 . Wykorzystując dekompozycję LU (eliminacja Gaussa) rozwiąż układ równań: = + 8 =7. Oblicz wartość normy macierzy (L, L, L ): Oblicz DOKŁADNĄ wartość funkcji f()= - w punkcie = korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora wokół punktu 0 =. (Podpowiedź: użyj tylu wyrazów rozwinięcia w szereg dopóki pochodna nie osiągnie wartości zero). 4. Użyj metody iteracji prostej (punktu stacjonarnego) do wyznaczenia pierwiastka równania (miejsca zerowego): f ( ) = sin ( ) Jako punktu startowego użyj 0 =0.5 I wykonuj iteracje dopóki nie zostanie spełniony warunek ε 0.0%. a 5. Sprawdź zbieżność metody iteracji prostej dla funkcji f ) = sin( ) przedziale (0,). 6. Oblicz wartość współczynnika uwarunkowania dla układu równań: = = = ( w 7. Wyznacz trzy kolejne (lub do osiągnięcia maksymalnego błędu) wartości i kolejnych iteracji algorytmu wyznaczania zera funkcji (znajdowania pierwiastków) f() lub wektora funkcji f i () przy wykorzystaniu metody: dla funkcji a) Newtona-Raphsona (-go rzędu) b) Regula Falsi c) Metoda Biskecji d) Metoda siecznych e) Metoda iteracji prostej (punktu stacjonarnego)

5 f ( ) = ( sin( )) cos( ), 0 lub f( ) = f( ) = + = startując z podanego na zaliczeniu punktu. (Wykonuj obliczenia dopóki nie zostanie spełniony warunek: ε 0.0%.) a 8. Rozwiąż układ równań nieliniowych z dwiema niewiadomymi startując z punktu =,5 i =,5: + + = 0 = 57 wykorzystując metodę: a) Newtona-Raphsona (-go rzędu) b) Regula Falsi c) Metoda Bisekcji d) Metoda siecznych e) Metoda iteracji-prostej (Uwaga, na zaliczeniu podany zostanie przedział lub punkt startowy stosownie dla danej metody, lub zostanie ściśle określony algorytm jego wyznaczenia.) 9. Znajdź dwa pierwsze przybliżenia rozwiązania układu równań wykorzystując metodę Newtona-Raphsona dla układów równań: + = = 0 startując w punkcie =, i =,. (Podpowiedź: wykorzystaj Jakobian macierzy!) 0. Oblicz całkę metodą Newton-Cotes dla n=,, sin( ) e + d.. Korzystając ze złożonej formuły Simpsona dla n=7 przedziałów oblicz wartość całki:

6 I= 0 ( n) Oblicz przybliżoną wartość błędu (E a ). (Podpowiedź: zastąp f ( ε ) średnią wartością n-tej pochodnej nad przedziałem całkowania. Z uwagi na charakterystyczną wartość liczby przedziałów może zajść konieczność zsumowania dwóch różnych błędów dla metody / i /8). Calculate the quadrature based on the Gauss rules for n=,,4 for the integration sin( ) e + d.. Oblicz trzy kolejne punkty, wartości funkcji y() opisanej równaniem różniczkowym zwyczajnym dy d = cos( y) + używając metodę: a) Eulera dla 0 =0.5, y 0 =, h=0.4 b) zmodyfikowaną metodę Eulera c) Heuna d) Heuna w strategii predykator-korektor z trzema korektami w każdej iteracji e) klasyczną Runge-Kutta czwartego rzędu f) metody Adamsa-Bashfortha dla q=, I punktów starowych opartych na metodzie Eulera (czyli metodą Eulera trzeba obliczyć pierwsze lub dwa kroki, a następnie dopiero kontynuować obliczenia metodą Adamsa- Bashfortha). g) punktu środkowego 4. Wykorzystując metodę Heuna oblicz wartość rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego dla chwili czasowej t = stosując krok h=, I warunek startowy f(0) =. (Wartość stałej a = ). df( =5 a f( dt 5. Wykorzystując metodę Heuna (na egzaminie może pojawić się Euler, predyktor-korektor, itp.) znajdź rozwiązanie układu równań różniczkowych

