Mieczysław Wilk Mielec, 2008

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Mieczysław Wilk Mielec, 2008"

Transkrypt

1 Mieczsław Wilk Mielec, 008

2 lastcznść unkcji jednej zmiennej stwierdza ile prcent ( w przbliŝeniu wzrśnie lub zmaleje wartść tej unkcji, gd jej zmienna rzeczwista wzrśnie 1%. A t ilustracja graiczna elastcznści unkcji: ( ( 1, 01 (? % ( 0 1, 01 wzrst 1 % Rsunek 1. lastcznści unkcji jednej zmiennej Zakładając, Ŝe unkcja ma w punkcie pchdną, t elastcznść tej unkcji kreśla wzór: ( ( ( % Uwaga: JeŜeli będziem dknwać analiz eknmicznej wnikającej z wkresu przebiegu zmiennści unkcji t bierzem pd uwagę tlk ddatnie pzim ( ddatnie argument unkcji i zakładam, Ŝe ś dciętch 0X dtcz np.: dchdów, a ś rzędnch 0Y wdatków ( mŝem równieŝ przjąć, Ŝe, np.: ś 0X dtcz wdatków irm na prdukcję, a ś 0Y dtcz ewentualnch zsków lub strat irm.

3 Prz analizie eknmicznej unkcji knieczne jest dpwiednie wniskwanie wnikające ze znaku elastcznści unkcji. PniŜsz rsunek przedstawia wszstkie mŝliwe przpadki dtczące np.: zsków i strat irm w zaleŝnści d trzmaneg znaku elastcznści unkcji: ( ( B ( A 0 A B C D ( D ( C Rsunek. Analiza eknmiczna elastcznści unkcji Analiza eknmiczna wnikająca z pwŝszeg wkresu: A. Zsk liczn d pzimu A będzie rósł jeŝeli, wdatki wzrsną 1 % - elastcznść unkcji będzie miała wartść ddatnią. B. Zsk liczn d pzimu B będzie malał jeŝeli, wdatki wzrsną 1 % - elastcznść unkcji będzie miała wartść ujemną. C. Strata liczna d pzimu C będzie rsnąć jeŝeli, wdatki wzrsną 1 % - elastcznść unkcji będzie miała wartść ddatnią. D. Strata liczna d pzimu D będzie maleć jeŝeli, wdatki wzrsną 1 % - elastcznść unkcji będzie miała wartść ujemną.

4 Przkład 1. Oblicz elastcznść unkcji: ( raz pdaj interpretację uzskaneg wniku. - bliczam pchdną unkcji:, w punkcie, ( ( 7 ( ( 7 - bliczam wartść pchdnej unkcji w punkcie: ( - bliczam wartść unkcji w punkcie: 8 - bliczam elastcznść unkcji: ( ( ( 8,6 % - interpretacja uzskaneg wniku: JeŜeli argument unkcji: (, wzrśnie 1% licząc d punktu:, t wartść unkcji ( zmniejsz się,6 %, b wartści unkcji są ujemne w pbliŝu punktu.

5 JeŜeli chcielibśm bliczć ile zmieni się prcentwa wartść unkcji: (, licząc d inneg pzimu, np.: d punktu, t naleŝ wknać bliczenia: ( ( ( ( ,1 % c prwadzi d stwierdzenia, Ŝe wartść tej unkcji zmniejsz się 0,1 % licząc d pzimu, b wartści unkcji są ddatnie w pbliŝu punktu. JeŜeli chcielibśm bliczć ile zmieni się prcentwa wartść unkcji: (, licząc d jeszcze inneg pzimu, np.: d punktu 10, t naleŝ wknać bliczenia: ( ( 10 ( 10 ( ,8 % c prwadzi d stwierdzenia, Ŝe wartść tej unkcji wzrśnie kł 0,8 % licząc d pzimu 10, b wartści unkcji są ddatnie w pbliŝu punktu 10.

6 JeŜeli chcielibśm bliczć ile zmieni się prcentwa wartść unkcji: (, licząc d jeszcze inneg pzimu, np.: d punktu 10, t naleŝ wknać bliczenia: ( 10 ( ( 10 ( 10 ( 10 ( 10 0,8 % c prwadzi d stwierdzenia, Ŝe wartść tej unkcji wzrśnie kł 0,8 % licząc d pzimu 10, b wartści unkcji są ujemne w pbliŝu punktu 10. Wnisek: Ab kreślić cz wartść unkcji: cz wzrśnie cz zmaleje, naleŝ zawsze brać pd uwagę wartść unkcji w punkcie ( cz ddatnia, cz ujemna raz znak blicznej elastcznści unkcji. Wskazówka: Prz bliczaniu elastcznści unkcji, d kilku róŝnch pzimów, mŝna bliczenia sbie uprścić pprzez następujące bliczenia: wiem, Ŝe: raz w naszm wzrcwm przkładzie: ( 7, czli: i ( ( ( 7 ( ( ( ( 7 % D pwŝszeg wzru mŝem pdstawiać za zadane w treści zadania wartści pzimów, c znacznie ułatwi bliczenia. 6

