Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych
|
|
- Janusz Wysocki
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj acy odtworzyć na podstawie znajomości sterowania i wyjścia niedostȩpne zmienne stanu nazywa siȩ obserwatorem stanu. Obserwatory stanu znajduj a zastosowanie m.in. do poprawy w lasności stabilnościowych uk ladów sterowania za pomoc a odpowiednio dobranego sprzȩżenia zwrotnego. u(t Obiekt sterowania x(t y(t Obserwator stanu z(t v(t + K o u(t Obiekt sterowania x(t y(t Obserwator stanu z(t v(t K s Do projektowania uk ladów sterowania zastosowanie znajduj a dwie charakterystyczne postaci równań stanu: postać kanoniczna sterowalna i postać kanoniczna obserwowalna. Niech uk lad sterowania bȩdzie opisywany nastȩpuj acymi liniowymi stacjo- 1
2 narnymi równaniami stanu i wyjścia x(t = Ā x(t + bu(t, y(t = c x(t, gdzie Ā jest n-wymiarow a macierz a kwadratow a, b jest n-wymiarowym wektorem kolumnowym, a c jest n-wymiarowym wektorem wierszowym. Uk lad ma postać kanoniczn a sterowaln a jeśli macierze stanu Ā i sterowania b przyjmuj a nastȩpuj ace postaci Ā =, a 0 a 1 a 2 a n 2 a n b =. 0 1 W powyższym zapisie macierz stanu jest macierz a typu Frobeniusa. Sprowadzanie uk ladu sterowania do postaci Frobeniusa Jednowymiarowy wejściowo-wyjściowy uk lad sterowania nie maj acy postaci Frobeniusa można sprowadzić do tej postaci stosuj ac liniowe przekszta lcenie stanu x(t = T x(t, T. = (B AB A n 1 B(B f A f B f A n 1 f B f 1, gdzie A, B s a macierzami stanu i sterowania w uk ladzie pierwotnym, zaś A f, B f s a macierzami stanu i sterowania o postaci Frobeniusa. Po dokonaniu tej transformacji przechodzimy do uk ladu sterowania x(t = T 1 AT x(t + T 1 BU(t maj acym postać Frobeniusa i stosujemy znany algorytm przesuwania biegunów i zer uk ladu o tej postaci. Proste obliczenia pokazuj a, że rank( b Ā b Ā2 b Ā n 1 b = n. 2
3 Oznacza to, że uk lad, którego równanie stanu ma postać kanoniczn a sterowaln a, jest sterowalny. 3
4 Uk lad ma postać kanoniczn a obserwowaln a jeśli macierze stanu Ā i wyjścia c przyjmuj a nastȩpuj ace postaci a a 1 Ā = a 2, a n a n 1 ( c = W powyższym zapisie macierz stanu jest również macierz a typu Frobeniusa. Proste obliczenia pokazuj a, że rank c cā cā2 CĀn 1 = n Oznacza to, że uk lad, którego równanie stanu ma postać kanoniczn a obserwowaln a, jest obserwowalny. Przekszta lcanie uk ladu sterowania do postaci kanonicznej sterowalnej Niech bȩdzie dany uk lad sterowania z równaniem stanu w ogólnej postaci liniowej ẋ(t = Ax(t + bu(t. Uzyskiwanie postaci kanonicznej sterowalnej polega na zastosowaniu przekszta lcenia liniowego wektora stanu x(t = Mx(t, gdzie nieosobliwa macierz M wi aże wektor stanu x(t uk ladu danego z wektorem stanu x(t uk ladu w postaci kanonicznej sterowalnej. Stosuj ac przekszta lcenie M do uk ladu danego otrzymujemy x(t = Mẋ(t = MAx(t + Mbu(t = MAM 1 x(t + Mbu(t, 4
5 co oznacza, że dla uk ladu przekszta lconego uzyskujemy równanie stanu x(t = Ā x(t + bu(t, gdzie Ā = MAM 1, b = Mb. Macierze Ā i A s a podobne, a zatem ich wielomiany charakterystyczne s a identyczne. Zbadamy powi azanie sterowalności uk ladu przekszta lconego i uk ladu danego. W tym celu stosuj ac przekszta lcenie M określimy zależność miȩdzy macierzami sterowalności uk ladu przekszta lconego i uk ladu danego Q = ( b Ā b Ā2 b Ā n 1 b Ponieważ a zatem = (Mb MAM 1 Mb (MAM 1 2 Mb (MAM 1 n 1 Mb (MAM 1 k = MAM } 1 MAM{{ 1 MAM 1 } = MA k M 1, k razy Q = (Mb MAM 1 Mb MA 2 MM 1 b MA n 1 M 1 Mb = M(b Ab A 2 b A n 1 b = MQ, gdzie Q jest macierz a sterowalności uk ladu danego. Rzȩdy macierzy Q i Q s a równe ze wzglȩdu na nieosobliwość przekszta lcenia M. Zastosowanie tego przekszta lcenia nie wp lywa na sterowalność uk ladu. Wynika st ad także wniosek, że postać kanoniczn a sterowaln a uk ladu można uzyskać tylko dla uk ladu sterowalnego. Za lożymy wiȩc, że uk lad dany jest sterowalny. Zapiszemy wielomian charakterystyczny uk ladu danego w postaci det(si A = s n + a n 1 s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0. Dla określenia prostego algorytmu sprowadzania uk ladu do postaci kanonicznej sterowalnej celowo jest pos lużyć siȩ odwrotności a W macierzy M tj. W = M 1. Dla macierzy W uzyskujemy zależność W Ā = AW. 5
