Tomasz Zdanowicz Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolse emnarum Nauowe 4 6 wrześna 007 w Torunu Kaedra Eonomer as Unwerse Mołaja Koperna w Torunu Tomasz Zdanowcz Unwerse Mołaja Koperna w Torunu Porównane własnośc prognoscznch model dwulnowch model ARMA z błędam GARCH o nelascznch rozładach.wsęp Modele ARMA należą do las eonomer dnamcznej. Jedna ch zasosowane w opse szeregów fnansowch jes dość ogranczone ze względu na własnośc generowanch przez ne procesów. Lnowe modele ne pozwalają na ops sośnośc grubch ogonów lepouroz cz efeu ARCH jae obserwuje sę na rnach fnansowch. Zjawsa e wsępują częso ze względu na nelnowe zachowana uczesnów rnu. W pracach doczącch ego problemu sosuje sę różne nelnowe alernawne modele ae ja (E)TAR NLAR TUR cz L (Granger Terasra 99 Osńsa Wows 997). Modele dwulnowe (L) powsał w podobnm orese ja modele (G)ARCH na przełome la XX weu jedna do chwl obecnej ne zsał sobe aej popularnośc główne ze względu na rudnośc w esmacj. Praca ma na celu porównane możlwośc prognozowana szeregów czasowch prz worzsanu model dwulnowch oraz porównana jaośc chże prognoz z prognozam uzsanm z model ARMA-GARCH.. Podsawowe nformacje doczące model dwulnowch Po raz perwsz modele dwulnowe zosał zaproponowane przez Granger a Andersen a (978) można je zapsać równanem:

2 84 Tomasz Zdanowcz c p q γ ϕ j j j 0 l P Q θ l l () gdze przjmuje sę ϕ 0. Ta zdefnowana lasa model jes dość szeroa raowana jes jao rozszerzene model ARMA. We wspomnanej prac można eż znaleźć lasfację model dwulnowch a wmena sę proces dagonalne gdθl 0 dla l proces naddagonalne gd θl 0 dla <l poddagonalne dla órch mam θl 0 gd >l. Proces dwulnowe posadają szereg ceawch własnośc do órch zalczć można wsępowane zgrupowań warancj óre zwle rozpoznawane są jao efe ARCH. Inną ceawą cechą jes fa że rozpsując odpowedno równane () można orzmać proces z losowm paramerem zdefnowan jao: c γ ν. () Ze względu na opsane własnośc proces dwulnowe bardzo rudno jes odróżnć od procesów GARCH. W leraurze można znaleźć wele esów óre mogą bć pomocne w rozpoznanu danego pu nelnowośc. Jednm z ach esów jes es zaproponowan przez Hncha. asa esowa wznaczana jes na podsawe współcznna boherencj órego esmaor wznacza sę ze wzoru (): ψ ( ω ω ) ( fˆ ˆ ( ωω ) ( ω ) fˆ ( ω ) fˆ ( ω ω ) () gdze ˆ ωω - esmaor bsperum naomas f ˆ ω uśrednon perodogram dla częsoścω. Na ej podsawe wznaczam sasę esową posac: H ψ ω ω ). (4) ) ( ) ( Procedura esowa przebega dwueapowo: najperw esujem normalność procesu a w przpadu odrzucena ej hpoez bada sę aże lnowość procesu. Węcej nformacj na ema esu można znaleźć w Góra Osńsa (005). Kolejnm esem rozparwanm w prac jes es McLeoda L (98). Tes en służ do werfacj hpoez o wsępowanu efeu ARCH w szeregu opar jes na sasce esu Ljunga-oxa dla wadraów badanego procesu. Ze względu na rudność rozróżnena pomędz procesam L GARCH oraz na dużą lczbę specfacj ch osanch prezenowane w prac wn Por. Doman Doman 004. Parz ruzda 00.

