DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna w Krakowie Modelowanie macierzy warunkowych kowariancji za pomocą procesów SV 1 1. Wprowadzenie W analizie zjawisk finansowych bardzo ważną rolę odgrywa łączne modelowanie zmienności kilku szeregów sóp zmian (zwrou) akywów finansowych. Dość powszechnie sosowane są procesy ypu ARCH oraz GARCH, w kórych macierz warunkowych kowariancji jes zdeerminowane przeszłością procesu (zob. np. Bollerslev, Chou i Kroner (199), Osiewalski i Pipień (00, 004)). Inne podejście do modelowania finansowych szeregów czasowych polega na rakowaniu kowariancji warunkowych jako zmiennych ukryych. Definiuje się więc zw. procesy zmienności (wariancji) sochasycznej (ang. sochasic volailiy process, sochasic variance process, SV), w kórych, w odróżnieniu od procesów ypu ARCH lub GARCH, wariancje i kowariancje warunkowe są procesami ukryymi, niezdeerminowanymi przeszłością. Niniejszy arykuł jes konynuacją prac związanych z bayesowskim porównaniem czerech różnych specyfikacji dwuwymiarowych modeli SV (SDF, BSV, JSV, TSV, zob. Pajor (005b, 005c)). Rozważane specyfikacje różniły się liczbą procesów ukryych opisujących macierz warunkowej kowariancji oraz założeniami o współczynniku warunkowej korelacji. Orzymane wyniki empiryczne dla kursów waluowych (PLN/DEM i PLN/USD, ) wskazały na zdecydowaną przewagę modeli o zmiennym warunkowym współczynniku korelacji (czyli modeli TSV i JSV), przy czym model TSV, w kórym do opisu dynamiki zarówno warunkowych wariancji jak i kowariancji użyo rzech procesów ukry- 1 Praca wykonana w ramach badań sauowych finansowanych przez AE w Krakowie w roku 005. Auorka dziękuje Profesorowi Jackowi Osiewalskiemu za cenne uwagi, kóre przyczyniły się do powsania arykułu.

2 94 ych, uzyskał największe prawdopodobieńswo a poseriori. Naomias modele o sałym warunkowym współczynniku korelacji zosały zdecydowane odrzucone przez dane. Głównym celem niniejszej pracy jes rozszerzenie przedsawionej uprzednio klasy dwuwymiarowych modeli SV oraz bayesowskie porównanie mocy wyjaśniającej ych modeli w oparciu o czynniki Bayesa. W części drugiej pracy przedsawiono modele bayesowskie będące przedmioem porównania. Ograniczono się do modeli, kóre uzyskały największe prawdopodobieńswo a poseriori w poprzedniej analizie (zob. Pajor (005c)), oraz niekórych ich rozszerzeń. Przedsawione, w części rzeciej, ogólne zasady bayesowskiego porównywania modeli, zosaną wykorzysane do porównania mocy wyjaśniającej dwuwymiarowych modeli SV opisujących zmienność noowań dolara amerykańskiego, marki niemieckiej i euro (część 4). Część piąa zawiera uwagi końcowe i podsumowanie.. Dwuwymiarowe modele SV Niech {x = (x 1,, x, ), = 0, 1,..., T} oznacza szereg czasowy cen akywów finansowych (w niniejszej pracy są o noowania kursów waluowych). Logarymiczne sopy zmian {y = (y 1,, y, ), = 1,,...,T}, obliczone według formuły (por. Campbell, Lo i MacKinlay (1997)): yi, = 100ln( xi, / xi, 1), = 1,..., T, i = 1,, (1) modelujemy przyjmując srukurę VAR(1): y δ = R( y 1 δ ) + ξ, =, 1,..., T () czyli y 1, δ y 1 r r1 1, 1 δ ξ 1 1, = +, y, δ r r y 1, 1 δ ξ, gdzie {ξ } jes dwuwymiarowym procesem SV. Ograniczamy się do procesów SV o warunkowym rozkładzie normalnym, a więc ξ Θ ~ N(0[ 1],Σ ), gdzie Θ jes wekorem zmiennych ukryych. Przedsawione poniżej różne specyfikacje modelu SV będą różniły się założeniami o wekorze zmiennych ukryych Θ oraz srukurą macierzy warunkowych kowariancji Σ. Aby rozważane modele były komplene, konieczna jes specyfikacja rozkładów a priori dla paramerów ych modeli. Dla paramerów wspólnych, a więc wekora ω = (δ 1, δ, r, r 1, r 1, r ) R 6 przyjęo sandardowy rozkład normalny, ucięy resrykcją, że wekory własne macierzy R co do modułu są mniejsze od jeden: ω ~ N 6 (0, I 6 )I C (R), gdzie C = {R : warości własne macierzy R co do modułu są mniejsze od 1}. Symbol N p (a, A) oznacza p-wymiarowy rozkład normalny o wekorze średnich a i macierzy kowariancji A, I C ( ) jes funkcją charakerysyczną zbioru C.