7 lastcznść unkcji dwóch zmiennej ( stwierdza ile prcent ( w przbliŝeniu wzrśnie lub zmaleje wartść tej unkcji, gd jedna zmienna niezaleŝna ( lub wzrśnie 1%. lastcznści cząstkwe unkcji dwóch zmiennch deiniujem: ( ( ( ( ( ( Przkład. Oblicz elastcznści cząstkwe unkcji: ( w punkcie i raz pdaj jej interpretację. Rsunek. Funkcja dwóch zmiennch parablida ( 7

8 8 % 1,7 0 Wnisek: JeŜeli zmienna niezaleŝna wzrśnie 1 % licząc d pzimu w punkcie: i t wartść unkcji wzrśnie 1,7 %. % 0, 18 Wnisek: JeŜeli zmienna niezaleŝna wzrśnie 1 % licząc d pzimu w punkcie: i t wartść unkcji wzrśnie 0, %.

9 Przkład. Oblicz elastcznści cząstkwe unkcji: ( w punkcie i 6 raz pdaj jej interpretację. Rsunek. Funkcja dwóch zmiennch unkcja ptęgwa ( ( ( ( ( ( 8 8 ( ( ( 6 % Wnisek: JeŜeli zmienna niezaleŝna wzrśnie 1 % licząc d pzimu w punkcie: i 6 t wartść unkcji ( wzrśnie %.

10 ( ( ( ( ( 1 1 ( ( ( 6 % Wnisek: JeŜeli zmienna niezaleŝna wzrśnie 1 % licząc d pzimu 6 w punkcie: i 6 t wartść unkcji ( wzrśnie %. Zadania d samdzielneg rzwiązwania: 1. Oblicz elastcznść unkcji: ( pdaj jej interpretacje.. Oblicz elastcznść unkcji: ( w punkcie: w punkcie: raz raz pdaj jej interpretacje.. Oblicz elastcznść unkcji: ( pdaj jej interpretacje. w punkcie: raz 1. Oblicz elastcznści cząstkwe unkcji: ( i 6 raz pdaj jej interpretację. w punkcie 6. Oblicz elastcznści cząstkwe unkcji: ( e w punkcie 1 i raz pdaj jej interpretację. 10

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszeo roku kierunku zamawianeo Biotecnoloia w ramac projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera pewna lokata

Bardziej szczegółowo

Elementy algebry i analizy matematycznej II

Elementy algebry i analizy matematycznej II Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu

Bardziej szczegółowo

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia. Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr

Bardziej szczegółowo

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją

Bardziej szczegółowo

Liniowy model decyzyjny Sytuacja decyzyjna: Firma produkuje dwa

Liniowy model decyzyjny Sytuacja decyzyjna: Firma produkuje dwa D.iszczńska, WSEH, Pdstaw ATEATYKI dla eknmistów, funkcja liniwa wielu zmiennch - znajdwanie wartści największej [] Liniw mdel deczjn Stuacja deczjna: Firma prdukuje dwa wrb A i B, które wmagają bróbki

Bardziej szczegółowo

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej 1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji wykład 5

Pochodna funkcji wykład 5 Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona

Bardziej szczegółowo

PROPAGACJA BŁĘDU. Dane: c = 1 ± 0,01 M S o = 7,3 ± 0,1 g Cl 2 /1000g H 2 O S = 6,1 ± 0,1 g Cl 2 /1000g H 2 O. Szukane : k = k =?

PROPAGACJA BŁĘDU. Dane: c = 1 ± 0,01 M S o = 7,3 ± 0,1 g Cl 2 /1000g H 2 O S = 6,1 ± 0,1 g Cl 2 /1000g H 2 O. Szukane : k = k =? PROPAGACJA BŁĘDU Zad 1. Rzpuszczalnść gazów w rztwrach elektrlitów pisuje równanie Seczenwa: S ln = k c S Gdzie S i S t rzpuszczalnści gazu w czystym rzpuszczalniku i w rztwrze elektrlitu stężeniu c. Obliczy

Bardziej szczegółowo

Definicja wartości bezwzględnej. x < x y. x =

Definicja wartości bezwzględnej. x < x y. x = 1.9. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Definicja wartości bezwzględnej... gd... 0 =... gd... < 0 Własności wartości bezwzględnej 0 = = = n a n = a, gd n jest liczbą parzstą Przkład 1.9.1. Oblicz: a) b) c) 1 d) 0 e)