6 Wydzielimy kolumny macierzy W w nastȩpuj acy sposób W = (w n 1 w 2 w 1 w 0 Na podstawie tego zapisu uzyskujemy równości ( W Ā = w n 1 w 2 w 1 w a 0 a 1 a 2 a n 2 a n 1 = ( a 0 w 0 w n 1 a 1 w 0 w 1 a n 1 w 0 oraz AW = A (w n 1 w n 2 w 1 w 0 == (Aw n 1 Aw n 2 Aw 1 Aw 0 Przyrównuj ac do siebie wyrażenia uzyskane dla W Ā i AW uzyskujemy uk lad równań a 0 w 0 = Aw n 1 w n 1 a 1 w 0 = Aw n 2 w 2 a n 2 w 0 = Aw 1 w 1 a n 1 w 0 = Aw 0 Uzyskana zależność pozwala na rekurencyjne obliczanie kolumn w i : dla zadanej wartości pocz atkowej w 0 obliczamy kolejno w 1 = a n 1 w 0 + Aw 0 w 2 = a n 2 w 0 + Aw 1 w n 2 = a 2 w 0 + Aw n 3 6
7 w n 1 = a 1 w 0 + Aw n 2 Pozosta la, nie wykorzystana zależność a 0 w 0 = Aw n 1, jest spe lniona, bo po prostych przekszta lceniach przyjmuje ona postać Aw n 1 + a 0 w 0 = A(a 1 w 0 + Aw n 2 + a 0 w 0 = = A(a 1 w 0 + A(a 2 w 0 + Aw n 3 + a 0 w 0 = (a 0 I + a 1 A + a 2 A 2 w 0 + A 3 w n 3 = = = = (a 0 I + a 1 A + a 2 A a n 1 A n 1 + A n w 0 = 0, a wyrażenie w nawiasie wyzerowuje siȩ na podstawie twierdzenia Cayleya- Hamiltona: każda macierz spe lnia swoje równanie charakterystyczne. Poszukiwana macierz W powinna także zapewniać za lożon a postać macierzy sterowania, co oznacza, że W b = b czyli 0 0 (w n 1 w 1 w 0 = = b 0 1 Wynika st ad, że w 0 = b i obliczanie wierszy macierzy W możemy przeprowadzić rekurencyjnie w 0 = b w 1 = a n 1 b + Aw 0 w 2 = a n 2 b + Aw 1 w n 1 = a 1 b + Aw n 2 Daje to w wyniku w 0 = b 7
8 gdzie w 1 = Ab + a n 1 b w 2 = A 2 b + a n 1 Ab + a n 2 b w n 1 = A n 1 b + + a 3 A 2 b + a 2 Ab + a 1 b Przyk lad. Niech liniowy uk lad sterowania bȩdzie opisywany równaniami ẋ(t = Ax(t + bu(t, A = , b = Zbadamy czy dany uk lad sterowania jest sterowalny. Do tego celu wykorzystamy macierz sterowalności a wiȩc ranks=4, co oznacza, że rozpatrywany uk lad sterowania jest sterowalny. S = ( b Ab A 2 b A 3 b W wyniku kolejnych obliczeń otrzymujemy Badamy rz ad macierzy S S = dets = det = Wielomian charakterystyczny macierzy A ma postać 1 8
9 s s 1 0 det(si A = det 0 1 s 1 + s s Zapiszemy ten wielomian w postaci det(si A = s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 gdzie a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0, a 0 = 0. Wyznaczymy macierz przekszta lcenia liniowego pozwalaj acego uzyskać postać kanoniczn a sterowaln a uk ladu. Algorytm wyznaczania wierszy macierzy M przybiera dla rozpatrywanego przyk ladu nastȩpuj a postać w 0 = b w 1 = a 3 b + Aw 0 w 2 = a 2 b + Aw 1 w 3 = a 1 b + Aw 2 W wyniku obliczeń otrzymujemy W = oraz M = Natomiast postać kanoniczna sterowalna uk ladu bȩdzie nastȩpuj aca ẋ(t = = 0 0 u(t
10 Postać kanoniczna obserwowalna liniowego uk ladu sterowania Aby określić prosty i realizowalny algorytm projektowania obserwatora stanu o poż adanych w lasnościach wprowadzimy uzależnienie procesu odtwarzania wektora stanu od rezultatów tego procesu i zastosujemy przekszta lcenie opisu uk ladu do tzw. postaci kanonicznej obserwowalnej. Wspomniane uzależnienie procesu odtwarzania wektora stanu od rezultatów tego procesu uzyskuje si drog a wyznaczenia różnicy wyjść uk ladu y(t i obserwatora v(t. Dla uk ladu sterowania ẋ(t = Ax(t + Bu(t, y(t = Cx(t dzia lanie proponowanego obserwatora można opisać równaniem ż(t = Az(t + Bu(t + K(v(t y(t, v(t = Cz(t. Odejmuj ac stronami powyższe równania uzyskuje siȩ ż(t ẋ(t = A(z(t x(t + KC(z(t x(t. Zatem b l ad ė(t =. z(t x(t odtworzenia wektora stanu spe lnia równanie ė(t = (A + KCe(t. Warunkiem zanikania tego b lȩdu jest wymaganie, aby wartości w lasne macierzy A+KC by ly po lożone w lewej pó lp laszczyniezmiennej zespolonej. Aby obserwator móg l realizować swoje zadanie, należy dla zadanych macierzy A i C dobrać macierz K sprzȩżenia uk ladu i jego obserwatora tak, aby wspomniany warunek by l spe lniony. Wykażemy, że jest to możliwe dla obserwowalnych uk ladów sterowania. Co wicej wykażemy, że moṅa tak dobrać macierz sprzeȩżenia K uk ladu i obserwatora, aby wartości w lasne macierzy A+KC mia ly z góry zadane po lożenia. Tak wiȩc proces zanikania b lȩdu bȩdzie mia l zadane w lasności dynamiczne - w szczególności bȩdzie mia l określony czas zanikania b lȩdu i określone parametry oscylacji odpowiedzi. 10
11 Za lożymy, że uk lad sterowania ma postać kanoniczn a obserwowaln a ẋ(t = Ax(t + Bu(t, y(t = cx(t, gdzie a a 1 A = a 2, c = a n 2 ( a n 1 Macierz A w powyższej postaci kanonicznej obserwowalnej uk ladu nazywa siȩ również macierz a Frobeniusa. Postać kanoniczna obserwowalna jest użyteczna przy rozwi azywaniu zadania doboru macierzy K sprzȩżenia obserwatora i uk ladu. Zdefiniujemy macierz K jako macierz kolumnow a Otrzymujemy wtedy K = a n 1 k 0 k 1 k n 2 k n 1. Ã = A + Kc = a 0 k a 1 k a 2 1 ( k n a n 2 k n a 0 + k ã a 1 + k ã 1 = a 2 + k 2 = ã 2, a n 2 + k n ã n a n 1 + k n ã n 1 11
12 . gdzie ã i = ai k i. Tak wiȩc po przekszta lceniach uzyskaliśmy macierz stanu znowu w postaci Frobeniusa. Jak wiadomo wielomiany charakterystyczne dla macierzy Frobeniusa A i à zapisuj a siȩ w postaci det(si A = s n + a n 1 s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0, det(si à = sn + ã n 1 s n ã 2 s 2 + ã 1 s + ã 0. Wspó lczynniki ã i wynikaj a z zadanych wartości w lasnych obserwatora. Tak wiȩc elementy macierzy sprzȩżenia uk ladu i obserwatora można latwo wyznaczyć z zależności k i = a i ã i, i = 0, 1, 2,, n 1. Latwość wyznaczenia obserwatora uk ladu w jego postaci kanonicznej obserwowalnej przes adza o dużej użyteczności praktycznej tej postaci. Pojawia siȩ jednak problem sprowadzania ogólnego liniowego uk ladu sterowania do postaci kanonicznej obserwowalnej. Rozpatrzymy problem wyznaczania postaci kanonicznej obserwowalnej uk ladu. Niech uk lad bȩdzie opisywany liniowym równaniem stanu ẋ(t = Ax(t + Bu(t i równaniem wyjścia y(t = cx(t. postać kanoniczn a obserwowaln a uk ladu otrzymamy stosuj ac przekszta lcenie liniowe wektora stanu x(t = Mx(t, gdzie M jest macierz a nieosobliw a. Podstawienie tego przekszta lcenia do równania stanu pozwala zapisać ci ag równości x(t = Mẋ(t = MAx(t + MBu(t = MAM 1 x(t + MBu(t. Tak wiȩc dla uk ladu przekszta lconego uzyskujemy równanie stanu x(t = à x(t + Bu(t, przy czym à =. MAM 1 i B = MB. Natomiast równanie wyjścia uk ladu przekszta lconego przybierze postać y(t = c x(t, 12
13 gdzie c =. cm 1. Zbadamy, czy zastosowanie liniowego przekszta lcenia wektora stanu nie wp lywa na obserwowalność uk ladu. W tym celu porównamy odpowiednie macierze obserwowalności Q = c ca ca n 2 ca n 1 oraz c cã Q =. W wyniku obliczeń otrzymujemy cãn 1 tj. Q = c cã cãn 1 = cm 1 = (cm 1 (MAM 1 (cm 1 (MAM 1 (MAM 1 (MAM 1 }{{} n 1 razy cm 1 cam 1 ca n 1 M 1 = c ca ca n 1 Q = QM 1. M 1 = QM 1 Ponieważ M jest macierz a nieosobliw a, wiȩc rzȩdy macierzy Q i macierzy Q s a równe. Zatem rzeczywiście zastosowanie przekszta lcenia liniowego wektora stanu nie wp lywa na obserwowalność uk ladu. Wynika st ad także wniosek, że postać kanoniczn a obserwowaln a uk ladu można uzyskać tylko dla uk ladu obserwowalnego. 13