3 Modelowanie macierzy warunkowych kowariancji za pomocą modeli SV Model TSV Definicja 1. Proces sochasyczny {ξ, Z} jes dwuwymiarowym procesem TSV wedy i ylko wedy, gdy ξ Θ ~ (0, Σ ), Σ = L G L, gdzie 1 0 L =, G q, 0 =, q 1 0 1, q, ln γ = φ (ln q γ + σ N [ 1] q,, 1 ) η,, ln q, γ = φ(ln q, 1 γ ) + σ η, q 1, γ 1 = φ1( q 1 γ 1) + σ 1η, ( η,, η,, η )' ~ iin(0[ 3 1], I3, η =, η ), Θ = q, q, q )', Z, Z = {..., -, -1, 0, 1,,...}. (,, W definicji procesu TSV wykorzysano dekompozycje Choleskiego macierzy Σ (zob. Tsay (00)). Dekompozycję a gwaranuje dodanią określoność macierzy Σ bez nakładania dodakowych resrykcji na paramery lub zmienne ukrye. Wysarczyło przyjąć jedynie, że ln q ii,, nie zaś bezpośrednio zmienna qii,. (i = 1, ), podlega procesowi auoregresyjnemu rzędu pierwszego. Macierz warunkowych kowariancji jes uaj funkcją rzech zmiennych ukryych q,, q,, q : σ q, q, q, σ1, Σ = =. (3) σ 1 q q q q + q, σ,,,, Zaem proces en charakeryzuje się niezerową, zmienną w czasie, sochasyczną warunkową korelacją. W chwili, podobnie jak wariancje warunkowe, jes zmienną losową, niezdeerminowaną przeszłością procesu: q, q ρ 1, =. (4) ( q + q q q,, ), Dla paramerów swoisych modelu TSV przyjmujemy nasępujące niezależne rozkłady a priori (zob. Pajor (005c)): β (ij) ~ N (0, 100I )I (-1,1) (φ ij ), β (ij) =(γ ij, φ ij ), σ ij ~ IG(1, 0,005), lnq ii,0 ~ N 1 (0, 100), i, j =1,, i j, q 0 ~ N 1 (0, 100). Wekory β (ij) (i, j=1, ; i j) mają a priori rozkłady normalne ucięe na drugiej współrzędnej (aby proces TSV był sacjonarny). Paramery σ ij (i, j=1, ; i j) mają odwrócony rozkład gamma, kórego zarówno warości średnie, jak i wariancja nie isnieją (por. jednowymiarowy model SV: Pajor (003)). Symbol IG(a, b) oznacza bowiem gęsość odwróconego rozkładu gamma ze średnią b/(a-1) (dla a > 1) i wariancją b /[(a-1) (a-)] (dla a > ). Warości począkowe procesów {lnq ii, } (i = 1, ) oraz {q }, oznaczone odpowiednio przez lnq ii,0, q 0, rakowane są jako dodakowe nieznane paramer modelu - przyjmujemy

4 96 dla niech a priori rozkład normalny o zerowej warości oczekiwanej i wariancji równej Model JSV() Zauważmy, że w modelu TSV wariancje warunkowe nie są modelowane symerycznie. Warunkowa wariancja drugiej składowej procesu zależy od warunkowej wariancji pierwszej składowej. Kolejność modelowanych szeregów czasowych może więc mieć wpływ na moc wyjaśniającą modelu oraz wnioskowanie o warunkowych wariancjach i kowariancji. W kolejnych rozważanych modelach wariancje warunkowe będą modelowane symerycznie. Zakładamy eraz, że zmiennymi ukryymi są warości własne macierzy warunkowych kowariancji Σ, zob. Pajor (005c). W definicji procesu JSV() wykorzysamy bowiem wierdzenie Jordana o zmianie bazy (wierdzenie o zw. posaci jordanowskiej macierzy kwadraowej, zob. Gancarzewicz (1993)). Definicja. Proces sochasyczny {ξ, Z} jes dwuwymiarowym procesem JSV() wedy i ylko wedy, gdy ξ Θ ~ N (0[ 1], Σ ), Σ = P Λ P -1, w 1 w 1 w w λ1, 0 Λ =, P = 0 λ, ponado ln λ γ = φ (ln λ γ + σ, w (0,1], 1, 1, 1 ) η 1,,, γ = φ (lnλ, 1 γ ) σ η,, ( η1,, η )', η ~ iin(0[ 1], I ), Θ = ( λ1,, λ, )'. lnλ + gdzie η =, Macierz Λ jes macierzą diagonalną zawierającą warości własne macierzy Σ, naomias macierz P jes zw. macierzą przejścia z bazy kanonicznej do bazy Jordana (inaczej macierzą sprowadzającą Σ do posaci diagonalnej). Jes o macierz nieosobliwa, zawierająca wekory własne Σ. Ponieważ macierz Σ jes symeryczna, dodakowo założono, że macierz P jes orogonalna zn. P P=I. Macierz warunkowych kowariancji jes eraz definiowana za pomocą dwóch procesów ukryych i jednego parameru: λ1, w + λ, (1 w) ( λ1, λ, ) w 1 w Σ =. (5) ( λ1, λ, ) w 1 w λ, w + λ1, (1 w) Warunkowy współczynnik korelacji jes posaci: ρ = ( λ 1, ( λ 1, λ λ ) w, ), w (1 w 1 w ) + λ λ 1,,. (6) Baza kanoniczna w R : e 1 = (1,0), e = (0,1).

5 Modelowanie macierzy warunkowych kowariancji za pomocą modeli SV 97 Przyjmujemy nasępujące rozkłady a priori paramerów modelu JSV(): β (ii) ~ N (0, 100 I ) I (-1,1) (φ ii ), β (ii) = (γ ii, φ ii), σ ii ~ IG(1, 0,005), lnλ i,0 ~ N 1 (0, 100), i = 1,, w ~ U(0,1) (j. rozkład jednosajny na przedziale (0,1))..3. Model JSV(3) Nauralnym uogólnieniem modelu JSV() jes uzmiennienie parameru w. Definicja 3. Proces sochasyczny {ξ, Z} jes dwuwymiarowym procesem JSV(3) wedy i ylko wedy, gdy ξ Θ ~ (0, Σ ), Σ = P Λ P -1, λ1, 0 w, 1 w Λ =, P = 0 λ, 1 w, w, ponado lnλ γ = φ (lnλ γ + σ η, lnλ + ln[ N [ 1] 1, 1, 1 ),, γ = φ (lnλ, 1 γ ) σ η,, w, /(1 w, )] γ 1 = φ1(ln[ w, 1 /(1 w, 1 )] γ 1) + σ 1η, ( η,, η,, η )' η ~ iin(0[ 3 1], I3, Θ = ( λ1,, λ,, w, )'., η =, ) Podobnie jak w modelu JSV() przyjmujemy nasępujące rozkłady a priori: β (ij) ~ N (0, 100 I ) I (-1,1) (φ ij ), β (ij) = (γ ij, φ ij), σ ij ~ IG(1, 0,005), lnλ i,0 ~ N 1 (0, 100), i, j =1,, i j, ln[w,0 /(1- w,0 )] ~ N 1 (0, 100). Liczba zmiennych ukryych opisujących elemeny macierzy warunkowych korelacji w modelu JSV(3) równa liczbie zmiennych ukryych wysępujących w modelu TSV (a więc rzy elemeny macierzy Σ są opisane rzema procesami ukryymi). W przeciwieńswie do modelu TSV wariancje warunkowe są uaj rakowane symerycznie, a więc nie ma znaczenia kolejność modelowanych szeregów czasowych., 3. Bayesowskie porównanie modeli Na gruncie bayesowskim podsawowym kryerium porównawczym modeli jes prawdopodobieńswo a poseriori modelu. Model, kóry uzyska największe prawdopodobieńswo a poseriori ma największą moc wyjaśniającą spośród rozważanych modeli bayesowskich (dane najsilniej przemawiają za ym modelem). Załóżmy, że {M 1, M,..., M n } (n N) o kompleny zbiór modeli, parami wykluczających się. Niech y = (y 1, y,..., y T ) oznacza macierz obserwacji. Niech ponado p(m 1 ), p(m ),..., p(m n ) będą prawdopodobieńswami a priori ych modeli. Wówczas prawdopodobieńswa a poseriori są równe:

6 98 n p( M y) = p( M ) p( y M ) / p( M ) p( y M ), i { 1,,..., n}, i i i j= 1 gdzie p(y M i ) jes brzegową gęsością macierzy obserwacji w modelu M i. Porównując modele parami wykorzysuje się zw. czynnik Bayesa: B ij = p(y M i )/p(y M j ), kóry przy jednakowych prawdopodobieńswach a priori modeli jes równy ilorazowi szans a poseriori: p(m i y)/p(m j y). Do obliczenia warość brzegowej gęsości macierzy obserwacji sosujemy meody Mone Carlo opare na łańcuchach Markowa (MCMC). Mając próbę pseudolosową z rozkładu a poseriori, warość brzegowej gęsości macierzy obserwacji jes aproksymowana sosowną średnią harmoniczną (zob. Newon i Rafery (1994), Pajor (005c)). j j 4. Wyniki empiryczne Przedmioem rozważań są dwa badane wcześniej kursy waluowe PL- N/USD i PLN/DEM ( , T = 148) oraz PLN/USD i PL- N/EUR ( , T = 758), a analiza ograniczona zosała do procesów dwuwymiarowych o zmiennym warunkowym współczynniku korelacji. W niniejszej pracy rozważamy czery modele bayesowskie: TSV USD_DEM (M 1 ) (odpowiednio TSV USD_EUR w przypadku kursów PLN/USD i PLN/EUR) i TSV DEM_USD (M ) (odpowiednio TSV EUR_USD ), model JSV() (M 3 ) i model JSV(3) (M 4 ). Modele TSV USD_DEM (odpowiednio TSV USD_EUR ) i TSV DEM_USD (odpowiednio TSV EUR_USD ) różnią się kolejnością modelowanych szeregów czasowych. W modelu TSV USD_DEM pierwsza składowa wekora y odpowiada noowaniom dolara amerykańskiego, zaś druga składowa noowaniom marki niemieckiej (ak