3 Porównane własnośc prognoscznch model dwulnowch model ARMA doczą model AR(p) L(p0PQ) z jednm z rzech równań warunowej warancj j.: - GARCH(R): (5) R h h 0 β α α - EGARCH(R): ( ) ( ) (6) j j j R h h h h 0 ln ln β γ γ α - APARCH(R): ( ) R h h 0 δ δ δ β γ α α. (7) W prac zasosowano alernawne do normalnego rozład warunowe óre lepej modelują własnośc rozładów sóp zwrou. Należą do nch: rozład - udena sośn rozład -udena Uogólnon Rozład łędu (GED) oraz GED sośn GED. Funcję gęsośc wmenonch rozładów można zapsać za pomocą funcj gęsośc rozładu GTD ośnego Uogólnonego Rozładu -udena (Theodossou 998) posac: ( ) () ( ) ( ) GTD e e sgn C x f λσ θ (8) gdze: ( ).5 05 σ λ C GTD (8a) ( ) λ θ GTD (8b) ( ) 4 GTD λ λ λ (8c) ( ) λ λ δ GTD. (8d) We wzorach 8-8d przjęo nasępujące oznaczena: ν - paramer onrolujące grubość ogonów urozę ( ) 0 > > ν λ - paramer odpowedzaln za sośność rozładu ( < λ ) σ - paramer sal naomas μ δσ e o odchlene od domnan a - funcja znau. sgn()

4 86 Tomasz Zdanowcz Należ rozróżnć nasępujące przpad: - - orzmujem rozład TD z parameram ν λ σ - oraz λ 0 - orzmujem rozład TD z parameram ν σ - ν - orzmujem rozład GED z parameram λ σ - ν oraz λ 0 - orzmujem rozład GED z parameram σ. Ze względu na specfację model dwulnowch sonm problemem saje sę esmacja paramerów. Najpopularnejsze meod jam można znaleźć szacun paramerów model dwulnowch o Nelnowa Meoda Najmnejszch Kwadraów (NMK) Meoda Najwęszej Wargodnośc (MNW). W publacj ubba Rao Gabr (984) można znaleźć meodę oparą na KMNK. Ideę ej meod można zapsać w lu punach: ) oszacowane najlepszego modelu AR dla badanego szeregu wznaczene weora resz e I (można w m celu zasosować meodę Hannana- Rsannena ) ) oszacowane KMNK modelu: c p q γ ϕ je j j l P Q θ l l e (9) a nasępne wznaczene nowego weora resz e. ) powró do punu. Procedurę powarza sę a długo aż warośc paramerów warancja reszowa usablzują sę. Meoda a daje dobre wn jedna częso zdarza sę ż ne osąga zbeżnośc co prowadz do neodpowednch warośc paramerów. W zwązu z powższm zaleca sę sosowane jej do znalezena warośc sarowch dla MNW. W przpadu gd zbeżność ne zosała osągnęa za warośc sarowe częśc dwulnowej podsawa sę 0. Powższa meoda zasosowana zosała w prac do znalezena warośc sarowch dla MNW. W przpadu paramerów model GARCH za sarowe wbrane zosał szacun danego równana prz założenu modelu AR(p) normalnośc rozładu warunowego. Z ole warośc sarowe paramerów samch rozładów warunowch pochodzł z rozładów dopasowanch do rozładu sóp zwrou badanch szeregów. Esmacj paramerów p Q P R oraz wboru odpowednego równana warancj doonano erując sę rerum chwarza.. Porównane model L ARMA z reszam GARCH dla wbranch szeregów fnansowch Do analz wbrane zosał wbrane ndes gełd śwaowch oraz gełd polsej z oresu od sczna 000 rou do maja 007 rou co daje w zależnośc od gełd od 67 do 86 obserwacj. Pęć osanch obserwacj Zasosowane procedur Hannana-Rsanena proponują Garnger Terasra (99).