14 Rozwi ażemy zadanie dobrania macierzy przekszta lcenia M tak, aby uzyskać po przekszta lceniu oraz a a 1 Ã = a a n a n 1 c = Dla macierzy M mamy zależność ( ÃM = MA. Wydzielimy wiersze macierzy M w nastȩpuj acy sposób M = m n 1 m 2 m 1 m 0 Na podstawie tego zapisu uzyskujemy równości a a 1 ÃM = a a n a n 1 oraz m n 1 m 2 m 1 m 0 m n 1 m n 1 A m n 2 m n 2 A MA = m 2 A = m 1 m 1 A m 0 A m 0 14 a 0 m 0 m n 1 a 1 m 0 = m n 2 a 2 m 0 m 1 a n 1 m 0
15 Przyrównuj ac do siebie wyrażenia uzyskane dla ÃM i MA uzyskujemy uk lad równań a 0 m 0 = m n 1 A m n 1 a 1 m 0 = m n 2 A m n 2 a 2 m 0 = m n 3 A m 1 a n 1 m 0 = m 0 A Uzyskana zależność pozwala na rekurencyjne obliczanie wierszy m i : dla zadanej wartości pocz atkowej m 0 obliczamy kolejno m 1 = a n 1 m 0 + m 0 A m 2 = a n 2 m 0 + m 1 A m n 2 = a 2 m 0 + m n 3 A m n 1 = a 1 m 0 + m n 2 A Pozosta la, nie wykorzystana zależność a 0 m 0 = m n 1 A, jest spe lniona, bo po prostych przekszta lceniach przyjmuje ona postać a 0 m 0 + m n 1 A = a 0 m 0 + (a 1 m 0 + m n 2 AA = = a 0 m 0 + (a 1 m 0 + (a 2 m 0 + m n 3 AAA = m 0 (a 0 + a 1 A + a 2 A 2 + m n 3 A 3 = = = m 0 (a 0 I + a 1 A + a 2 A a n 1 A n 1 + A n = 0, a wyrażenie w nawiasie wyzerowuje siȩ na podstawie twierdzenia Cayleya- Hamiltona: każda macierz spe lnia swoje równanie charakterystyczne. Poszukiwana macierz M powinna także zapewniać za lożon a postać równania wyjścia, co oznacza, że cm = c czyli 15
16 ( = m n 1 m n 2 m 1 m 0 = c Wynika st ad, że m 0 = c i obliczanie wierszy macierzy M możemy przeprowadzić rekurencyjnie m 0 = c m 1 = a n 1 c + m 0 A m 2 = a n 2 c + m 1 A m n 1 = a 1 c + m n 2 A Daje to w wyniku gdzie m 0 = c m 1 = ca + a n 1 c m 2 = ca 2 + a n 1 ca + a n 2 c m n 1 = ca n a 3 ca 2 + a 2 ca + a 1 c Przyk lad. Niech liniowy uk lad sterowania bȩdzie opisywany równaniami ẋ(t = Ax(t + bu(t, y(t = cx(t, A = , b = 1 ( 0, c = Zbadamy czy dany uk lad sterowania jest obserwowalny. Do tego celu wykorzystamy macierz 1 16
17 C CA Q = CA 2 CA 3 W wyniku kolejnych obliczeń otrzymujemy Zatem ( ( CA = = ( CA ( = = CA 3 = ( Badamy rz ad macierzy Q ( = C CA Q = CA 2 = CA detq = det = a wiȩc rankq=4, co oznacza, że rozpatrywany uk lad sterowania jest obserwowalny. Tak wiȩc mimo tego, że dostȩpna do pomiaru jest tylko jedna spośród czterech wspó lrzȩdnych stanu, istnieje możliwość otworzenia ca lego wektora stanu. 17
18 Wielomian charakterystyczny macierzy A ma postać s s 0 1 det(si A = det 0 0 s 1 s s Zapiszemy ten wielomian w postaci det(si A = s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 gdzie a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0, a 0 = 0. Wyznaczymy macierz przekszta lcenia liniowego pozwalaj acego uzyskać postać kanoniczn a obserwowaln a uk ladu. Algorytm wyznaczania wierszy macierzy M przybiera dla rozpatrywanego przyk ladu nastȩpuj a postać W wyniku obliczeń otrzymujemy m 0 = c m 1 = a 3 c + m 0 A m 2 = a 2 c + m 1 A m 3 = a 1 c + m 2 A m 0 = c = ( ( ( m 1 = a 3 c + m 0 A = = ( ( ( m 2 = a 2 c+m 1 A = =
19 ( ( m 3 = a 1 c + m 2 A = = Macierz przekszta lcenia M jest wiȩc nastȩpuj aca M = Uk lad przekszta lcony ma postać kanoniczn a obserwowaln a x(t = x(t + 0 ( 1 u(t, y(t = x(t Wyznaczymy poszukiwany obserwator stanu na podstawie porównania wielomianów charakterystycznych uk ladu wyjściowego i obserwatora. Dla uk ladu wyjściowego mamy det(si A = s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0, gdzie a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0, a 0 = 0. Dla obserwatora zadajemy wielomian charakterystyczny w postaci det(si à = (s + 54 = s 4 + ã 3 s 3 + ã 2 s 2 + ã 1 s + ã 0, gdzie ã 3 = 20, ã 2 = 150, ã 1 = 500, ã 0 = 625. Wymagania postawione w stosunku do obserwatora oznaczaj a, że proces zanikania b lȩdu odtwarzania powinien być nieoscylacyjny z szybkości a zanikania co najmniej Ct 3 e 5t. Obliczamy pomocnicze wspó lczynniki k i = a i ã i, i = 0, 1, 2, 3 19