7 zwyczajnych dla chwili czasowej t = stosując krok h=, warunek startowy: f (0) = and f (0) = 0 i wartość stałej E =. df( E = f( + f( dt df( = f( dt (Podpowiedź: proszę zwrócić uwagę, że rozwiązywaliśmy to samo równanie na wykładzie stosując tylko inne oznaczenia ) 6. Oblicz wartość interpolacji Lagrange w punkcie =, dla poniższego zbioru węzłów interpolacji: - 0 y Oblicz macierz odwrotną stosując metodę Gaussa-Jordana (Podpowiedź! Zamień odpowiednie wiersze, aby wyeliminować problem dzielenia przez zero.) [ ] 8. Używając metody Eulera znajdź 4 kolejne iteracje rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego (lub układu równań) zakładając krok całkowania równy oraz warunek startowy f(0) =. f df d = (Uwaga! Na egzaminie może pojawić się układ równań!) 9. Znajdź rozwiązanie poniższego układu równań stosując metodę gaussa- Jordana: [ 0 4] [ []= 8 9]

8 40. Wykorzystując metodę Heuna w strategii predyktor-korektor z dwiema korekcjami w każdej iteracji znajdź wartość rozwiązania układu równań w punkcie = zakładając krok całkowania h= i warunek startowy f() =. (+ ) df d = 4. Wyprowadź wzór na metodę Eulera korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora. Podaj wyrażenie na błąd obcięcia występujący w tej metodzie. 4. Od czego zależy dokładność metody Eulera. (Podpowiedź: cztery czynniki!) 4. Stosując metodę najmniejszych kwadratów znajdź współczynniki wielomianu aproksymującego stopnia n = o postaci, dla następujących węzłów aproksymacji: - 0 y Rozwiąż układ równań metodą Gaussa oraz wykorzystując wsteczne podstawienie: [ 0 ] [ 7 ] 9 [ ]= 45. Wyznaczyć dwa kroki rozwiązania układu równań metodą Jacobiego dla następującego układu równań: [ 8 0 9] = [ 4] 46. Obliczyć dwie iteracje metody potęgowej wyznaczania dominującej wartości własnej w zastosowaniu do wyznaczenia promienia spektralnego macierzy wynikającej z zastosowania metody Jacobiego. Jako wektor startowy należy przyjąć = [ ]. 47. Zbuduj układ równań przy zastosowaniu schematu niejawnego dla zagadnienia brzegowego opisanego... (mogą zdarzyć sie następujące przypadki: równanie stacjonarne, niestacjonarne z pierwsza lub druga pochodna po czasie, z warunkami Dirichleta lub Neumanna, jedno lub dwuwymiarowe). 48. Wyznacz równanie w określonym punkcie obszaru (może zdarzyć się na brzegu lub wewnątrz obszaru) przy zastosowaniu schematu jawnego (tutaj mamy jedno równanie, ponieważ operatory różniczkowe występują po prawej stronie równania).

9 49. Oblicz wartość funkcji u(,y) w punkcie wskazanym przez prowadzącego dla określonego zadania brzegowego stacjonarnego przy zastosowaniu warunków brzegowych Neumanna lub Dirichleta. (Bedzie podany obszar, współrzędne, gęstość, równanie, warunki brzegowe. Zadanie polega tutaj na zbudowaniu równania, lub układu równań i jego rozwiązaniu.) 50. Wyprowadź wzór na iloraz różnicowy pierwszego stopnia lewostronny, centralny, prawostronny korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora. 5. Wyprowadź wzór różnicowy (podstaw ilorazy różnicowe) dla zadanego przez prowadzącego równania. (Chodzi o przedstawienie równania ciągłego za pomocą odpowiednich ilorazów różnicowych.) 5. Uzasadnij, dlaczego iloraz różnicowy centralny jest dokładniejszy od ilorazu różnicowego prawostronnego. (Wskazówka; wykorzystaj rozwinięcie w szereg Taylora) 5. Oblicz wartość rozwinięcia funkcji YYY (tutaj będzie podana funkcja) w szereg Taylora wokół punktu 0 (zostanie podany) w punkcie (zostanie podany). 54. Od czego zależy dokładność metody różnic skończonych. 55. Napisz skrypt w Matlabie obliczający całkę zadanej funkcji metodą prostokątów (na egzaminie może być trapezów, Simpsona) wykorzystując podział przedziału całkowania (a,b) na 0 odcinków. 56. Napisz skrypt w Matlabie formułujący układ równań macierzy dla zagadnienia brzegowego jednowymiarowego z warunkami Dirichleta na granicy u0= i u=0, oraz na przykład równaniem różniczkowym: du d du k dt 57. Napisz skrypt w Matlabie wyznaczający przebieg danego na egzaminie rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego w zadanym zakresie t0 do tk, przy zastosowaniu określonego kroku całkowania h. (Dla uproszczenia będzie to pojedyncze równanie różniczkowe, Anie układ równań). = 0