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji Zwierciadła i obrazy w zwierciadłach

Scenariusz lekcji Zwierciadła i obrazy w zwierciadłach Scenariusz lekcji. Temat lekcji: Zwierciadła i obraz w zwierciadłach 2. Cele: a) Cele poznawcze: Uczeń wie: - co to jest promień świetln, - Ŝe światło rozchodzi się prostoliniowo, - na czm polega zjawisko

Bardziej szczegółowo

Diagram relacji między zmiennymi (Scatter Diagram)

Diagram relacji między zmiennymi (Scatter Diagram) 2. Należ pomśleć o definicji do zastosowania w następując sposób: Zastosowanie: Cz wszsc zgadzam się, co robić? Definicja: Cz wszsc zgadzam się co do znaczenia każdego słowa? 5.4 Diagram relacji międz

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Asymptoty funkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej

Asymptoty funkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej Temat wykładu: Asymptoty unkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Asymptoty unkcji Zagadnienia 2. Pochodna

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

Minimalizacja kosztów

Minimalizacja kosztów Minimalizacja kosztów 1. (na wkładzie) Firma genealogiczna Korzenie produkuje dobro korzstając z jednego nakładu x użwając funkcji produkcji f(x) = x. (a) Ile jednostek x jest potrzebnch do wprodukowania

Bardziej szczegółowo

Mikroekonomia II. Narz ¾edzia matematyczne. f 0 (x) = 0. f (x) = 5. f 0 (x) = ax a 1 = ax a 1. f (x) = p x = x 1 2. d (bf(x)) dx.

Mikroekonomia II. Narz ¾edzia matematyczne. f 0 (x) = 0. f (x) = 5. f 0 (x) = ax a 1 = ax a 1. f (x) = p x = x 1 2. d (bf(x)) dx. Mikroekonomia II Narz edzia matematczne Pochodne. Funkcja sta a f () = b f 0 () = 0 f () = 5 f 0 () = 0 2. Funkcja wk adnicza f () = a f 0 () = a a = a a f () = p = 2 f 0 () = 2 2 = 2 2. Funkcja logartmiczna

Bardziej szczegółowo

Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi

Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi Róniczka Wraenie d nazwa si róniczk pierwszego rzdu czci liniow przrostu wartoci unkcji Zastosowanie róniczki do oblicze przblionch: Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb Wkorzstam wzór

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a)

Bardziej szczegółowo

) q przyłożona jest w punkcie o współrzędnej x = x + x. Przykład Łuk trójprzegubowy.

) q przyłożona jest w punkcie o współrzędnej x = x + x. Przykład Łuk trójprzegubowy. rzkład 0.. Łuk trójprzegubow. Rsunek 0.. przedstawia łuk trójprzegubow, którego oś ma kształt półokręgu (jest to łuk kołow ). Łuk obciążon jest ciężarem konstrukcji podwieszonej. Narsować wkres momentów

Bardziej szczegółowo

CZERWIEC MATEMATYKA - poziom podstawowy. Czas pracy: 170 minut. Instrukcja dla zdającego

CZERWIEC MATEMATYKA - poziom podstawowy. Czas pracy: 170 minut. Instrukcja dla zdającego MATEMATYKA - pzim pdstawwy CZERWIEC 014 Instrukcja dla zdająceg 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 strn.. Rzwiązania zadań i dpwiedzi zamieść w miejscu na t przeznacznym.. W zadaniach d 1 d są pdane 4 dpwiedzi:

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu

Bardziej szczegółowo

Projektowanie dróg i ulic

Projektowanie dróg i ulic Plitechnika Białstcka Zakład Inżynierii Drgwej Jan Kwalski 1/11 Ćwiczenie prjektwe z przedmitu Prjektwanie dróg i ulic strna - 1 -.3. Przepusty Na prjektwanym dcinku A-B-C-D trasy zaprjektwan 4 przepusty

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 1-2

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 1-2 Stanisław Cichocki Natalia Nehreecka Zajęcia - . Model liniow Postać modelu liniowego Zapis macierzow modelu liniowego. Estmacja modelu Przkład Wartość teoretczna (dopasowana) Reszt 3. MNK - przpadek wielu

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C

Bardziej szczegółowo

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia. rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej

Bardziej szczegółowo

Automatyka. Treść wykładów: Układ kombinacyjny AND. Układ sekwencyjny synchroniczny. Układ sekwencyjny asynchroniczny. Układ sekwencyjny synchroniczny

