STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "STATYSTYKA MATEMATYCZNA"

Marcin Niemiec
5 lat temu
Przeglądów:

1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wkład wstępn. Teora prawdopodobeństwa element kombnatork. Zmenne losowe ch rozkład 3. Populacje prób danch, estmacja parametrów 4. Testowane hpotez statstcznch 5. Test parametrczne (na przkładze testu t ) 6. Test neparametrczne (na przkładze testu ) 7. Korelacja regresja lnowa nelnowa 8. Analza warancj

2 KORELACJA WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI mara welkośc (sł) zależnośc dwóch zmennch losowch. Korelacja lnowa Pearsona oblczane testowane. Korelacja rangowa Spearmana oblczane testowane

3 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA

4 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA - defncja r ). cov( ), cov( gdze: ) ( ) ( n n, ) )( ( ), cov( n warancje kowarancja (n lczba par obserwacj w próbe)

5 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA - oblczane r cov(. ) n n n. Mara sł zależnośc dwóch zmennch (, ). Założena: zmenne, - cągłe normaln rozkład zmennch zależność lnowa 3. r przjmuje wartośc z przedzału [ -, ]

6 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA - przkład

7 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA - przkład

8 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA - przkład PRÓBA DANYCH MASA CIAŁA ZAW. TŁUSZCZU r mt =

9 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA - testowane. Hpotez H 0 : brak korelacj mędz masą cała, a zaw. tłuszczu H : stneje korelacja mędz masą cała, a zaw. tłuszczu H 0 : r mt = 0 H : r mt 0. Założone maksmalne prawdopodobeństwo błędu MAX = Test: 4. Prawdopodobeństwo błędu dla t=7.47 wnos T = MAX > T 6. H t r mt N r mt ~ t N 7. Wstępuje dodatna korelacja mędz masą cała, a zawartoścą tłuszczu

10 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI SPEARMANA

11 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI SPEARMANA - defncja 6 N n N d d - różnca w rankngu zmennch. Mara zależnośc dwóch zmennch (,). Brak założeń dotczącch rozkładu zmennch 3. Brak założeń dotczącch lnowej zależnośc 4. Test neparametrczn 5. Wkorzstuje rankng obserwacj 6. Przjmuje wartośc z przedzału [ -, ]

12 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI SPEARMANA - przkład

13 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI SPEARMANA- przkład PRÓBA DANYCH. 8 samców Fregata magnfcens objętość [cm 3 ] częstotlwość [Hz] Powązane objętośc worka z częstotlwoścą wdawanego dźwęku ct =

14 . Hpotez H 0 : brak korelacj mędz objętoścą, a częstotlwoścą H : stneje korelacja mędz objętoścą, a częstotlwoścą H 0 : ct = 0 H : ct 0. Założone maksmalne prawdopodob. błędu MAX = Test: 4. Prawdopodobeństwo błędu dla t=-4.68 wnos T = MAX > T 6. H t N ~ t N 7. Wstępuje ujemna korelacja mędz objętoścą worka, a częstotlwoścą dźwęku

15 KORELACJA określane sł zależnośc (podobeństwa) zmennch zależnch (prz pomoc współcznnka korelacj) Jeśl zmenne są zależne można próbować przewdzeć wartośc jednej zmennej na podstawe wartośc przjmowanch przez drugą REGRESJA określane modelu zależnośc zmennch wkorzstane tego modelu do przewdwana wartośc neznanch na podstawe wartośc obserwowanch (zmerzonch) Ten matematczn model to równane regresj

16 REGRESJA Regresja lnowa. Równane regresj lnowej. Estmacja współcznnków prostej regresj 3. Przkład równań regresj Regresja nelnowa. Dane pochodzące z rozkładu dwumanowego. Transformacje danch dwumanowch 3. Równane regresj logstcznej Dopasowane równana regresj

17 REGRESJA LINIOWA

18 RÓWNANIE REGRESJI zaw. tłuszczu masa cała

19 RÓWNANIE REGRESJI 0 ) ( ), cov(

20 RÓWNANIE REGRESJI zaw. tłuszczu masa cała nachlene błąd wraz woln 0

21 RÓWNANIE REGRESJI zaw. tłuszczu 30 Wartość zaobserwowana () Wartość przewdzana (ŷ) masa cała

22 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Jak wznaczć parametr równana regresj? 0 Tak ab odległośc obserwacj od prostej bł jak najmnejsze: metoda najmnejszch kwadratów 30 zaw. tłuszczu masa cała

23 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW zaw. tłuszczu masa cała ( ) mnmum

24 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW mn ˆ 0 N N N N N N

25 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW 0 cov(, ) N N

26 WSPÓŁCZYNNIK REGRESJI A WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI b cov(, ) r Współcznnk regresj nformuje, o le zmen sę wartość zmennej, jeśl wartość zmennej zmen sę o zmenna objaśnana, zmenna zależna, zmenna neznana (nedostępna, nemerzona, neobserwowana) zmenna objaśnająca, zmenna nezależna (znana, dostępna, obserwowana, zmerzona)

27 WAŻONA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW JAK WYZNACZYĆ PARAMETRY RÓWNANIA REGRESJI JEŻELI MIERZONE SĄ ZE ZRÓŻNICOWANĄ DOKŁADNOŚCIĄ? 0 WAŻENIE OBSERWACJI

