IDENTYFIKACJA CHAOSU DETERMINISTYCZNEGO NA PODSTAWIE LICZBY NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW

Transkrypt

1 Suia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN Nr Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wyział Zarzązania Kaera Maemayki kaarzyna.zeug-zebro@ue.kaowice.pl IDENTYFIKACJA CHAOSU DETERMINISTYCZNEGO NA PODSTAWIE LICZBY NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW Sreszczenie: Narzęzia służące o ienyfikacji chaosu, pozwalają zwykle na wykrycie jeynie pojeynczego arybuu ynamiki chaoycznej, np. wrażliwości na zmianę warunków począkowych, zaem przeprowazenie barziej wnikliwej analizy anych wymaga uwzglęnienia uzupełniających się meo. Celem arykułu bęzie ienyfikacja chaosu eerminisycznego na posawie lokalnej aproksymacji wielomianowej, największego wykłanika Lapunowa oraz współczynnika DETM. W baaniach wykorzysane zosaną finansowe szeregi czasowe uworzone z cen zamknięcia wybranych ineksów gieł świaowych. Słowa kluczowe: chaos eerminisyczny, szeregi czasowe, lokalna aproksymacja wielomianowa, wykłanik Lapunowa, współczynnik DETM. Wprowazenie Analiza błęów ex pos prognoz orzymanych w wyniku zasosowania lokalnej aproksymacji wielomianem sopnia pierwszego, może być wykorzysana o ienyfikacji chaosu eerminisycznego w szeregach czasowych. Isoą akiego baania jes (nieuowoniona formalnie) hipoeza, iż w przypaku szeregów chaoycznych, najniższą warość błęów prognozy uzyskuje się la niewielkich warości liczby najbliższych sąsiaów K, wykorzysanych o oszacowania współczynników wielomianu aproksymującego. W przeciwnym razie, j. gy najokłaniejszą prognozę orzymamy la użej liczby najbliższych sąsiaów, szereg jes realizacją liniowego procesu auoregresyjnego. Pośrenie warości K wskazują na konieczność zasosowania pewnego nieliniowego moelu sochasycznego [Casagli, 992; Orzeszko, 2005].

2 20 Celem arykułu jes klasyfikacja szeregów czasowych, j. oróżnienie eerminisycznych szeregów czasowych o losowych, na posawie lokalnej aproksymacji wielomianowej, największego wykłanika Lapunowa oraz współczynnika DETM. W baaniach wykorzysane zosały finansowe szeregi czasowe, uworzone z cen zamknięcia wybranych ineksów gieł świaowych oraz szereg chaoyczny wygenerowany przez owzorowanie logisyczne.. Ienyfikacja chaosu eerminisycznego Isnieje wiele różnych narzęzi, pozwalających na ienyfikację chaosu eerminisycznego w szeregach czasowych. Najczęściej sosowanymi w baaniach meoami są: największy wykłanik Lapunowa, wymiar korelacyjny, es BDS oraz analiza przeskalowanego zakresu R/S. Do mniej znanych należą m.in. współczynnik DETM oraz meoa opierająca się na moelu lokalnej aproksymacji wielomianowej. Ponieważ meoy ienyfikacji chaosu pozwalają zwykle na wykrycie jeynie pojeynczego arybuu ynamiki chaoycznej, np. wrażliwości na zmianę warunków począkowych, zaem przeprowazenie pełnej analizy anych wymaga uwzglęnienia uzupełniających się meo... Współczynnik DETM Współczynnik DETM [Nowiński, 2007] pozwala ocenić, w jakim sopniu zrekonsruowany ukła ynamiczny zachowuje własność ciągłości procesu w przesrzeni sanów. Jego posawą jes wierzenie Takensa o zanurzeniu [Takens, 98]: Twierzenie Takensa o zanurzeniu [Orzeszko, 2005; Zawazki, 996]: Niech M bęzie zwarą, m wymiarową rozmaiością różniczkową. Dla par (f, h), gzie f Diff 2 (M, M) h C 2 (M, R) własnością generyczną jes, że la 2m + owzorowanie Φ jes zanurzeniem, j. yfeomorfizmem 2 klasy C owzorowującym M na Φ (f, h) (M). 2 Pojęcie własności generycznej oznacza w ym przypaku, że zbiór par (f, h), la kórych Φ (f, h) jes zanurzeniem, worzy zbiór owary i gęsy w opowieniej przesrzeni funkcji [Zawazki, 996, s. 206]. Owzorowanie f : m m nazywamy yfeomorfizmem klasy C r, (r 0), jeżeli jes owracalne oraz f i f należą o C r.