Automatyka. Treść wykładów: Układ kombinacyjny AND. Układ sekwencyjny synchroniczny. Układ sekwencyjny asynchroniczny. Układ sekwencyjny synchroniczny Treść wkładów: Automatka dr inż. Szmon Surma szmon.surma@polsl.pl zawt.polsl.pl pok. 202, tel. +48 32 603 4136 1. Podstaw automatki 2. Układ kombinacjne, 3. Układ sekwencjne snchronicze, 4. Układ sekwencjne

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f

ZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f IMIE I NAZWISKO ZADANIE Poniżej znajduje się fragment wkresu funkcji = f (). -7 -- - - 6 7 Dorsuj brakujac a część wkresu wiedzac, że dziedzina funkcji f jest przedział,, a wkres jest smetrczn względem

Bardziej szczegółowo

Ż ż Ł ż ż ż Ż Ś ż ż ż Ł Ż Ż ć ż Ż Ż Ż Ń Ż Ź ż Ź Ź ż Ż ż ż Ż Ł Ż Ł Ż ż Ż ż Ż Ż Ń Ą Ż Ń Ż Ń ć ż Ż ź Ś ć Ł Ł Ź Ż Ż ż Ł ż Ż Ł Ż Ł ź ć ż Ż Ż ż ż Ó ż Ł Ż ć Ż Ż Ę Ż Ż Ż ż Ż ż ż Ś ż Ż ż ż ź Ż Ń ć Ż ż Ż Ż ż ż ż

Bardziej szczegółowo

Ś Ł Ą Ś Ś ź Ś ń ż ż Ó ż ż Ś Ł ż ń ń ń ż ń Ś ń ć ŚĘ Ó Ł Ę Ł Ś Ę Ę ń ń ń ń ń Ź ń ń ń ń ń ż ń ń ń ń ń Ę ż ż ć Ść ń ń ż Ń ż ż ń ń Ś Ą ń Ś ń ń ż Ó ż Ź ń ż ń Ś Ń Ó ż Ł ż Ą ź ź Ś Ł ć Ś ć ż ź ż ć ć Ę Ó Ś Ó ż ż

Bardziej szczegółowo

Ł Ł Ś ź ń ź ź ź Ś Ł Ę Ę Ś ż Ś ń Ą Ś Ą Ł ż ż ń ż ć ż ż ż ź ż ć ź Ę Ę ń ć ż Ł ń ż ż ż Ś ż Ś ż ż ż ż ż ż ż ń ń ż ż ż ć ż ń ż ń ź ż ć ż ż ć ń ż Ę Ę ć ń Ę ż ż ń ń ź Ę ź ż ń ż ń ź ż ż ż ń ż ż ż ż ż ż ż ż ń ń

Bardziej szczegółowo

Ł Ł Ś Ę ź ń ź ź Ś Ę Ę Ś Ą Ś Ę Ż Ł ń Ę Ś ć ć ń ć ń ń ń ź ń Ę ź ń ń ń ź ź Ś ź ź ć ń ń ń ń Ś ć Ś ń ń Ś ź ń Ę ń Ś ź ź ź ź ź Ę Ę Ę Ś ń Ś ć ń ń ń ń ń ń Ę ń ń ń ń ć ń ń ń ń ć ń Ś ć Ł ń ń ń ć ń ć ź ń ź ć ń ń ć

Bardziej szczegółowo

Krzywe na płaszczyźnie.

Krzywe na płaszczyźnie. Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

nie wyraŝa zgody na inne wykorzystywanie wprowadzenia niŝ podane w jego przeznaczeniu występujące wybranym punkcie przekroju normalnego do osi z

nie wyraŝa zgody na inne wykorzystywanie wprowadzenia niŝ podane w jego przeznaczeniu występujące wybranym punkcie przekroju normalnego do osi z Wprwadzenie nr 4* d ćwiczeń z przedmitu Wytrzymałść materiałów przeznaczne dla studentów II rku studiów dziennych I stpnia w kierunku Energetyka na wydz. Energetyki i Paliw, w semestrze zimwym 0/03. Zakres

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III) Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,

Bardziej szczegółowo

Ę Ć Ę Ó Ą ź Ó Ń Ń Ć Ó Ó Ł Ź Ł Ą Ł ć Ł ć Ź Ź ź Ń Ń Ź ć ć Ó Ą ź ć ć Ż ć ć Ź ć Ą ź Ł Ł Ę ć ć Ł Ś ć Ź ć Ł ć ć ć Ż Ó Ś Ł ć ź ć Ć ć ź ć Ź Ź Ł ć ć ć ź ź Ż Ą ź Ł ć ć ć Ó Ś Ć Ń ć Ń ć ć ź ć ć ć ć Ą Ł Ń ć Ł ć Ę Ą

Bardziej szczegółowo

Ć ń ń Ę Ó ń Ę ć ć ź Ę ć Ź ć ń ń ń ń ć ń ń ń Ę ć Ą Ę Ź ć ć ń Ą ź Ó ź ń Ę ć ć ń Ó Ą Ą ź ź Ę Ć Ę ć Ó ź Ą ć ć Ę ź ć Ź ć Ę ć Ź Ź ć ć ć ć Ł Ę ć Ć Ę Ź ć Ż Ę ń Ź Ę ć ń ć ń Ź Ź ń Ę ń ć Ó Ó Ź ć ń Ź ń Ż ć ź ź Ą Ć

Bardziej szczegółowo

Ł Ł Ń Ń Ś Ń Ń ź Ń Ą Ż Ł Ę Ł Ś Ą Ą Ś Ł Ń Ś Ą Ń ć Ą Ą Ą Ą Ł Ś Ę Ś Ń Ż Ż Ś Ć Ź ć Ę Ś Ą Ź Ś Ś Ś Ś Ż Ś Ź Ą Ż Ć Ą Ś Ź Ż Ź Ź Ź Ś Ą ć Ś Ść Ś Ść Ż Ź Ź ć Ź Ź Ź Ż Ż Ź Ś Ś Ż Ż ć Ź Ż Ż ć Ś Ś Ą Ź ć Ś ć ć Ś Ś ć Ż Ż Ą

Bardziej szczegółowo

Ą Ą ć Ż ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ą ć ć Ą ć ć Ó Ź ć Ą ć ć ć ć ć Ą ć ć Ą Ź ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ą ć Ą Ż ć Ź ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ż ć ć Ż ć ć ć ć ć Ą ź ć Ę ć ć ć ć Ź ć ć ź ć ć ć

Bardziej szczegółowo

Ą Ą Ą ń ż Ę Ż ż ń ż ć ż ż ć Ń Ż ż ż Ź Ą ń Ż Ę Ń ż Ą ń ż ć Ź ć ć ż ć ż ć ż Ż ż ż ż ć ż ń ż ć ń ż ż ż ć ć ń ń ż ć ż ćż ż ż ń ż ń ż ż Ę ż Ę Ą ż ż Ęć ż ż Ę ż ć ć ć ż ń ź ń ń Ź ż Ę Ę ń Ź Ź ć Ż ć ź ż ż ż ź Ę

Bardziej szczegółowo

Ę Ę Ń ć Ź ć Ź Ń Ę Ó Ź Ę Ź Ń Ń ć Ź ź Ą Ź ć Ę Ą Ę Ź Ź Ź Ę Ź Ą Ź Ź Ą Ó Ó Ź Ą ć Ń Ą ć ć ć Ż Ą Ą Ż Ą Ą Ą ć Ź Ź Ę Ą Ą Ę Ź Ń ź Ś ź Ż Ż Ż Ą ć Ś Ą ć Ą Ż Ń Ż Ą Ź Ź ć Ń Ś Ń Ź Ź Ą Ź Ż Ą ź ć ć Ę Ź Ź Ź ź Ę ź Ę Ń Ź Ę

Bardziej szczegółowo

Ł Ł Ś Ł Ń Ń Ł Ę ć ć Ż ć Ż Ę ć ć ć Ę Ę ć Ż ź Ż ć Ż Ą Ę Ę Ż Ę ź Ś ć ć Ę ź Ą ć Ł Ę Ę ź Ż ć ć Ę Ę Ż Ż ć Ż Ę ć Ę Ę ć ź Ą ć ć ć Ę ć ć ź ć ć ź ć Ś Ż ć ć Ż ć Ż ć Ż ć ź Ż Ż Ę Ę ź Ę ć Ż Ż Ę Ż Ę Ż Ą ć ć ć Ż ź Ż ć

Bardziej szczegółowo

ć ź ć ź ć ć Ź ć ć ć ć ź ć ć ź ć ć Ź Ł ć ć ć Ż ć Ż ć ć Ź ź Ć Ą Ź Ż Ż Ź Ż Ć Ł Ł Ź Ź ź Ą ź Ą Ć Ź Ł Ź ć Ź ćź Ź Ź Ą Ź ć Ź ć Ł ć Ł ć ć Ł ć Ą ć ć ć ź ź ć ć ć ć ź ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć ć Ł Ź ć ź ć Ą ć ć Ą Ć

Bardziej szczegółowo

3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.