5 Porównane własnośc prognoscznch model dwulnowch model ARMA zosało przeznaczonch do ocen prognoz wonanch z model AR(L)- GARCH. Tabela zawera wn esów Hncha oraz Ljunga-oxa. Tabela. Wn esów Ljunga-oxa Hncha dla wbranch szeregów normalność lnowość L(j) [p-al] H p-al R emp λ R eor j j5 AEX [9].58[0.00] EL [0.00] 4.89[0.00] CAC [] 4.0[0.0] DAX [0.] 0.00[0.08] DJIA [0.] 7.40[0.9] FTE [0.0] 8.85[0.00] NIKK [0.8].6[0.660] NDQ [0.04] 0.49[0.00] &P [0.4] 7.57[0.8] WIG [0.046] 6.09 [0.0] Pogruboną czconą zosał wróżnone sone sas. Źródło: oblczena własne. Na podsawe wnów zameszczonch w powższej abel można powedzeć że w węszośc analzowanch szeregów jes ne ma podsaw do odrzucena hpoez o normalnośc rozładów. W przpadu ndesów AEX EL0 es Hncha wsazał na bra normalnośc procesu a w m drugm szeregu dodaowo na snena zwązów nelnowch. Na podsawe esu Ljunga- oxa można swerdzć ż w badanch szeregach wsępuje auoorelacja. Wjąem są ndes DJIA NIKK5 &P500 w órch zjawso auoorelacj ne wsępuje. Nasępne do wbranch szeregów dopasowane zosał modele AR(p) L(p0PQ) z różnm rozładam warunowm równanam warancj. Tabela zawera rera nformacjne sas Q Q QX 4 dla najlepszch model AR(p) oraz dwulnowch. 4 Mar oblczne są wg nasępującch formuł: Q N{ r rˆ > 0}/ N{ r rˆ 0} Q N{ r rˆ > 0 r r < 0}/ N{ r rˆ 0 r r < 0} QX N{ r ( h h ) < 0} / N gdze N{} - lczba obserwacj dla órch spełnon jes warune podan w nawase r rˆ h o emprczne eoreczne sop zworu oraz warancja warunowa. Węcej na ema alernawnch mar dopasowana model można znaleźć w rzeszczńs Kelm (00).

6 88 Tomasz Zdanowcz Tabela. Wn esmacj wbranch model AR(p)-GARCH L(p0PQ)-GARCH z różnm rozładam warunowm 5 zereg Model AIC/C DW Q/Q QX CAC40 DL(0) / /.9454 EGARCH()-TD AR() / 5.477/.9457 EGARCH()-TD DJIA L(0) / 5.808/.967 EGARCH()-TD AR() / 5.644/.977 EGARCH()-TD NIKK5 DL(0044) / 5.984/.00 EGARCH()-TD AR(0) / /.008 EGARCH()-TD NDQ00 NL(0) / /.98 EGARCH()-TD AR() / /.004 EGARCH()-TD &P500 PL(0) / /.95 EGARCH()-TD AR() / 5.9/.977 EGARCH()-TD WIG DL(0.) / 5.04/.988 GARCH()-GED AR() / /.996 GARCH()-GED Źródło: oblczena własne. Dane przedsawone w abel pozwalają swerdzć że we wszsch badanch przpadach model AR-GARCH jes lepsz nż modele L-GARCH. Jes o zgodne z wnam esu Hncha ór dla ch szeregów wsazał normalność procesu. W przpadu szeregów AEX EL0 ne udało sę dopasować modelu dwulnowego o sonch paramerach. posrzeżene o można uzasadnć nną nż dwulnowa zależnoścą nelnową wsępująca we wspomnanch szeregach. Innm ceawm sposrzeżenem jes fa ż paramer częśc dwulnowej w przpadu modelu dwulnowego z reszam heerosedascznm bł w węszośc model slne sone. Naomas po dołączenu do modelu równana warancj duża część z ch paramerów oazała sę nesona. Ta wn może bć spowodowan zależnoścam w warancj jae wsępują w badanch szeregach óre ne są modelowane przez model dwulnow w odpowedn sposób a óre lepej opsują modele z rodzn GARCH. 5 W abel przjęo oznaczena: NL PL DL o proces dwulnowe naddagonalne poddagonalne dagonalne. TD TD GED o oznaczena rozładów warunowch odpowedno sośnego -udena -udena Uogólnonego Rozładu łędu.