28 WAŻONA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW WAŻENIE OBSERWACJI 0 w cov (, ) w

29 PRZYKŁADY RÓWNAŃ REGRESJI. stopna 0 WIELOMIANY. stopna 3. stopna

30 PRZYKŁADY RÓWNAŃ REGRESJI REGRESJA LOGARYTMICZNA 0 ln

31 PRZYKŁADY RÓWNAŃ REGRESJI MASA CIAŁA WZROST ZAW. TŁUSZCZU REGRESJA WIELOKROTNA zt wz 0zt zt 0wz wz zt zt... wz zt wz zt wz

32 REGRESJA NIELINIOWA

33 DANE chore zdrowe PRÓBA DANYCH gr. badawcza gr. kontrolna 9 3. Grupa badawcza stat kontakt z dmem ttonowm. Grupa kontrolna brak kontaktu 3. Wnk sekcj po roku badań zman nowotworowe w płucach

34 DANE choroba [] grupa [] 0=b =k. 0. Dane ne mają rozkładu normalnego PRÓBA DANYCH. Y { chor, zdrow } rozkład dwumanow 3. Określam prawdopodobeństwo zachorowana w każdej grupe

35 TRANSFORMACJA DANYCH prawdopodobeństwo 0 transformacja funkcja prawdopodobeństwa - +

36 TRANSFORMACJA DANYCH Transformacja logstczna logt p ln p p p=0.5 logt(p)=0 p logt(p) + p 0 logt(p) -

37 TRANSFORMACJA DANYCH Transformacja logstczna logt p ln p p zależność nelnowa zależność lnowa

38 TRANSFORMACJA DANYCH. Transformacja logt - najczęścej stosowana. Inne transformacje prawdopodobeństwo funkcja prawdopodobeństwa : probt (podobna do logt, trudnejsza do oblczena) log-log (stosowana prz nesmetrcznośc względem p=0.5)

39 RÓWNANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ e e p p p p p p p 0 0 ) ( logt ) ( logt 0 ep ep ) ln( ) ln( ln logt p

40 PRZYKŁAD choroba [] grupa [] 0=b =k. 0. Równane regresj logt p p ln p PRÓBA DANYCH Prawdopodobeństwo zachorowana jest mnejsze w grupe kontrolnej 3. Prawdopodobeństwo zachorowana w grupe badawczej: p b ep ep Prawdopodobeństwo zachorowana w grupe kontrolnej: p k ep ep

41 PRZYKŁADY

42 INTERPRETACJA WYNIKÓW RÓWNAŃ REGRESJI

43 INTERPRETACJA RÓWNAŃ REGRESJI nterval temp. Wraz ze wzrostem temperatur czas pomędz odgłosam skraca sę. Wzrost temperatur o C powoduje skrócene odstępu o 0. s. 3. W temperaturze 0 C osobnk wdają dogłos średno co 6.6 s. : nterval

44 INTERPRETACJA RÓWNAŃ REGRESJI

45 INTERPRETACJA RÓWNAŃ REGRESJI. Model: n_dzec.8 0.0wek 0.03r_w 0.00r_w. Partnerz, którz w 003 r. mel średno 40 lat oraz, u którch mąż jest starsz o 5 mają średno.4 dzec: n_dzec Partnerz, którz w 003 r. mel średno 5 lat oraz, u którch mąż jest starsz o 4 mają średno.66 dzec: n_dzec

46 PRZYKŁAD

47 DOPASOWANIE RÓWNANIA REGRESJI LINIOWEJ

48 RÓWNANIE REGRESJI BŁĄD różnca mędz a ŷ zaw. tłuszczu 30 Wartość zaobserwowana () Wartość przewdzana (ŷ) masa cała

49 DOPASOWANIE REGRESJI LINIOWEJ zmenność "" wjaśnona przez równane regresj n zaobserwowana ˆ R n n ˆ n

50 DOPASOWANIE REGRESJI LINIOWEJ WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI jaka część obserwowanej zmennośc została wjaśnona przez równane regresj R n n ˆ przjmuje wartośc od 0 do ; m blższ tm lepsze dopasowane modelu regresj

51 DOPASOWANIE REGRESJI LINIOWEJ - przkład PRÓBA DANYCH MASA CIAŁA ZAW. TŁUSZCZU Zmenna nezależna. Zmenna zależna, rozkład cągł tluszcz masa_cała R =

52 HISTOGRAM DIAGNOSTYCZNY Założene regresj lnowej: ˆ e ~ N 0, e

53 KORELACJA - podsumowane. Współcznnk korelacj lnowej Pearsona oblczane testowane. Współcznnk korelacj rangowej Spearmana oblczane testowane

54 REGRESJA Regresja lnowa. Równane regresj lnowej. Estmacja współcznnków regresj 3. Przkład równań regresj Regresja nelnowa Regresja logstczna - przkład Dopasowane równana regresj

Podobne dokumenty

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W 11: Analizy zależnościpomiędzy zmiennymi losowymi Model regresji wielokrotnej

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W 11: Analizy zależnościpomiędzy zmiennymi losowymi Model regresji wielokrotnej Rachunek prawdopodobeństwa statstka W 11: Analz zależnoścpomędz zmennm losowm Model regresj welokrotnej Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Model regresj lnowej Model regresj lnowej prostej