Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania SYSTEMY DYNAMICZNE

Transkrypt

1 Politechnika Gańska Wyział Elektrotechniki i Automatyki Katera Inżynierii Systemów Sterowania SYSTEMY DYNAMICZNE Stabilność systemów ynamicznych Materiały pomocnicze o ćwiczeń Termin T7 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, r hab. inż. Michał Grochowski, r inż. Robert Piotrowski, r inż. Krzysztof Mazur, mgr inż.

2 Wprowazenie Stabilność est enym z głównych poęć charakteryzuących systemy ynamiczne. Zapewnienie e est priorytetem la ukłaów automatyczne regulaci. W przypaku ciągłych liniowych staconarnych systemów SISO, a więc posiaaących opis transmitancyny G c s, baaniu stabilności służą następuące metoy (postawowe): kryterium Hurwitz a, kryterium Routh a kryterium Nyquist a. Pierwsze wa z wymienionych kryteriów są metoami algebraicznymi, poczas gy trzecie est metoą wykreślną wyprowazoną na gruncie analizy częstotliwościowe liniowych systemów ynamicznych. W przypaku yskretnych liniowych staconarnych systemów SISO, analogicznie, posiaaących opis transmitancyny 1 G z (wzglęnie s G z ), kryteria obowiązuące la systemów ciągłych mogą być, nieznacznie zmoyfikowane, również przyatne w baaniu stabilności. Prócz algebraicznych meto baania stabilności związanych z teorią ciągłych liniowych ukłaów sterowania, istnieą również metoy bezpośrenio operuące na yskretne postaci analizowanych systemów. Postawowe z nich to: kryterium Jury ego, kryterium Shur a-cohn a. Naokłanieszym narzęziem baania stabilności rozważanych systemów yskretnych est analiza położenia pierwiastków równania charakterystycznego. W połączeniu z numerycznymi metoami znaywania ich współrzęnych est enocześnie nabarzie efektywnym poeściem o tego zaganienia. Problemem o większym stopniu złożoności est baanie stabilności systemów nie w pełni yskretnych, tzn. skłaaących się zarówno z yskretnych ak i ciągłych posystemów. W takim wypaku postawowym czynnikiem est zapewnienie opowieniego okresu próbkowania s ynamicznych Gc ( s ). T posystemu G z wzglęem właściwości 2

3 Metoy algebraiczne a) o genezie ciągłe Dwie pierwsze metoy algebraiczne, t. kryterium Hurwitz a oraz kryterium Routh a, zastosowane o systemów ciągłych służą sprawzeniu, czy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego Mc ( s ) baanego systemu G c = c c M s znauą się w lewe półpłaszczyźnie zespolone zmienne s. Fakt ten est to gwarantem stabilności asymptotyczne (ciągłych liniowych staconarnych systemów SISO) powouąc zanikanie w czasie opowiezi impulsowe systemu, a zatem i zanikanie w czasie stanów prześciowych spowoowanych skokową zmianą wymuszenia. Obszar na płaszczyźnie zespolone zmienne z o analogicznych właściwościach wzglęem stabilności baanego systemu yskretnego G ( z) = ( z) M z znaue się wewnątrz okręgu enostkowego z < 1. Stą potwierzenie, iż pierwiastki równania charakterystycznego M z znauą się wewnątrz tego okręgu, est enoznaczne ze wykazaniem stabilności asymptotyczne (yskretnego liniowego staconarnego systemu SISO), a więc zanikania w czasie opowiezi impulsowe systemu, a zatem i zanikania w czasie stanów prześciowych spowoowanych skokową zmianą wymuszenia. Aby wykorzystać, czy to kryterium Hurwitz a czy też kryterium Routh a, o baania stabilności rozważanych systemów yskretnych należy zastosować przekształcenie wnętrza okręgu enostkowego z < 1 na płaszczyźnie zespolone zmienne z na lewą półpłaszczyznę zespoloną zmienne s. Dokonue tego postawienie: e st s z = (1) gzie T s est okresem próbkowania systemu yskretnego. Niestety postawienie (1), choć w iealny sposób przekształca współrzęne biegunów yskretnych na 3

4 ciągłe, prowazi o niealgebraiczne zależności wzglęem zmienne s. Te wykluczaące postawienie (1) way nie posiaa przekształcenie biliniowe: s + 1 z = (2) s 1 które pomimo że nie est iealne wzglęem transformaci współrzęnych biegunów, prowazi o algebraiczne postaci transmitanci systemu ciągłego G G c ( z) = c M = c ( z) M z. opowiaaące transmitanci yskretne baanego systemu Zastosowanie przekształcenia biliniowego (2) o rozważanych systemów yskretnych, pozwala na przeprowazenie baania stabilności metoami algebraicznymi na opowiaaących im systemach ciągłych, z tym iż wynik baania pozostae prawziwy la pierwotnie analizowanych systemów yskretnych. b) o genezie yskretne Alternatywnie o wstępnie moyfikowanych kryteriów Hurwitz a oraz Routh a możliwe est zastosowanie, bezpośrenio o równania charakterystycznego M z, kryterium Jury ego. Niestety w większości przypaków pozwala ono eynie na wnioskowanie o niestabilności rozważanego systemu yskretnego, ponieważ analitycznie stosowalne warunki (3) (6) są warunkami koniecznymi, lecz nie wystarczaącymi. Wyątkiem est tu system yskretny rugiego rzęu ( n = 2 ) la którego owe warunki (3) (6) ostarczane przez kryterium Jury ego są wystarczaącymi. Analitycznie kryterium Jury ego przestawia się następuąco: a < a (3) 0 n > M 1 0 (4) M 1 > 0 la n parzystego (5) 4