7 Porównane własnośc prognoscznch model dwulnowch model ARMA Analzując abelę można dosrzec że w przpadu prawe wszsch szeregów rera chwarza Aae a preferują modele auoregresjne nad modelam dwulnowm za wjąem szeregu NDQ00 w órm e rera są neznaczne lepsze dla modelu L. We wszsch przpadach son oazał sę efe ARCH ór zosał opsan poprzez odpowedne równane warancj warunowej. War podreślena jes eż fa ż w modelach L posadającch dużą lczbę paramerów warośc rerów nformacjnch są zblżone do model auoregresjnch. Na podsawe ch model podjęo próbę zbudowana prognoz na 5 oresów naprzód. Do budow prognoz zasosowano meodę boosrapową dla órej przjęo 0000 replacj. Nasępne jaość prognoz ocenono za pomocą perwasa błędu średnowadraowego (RME) oraz udzału prawdłowch znaów (PC) 6. Wn zameszczono w abel. Tabela. Porównane prognoz uzsanch meodą boosrapową Model RME PC CAC40 DL(0)-EGARCH()-TD AR()-EGARCH()-TD DJIA L(0)-EGARCH()-TD AR()-EGARCH()-TD NIKK5 DL(0044)-EGARCH()-TD AR(0)-EGARCH()-TD NDQ00 NL(0)-EGARCH()-TD AR()-EGARCH()-TD &P500 PL(0)-EGARCH()-TD AR()-EGARCH()-TD WIG DL(0.)-GARCH()-GED AR()-GARCH()-GED Źródło: oblczena własne. Wn zaware w abel pozwalają swerdzć ż prognoz uzsane z model dwulnowch są gorsze od prognoz uzsanch z model auoregresjnch zarówno pod względem warośc prognoz ja erunu zman. Wjąem jes u szereg CAC40 dla órego prognoz z model dwulnowch oazał sę lepsze pod względem erunu nż prognoz z modelu AR. 6 Por. Doman Doman 004.

8 90 Tomasz Zdanowcz 4. Podsumowane W prac przedsawone zosało porównane własnośc prognoscznch model ARMA dwulnowch wraz ze zmenającą sę w czase warancją. Zaprezenowane wn pozwalają swerdzć że pommo swoch neresującch własnośc ach ja aprosmacja z dowolną doładnoścą szeregu w sończonm odcnu czasu lub ops zjawsa supana sę warancj modele dwulnowe ne pozwalają na lepsz ops szeregów fnansowch nż lasczne modele ARMA z reszam GARCH. Wższość ch osanch zosała powerdzona w opse badanch procesów w próbe. Podobne modele dwulnowe ne sprawdzł sę w prognozowanu prognoz oazał sę gorsze pod względem warośc RME ja PC. Można powedzeć że modele dwulnowe mmo swoch zale eorecznch ne dają lepszch rezulaów w modelowanu fnansowch szeregów czasowch nż modele ARMA-GARCH. Leraura ruzda J. (00) Proces dwulnowe proces GARCH w modelowanu fnansowch szeregów czasowch Przegląd sasczn Zesz. rzeszczńs J. Kelm R. (00) Eonomerczne modele rnów fnansowch WIG-Press Warszawa. Doman M. Doman R. (004) Eonomerczne modelowane dnam polsego rnu fnansowego Wd. AE w Poznanu Poznań. Garnger W. J. C. Andersen A. P. (978) An Inroducon o lnear Tme eres Models Göngen: Vandenhoec and Ruprech. Granger W. J. C. Terasra T. (99) Modelng Nonlnear Economc Relaonshps Oxford Unwers Press New Yor Hnch M. J. (98) Tesng for Gaussan and Lnear of a aonar Tme eres Journal of Tme eres Analss McLeod A. L. L W. K. (98) Dagnosc Cheng ARMA Tme seres Models Usng quared Resdual Auocorrelaons Journal of Tme eres Analss Osńsa M. (006) Eonomera fnansowa PWE Warszawa. Osńsa M. Góra J. (005) Idenfacja nelnowośc w eonomcznch szeregach czasowch. Analza smulacjna Dnamczne Modele Eonomerczne Wd. UMK Toruń. ubba Rao T. Gabr M. M. (984) An Inroducon o specral Analss and lnear Tme eres Models Lecure Noes n ascs 4 prnger-verlag. Theodossou P. (998) Fnancal daa and ewed Generalzed T Dsrbuon Managemen cence