20 i uzyskujemy macierz sprzȩżenia obserwatora uk ladu przekszta lconego do postaci kanonicznej obserwowalnej k k 1 K = k 2 = k 3 20 Stosuj ac macierz przekszta lcenia M przejdziemy od macierzy stanu obserwatora uk ladu przekszta lconego do macierzy stanu obserwatora uk ladu wyjściowego à + K c = MAM 1 + MKcM 1 = M(A + KcM 1, co oznacza, że powrót do macierzy stanu obserwatora uk ladu wyjściowego zapewnia zwi azek miȩdzy macierzami sprzȩżenia zwrotnego tych uk ladów postaci K = M 1 K. Z zależności tej wyznaczamy macierz sprzȩżenia zwrotnego obserwatora stanu uk ladu wyjściowego K = M K = = = Tak wiȩc dla uk ladu sterowania opisywanego równaniami ẋ(t = Ax(t + Bu(t, y(t = cx(t określiliśmy obserwator stanu opisywany równaniami ż(t = Az(t + Bu(t + K(v(t y(t, v(t = cz(t, gdzie macierz sprzȩżenia zwrotnego miȩdzy uk ladem wyjściowym i obserwatorem zosta la wyznaczona z wykorzystaniem transformacji uk ladu wyjściowego do postaci kanonicznej obserwowalnej z macierz a stanu typu macierzy Frobeniusa. 20
21 Inaczej mówi ac z wyjściowym uk ladem sterowania ẋ(t = x(t u(t, y(t = ( x(t wi ażemy obserwator stanu opisywany równaniami ż(t = z(t u(t (v(t z(t, v(t = 1 ( z(t, który zapewnia odtwarzanie wektora stanu x(t uk ladu wyjściowego przez wektor stanu obserwatora z(t z szybkości a zanikania b lȩdu e(t = z(t x(t Ct 3 e 5t. 21
22 Zastosowanie obserwatora stanu do stabilizacji uk ladu przez sprzȩżenie zwrotne od odtworzonego wektora stanu Stabilizacjȩ uk ladów sterowania można w wielu przypadkach osi agn ać poprzez zastosowanie sprzȩżenia zwrotnego od wektora stanu. Jeśli jednak nie wszystkie zmienne stanu s a dostȩpne, to taka stabilizacja może nie być skuteczna. W tym przypadku nasuwa siȩ pomys l wykorzystania obserwatora stanu. Ponieważ odtworzony wektor stanu obarczony jest b lȩdem, wiȩc należy sprawdzić skuteczność tej ostatniej stabilizacji. W uk ladzie stabilizacji z obserwatorem stanu dla sterowania uk ladu wyjściowego zapisujemy zależność u(t = Kz(t, przy czym K jest macierz a sprzȩżenia zwrotnego od odtworzonego wektora stanu w odróżnieniu od macierzy K sprzȩżenia obserwatora. Tak wiȩc równanie stanu uk ladu wyjściowego przybierze postać ẋ(t = Ax(t + BKz(t. Natomiast równanie stanu obserwatora zapiszemy w postaci ż(t = Az(t + Bu(t + K(v(t y(t = Az(t + Bu(t + KC(z(t x(t. Wykorzystuj ac b l ad odtwarzania e(t = z(t x(t przedstawimy powyższe równania jako równania stanu dla wektora (x T (t, e T (t T ẋ(t = Ax(t + BKz(t = Ax(t + BK(e(t + x(t = (A + BKx(t + BKe(t, ė(t = ż(t ẋ(t = Az(t+Bu(t+KC(z(t x(t (Ax(t+Bu(t = (A+KCe(t. L aczny zapis tych równań daje w wyniku ( ( ( ẋ(t A + BK BK x(t = u(t ė(t 0 A + KC e(t Oznacza to, że równanie charakterystyczne uk ladu stabilizacji z obserwatorem jest nastȩpuj ace det(si (A + BKdet(sI (A + KC = 0. 22
23 Zgodnie z otrzyman a zależności a zbiór pierwiastków wielomianu charakterystycznego uk ladu stabilizacji z obserwatorem sk lada siȩ z pierwiastków wielomianu charakterystycznego macierzy A + BK oraz z pierwiastków wielomianu charakterystycznego macierzy A + KC. Dla uk ladu sterowalnego i obserwowalnego możemy za pomoc a doboru macierzy K i K uzyskać zadane po lożenie pierwiastków rozpatrywanych wielomianów w lewej pó lp laszczyźnie zmiennej zespolonej. Wtedy jedynym punktem równowagi uk ladu stabilizacji z obserwatorem jest punkt zerowy i jest on asymptotycznie stabilny. Tak wiȩc uk lad realizuje zadanie stabilizacji zerowego punktu równowagi uk ladu wyjściowego i równocześnie zapewnia zanikanie b lȩdu odtwarzania jego wektora stanu. 23