3 Ienyfikacja chaosu eerminisycznego na posawie liczby 2 Owzorowanie Φ : M R R przekszałca sany sysemu w -wymiarowe wekory opóźnień x ˆ = ( x, x τ,..., x ( ) τ ) (zwane również hisoriami) zgonie ze wzorem: τ ( ) τ Φ x = h( x), h( f x ),..., h( f ) () [ ] ( f, h)( ) ( ) ( x) zn. Φ ( x() ) =, gzie jes wymiarem zanurzenia i τ jes pewną liczbą nauralną, zwaną opóźnieniem czasowym. Powyższe wierzenie głosi, że la 2m + przesrzenie (M, f) i (Φ(M), F) są yfeomorficzne (gzie funkcja F : R R opisuje ynamikę -hisorii, że x = ). Funkcję F określa się jako funkcję opologicznie sprzężoną 3 ( ) F ˆ + z pierwoną funkcją f, co oznacza m.in. że owzorowanie F zachowuje własność ciągłości rajekorii w przesrzeni sanów. Zaem la każej pary punków (x i, x j ) zrekonsruowanej przesrzeni spełniony jes warunek: < α ( x ) F( x ) < β xi x j F i j β > 0 α > 0 gzie jes normą eukliesową, mierzącą oległość mięzy wekorami. Własność a pokazuje, że obrazy bliskich punków ukłau muszą znajować się akże blisko siebie w zrekonsruowanej przesrzeni sanów. Ciągłość owzorowania jes cechą procesów eerminisycznych i może być wykorzysana o oróżniania procesów losowych o chaoycznych [Miśkiewicz-Nawrocka, 202]. Algorym wyznaczania współczynnika DETM la szeregu obserwacji {x, x 2,, x N } przebiega weług nasępujących kroków: Krok. W zrekonsruowanej przesrzeni sanów wyznaczamy najbliższego sąsiaa k punku ˆ x (,,..., = x x+ x+ ), k, k =,, N, kóry minimalizuje oległość eukliesową wekora o wszyskich wekorów w ej samej -wymiarowej przesrzeni. Krok 2. Nasępnie wyznaczamy najbliższego sąsiaa k + obrazu punku, j. +. (2) 3 Owzorowania f : X X i F : Y Y, gzie X, Y są przesrzeniami merycznymi, nazywamy opologicznie sprzężonymi, jeśli isnieje homeomorfizm h : X Y aki, że la każego x X zachozi X h o f = F o h, zn. nasępujący iagram h Y f F X h jes przemienny [Zawazki, 996, s. 43]. Y

4 22 Krok 3. Dla α = β = 0,3σ, gzie σ jes ochyleniem sanarowym oległości mięzy punkami w zrekonsruowanej przesrzeni sanów, wyznaczamy zbiór Z par najbliższych sąsiaów, la kórych spełniony jes warunek k < α + k + < β (3) h : X Y Krok 4. W kolejnym kroku obliczamy współczynnik DETM [Nowiński, 2007, s. 49] ze wzoru: Z DETM ( N +) (4) gzie Z oznacza moc zbioru:, : < α x < β (5) {( ) } Z = ˆ k k + k + N jes liczbą obserwacji szeregu, zaś jes wymiarem zanurzenia. Warość współczynnika DETM oblicza się la różnych warości wymiaru zanurzenia. Szereg czasowy jes szeregiem eerminisycznym jeśli wraz ze wzrosem warości wymiaru zanurzenia, warość współczynnika DETM jes większa o zera. Dla procesów ściśle chaoycznych można usalić okłaną zależność mięzy warością DETM a wymiarem zanurzenia, zaś la owolnych procesów eerminisycznych jes o niemożliwe [Miśkiewicz-Nawrocka, 202, s. 99]..2. Największy wykłanik Lapunowa Wykłaniki Lapunowa są miarą wrażliwości ukłau ynamicznego na zmianę warunków począkowych. Doania warość największego wykłanika Lapunowa λ max jes barzo częso uznawana za warunek konieczny i wysarczający, jeśli chozi o obecność chaosu w ukłazie ynamicznym. H. Kanz [994], M.T. Rosensein i inni baacze [993] zaproponowali algorym wyznaczania charakerysyki λ max : Krok. Wyznaczyć zbiory Z, złożone z K najbliższych sąsiaów j wekorów opóźnień, spełniających warunek j > *, gzie * jes usaloną liczbą nauralną. Doany warunek zwiększa prawopoobieńswo, że znaleziony sąsia nie bęzie należał o rajekorii wekora.

5 Ienyfikacja chaosu eerminisycznego na posawie liczby 23 Krok 2. Obliczyć: r n () = K j Z x + n x j + n, =,2,, M; n = 0,,, n max gzie: M = N ( )τ, n max jes usaloną liczbą nauralną, określająca liczbę ieracji. Krok 3. Wyznaczyć śrenią z r n (i) po wszyskich hisoriach: r n = M M rn = Krok 4. Największy wykłanik Lapunowa jes współczynnikiem regresji: ln(r n ) = ln(r 0 ) + λ max n (8) ().3. Lokalna aproksymacja wielomianowa Wyznaczenie przyszłych warości chaoycznych szeregów czasowych, opiera się na wspomnianym już wierzeniu Takensa o zanurzeniu, z kórego wynika, iż la opowienio użej warości wymiaru isnieje funkcja F T : R R, spełniająca warunek [Jimenez i in., 992]: xn + T = FT ( xn, xn τ xn 2 τ,... xn ( ) τ ) (9) W meozie preykcji zwanej lokalną aproksymacją wielomianową, za funkcję F T przyjmuje się najczęściej wymiarową funkcję wielomianową sopnia pierwszego, j.: F T ( x, x2,..., x ) = α 0 + αx + α 2 x α x W celu oszacowania paramerów α i wielomianu (0) sosuje się klasyczną meoę najmniejszych kwaraów. Przeprowaza się ją na posawie nasępujących par: ˆ, x, i =, 2,, K () gzie ( ) x + T i są najbliższymi sąsiaami wekora i i N w sensie meryki eukliesowej. W przypaku, gy liczba najbliższych sąsiaów K jes mniejsza o liczby wszyskich osępnych wekorów opóźnień, mamy o czynienia z lokalną aproksymacją. Jeśli zaś K = N ( )τ, proceura aproksymacji wielomianem sopnia pierwszego sprowaza się o zasosowania regresji liniowej. Właściwy wybór liczby najbliższych sąsiaów ma, poobnie jak obór paramerów rekonsrukcji przesrzeni sanów (, τ), isony wpływ na jakość prognozy. Najbarziej opowienia warość K zależy m.in. o liczby osępnych wekorów opóźnień, a akże o przebiegu funkcji w ooczeniu prognozowanego sanu [Orzeszko, 2005]. (6) (7) (0)

6 24 Algorym wyznaczania liczby najbliższych sąsiaów zaproponowany w 994 r. przez L.A. Smiha [994, s. 372] przebiega weług nasępujących eapów [Orzeszko, 2005, s. 69]: Krok. Wybrać K najbliższych sąsiaów wekora N, ak aby byli opowienio oaleni w czasie o siebie i N. Krok 2. Dla każego z wybranych punków K (la różnych warości K) zbuować osobne preykaory i obliczyć błęy prognoz ex pos. Krok 3. Nasępnie la każego K, oszacować oczekiwany błą prognozy wekora jako sumę błęów prognoz orzymanych la rozważonych punków. N Krok 4. Osaecznie właściwym wyborem liczby najbliższych sąsiaów K jes warość, la kórej minimalizowany jes oczekiwany błą prognozy. Doakowo wyniki prognozowania lokalną aproksymacją wielomianową można wykorzysać o ienyfikacji chaosu eerminisycznego w szeregach czasowych [Casagli, 992; Orzeszko, 2005, s. 69]: szereg czasowy ma charaker chaoyczny, jeśli zasosowanie niewielkiej liczby najbliższych sąsiaów K, wykorzysanych o oszacowania współczynników lokalnego wielomianu aproksymującego, prowazi o najokłaniejszych prognoz, szereg czasowy jes realizacją liniowego procesu auoregresyjnego, jeśli la użych warości K uzyskuje się najmniejsze błęy, pośrenie wielkości parameru K sugerują porzebę rozważenia pewnego nieliniowego moelu sochasycznego. 2. Przemio i przebieg baania Przemioem analizy w niniejszym arykule są zarówno ane finansowe, jak i wygenerowany szereg chaoyczny. Rzeczywise szeregi czasowe 4 uworzono z cen zamknięcia wybranych ineksów gieł świaowych, j. CAC40 (CAC) ineks na Giełzie Paryskiej, FTSE250 (FTM) ineks gieły w Lonynie, HANGSENG (HSI) ineks na Giełzie Papierów Warościowych w Hongkongu, NIKKEI225 (NKX) ineks na Tokijskiej Giełzie Papierów Warościowych, S&P500 (SPX) ineks gieły w Nowym Jorku oraz WIG ineks Gieły Papierów Warościowych w Warszawie. Dane rzeczywise obejmują okres o r. o r. Długość analizowanych szeregów finansowych po- 4 Dane pochozą z archiwum noowań Gieły Papierów Warościowych w Warszawie, osępnych na sronie inerneowej [www ].

7 Ienyfikacja chaosu eerminisycznego na posawie liczby 25 zwala na orzymanie wiarygonych rezulaów. Przeanalizowano obserwacje, kóre były ziennymi logarymicznymi sopami zwrou. Doakowo baaniu poano szereg chaoyczny, wygenerowany przez owzorowanie logisyczne, kóry sanowił punk oniesienia o inerpreacji wyników orzymanych la anych ekonomicznych. Szereg en skłaał się z 3 ys. obserwacji i zosał skonsruowany nasępująco: Logis szereg wygenerowany przez owzorowanie logisyczne: f(x ) x + = 4x ( x ) (2) la x 0 = 0,7. Ienyfikacja chaosu eerminisycznego w baanych szeregach czasowych przebiegała weług nasępujących kroków:. Rekonsrukcja przesrzeni sanów meoą opóźnień uworzenie -hisorii. 2. Ienyfikacja chaosu eerminisycznego: oszacowanie największego wykłanika Lapunowa, oszacowanie współczynnika DETM, prognozowanie meoą lokalnej aproksymacji wielomianowej ocena jakości wyznaczonych prognoz wzglęnym błęem preykcji: σ T N 2 = + N N2 σ T = N+ ~ 2 ( x x ) 00% T T (3) gzie: x T jes rzeczywisą warością baanej zmiennej w momencie T, x~ T jes prognozą warości zmiennej w momencie T, σ jes ochyleniem sanarowym szeregu obserwacji, N 2 jes liczbą nauralną oznaczającą oległość okresu prognozowanego o okresu bieżącego (N = N + N 2 ). Przeprowazone baania empiryczne pozwoliły za pomocą meoy opóźnień zrekonsruować przesrzeń sanów [Zeug-Żebro, 2002]. Sosując meoę oparą na analizie funkcji auokorelacji ACF [Ramsey i in., 990], oszacowano czas opóźnień τ, naomias za pomocą meoy najbliższego pozornego sąsiaa FNN [Abarbanel i in., 992], obliczono wymiar zanurzenia (ab. ). Nasępnie w celu ienyfikacji chaosu eerminisycznego w wybranych szeregach czasowych, w pierwszej kolejności oszacowano największy wykłanik Lapunowa. W baaniu posłużono się algorymem H. Kanza i M.T. Rosenseina, jako liczbę sąsiaów przyjęo K = oraz warość * = 0. Nasępnie zasosowano regresję liniową o przybliżania linią prosą wykresu zależności warości lnr n o numeru ieracji n. W abeli przesawiono wyniki szacowania największego wykłanika Lapunowa la analizowanych szeregów czasowych 5. 5 Obliczenia przeprowazono w oparciu o program własny auora, napisany w języku programowania Delphi.

8 26 Tabela. Warości paramerów rekonsrukcji przesrzeni sanów la wybranych szeregów czasowych Szereg Opóźnienie czasowe Wymiar zanurzenia Wykłanik Lapunowa λ max LOGIST 2 0,693 (R 2 = ) CAC ,0003 (R 2 = 0,239) FTM 9 7 0,23 (R 2 = 0,369) HSI 2 6 0,0009 (R 2 = 0,295) NKX 6 6 0,008 (R 2 = 0,363) SPX 4 6 0,00 (R 2 = 0,33) WIG 6 7 0,0029 (R 2 = 0,349) Można zauważyć, iż prawie wszyskie objęe baaniem szeregi czasowe są wrażliwe na zmianę warunków począkowych (λ max > 0 i R 2 > 0,3). Jenakże niewielkie warości największego wykłanika Lapunowa, oszacowanego la szeregów finansowych mogą świaczyć jeynie o nieznacznym poziomie chaosu w ych sysemach. W kolejnym kroku baań oszacowano warości współczynnika DETM. Proceurę obliczania ej miary przeprowazono la różnych warości wymiaru zanurzenia = 2,3,,0. W obliczeniach przyjęo warości paramerów α = β = 0,3σ, gzie σ jes ochyleniem sanarowym analizowanego szeregu. W abeli 2 przesawiono warości miary DETM, oszacowane la wybranych szeregów czasowych. Tabela 2. Współczynnik DETM la finansowych szeregów czasowych Szereg LOGIST 0, , , ,9993 0,666 0,4262 0,969 0,0973 0,05945 CAC 0, , ,2242 0, , , FTM 0, , ,275 0,0449 0, ,0058 0, , ,0000 HSI 0, , ,3083 0,0363 0, , , NKX 0, ,285 0,388 0,0774 0, SPX 0, , ,305 0,0460 0, , WIG 0, , ,005 0,0773 0,0002 0, Dla szeregów LOGIST i FTM współczynnik DETM przyjmuje warości większe o zera przy zwiększanym wymiarze zanurzenia. Jes o cecha charakerysyczna ukłaów eerminisycznych. W przypaku pozosałych szeregów finansowych współczynnik en uzyskuje warości oanie ylko la niskich wymiarów zanurzenia.

9 Ienyfikacja chaosu eerminisycznego na posawie liczby 27 W celu wyznaczenia prognozy meoą lokalnej aproksymacji wielomianem pierwszego sopnia, przeprowazono esymację paramerów α i klasyczną meoą najmniejszych kwaraów, w oparciu o K najbliższych sąsiaów punku oraz opowienie warości paramerów rekonsrukcji przesrzeni sanów (ab. ). Aby znaleźć najbliższych sąsiaów posłużono się meryką eukliesową. W abeli 3 przesawiono zesawienie najmniejszych błęów preykcji i opowiaające im warości parameru K. Tabela 3. Najmniejsze błęy prognozy i liczba najbliższych sąsiaów K la analizowanych szeregów finansowych Szereg Warość K Błą prognozy CAC 32 0,6846 FTM 75 0,85033 HSI 7 0,7247 NKX 000,27742 SPX 949 0,46499 WIG 46 0,82722 M Nasępnie w celu weryfikacji hipoezy, że szereg czasowy ma charaker chaoyczny (j. jeśli zasosowanie niewielkiej liczby najbliższych sąsiaów K, wykorzysanych o oszacowania współczynników lokalnego wielomianu aproksymującego, prowazi o najokłaniejszych prognoz), pokazano wpływ oawania szumu losowego o szeregu chaoycznego na przebieg wykresów, przesawiających zależność błęu prognozy o liczby najbliższych sąsiaów. Na rysunku zilusrowano opisaną zależność, la szeregu wygenerowanego przez owzorowanie logisyczne, po oaniu o niego skłanika losowego o ochyleniu sanarowym równym: 50%σ, 00%σ, 50%σ, gzie σ jes ochyleniem sanarowym baanego szeregu pozbawionego szumu (reprezenowanego przez ciąg liczb pseuolosowych) [Orzeszko, 2005, s. 25]. Powyższe wykresy pokazują, że im większy poziom oawanego szumu, ym orzymane wyniki charakeryzują się większym błęem preykcji i większą warością parameru K, la kórego prognoza była najokłaniejsza. Waro również zwrócić uwagę na zmianę kszału wykresu w zależności o poziomu oawanego szumu. Wykresy na rys. 2 przesawiają zależność błęu prognozy o warości parameru K la wybranych szeregów finansowych.

10 28 K = 7 0%σ, K = 5 00%σ, K = 22 50%σ, K = 29 Rys.. Błęy prognoz wyznaczone w zależności o liczby najbliższych sąsiaów Źróło: [Orzeszko, 2005, s. 26]. Wyniki baań oyczące analizy zależności błęu prognozy o parameru K, pokazały wyraźną różnicę mięzy wykresami orzymanymi la wybranych szeregów finansowych i szeregu chaoycznego. Liczba najbliższych sąsiaów, kórej opowiaa najmniejszy błą preykcji sugeruje, iż baane szeregi finansowe (CAC, FTM, WIG) są realizacjami nieliniowych procesów sochasycznych. Wykresy orzymane la ych szeregów są poobne o wykresu szeregu chaoycznego z oanym silnym szumem losowym. Warości parameru K uzyskane la szeregów NKX i SPX mogą świaczyć o ym, że są one realizacjami liniowych procesów auoregresyjnych.

11 Ienyfikacja chaosu eerminisycznego na posawie liczby 29 CAC FTM Błą prognozy 2,8,6,4,2 0,8 0, Błą prognozy,3,2, 0,9 0, K K Błą prognozy HSI 6,5 5,5 4,5 3,5 2,5,5 0, K Błą prognozy NKX 3,7 3,2 2,7 2,2,7, K Błą prognozy SPX 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0, K Błą prognozy WIG,,05 0,95 0,9 0,85 0, K Rys. 2. Błęy prognoz wyznaczone w zależności o liczby najbliższych sąsiaów wyznaczone la analizowanych szeregów finansowych Posumowanie W opracowaniu przeprowazono ienyfikację chaosu eerminisycznego w wybranych finansowych szeregach czasowych, na posawie lokalnej aproksymacji wielomianowej, największego wykłanika Lapunowa oraz współczynnika DETM. Wyniki baania empirycznego pokazały, że wraz ze wzrosem liczby najbliższych sąsiaów, błą prognozy zaczyna się sabilizować. Niska warość parameru K orzymana la HSI może wskazywać na isnienie w baanym szeregu chaosu eerminisycznego. Niesey wynik en nie zosał powierzony przez pozosałe miary. Pośrenie warości parameru K orzymane la szeregów finansowych CAC i WIG, sugerują, że przebaane szeregi są realiza-

12 30 cjami pewnych nieliniowych moeli sochasycznych. Niskie warości wykłanika λ max oraz wielkości współczynnika DETM, uzyskane la ych szeregów wskazują na brak cech chaoycznych. Mimo że szeregi NKX i SPX wykazały wrażliwość na zmianę warunków począkowych, pozosałe meoy nie powierziły ich chaoycznego charakeru. Jeynie w przypaku szeregu FTM wie miary, j. największy wykłanik Lapunowa i współczynnik DETM, wskazują na isnienie pewnych zależności eerminisycznych. Posumowując, należy swierzić, iż przeprowazona ienyfikacja chaosu na posawie analizy błęów prognoz nie powierziła chaoycznego charakeru finansowych szeregów czasowych. Nie wyklucza ona jenak możliwości, że szeregi e są realizacjami chaosu eerminisycznego z silnym szumem. Lieraura Abarbanel H.D., Brown R., Kennel M.B. (992), Deermining Embeing Dimension for Phase Space Reconsrucion Using a Geomerical Consrucion, Physical Review A, Vol. 45(6), s Casagli M. (992), Chaos an Deerminisic versus Sochasic Non-linear Moelling, Journal of he Royal Saisical Sociey B, Vol. 54, No. 2, s Jimenez J., Moreno J.A., Ruggeri G.J. (992), Forecasing on Chaoic Time Series: A Local Opimal Linear-reconsrucion Meho, Physical Review A, Vol. 45, No. 6, s Kanz H. (994), A Robus Meho o Esimae he aximal Lyapunov Exponen of a Time Series, Physical Leers A, Vol. 85(), s Miśkiewicz-Nawrocka M. (202), Zasosowanie wykłaników Lapunowa o analizy ekonomicznych szeregów czasowych, Wyawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego, Kaowice. Nowiński M. (2007), Nieliniowa ynamika szeregów czasowych w baaniach ekonomicznych, Wyawnicwo Akaemii Ekonomicznej, Wrocław. Orzeszko W. (2005), Ienyfikacja i prognozowanie chaosu eerminisycznego w ekonomicznych szeregach czasowych, Polskie Towarzyswo Ekonomiczne, Warszawa. Ramsey J.B., Sayers C.L., Rohman P. (990), The Saisical Properies of Dimension Calculaions Using Small Daa Ses: Some Economic Applicaions, Inernaional Economic Review, Vol. 3, No. 4, s Rosensein M.T., Collins J.J., Luca C.J. e (993), A Pracical Meho for Calculaing Larges Lyapunov Exponens from Small Daa Ses, Physica D, Vol. 65, s Smih L.A. (994), Local Opimal Preicion; Exploiing Srangeness an he Variaion of Sensiviy o Iniial Coniion, Philosophical Transacions of he Royal Sociey o Lonon A, Vol. 348, s

13 Ienyfikacja chaosu eerminisycznego na posawie liczby 3 Takens F. (98), Deecing Srange Aracors in Turbulence [w:] D.A. Ran, L.S. Young (es.), Lecure Noes in Mahemaics, Springer, Berlin, s Zawazki H. (996), Chaoyczne sysemy ynamiczne, Wyawnicwo Akaemii Ekonomicznej, Kaowice. Zeug-Żebro K.. (202), Wpływ oboru meo wyznaczania paramerów rekonsrukcji przesrzeni sanów ukłau ynamicznego na okłaność prognoz, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie, nr 898, s [www ] (osęp: ). THE IDENTIFICATION OF DETERMINISTIC CHAOS BASED ON THE NUMBER OF NEAREST NEIGHBORS Summary: Mehos of chaos ienificaion ypically allow eecion of only a single aribue of he chaoic ynamics, such as e.g. a sensiiviy o change of he iniial coniions, herefore, o carry ou a full analysis of he aa requires consieraion of he complemenary mehos. The aim of he aricle will be ienificaion of chaoic ynamics in selece ime series base on a local polynomial approximaion, he larges Lyapunov exponen an he coefficien DETM. The es will be conuce base on he financial ime series, which consis of closing prices of selece inices of sock exchanges worlwie. Keywors: eerminisic chaos, ime series, local polynomial approximaion, larges Lyapunov exponen, coefficien DETM.