5 M 1 < 0 la n nieparzystego (6) gzie a i, la i = 0, K, n są rzeczywistymi współczynnikami równania charakterystycznego M z oraz n est rzęem ynamiki systemu yskretnego. W przeciwieństwie o powyższe metoy kryterium Shur a-cohn a ostarcza warunki konieczne i wystarczaące o stwierzenia, czy pierwiastki równania charakterystycznego M te opisywane są zależnościami (7) (9): z znauą się wewnątrz okręgu enostkowego. Warunki a 0 < a (7) n oraz wielomian n 1 stopnia m z : m z = z a M z + a M z z = b + b z + K + b z (8) 1 1 n n 1 n n 1 posiaa pierwiastki wewnątrz okręgu enostkowego, gzie: b = a a a a la k = 0, 1, K, n 1 (9) n 1 k n n k 0 k Warunki (7) (9) stosue się rekurencynie, aż o osiągnięcia wielomianu stopnia n = 1 i oceny położenia poeynczego pierwiastka lub o wcześnieszego stwierzenia braku stabilności asymptotyczne, w przypaku, gy nie est spełniony warunek (7). Metoy częstotliwościowe Główną zaletą kryterium Nyquist a est fakt, iż pozwala ono określić stabilność ukłau zamkniętego Gccl ( s ) na postawie baania ukłau otwartego co G s. Ponieważ est to metoa wykorzystuąca analizę częstotliwościową systemów, to ukła otwarty reprezentowany est przez transmitancę wimową. W przypaku rozważanych systemów ciągłych G operatorowe G cof ω, tzn. przez postawienie: co s otrzymue się ą na postawie transmitanci 5

6 s = ω (10) Z kolei w przypaku yskretnego systemu transmitanca wimowa GoF ( e ω ) otrzymywana est poprzez zastosowanie postawienia: z = e ω (11) Przestawione powyże zastosowanie postawień (10) oraz (11) est równorzęne w tym sensie, iż zarówno w pierwszym ak i rugim przypaku wykorzystywane w transmitancach operatorowych transformaty: opowienio aplace a oraz Z, przymuą w transmitancach wimowych postać transformat Fourier a: ciągłe oraz yskretne. Tym samym graficzna analiza charakterystyk amplituowo-fazowych, czy też częstotliwościowych charakterystyk logarytmicznych, na potrzeby baania stabilności rozważanych systemów yskretnych, est analogiczna ak w przypaku systemów ciągłych. Analiza położenia pierwiastków równania charakterystycznego Algebraiczne metoy baania stabilności yskretnego liniowego staconarnego systemu SISO pozwalaą stwierzić, czy ma się o czynienia z systemem stabilnym asymptotycznie, czy też nie (system na granicy stabilności lub niestabilny). Metoy częstotliwościowe oatkowo umożliwiaą wyróżnienie systemu yskretnego na granicy stabilności oraz analizę zapasu stabilności, ale tylko i wyłącznie w stosunku o ukłau zamkniętego na postawie baań ukłau otwartego. Dokłane baanie stabilności rozważanych ukłaów yskretnych możliwe est, gy znane są położenia pierwiastków równania charakterystycznego. Związane z nimi warunki stabilności zawarte są w tabeli 1. 6

7 Tabela 1. Położenie pierwiastków równania charakterystycznego systemów yskretnych Roza Warunek stabilności stabilność asymptotyczna wszystkie pierwiastki wewnątrz okręgu enostkowego: i z < 1 la i 1, K, n (12) granica stabilności niestabilność pewne poeyncze pierwiastki na okręgu enostkowym oraz reszta poeynczych pierwiastków i wszystkie wielokrotne wewnątrz okręgu enostkowego: oraz i z = 1 poeyncze pierwiastki: 1, K, n (13) z < 1 pozostale pierwiastki: i 1, K, n i (14) przynamnie een pierwiastek enokrotny poza okręgiem enostkowym lub przynamnie een pierwiastek wielokrotny na okręgu enostkowym: z > 1 poeyncze pierwiastki: 1, K, n (15) lub k z = 1 wielokrotne pierwiastki: k 1, K, n k (16) Bibliografia Byrski, W. (2007). Obserwaca i sterowanie w systemach ynamicznych. Uczelniane Wyawnictwa Naukowo Dyaktyczne Akaemii Górniczo Hutnicze w Krakowie. Praca zbiorowa po re.. Szklarskiego (1976). Postawy teorii ukłau regulaci automatyczne. Tom I. Ukłay liniowe. Akaemia Górniczo Hutnicza im. S. Staszica. Kaczorek, T., Dzieliński, A., Dąbrowski, W., Łopatka, R. (2005). Postawy teorii sterowania. Wyawnictwo Naukowo-Techniczne. Mazurek, J., Vogt H., Żyanowicz W. (2002). Postawy automatyki. Oficyna Wyawnicza Politechniki Warszawskie. 7