24 Obserwator uk ladu sterowania przy zak lóceniach o znanych statystykach Rozważmy liniowy niestacjonarny uk lad sterowania poddany zak lóceniom w postaci bia lego szumu, opisany równaniami Ẋ(t = A(tX(t + B(tU(t + W 1 (t, ( Y (t = C(tX(t + W 2 (t, przy czym X(t jest n-wymiarowym wektorem stanu, U(t jest m-wymiarowym wektorem sterowania, Y (t jest p-wymiarowym wektorem wyjść, a W 1 (t i W 2 (t s a wektorowymi bia lymi szumami o wymiarach odpowiednio n i p. Niech ( W 1 (t W (t =. W 2 (t Za lożymy, że szumy W 1 (t i W 2 (t s a nieskorelowane, a ich macierz intensywności jest postaci V (t = ( V 1 (t O O V 2 (t gdzie V 1 (t, V 2 (t s a odpowiednio intensywnościami W 1 (t i W 2 (t. Za lożymy, że V 2 (t jest macierz a dodatnio określon a tj. V 2 (t > 0, t 0. Niech m X0 oznacza wartość oczekiwan a wektora stanu X(t w chwili pocz atkowej t 0 : m X0 = E[X(t 0 ], i niech W X0 oznacza macierz wariancji tego wektora: W X0 = E{[X(t 0 m X0 ][X(t 0 m X0 ] T }. Do danego uk ladu do l aczamy obserwator opisany niestacjonarnym równaniem stanu Ż(t = A 0 (tz(t + B 0 (tu(t + B 1 (ty (t, 24
25 przy czym Z(t jest n-wymiarowym wektorem stanu obserwatora, a A 0 (t, B 0 (t, B 1 (t s a macierzami o wymiarach odpowiednio n n, n m, n p. Macierze te dobierzemy na podstawie równości A 0 (t = A(t K(tC(t, B 0 (t = B(t, B 1 (t, przy czym K(t jest dowoln a macierz a niestacjonarn a. Uwzglȩdniaj ac te zależności przekszta lcamy równanie obserwatora do postaci Ż(t = A(tZ(t + B(tU(t + K(t(y(t CX(t. ( Niech E(t = X(t Z(t bȩdzie b lȩdem (uchybem odtwarzania wektora stanu X(t przez rozpatrywany obserwator. Jakość odtwarzania wektora stanu przez obserwator oceniać bȩdziemy za pomoc a wskaźnika jakości o postaci J. = E[E T (tq(te(t], przy czym Q(t jest dodatnio określon a macierz a wag, zaś E jest operatorem wartości oczekiwanej. Zadanie doboru obserwatora formu lujemy w ten sposób, że należy określić stan pocz atkowy obserwatora Z(t 0 oraz macierz K(t tak, aby wskaźnik jakości J osi aga l minimum. Twierdzenie: Stan pocz atkowy obserwatora Z(t 0 i macierz K(t obserwatora zapewniaj ace minimum wskaźnika jakości J s a określone zależnościami Z(t 0 = m X0, K(t = W E (tc T (tv 1 2 (t (t t 0, przy czym pomocnicza macierz W E (t jest rozwi azaniem równania Riccatiego o postaci Ẇ E (t = A(tW E (t+w E (ta T (t W E (tc T (tv 1 2 (tc(tw E (t+v 1 (t (t t 0, z warunkiem pocz atkowym W E (t 0 = W X0. 25
26 Dowód: Przepiszemy równanie obserwatora w postaci Ż(t = A(tZ(t + B(tU(t + K(t(C(tX(t + W 2 (t C(tZ(t i odejmiemy je od równania danego uk ladu Ẋ(t = A(tX(t + B(tU(t + W 1 (t uzyskuj ac Ẋ(t Ż(t = (A(t K(tC(t(X(t Z(t + W 1(t K(tW 2 (t. Oznacza to, że b l ad odtwarzania wektora stanu spe lnia równanie różniczkowe Ė(t = (A(t K(tC(tE(t + (I K(tW (t z warunkiem pocz atkowym E(t 0 = X(t 0 Z(t 0. Wykażemy, że wskaźnik jakości odtwarzania wektora stanu można przekszta lcić do postaci J = E{E T (tq(te(t} = m T E(tQ(tm E (t + tr( W E (tq(t, przy czym m E (t jest wartości a oczekiwan a E(t, W E (t jest macierz a wariancji E(t, a tr oznacza ślad macierzy. Oznaczaj ac E(t = E 0 (t + m E (t, E 0 (t = E(t m E (t, możemy przekszta lcić wyrażenie dla wskaźnika jakości jak nastȩpuje J = E{(E 0 (t + m E (t T Q(t(E 0 (t + m E (t} = E{E0 T (tq(te 0 (t} + m T E(tQ(tE{E 0 (t}+ E{E0 T (t}q(tm E (t + E{m T E(tQ(tm E (t} = E{E0 T Q(tE 0 (t} + m T E(tQ(tm E (t, gdyż E{E 0 (t} = 0, E{m T E(tQ(tm E (t} = m T E(tQ(tm E (t. 26