3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5. WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja

Bardziej szczegółowo

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Karta informacyjna grupowego ubezpieczenia na życie i dożycie Top Medica

Karta informacyjna grupowego ubezpieczenia na życie i dożycie Top Medica Karta infrmacyjna grupweg ubezpieczenia na życie i dżycie Tp Medica Inwestycja w spółki z sektra farmaceutyczneg: silna branża zapewniająca wyskie i stabilne zyski duży ptencjał wzrstu ze względu na starzejące

Bardziej szczegółowo

Matematyka 1 (Wydziaª Architektury) Lista 1 - funkcje elmenetarne. 2. Rozwi za nast puj ce równania lub nierówno±ci:

Matematyka 1 (Wydziaª Architektury) Lista 1 - funkcje elmenetarne. 2. Rozwi za nast puj ce równania lub nierówno±ci: Matematka (Wdziaª Architektur) Lista - funkcje elmenetarne UWAGA: Umiej tno±ci potrzebne do rozwi zwania zada«z tej list b d równie» niezb dne prz rozwi zwaniu wszstkich problemów matematcznch, z jakimi

Bardziej szczegółowo

19. Wybrane układy regulacji Korekcja nieliniowa układów. Przykład K s 2. Rys Schemat blokowy układu oryginalnego

19. Wybrane układy regulacji Korekcja nieliniowa układów. Przykład K s 2. Rys Schemat blokowy układu oryginalnego 19. Wbrane układ regulacji Przkład 19.1 19.1. Korekcja nieliniowa układów w K s 2 Rs. 19.1. Schemat blokow układu orginalnego 1 Zbadać możliwość stabilizacji układu za pomocą nieliniowego prędkościowego

Bardziej szczegółowo

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

UKŁADY JEDNOWYMIAROWE. Część III UKŁADY NIELINIOWE

UKŁADY JEDNOWYMIAROWE. Część III UKŁADY NIELINIOWE UKŁADY JEDNOWYMIAROWE Część III UKŁADY NIELINIOWE 1 15. Wprowadzenie do części III Układ nieliniowe wkazją czter właściwości znacznie różniące je od kładów liniowch: 1) nie spełniają zasad sperpozcji,

Bardziej szczegółowo

Przenoszenie niepewności

Przenoszenie niepewności Przenoszenie niepewności Uwaga wstępna: pojęcia niepewność pomiarowa i błąd pomiarow są stosowane wmiennie. Załóżm, że wielkość jest funkcją wielkości,,, dla którch niepewności (,, ) są znane (wnikają

Bardziej szczegółowo

Przedziały ufności i testy parametrów. Przedziały ufności dla średniej odpowiedzi. Interwały prognoz (dla przyszłych obserwacji)

Przedziały ufności i testy parametrów. Przedziały ufności dla średniej odpowiedzi. Interwały prognoz (dla przyszłych obserwacji) Wkład 1: Prosta regresja liniowa Statstczn model regresji liniowej Dane dla prostej regresji liniowej Przedział ufności i test parametrów Przedział ufności dla średniej odpowiedzi Interwał prognoz (dla

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY pieczątka WKK Kod ucznia - - Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY Drogi Uczniu Witaj na II etapie konkursu matematcznego. Przecztaj uważnie instrukcję.

Bardziej szczegółowo

Automatyka. Treść wykładów: Układ sekwencyjny synchroniczny. Układ kombinacyjny AND. Układ sekwencyjny asynchroniczny. Układ sekwencyjny synchroniczny

Automatyka. Treść wykładów: Układ sekwencyjny synchroniczny. Układ kombinacyjny AND. Układ sekwencyjny asynchroniczny. Układ sekwencyjny synchroniczny Automatka dr inż. Szmon Surma szmon.surma@polsl.pl zawt.polsl.pl/studia pok. 202, tel. +48 32 603 4136 Treść wkładów: 1. Podstaw automatki 2. Układ kombinacjne, 3. Układ sekwencjne snchronicze, 4. Układ

Bardziej szczegółowo

Badanie wyników nauczania z matematyki

Badanie wyników nauczania z matematyki Agnieszka Zielińska aga70ziel@wp.pl Nauczyciel matematyki w III Liceum Ogólnkształcącym w Zamściu... ( Nazwisk i imię ucznia ) Pkt.... Ocena... Badanie wyników nauczania z matematyki klasa I - pzim pdstawwy

Bardziej szczegółowo

Z funkcji zdaniowej x + 3 = 7 można otrzymać zdania w dwojaki sposób:

Z funkcji zdaniowej x + 3 = 7 można otrzymać zdania w dwojaki sposób: Z funkcji zdaniowej + 3 = 7 można otrzmać zdania w dwojaki sposób: podstawiając w tej funkcji zdaniowej za stałe będące nazwami liczb np. 4 2 itp. poprzedzając tę funkcję zdaniową zwrotami: dla każdego

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO

MATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n

Interpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n MES 07 lokaln Interpolacja. Układ Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami?

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe

Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz

Bardziej szczegółowo

Pucku, ul. Elizy Orzeszkowej 5, 84-100 Puck, woj. pomorskie, tel. 058 7743280, faks 058 7743293.

Pucku, ul. Elizy Orzeszkowej 5, 84-100 Puck, woj. pomorskie, tel. 058 7743280, faks 058 7743293. Puck: Świadczenie usług transprtwych i załadunkwych przy bieŝącym utrzymaniu dróg pwiatwych na terenie pwiatu puckieg i wejherwskieg w rku 2011 Numer głszenia: 12885-2011; data zamieszczenia: 12.01.2011

Bardziej szczegółowo

MES polega na wyznaczaniu interesujących nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leży pomiędzy tymi punktami?

MES polega na wyznaczaniu interesujących nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leży pomiędzy tymi punktami? MES- 07 Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami? Na razie rozpatrwaliśm

Bardziej szczegółowo

Paweł Strawiński Ćwiczenia

Paweł Strawiński Ćwiczenia Zadanie 1 Na podstawie wników badań PGSS starano się zidentfikować zmienne, które wpłwają na poziom szczęścia. Na podstawie odpowiedzi stworzono zmienną hapunhap, która przjmuje wartość 1 dla osób, które

Bardziej szczegółowo

"Pies" P i e s \0. Prawidłowy zapis wymaga wykorzystania funkcji strcpy() z pliku nagłówkowego string.h: char txt[10]; strcpy(txt, Pies );

Pies P i e s \0. Prawidłowy zapis wymaga wykorzystania funkcji strcpy() z pliku nagłówkowego string.h: char txt[10]; strcpy(txt, Pies ); Łańcuchy znaków MATERIAŁY POMOCNICZE NR 7 DO PRACOWNII Z PRZEMIOTU INFORMATYKA 1 Łańcuch znaków (napis, stała napiswa) jest t ciąg złŝny z zera lub większej liczby znaków zawartych między znakami cudzysłwu,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 2. Rozwiąż nierówności: na przedziale x < 2; 3. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji f ( x)

FUNKCJA KWADRATOWA. 2. Rozwiąż nierówności: na przedziale x < 2; 3. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji f ( x) FUNKCJA KWADRATOWA. Rzwiąż równanie: a) 0 +,5 0 b) ( + )( ) 0. Rzwiąż nierównści: < ( )( ) > 0 a) b). Wyznacz wartść najmniejszą i największą funkcji na przedziale < ; 5 >. Przekształć z pstaci gólnej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników Rozwiązwanie układu równań metodą przeciwnch współcznników Sposob postępowania krok po kroku: I. przgotowanie równań. pozbwam się ułamków mnoŝąc kaŝd jednomian równania równań przez najmniejszą wspólną

Bardziej szczegółowo

(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)

(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych) Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut Miejsce na naklejkę z kodem szkoł OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR Czas prac 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, cz arkusz egzaminacjn zawiera

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które

Bardziej szczegółowo

Test 2. Mierzone wielkości fizyczne wysokość masa. masa walizki. temperatura powietrza. Użyte przyrządy waga taśma miernicza

Test 2. Mierzone wielkości fizyczne wysokość masa. masa walizki. temperatura powietrza. Użyte przyrządy waga taśma miernicza Test 2 1. (3 p.) W tabeli zamieszczn przykłady spsbów przekazywania ciepła w życiu cdziennym i nazwy prcesów przekazywania ciepła. Dpasuj d wymieninych przykładów dpwiednie nazwy prcesów, wstawiając znak

Bardziej szczegółowo

Zadania na IV etap Ligi Matematyczni-Fizycznej klasa II

Zadania na IV etap Ligi Matematyczni-Fizycznej klasa II Zadania na IV etap Ligi Matematczni-Fizcznej klasa II Zadanie. Oblicz długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnm równoramiennm, którego obwód jest równ cm. Zadanie. W trójkącie prostokątnm wsokość

Bardziej szczegółowo

Cykl III ćwiczenie 3. Temat: Badanie układów logicznych

Cykl III ćwiczenie 3. Temat: Badanie układów logicznych Ckl III ćwiczenie Temat: Badanie układów logicznch Ćwiczenie składa się z dwóch podtematów: Poziom TTL układów logicznch oraz Snteza układów kombinacjnch Podtemat: Poziom TTL układów logicznch. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Temat: Zastosowania pochodnej

Temat: Zastosowania pochodnej Temat: Zastosowania pochodnej A n n a R a j u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga A n n a R a j u r a, M a

Bardziej szczegółowo

a, b funkcji liniowej y ax + b

a, b funkcji liniowej y ax + b . FUNKCJA LINIOWA zadania Zad... Napisz wzór funkcji liniowej, której wkres przechodzi przez punkt A (, ) i przecina oś OY w punkcie B (0,). Zad... Dan jest wzór funkcji liniowej: A) B) C) D) Na podstawie

Bardziej szczegółowo

potrafi przybliżać liczby (np. ) K

potrafi przybliżać liczby (np. ) K Anna Włszyn Klasa 1 LO wymagania na egzamin pprawkwy Uczeń: I. Liczby rzeczywiste stsuje cechy pdzielnści liczb przez: K-P zna pjęcia: K cyfry, liczby parzystej i nieparzystej, liczby pierwszej i złżnej,

Bardziej szczegółowo

Ż Ę ć Ć ć ć Ą

Ż Ę ć Ć ć ć Ą Ś Ł Ż Ą Ż Ę ć Ć ć ć Ą ŚĘ Ż ź Ś Ż Ś Ś Ń Ę Ą Ś Ł Ś Ł Ż Ż ź ż Ą Ś Ż Ż Ś Ł Ą Ą Ó Ż Ż ż ć Ż ż ć ż Ó Ż ż ć ż ć ż Ą Ę ż Ó Ó ż ż Ó ć Ż ć Ż ć ć ź Ę Ę Ę ć Ż Ź Ż ż ć ż Ź Ę Ż ż ć Ś ć Ż Ę ż Ę ż ż ż Ż ż ż ż ż ĘŁ ż ż

Bardziej szczegółowo

Usługa składu, druku i dostawy do Urzędu do Spraw Kombatantów i Osób Represjonowanych biuletynu Kombatant w 2011 roku.

Usługa składu, druku i dostawy do Urzędu do Spraw Kombatantów i Osób Represjonowanych biuletynu Kombatant w 2011 roku. Usługa składu, druku i dstawy d Urzędu d Spraw Kmbatantów i Osób Represjnwanych biuletynu Kmbatant w 2011 rku. Ogłszenie dtyczy: zamówienia publiczneg. SEKCJA I: ZAMAWIAJĄCY I. 1) NAZWA I ADRES: Urząd

Bardziej szczegółowo

PN-EN 1991-1-2, PN-EN 1992-1-2, PN-EN

PN-EN 1991-1-2, PN-EN 1992-1-2, PN-EN Warszawa: Usługi infrmatyczne w zakresie pracwania prgramwania uŝytkweg wspmagająceg prcesy prjektwania elementów i rzwiązań knstrukcyjnych raz prgramów bliczeniwych. Oprgramwanie d bliczeń wg Eurkdów:

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.

Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów. Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. uzicki Zadanie 0 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzon Zadanie 0. an jest sześcian (zobacz rsunek), którego krawędź ma długość 5. unkt i dzielą krawędzie i w stosunku :, to znacz, że 0. łaszczzna

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1. Optyczna filtracja sygnałów informatycznych.

Ćwiczenie 1. Optyczna filtracja sygnałów informatycznych. Ćwiczenie 1 Optczna iltracja sgnałów inormatcznch. 1. Wprowadzenie Przjmiem, Ŝe znam pole świetlne na płaszczźnie ( ) 0, 0, to znacz znam rozkład jego amplitud i az we wszstkich punktach, gdzie określon

Bardziej szczegółowo

Założenia prognostyczne WPF

Założenia prognostyczne WPF Załącznik nr 3 do Uchwał o Wieloletniej Prognozie Finansowej Założenia prognostczne WPF Wieloletnia Prognoza Finansowa opiera się na długoterminowej prognozie nadwżki operacjnej, która obrazują zdolność

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch - Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs... s.. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowych - pola wektorowe

Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowych - pola wektorowe Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowch - pola wektorowe Przgotowanie: Dariusz Pazderski Wprowadzenie Rozważm liniowe równanie stanu układu niesingularnego stacjonarnego o m wejściach: ẋ = A+ Bu,

Bardziej szczegółowo

Warsztat pracy matematyka

Warsztat pracy matematyka Warsztat prac matematka Izabela Bondecka-Krzkowska Marcin Borkowski Jęzk matematki Teoria Jednm z podstawowch pojęc matematki jest pojęcie zbioru. Teorię opisującą zbior nazwa sie teorią mnogości. Definicja

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 2 b

Ć w i c z e n i e K 2 b Akademia Górniczo Hutnicza Wdział Inżnierii Mechanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena:

Bardziej szczegółowo

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:

Stan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi: Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane

Bardziej szczegółowo