Iwona Müller - Frączek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolsie Seminarium Nauowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaera Eonomerii i Saysyi, Uniwersye Miołaa Kopernia w Toruniu Iwona Müller - Frącze Uniwersye Miołaa Kopernia w Toruniu Wyorzysanie muliczęsościowego moelu Marowa o opisu zmienności szeregów finansowych. Wsęp W ciągu minionych 0 la, oą o moelowania szeregów finansowych wyorzysano procesy mulifraalne (Manelbro, Fisher, Calve, 997), poeście aie zysue na popularności. Poawiaą się nowe werse moeli, inne meoy esymaci oraz oonywane są próby wyorzysania mulifraali w zaganieniach szczegółowych. W referacie przywołano moel mulifraalne zmienności sochasyczne, zwany muliczęsościowym moelem Marowa, zaproponowany o opisu ursów wymiany walu przez Calvea i Fishera (2004). Wyorzysano zawarą w e pracy proceurę esymaci paramerów aiego moelu o baania szeregów finansowych pochozących z GPW w Warszawie. 2. Opis muliczęsościowego moelu Marowa W moelach zmienności sochasyczne załaa się, że proces innowaci, { x = X X } pochozący o procesu eonomicznego { X } o uże zmienności (np. logarymiczna cena aywu finansowego), a się przesawić w posaci: = σ ε. () x W opisie ym wysępuą wa niezależne o siebie źróła losowości: proces { ε } niezależnych zmiennych losowych o sanarowym rozłazie normalnym oraz sochasyczny proces zmienności chwilowe { σ }, óry może przymować różną posać w zależności o onrenego moelu.

2 60 Iwona Müller -Frącze W moelu mulifraalnym proces en ma posać mulipliaywną: σ = σ, (2) M, M 2,... M, w óre σ es oanią sałą, a la órych M M, M 2, M, są nieuemnymi czynniami losowymi, E(, ) =. Doaowo załaa się, że la usalonego, wszysie czynnii,,..., M, są saysycznie niezależne, a wey paramer σ es równy bezwarunowemu ochyleniu sanarowemu innowaci x. W mulifraalnym moelu Marowa przymue się ponao, że = ( M,, M 2,,..., M ) es procesem Marowa rzęu pierwszego. Nieawne M, M M, możemy wówczas nazywać weorem sanu zmienności, a ażą - M, zmienną sanu zmienności. Poszczególne zmienne opowiaaą różnym częsościom wysępowania zawis maących wpływ na zmienność procesu. Masymalna opuszczalna częsość = 2,3,... es z góry przymowana. Dynamia procesu { σ } es onsewencą onsruci olenych weorów sanu zmienności. Konsruca a es ieracyna. Bazue ona na enaowym, z góry zaanym, rozłazie M la wszysich mnożniów oraz prawopoobieńswach prześcia γ różnych la poszczególnych częsości. W olenych roach ieraci, znaąc weor sanu późnieszego weora M M. Dla owolnego, worzymy poszczególne słaowe =,..., mogą zaść wie syuace: z prawopoobieńswem prześcia γ słaowa M, es niezależnie losowane z rozłau M albo z prawopoobieńswem przeciwnym zachowue warość z poprzenie chwili czyli. M, Na weor prawopoobieńsw γ = γ, γ,..., γ ) nałaa się założenia: ( γ )( b ) ( 2 γ =, (3). Powouą one, że opisany moel z czasem ysrenym es zbieżny o zw. mulifraali Poissona, la órych poane zosały eoreyczne posawy prognozowania zmienności (Calve, Fisher, 200). W prayce wyorzysue się wa ypy muliczęsościowych moeli Marowa, een z czynniami o rozłazie wupunowym, rugi normalnym. Są one barzo oszczęnie parameryzowane, a ilość paramerów nie zależy o załaane masymalne częsości boźców ziałaących na sysem. W pierwszym przypau załaa się, że czynni M może przyąć warość gzie γ ( 0,), b ( 0, ) albo m0 2 m0 ( ) z enaowym prawopoobieńswem. Moel posiaa wówczas ylo czery paramery ψ m σ, b, γ nawe przy uże ilości sanów 0, (np. 28 la = 7 ). Paramery moelu można esymować meoę nawięsze wiarygoności, opisaną (na posawie Calve, Fisher, 2004) w nasępnym

3 Wyorzysanie muliczęsościowego moelu Marowa o opisu zmienności... 6 puncie i wyorzysaną w baaniach empirycznych. Przyłaową symulowaną raeorię aiego moelu przesawiono na wyresie. 0,0 0,08 0,06 0,04 0,02 x() 0,00-0,0 2-0,0 4-0,0 6-0,0 8 Wyres. Symulaca muliczęsościowego moelu Marowa z czynniami o rozłazie wupunowym = 4, m 0 =. 23, σ = 0. 02, b = 5, γ = Źróło: obliczenia własne. Moel z czynniami o rozłazie normalnym posiaa pięć paramerów, ena o ich esymaci, ze wzglęu na niesończoną liczbę sanów, nie można sosować e same meoy co w pierwszym przypau. W ym celu wyorzysue się uogólnioną meoę momenów przesawioną przez Luxa (200). 3. Esymaca paramerów moelu Weor zmienności chwilowe wupunowym przymue. Dynamię łańcucha Marowa { M 0,..., T} A = ( a i ) i, a i,, o elemenach: = P M = 2 warości: la czynniów losowych o rozłazie 2 m, m,..., m R+, = charaeryzue wówczas macierz prześcia i ( M = m M = m ) = ( ) i { m = m } + γ + γ. (4) 2 = Niech n(.) oznacza gęsość sanarowego rozłau normalnego, naomias g(m) oznacza iloczyn wszysich współrzęnych weora m. Można poazać, że w przypau opisywanego moelu logarym funci wiarygoności ma posać: gzie ln L ω T ( x,..., x ; ψ ) = [ ω( x ) ( A)] ln T = n ( ) ( x / σ g( m ) x σ g( m ) Π ( x ( ) / σ g m σ g( m ) =,..., n, (5), (6)

4 62 Iwona Müller -Frącze naomias weor Π = ( Π,..., Π ) es weorem warunowych prawopoobieńsw ( M = m x x ) Π = P,...,, (7) óre można wyznaczyć reurencynie zaaąc weor począowy ( 2,..., ) Π 0 = 2 oraz regułę: ( x+ ) ( Π A) ( x ) ( Π A) ω Π+ =. (8) [ ω ]' ι + Wysępuący w powyższym wzorze symbol oznacza ziałanie, órego wyniiem es weor, o i-e współrzęne bęące iloczynem i-ych współrzę- ι =,..., R. nych weorów słaowych, naomias ( ) 4. Przyła empiryczny Omówioną w poprzenim puncie proceurę wyorzysano o esymaci paramerów Muliczęsościowego Moelu Marowa la rzech szeregów pochozących z Gieły Papierów Warościowych w Warszawie. Baaniu poano zienne logarymiczne sopy zwrou inesu WIG20 oraz spółe Irena i Żywiec za ores o począu 995 rou o ońca sycznia rou Niesey nie powioła się próba opasowania mulifraalnego moelu zmienności la aci (masymalizaca logarymiczne funci wiarygoności nie awała sensownych rezulaów). Wynii, óre orzymano la inesu WIG20 przesawiono w abeli. Tabela. Paramery moelu la WIG20 moel = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 Źróło: obliczenia własne. m σ b 0 γ lnl Wynii, óre orzymano są zbliżone o ych, óre prowazono la rószego o ooło 500 obserwaci szeregu (Müller-Frącze (2005)). Może o świaczyć o pewne sabilności meoy esymaci. Wyae się, że wybór masymalne częsości ma wpływ na wielość paramerów moelu szczególnie la małych, naomias w miarę zwięszania ilo-

5 Wyorzysanie muliczęsościowego moelu Marowa o opisu zmienności ści możliwych sanów ego znaczenie się zmniesza. Oczywiście, sposrzeżenie aie należałoby eszcze powierzić alszymi baaniami. 5. Posumowanie Wynii przesawionych baań empirycznych nie aą enoznaczne opowiezi na pyanie, czy proponowany pierwonie la innych szeregów finansowych Muliczęsościowy Moel Marowa może być z powozeniem sosowany la noowań spółe giełowych. Niepowozenie proceury esymacyne nie musi wyniać ze złych charaerysy szeregów, ale może być spowoowane innymi czynniami, np. numerycznymi. Konieczne są alsze baania, szczególnie aci pochozących z orzalszych rynów finansowych. Lieraura Calve, L., Fisher, A. (200), Forecasing Mulifracal Volailiy, Journal of Economerics, nr 05. Calve, L., Fisher, A. (2002) Mulifracaliy in Asse Reurns: Theory an Evience, The Review of Economics an Saisics, nr 33. Calve, L., Fisher, A, (2004), Regime Swiching an he esimaion of Mulifracal Processes, Journal of Financial Economerics, nr 2. Calve, L., Fisher, A., Manelbro, B. B. (997), Large Deviaion an he Disribuion of Price Changes, Maeriały ysusyne Cowles Founaion for Economics, Yale Universiy (hp://finance.commerce.ubc.ca./~fisher/hrufen.hml). Fisher, A., Calve, L., Manelbro, B. B. (997), Mulifracaliy of Deuschemar / US Dollar Exchange Raes, Maeriały ysusyne Cowles Founaion for Economics, Yale Universi (hp://finance.commerce.ubc.ca./~fisher/hrufen.hml). Lux, T. (200), The Mulifracal Moel of Asse Reurns: Simple Momen an GMM Esimaion, Maeriały ysusyne Kiel Universiy. Manelbro, B. B., Fisher, A., Calve, L. (997), A Mulifracal Moel of Asse Reurns, Maeriały ysusyne Cowles Founaion for Economics, Yale Universiy (hp://finance.commerce.ubc.ca./~fisher/hrufen.hml). Müller-Frącze, I. (200), Moele MMAR na Warszawsie Giełzie Papierów Warościowych, Dynamiczne Moele Eonomeryczne, Toruń. Müller-Frącze, I. (2005), Moele mulifraalne na rynach finansowych, w ruu. Müller-Frącze, I. (2006), Mulifraalny moel zmienności, w ruu.