27 Niech q ij (t oznacza element macierzy Q(t po lożony w i-tym wierszu i j- tej kolumnie, a E 0i (t - i-t a sk ladow a wektora E 0 (t. Stosuj ac te oznaczenia możemy napisać n E{E0 T (tq(te 0 (t} = E{q ij (te 0i (te 0j (t} i,j=1 n n q ij (te{e 0i (te 0j (t} = q ij (t W Eij (t = tr( W E (tq(t, i,j=1 i,j=1 przy czym W Eij (t = E{E 0i (te 0j (t} jest (i, j-tym elementem macierzy W E (t. Tak wiȩc wskaźnik jakości jest sum a dwóch sk ladowych J = J 1 + J 2, gdzie J 1 = m T E(tQ(tm E (t, J 2 = tr( W E (tq(t. Sk ladowa J 1 jako dodatnio określona forma kwadratowa osi aga minimum dla m E (t = 0. Wykażemy, że zachodzi to w przypadku, gdy Z(t 0 = m X0. Równanie różniczkowe dla uchybu odtwarzania stanu poddamy dzia laniu operatora wartości oczekiwanej uzyskuj ac ṁ E (t = (A(t K(tC(tm E (t, gdyż E{ṁ E (t} = ṁ E (t, E{W (t} = 0. Z definicji uchybu odtwarzania stanu E(t = X(t Z(t wynika, że m E (t 0 = m X0 m X0 = 0. Wielkość m E (t = 0 również dla t > 0, ponieważ jest ona rozwi azaniem liniowego autonomicznego równania różniczkowego z zerowym warunkiem pocz atkowym. Do minimalizacji sk ladnika J 2 zastosujemy znan a z teorii procesów stochastycznych w lasność macierzy wariancji procesu stochastycznego X(t bȩd acego rozwi azaniem równania różniczkowego Ẋ(t = A(tX(t + B(tW (t. Macierz wariancji W X (t procesu X(t spe lnia równanie różniczkowe o postaci Ẇ X (t = A(tW X (t + W X (t + W X (ta T (t + B(tV (tb T (t 27
28 z warunkiem pocz atkowym W X (t 0 = W X0. Z zastosowania tego twierdzenia do równania różniczkowego dla uchybu odtwarzania stanu wynika, że macierz wariancji W E (t uchybu E(t spe lnia równanie różniczkowe W E (t = (A(t K(tC(t W E (t + W E (t(a(t K(tC(t T + ( + I ( ( V 1 (t O I K(t O V 2 (t K T (t = = (A(t K(tC(t W E (t+ W E (t(a(t K(tC(t T +V 1 (t+k(tv 2 (tk T (t z warunkiem pocz atkowym W E (t 0 = W X0. Bior ac pod uwagȩ, że (A(t K(tC(t = (A T (t C T K T (t T, dokonuj ac zamiany t na t t i podstawiaj ac W E (t = P (t t (t = t 0 + t k. możemy równanie dla wariancji uchybu napisać w postaci P (t = (A T (t t C T (t tk T (t t T P (t+ P (t(a T (t t C T (t tk T (t t+ +V 1 (t t + K(t tv 2 (t tk T (t t (t t k, a warunek pocz atkowy zast apić warunkiem końcowym P (t k = W X0. Wykażemy, że forma kwadratowa F (t = x T (t P (tx(t określona za pomoc a macierzy P (t bȩd acej rozwi azaniem ostatniego równania różniczkowego przybiera wartość minimaln a, gdy K T (t t = V 1 2 (t tc(t tp (t, 28
29 przy czym P (t jest rozwi azaniem równania Riccatiego o postaci P (t = P (ta T (t t + A(T tp (t + V 1 (t t P (tc T (t tv 1 2 (t tc(t tp (t (t T k, z warunkiem końcowym P (t k = W X0. Rozważmy obiekt opisany równaniem stanu ẋ(t = A T (t tx(t + C T (t tu(t objȩty ujemnym sprzȩżeniem zwrotnym u(t = K T (t tx(t oraz wskaźnik jakości o postaci I(t = tk t (x T (τv 1 (t tx(τ + u T (τv 2 (t tu(τdτ + x T (t k W X0 x(t k. Dla obiektu ze sprzȩżeniem zwrotnym równanie stanu przybierze postać ẋ(t = (A T (t t C T (t tk T (t tx(t, a wskaźnik jakości można zapisać jako I(t = tk t (x T (τ(v 1 (t t+k(t tv 2 (t tk T (t tx(τdτ+x T (t k W X0 x(t k. Wykażemy, że wskaźnik jakości I(t jest równy formie kwadratowej F (t bȩd acej rozwi azaniem równania różniczkowego dla P (t z zadanym warunkiem końcowym. Różniczkuj ac wskaźnik jakości I(t otrzymujemy I(t = x T (t(v 1 (t t + K(t tv 2 (t tk T (t tx(t. Z kolei różniczkuj ac formȩ kwadratow a F (t uzyskujemy F (t = ẋ T (t P (tx(t + x T P (tx(t + x T (t P (tẋ(t = = x T (t ( (A T (t t C T (t tk T (t t T P (t+ P (t + P (t(a T (t t C T (t tk T (t t x(t. 29
30 Przyrównuj ac do siebie powyższe pochodne, a co za tym idzie formy kwadratowe po prawej stronie równań uzyskujemy równanie różniczkowe dla P (t, a warunek końcowy dla tej wielkości wynika z wyrażenia dla I(t k. Z określenia pomocniczego obiektu sterowania i jego wskaźnika jakości wynika, że optymalne rozwi azanie problemu LKSO dla tego obiektu jest reprezentowane przez macierz K T (t t, a co za tym idzie przez macierz P (t bȩd ac a rozwi azaniem równania Riccatiego przy zadanym warunku końcowym. Równanie różniczkowe dla P (t po podstawieniu zależności dla K T (t t przybiera postać równania dla P (t. Wynika st ad, że P (t P (t (t [t 0, t k ]. Podobnie z porównania równań dla W (t i W E (t wynika, że W E (t W E (t (t [t 0, t k ], tr( W E (tq(t tr(w E (tq(t. Oznacza to, że macierz K(t określona w twierdzeniu zapewnia minimum wskaźnika jakości J. Z powyższych rozważań wynika nastȩpuj acy algorytm syntezy optymalnego obserwatora przy zak lóceniach o znanych statystykach: 1 Maj ac dane macierze A(t, C(t, V 1 (t, V 2 (t i W X0 określamy równanie Riccatiego dla W E (t z zerowym warunkiem pocz atkowym. 