jes również w modelach JSV() i JSV(3)). W modelu TSV DEM_USD kolejność modelowanych szeregów jes odwrona. Naomias w modelu TSV USD_EUR pierwsza składowa wekora y odpowiada noowaniom dolara amerykańskiego, zaś druga noowaniom euro. Table 1. Logarymy dziesięne czynników Bayesa w sosunku do modelu JSV(3) Model TSV USD_DEM (TSV USD_EUR ) TSV DEM_USD Liczba procesów ukryych Liczba paramerów Log 10 (B JSV(3) i ) PLN/USD, PLN/DEM ( ) Log 10 (B JSV(3) i ) PLN/USD, PLN/EUR ( ) (TSV EUR_USD ) JSV() JSV(3) SDF BSV Źródło: obliczenia własne

7 Modelowanie macierzy warunkowych kowariancji za pomocą modeli SV 99 Tabela 1 przedsawia logarymy dziesięne czynników Bayesa w sosunku do modelu JSV(3) 3. Dla porównania zamieściliśmy również modele, kóre były rozważane w naszych poprzednich pracach (SDF i BSV o sałym lub zerowym warunkowym współczynniku korelacji). Uzyskane wyniki pokazują, że prawdopodobieńswo a poseriori modelu TSV zależy od kolejności modelowanych szeregów. Model TSV USD_DEM uzyskał prawdopodobieńswo a poseriori o około 4 rzędy wielkości wyższe niż model TSV DEM_USD (dla danych z okresu: ). Prawdopodobnie jes o spowodowane ym, że zmienność wariancji warunkowej sóp zmian noowań marki niemieckiej (mierzona kwadraem współczynnika zmienności CV, zob. Pajor (003)) była, w badanym okresie, wyższa niż warunkowej wariancji sóp zmian noowań dolara amerykańskiego. Model TSV, w kórym szereg charakeryzujący się mniejszą zmiennością wariancji warunkowej rakowany jes jako realizacja pierwszej składowej procesu, może być lepiej dopasowany do danych. Ponado model TSV DEM_USD jes mniej prawdopodobny a poseriori niż model JSV() (model z dwoma procesami ukryymi). Zaem nie ylko liczba procesów ukryych wpływa na prawdopodobieńswo a poseriori modelu, ale również sposób modelowania macierzy warunkowych kowariancji. Najsłabiej wypadają modele o zerowym lub sałym warunkowym współczynniku korelacji. W przypadku rozważanych danych największą moc wyjaśniającą uzyskał model JSV(3), w kórym, podobnie jak w przypadku modelu TSV, macierz warunkowych kowariancji opisana jes za pomocą rzech procesów ukryych. W przeciwieńswie do modelu TSV wariancje warunkowe modelowane są symerycznie (nie ma znaczenia kolejność modelowanych szeregów). Jednak uogólnienie modelu JSV(3) na przypadek wyżej niż dwuwymiarowy nie jes ak prose jak modelu TSV. Znacznie mniejsze różnice w logarymach czynników Bayesa uzyskaliśmy dla noowań dolara amerykańskiego i euro (długość modelowanych szeregów jes w ym przypadku prawie o połowę krósza, sąd dane słabiej opowiadają się" za danym modelem). Zmienił się również ranking modeli największą moc wyjaśniającą mają modele z rzema procesami ukryymi. 5. Podsumowanie Celem pracy była prezenacja i porównanie dwuwymiarowych procesów wariancji sochasycznej (SV) w analizie zmienności i korelacji warunkowej finansowych szeregów czasowych. Wyniki empiryczne, orzymane w oparciu o szereg dziennych sóp zmian dolara amerykańskiego i marki niemieckiej ( ) oraz dolara amerykańskiego i euro ( ) pokazały, iż w modelowaniu zmienności dwóch szeregów czaso- 3 Prezenowane wyniki orzymano wykorzysując meody MCMC algorym Gibbsa, wewnąrz kórego sosowano algorym Meropolisa i Hasingsa wykonano losowań (cykli Gibbsa), w ym cykli spalonych. Meody e są omówione w pracach: O Hagan (1994), Gamerman (1997), Jacquier, Polson i Rossi (1999), Tsay (00), Pajor (003, 005a).

8 100 wych bardzo ważne jes uwzględnienie niezerowego i zmiennego warunkowego współczynnika korelacji. Zależność między badanymi szeregami czasowymi najlepiej opisują modele, kóre uwzględniają zmienną w czasie korelację warunkową oraz modele o liczbie zmiennych ukryych równej liczbie różnych elemenów macierzy warunkowych kowariancji j. model TSV (z właściwą kolejnością modelowanych szeregów), i JSV(3). Lieraura Bollerslev, T., Chou, R.Y., Kroner, K.F. (199), ARCH Modelling in Finance: A Review of he Theory and Emprical Evidence, Journal of Economerics, vol. 5, Campbell, J.Y., Lo, A.W., MacKinlay, A.C. (1997), The Economerics of Financial Markes, Princeon Universiy Press, Chicheser. Gamerman, D., (1997), Markov Chain Mone Carlo. Saisic simulaion for Bayesian inference, Chapman and Hall, London. Gancarzewicz, J., (1993), Algebra liniowa z elemenami geomerii, Wydanie drugie poprawione, Skrypy uczelniane, nr 675, Drukarnia Uniwersyey Jagiellońskiego w Krakowie, Kraków. Jacquier, E., Polson, N., Rossi, P. (1999), Sochasic Volailiy: Univariae and Mulivariae Exensions, Cahiers Cirano, Cenre Ineruniversiaire de Recherche en Analyse des Organisaions, Monréal. Newon, M.A., Rafery, A.E. (1994), Approximae Bayesian inference by he weighed likelihood boosrap (wih discussion), Journal of he Royal Saisical Sociey B, vol. 56, No. 1, O Hagan, A. (1994), Bayesian Inference, Halsed Press, New York. Osiewalski, J., Pipień, M. (00), Mulivariae ARCH Type Models: A Bayesian Comparison, Dynamic Economeric Models, vol. 5, ed. Zieliński Z., Toruń. Osiewalski, J., Pipień, M. (004), Bayesian Comparison of Bivariae ARCH-Type Models for he Main Exchange Raes in Poland, Journal of Economerics, vol. 13, Pajor, A. (003), Procesy zmienności sochasycznej SV w bayesowskiej analizie finansowych szeregów czasowych, Monografie: Prace Dokorskie, Nr, Wydawnicwo AE w Krakowie, Kraków. Pajor, A. (005a), Bayesian Analysis of Sochasic Volailiy Model and Porfolio Allocaion, [w:] Issues in Modelling, Forecasing and Decision-Making in Financial Markes, (Aca Universiais Lodzensis Folia Oeconomica, Łódź (w druku). Pajor, A. (005b), Dwuwymiarowe procesy SV w bayesowskiej analizie porfelowej, Meody ilościowe w naukach ekonomicznych. Piąe Warszay Dokorskie z Ekonomerii i Saysyki (red. A. Welfe), Wydawnicwo SGH w Warszawie (w druku). Pajor, A. (005c), Bayesian comparison of bivariae SV models for wo relaed ime series, Aca Universiais Lodziensis - Folia Oeconomica, (refera wygłoszony na Thiry Firs Inernaional Conference Macromodels 004, December 1 4, 004, Bełchaów, Poland i przesłany do recenzji). Tsay, R. S. (00), Analysis of Financial Time Series. Financial Economerics, A Wiley-Inerscience Publicaion, John Wiley & Sons, INC.