2 Stosuj ac jedn a z numerycznych metod rozwi azywania równań różniczkowych Riccatiego wyznaczamy macierz W E (t. 3 Określamy macierz K(t optymalnego obserwatora z zależności K(t = W E (tc T (tv 1 2 (t. Przyk lad: Niech bȩdzie dany liniowy obiekt sterowania opisany równaniami stanu i wyjścia ( ( ( Ẋ(t = X(t + U(t + W 1 (t, Y (t = ( 1 0 X(t + W 2 (t, gdzie W 1 (t i W 2 (t s a skalarnymi nieskorelowanymi bia lymi szumami o tej samej sta lej niezależnej od czasu intensywności V. Określamy równanie Riccatiego dla pomocniczej macierzy W E (t 30
31 ( ( ( ( Ẇ E (t = W E (t+w E (t + W E (t V (1 1 0 W E (t, V 1 przy czym oraz W E (t = ( w 11 (t w 21 (t W E (0 = 0. w 12 (t w 22 (t W tym przypadku macierz K(t optymalnego obserwatora redukuje siȩ do macierzy kolumnowej ( w 11 (t K(t = V 1. w 21 (t 31
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoliniowych uk ladów sterowania
Sterowalność i obserwowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t),
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoSynteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.
Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych
Bardziej szczegółowoSterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.
Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoLiniowe uk lady sterowania.
Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii sterowania
Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowow = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 :
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 11.III.2005 1 I. MACIERZ LINIOWEGO ODWZOROWANIA PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Wyobraźmy sobie, że przestrzeń wektorowa W jest zbudowana z kombinacji liniowych n liniowo
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoStabilność liniowych uk ladów sterowania
Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoTematyka egzaminu z Podstaw sterowania
Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoPo wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:
ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowona p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0
Chapter 1 Interpolacja 1.1 Interpolacja liniowa Zacznijmy opis pojȩcia inter-polacji od prostego przyk ladu. Przyk lad 1.1 Oblicz ile kilometrȯw przejecha l samochȯd po 3 godzinach jazdy, jeżeli po jednej
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoSZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoAsymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoZadania o liczbach zespolonych
Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowoOpis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk
Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoWyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoGeometria odwzorowań inżynierskich Zadania 02
Scriptiones Geometrica Volumen I (2007), No. Z2, 1 3. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 02 1. Odwzorowania w rzucie równoleg lym. Przekroje cd. Konstrukcje p laskie 1.1. Przekszat lcenia na p
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoSterowanie napędów maszyn i robotów
Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Zadanie przestawiania Postać modalna
Bardziej szczegółowoPierwiastki arytmetyczne n a
Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowo