D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1]
|
|
- Łukasz Kaczor
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] Co to są badania operacyjne? Termin "badanie operacji" (Operations' Research) powstał podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. W terminologii angielskiej najczęściej używa się terminu "Badania Operacyjne" (Operational Research). W terminologii amerykańskiej - "Nauka o Zarządzaniu" (Management Science). Jedną z możliwych definicji badań operacyjnych przytoczymy za Harvey'em Wagner'em: Badania operacyjne - to naukowa metoda rozwiązywania problemów z zakresu podejmowania decyzji kierowniczych. Obszar wiedzy wykorzystywany w badaniach operacyjnych to spora część zakropkowanego obszaru na poniższym rysunku. Pole zastosowań badań operacyjnych obejmuje sporządzanie matematycznych, ekonomicznych i statystycznych opisów (modeli) procesów decyzyjnych charakteryzujących się dużą złożonością (i często niepewnością). Takie opisy (modele) umożliwiają precyzyjne analizowanie złożonych procesów decyzyjnych i ułatwiają podejmowanie najlepszej decyzji.
2 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [2] Podstawowym narzędziem badań operacyjnych jest model. Rzeczywistość można modelować trojako: 1. ikonicznie (obrazowo) - tj. przedstawiać przedmioty lub zdarzenia w zmienionej skali (np. mapa, model samochodu, itp.) 2. analogowo - tj. przedstawiać właściwości badanego zjawiska za pomocą własności innych zjawisk (np. dochodzenie do ceny równowagi na rynku danego dobra można przedstawić jako ruch poziomu cieczy w układzie naczyń połączonych, w którym mechanizmem wyrównującym cenę jest grawitacja), 3. symbolicznie (matematycznie) - tj. opisywać rzeczywistość za pomocą wzorów matematycznych (równań). W badaniach operacyjnych rzeczywistość modelowana jest symbolicznie. Model (tutaj) jest to równanie (lub układ równań) za pomocą którego odzwierciedlamy procesy decyzyjne i społeczno-gospodarcze zachodzące w życiu gospodarczym. Procesy decyzyjne dzielimy je na 4 podstawowe klasy. Podział jest ściśle związany z ilością i jakością informacji jaką dysponuje decydent w procesie podejmowania decyzji. Mówimy o podejmowaniu decyzji w warunkach: 1. pewności. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji odpowiada jeden tylko wynik z prawdopodobieństwem równym jedności (mówimy, że proces jest zdeterminowany). 2. niepewności. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik (mówimy, że proces jest procesem stochastycznym). Nie znamy jednak prawdopodobieństwa z jakim dany wynik może wystąpić. 3. ryzyka. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik, ale znamy prawdopodobieństwo z jakim dany wynik może wystąpić. 4. częściowej informacji. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik Nie znamy co prawda prawdopodobieństwa z jakim dany wynik może wystąpić, ale możemy próbować je oszacować dzięki znajomości niektórych charakterystyk nieznanego rozkładu prawdopodobieństwa, np. wartość oczekiwana, wariancja, mediana, dominanta, itp.
3 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [3] Podejmowanie decyzji w warunkach pewności. Podejmowanie decyzji jest podstawowym elementem każdej działalności gospodarczej. Na ogół przy danych warunkach istnieje wiele decyzji dopuszczalnych, tj. ogólnie mówiąc decyzji które mogą być zrealizowane pomimo szeregu ograniczeń narzuconych decydentowi przez otoczenie jak i przez niego samego. Zrozumiałe jest wtedy poszukiwanie decyzji optymalnej. Jeśli mówimy o decyzji optymalnej to zakładamy, że określone zostało pewne kryterium rozstrzygające, która z decyzji dopuszczalnych jest tą decyzją najlepszą, tj. optymalną. Tak więc na zbiorze decyzji dopuszczalnych musi być określona pewna funkcja, nazywana funkcją kryterialną (funkcją celu), dla której należy znaleźć wartość największą (najmniejszą) w zbiorze decyzji dopuszczalnych. Narzędziem skutecznie wspomagającym proces wyboru decyzji optymalnej są metody programowania matematycznego (PM). Przedmiotem PM jest budowa modeli matematycznych (zadań PM) dla określonych sytuacji decyzyjnych, znajdowanie metod rozwiązywania tych modeli (zadań), rozwiązywanie ich, a w końcu weryfikacja otrzymanych rozwiązań i ich wykorzystanie. Ogólny problem PM można sformułować następująco: Znajdź wartość największą (najmniejszą) funkcji celu (1) f x1, x2,..., x n lub krócej f x przy warunku (2) x, x2,..., xn X T 1 lub krócej x X gdzie: X - zbiór decyzji dopuszczalnych (rozwiązań dopuszczalnych) x x x,..., x T n - decyzja (rozwiązanie) 1, 2 x j - zmienna decyzyjna (j=1,2,...,n)
4 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [4] Zapis wprowadzony w (2), tj. dopuszczalną (rozwiązaniem dopuszczalnym). x X oznacza, że x jest decyzją o Jeżeli przez x oznaczymy decyzję optymalną to możemy krótko zdefiniować ją jako tą z decyzji dopuszczalnych, która daje nam największą (najmniejszą) wartość funkcji celu o o (3) x : x X f x max(min) f x f x Decyzja optymalna musi być decyzją dopuszczalną. Jeżeli istnieje choć jedna decyzja dopuszczalna, tj. jeżeli zbiór decyzji dopuszczalnych X jest niepusty (X) wówczas zadanie PM jest zadaniem niesprzecznym i może posiadać skończone rozwiązanie optymalne lub nie posiadać skończonego rozwiązania optymalnego. Jeżeli natomiast nie istnieje ani jedna decyzja dopuszczalna, tj. jeżeli zbiór decyzji dopuszczalnych X jest pusty (X) wówczas zadanie PM jest zadaniem sprzecznym i nie posiada rozwiązania., tj. Komentarz do zapisu min lub max w zadaniach PM
5 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [5] Etapy wykorzystania metod PM w procesie podejmowania decyzji I. budowa modelu PM (zadania PM), II. rozwiązanie zadania PM, III. weryfikacja modelu i uzyskanego rozwiązania oraz IV. opracowanie systemu kontroli. W etapie I powinniśmy na początek ściśle sformułować: co jest celem działania, o czym mamy decydować, jakie są warunki w jakich działamy, jakie środki wchodzą w grę oraz kryterium umożliwiające ocenę decyzji. Budujemy zadanie PM wg następującej kolejności: 1. stworzenie listy zmiennych decyzyjnych, 2. sformułowanie funkcji celu (1) 3. sformułowanie równań lub nierówności określających zbiór decyzji dopuszczalnych X. W etapie II rozwiązujemy zbudowane zadanie PM w celu o określenia decyzji optymalnej x. Etap III jest jednym z najważniejszych etapów w poszukiwaniu decyzji optymalnej metodami programowania matematycznego. Chodzi tu o konfrontację uzyskanego rozwiązania z rzeczywistością gospodarczą w takim zakresie jak to jest tylko możliwe. Etap IV (opracowanie systemu kontroli) jest dynamiczną wersją etapu III (weryfikacji). Chodzi tutaj o to, że warunki w których podejmowana jest określona decyzja nie są statyczne i ulegają ciągłym zmianom. Może okazać się, że rozwiązanie uznane za optymalne "wczoraj" - "dziś" już nim nie jest.
6 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [6] Liniowe modele decyzyjne [zadania programowania liniowego (PL)] Jeżeli w modelu PM (1)-(2): 1. funkcja celu (1) jest funkcją liniową oraz 2. równia i nierówności generujące zbiór decyzji dopuszczalnych X są formami liniowymi, to model PM nazywany jest modelem programowania liniowego (zadaniem PL). Przykład Mały zakład wytwarza dwa produkty A i B, których ceny zbytu wynoszą odpowiednio 3 $/szt. i 4 $/szt. Należy opracować dzienny plan produkcji zakładu tak, aby wartość produkcji liczona w cenach zbytu była możliwie największa. Produkcja jest limitowana głównie przez dwa czynniki: dostępny czas pracy maszyn i surowiec podstawowy. Dzienny limit czasu pracy maszyn wynosi 500 minut. Umowy z producentem surowca podstawowego wskazują, że każdego dnia zakład będzie miał do dyspozycji 350 kg tego surowca (bezpieczny poziom). Zakład jest zainteresowany takim programem dziennej produkcji, przy którym osiągał będzie zysk minimum 600 $. Sztuka wyrobu A wymaga 1 minuty czasu pracy maszyn, natomiast sztuka wyrobu B 2 minut. Na wyprodukowanie sztuki wyrobu A zużywa się 1 kg surowca specjalnego. Również sztuka wyrobu B wymaga 1 kg tego surowca. Jednostkowy zysk ze sztuki wyrobu A wynosi 2 $/szt., a ze sztuki wyrobu B 1 $/szt.
7 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [7] 1. lista zmiennych decyzyjnych x 1 - dzienna produkcja wyrobu A [szt.] x 2 - dzienna produkcja wyrobu B [szt.] 2. funkcja celu (wartość produkcji w cenach zbytu) w(x 1, x 2 ) = w(x) = 3 x x 2 max [$] 3. ograniczenia określające zbiór planów dopuszczalnych (maszyny) x x [minuta] (surowiec) x 1 + x [kg] (min. zysk) 2 x 1 + x [$] (warunki x 1 0 [szt.] brzegowe) x 2 0 [szt.] Ilustracja zbioru decyzji dopuszczalnych X Decyzja optymalna o o, x 1150 o o x x2 100 w x1 2
8 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [8] Rozwiązywanie zadań PL Zadania PL rozwiązujemy: 1. metodą graficzną (2 zmienne decyzyjne) 2. metodą simpleks (klasyczną, zrewidowaną, zmodyfikowaną). Metoda graficzna
9 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [9] Klasyczna metoda simpleks w(x 1,x 2 ) = w(x) = 3 x x 2 max (maszyny) x x (surowiec) x 1 + x (min. zysk) 2 x 1 + x (warunki brzegowe) x 1 0, x 2 0 Postać kanoniczna po dołączeniu 4 nowych zmiennych (3 swobodne i jedna sztuczna) jest następująca: w = 3 x 1 +4 x 2 +0s 1 +0s 2 +0s 3 Mt 3 max x 1 +2 x 2 + s 1 = 500 x 1 + x 2 + s 2 = x 1 + x 2 s 3 +t 3 = 600 x 1 0, x 2 0, s 1 0, s 2 0, s 3 0, t 3 0 Interpretacja zmiennych swobodnych s 1 - niewykorzystany fundusz czasu pracy maszyn (limit 500 min) (ang. slack (luz)), s 2 - niewykorzystany zasób surowca (limit 350 kg) (ang. slack (luz)), s 3 - przekroczenie minimalnej kwoty zysku (żądanie 600 $) (ang. surplus (nadwyżka)).
10 B c i D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [10] Znajdowanie rozwiązania optymalnego zadania PL klasyczną metodą simpleks baza c j M zm. baz. P1 x 1 P2 x 2 P3 s 1 P4 s 2 P5 s 3 P6 wart. zm. baz. B t 3 x i ilor. wyj. 0 P3 s P4 s M P6 t z j 2M3 M4 c 0 0 M j 0 P3 s 1 0 3/ /2 1/ /3 0 P4 s 2 0 1/ /2 1/ P1 x 1 1 1/ /2 1/ z j M x y c 0 5/ /2 M+3/2 900 x j 0 P3 s P2 x P1 x z j c M x j Optymalny program dziennej produkcji jest następujący: sztuk wyrobu A oraz 100 sztuk wyrobu B. 2. Maksymalna wartość produkcji w cenach zbytu wynosi 1150 $. 3. Limit czasu pracy maszyn (500 min.) nie będzie wykorzystany w ilości 50 minut. 4. Dzienny zasób surowca (350 kg) będzie wykorzystany w całości. 5. Minimalny poziom zysku (600 $) nie będzie przekroczony. B i ik x
11 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [11] Przykład 2 Model programowania liniowego (liniowy model decyzyjny) Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum galonów paliwa X i minimum galonów paliwa Y. Paliwa te mogą być wytwarzane niezależnie w dwóch procesach: P1 i P2. W ciągu 1 godziny trwania procesu P1 zużywa się 1 baryłkę ropy A oraz 3 baryłki ropy B i otrzymuje 100 galonów paliwa X oraz 30 galonów paliwa Y. W ciągu 1 godziny trwania procesu P2 zużywa się 4 baryłki ropy A oraz 2 baryłki ropy B i otrzymuje 50 galonów paliwa X oraz 40 galonów paliwa Y. Zasób ropy A wynosi 320 baryłek, a ropy B 240 baryłek. Zysk z godziny produkcji według procesu P1 wynosi 200 $, a koszty 300 $. Zysk z godziny produkcji według procesu P2 wynosi 500 $, a koszty 600 $. Szef produkcji poszukuje takiej kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile P2), aby a. osiągnąć maksymalny zysk b. osiągnąć minimalny koszt
12 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [12] MODEL DECYZYJNY (a) - przykład 2 1. lista zmiennych decyzyjnych P1 - intensywność procesu P1 [godz.] P2 - intensywność procesu P2 [godz.] 2. funkcja celu (zysk z uruchomienia procesów P1 i P2) Z(P1,P2) = 200P P2 max [$] 3. ograniczenia określające zbiór planów dopuszczalnych (paliwo X) 100P1 + 50P [galon] (paliwo Y) 30P1 + 40P [galon] (ropa A) 1P1 + 4P2 320 [baryłka] (ropa A) 3P1 + 2P2 240 [baryłka] (warunki P1 0 [godz.] brzegowe) P2 0 [godz.] MODEL DECYZYJNY (b) - przykład 2 ZMIENIA SIĘ TYLKO FUNKCJA CELU 1. lista zmiennych decyzyjnych - bez zmian 2. funkcja celu (koszty uruchomienia procesów P1 i P2) K(P1,P2) = 300P P2 min [$] 3. ograniczenia określające zbiór planów dopuszczalnych - pozostają bez zmian
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Metody poszukiwania końcowych rozwiązań sprawnych: 1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów dokonuje się wyboru jednego z kryteriów zadania wielokryterialnego
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:
Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowoJacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa
Jacek Skorupski pok. 251 tel. 234-7339 jsk@wt.pw.edu.pl http://skorupski.waw.pl/mmt prezentacje ogłoszenia konsultacje: poniedziałek 16 15-18, sobota zjazdowa 9 40-10 25 Udział w zajęciach Kontrola wyników
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały)
Wprowadzenie Badania operacyjne (BO) to stosunkowo młoda dyscyplina naukowa, która powstała w czasie II Wojny Światowej, w związku z utworzeniem przy niektórych sztabach sił zbrojnych specjalnych grup
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.
Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.
BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe
Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą
Bardziej szczegółowoIwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie. Katedra Badań Operacyjnych UŁ
1 Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie Katedra Badań Operacyjnych UŁ 2 Programowanie celowe W praktycznych sytuacjach podejmowania decyzji często występuje kilka celów. Problem pojawia
Bardziej szczegółowoProgramowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA DYSKRETNA
Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych
Wprowadzenie do badań operacyjnych Hanna Furmańczyk 10 października 2008 Badania operacyjne (ang. operations research) - dyscyplina naukowa związana z teorią decyzji pozwalająca wyznaczyć metodę i rozwiązanie
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE)
PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE) Przykład 14. Zakład zamierza rozpocząć produkcję wyrobów W 1 i W 2. Wśród środków produkcyjnych, które zostaną użyte w produkcji dwa są limitowane. Limity te wynoszą:
Bardziej szczegółowoMETODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0
METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX
Bardziej szczegółowoALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007
ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie
Bardziej szczegółowoInstytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Katedra Logistyki i Systemów Transportowych. Badania operacyjne. Dr inż.
Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Katedra Logistyki i Systemów Transportowych Badania operacyjne Dr inż. Artur KIERZKOWSKI Wprowadzenie Badania operacyjne związana jest ściśle z teorią podejmowania
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa Etap edukacyjny: IV, przedmiot: informatyka (poziom podstawowy )
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:
A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +
Bardziej szczegółowoZadanie laboratoryjne "Wybrane zagadnienia badań operacyjnych"
Zadanie laboratoryjne "Wybrane zagadnienia badań operacyjnych" 1. Zbudować model optymalizacyjny problemu opisanego w zadaniu z tabeli poniżej. 2. Rozwiązać zadanie jak w tabeli poniżej z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Ćwiczenia 1. Wprowadzenie. Filip Tużnik, Warszawa 2017
Badania operacyjne Ćwiczenia 1 Wprowadzenie Plan zajęć Sprawy organizacyjne (zaliczenie, nieobecności) Literatura przedmiotu Proces podejmowania decyzji Problemy decyzyjne w zarządzaniu Badania operacyjne
Bardziej szczegółowoZadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby
Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne i teorie optymalizacji
Badania operacyjne i teorie optymalizacji dr Zbigniew Karwacki Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny Katedra Badań Operacyjnych Centrum Informatyczno-Ekonometryczne pok. E-137 Środa, 16.30-18.00 zakarwacki@uni.lodz.pl
Bardziej szczegółowoExcel - użycie dodatku Solver
PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym
Bardziej szczegółowoDualność w programowaniu liniowym
2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne
Bardziej szczegółowoc j x x
ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja
4 maj 2009 Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 1 Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja 4 maj 2009 Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 2 Plan zajęć Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:
Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia
Bardziej szczegółowoWykład 6. Programowanie liniowe
Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Michał Kulej. semestr letni, Michał Kulej () Badania operacyjne semestr letni, / 13
Badania operacyjne Michał Kulej semestr letni, 2012 Michał Kulej () Badania operacyjne semestr letni, 2012 1/ 13 Literatura podstawowa Wykłady na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kulej Trzaskalik
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja
Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 1 Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 2 Plan zajęć Rozwiązywanie równań nieliniowych -metoda bisekcji
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH
POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 11
Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy
Bardziej szczegółowo1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną
binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Przedmiot: Nr ćwiczenia: 3 Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Temat: Programowanie dynamiczne Cel ćwiczenia: Formułowanie i rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoBadania O peracyjne Wprowadzenie
Badania Operacyjne Wprowadzenie 2 3 Literatura podstawowa 1. Trzaskalik T., Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2008 2. Zbigniew Jędrzejczyk, Karol
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Struktury i Algorytmy Wspomagania Decyzji Zadanie projektowe 2 Czas realizacji: 6 godzin Maksymalna liczba
Bardziej szczegółowoTechnologie i systemy oparte na logice rozmytej
Zagadnienia I Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 2 Programowanie liniowe Metoda geometryczna Plan zajęć Programowanie liniowe metoda geometryczna Przykład 1 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych Zamknięty zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowo4. PROGRAMOWANIE LINIOWE
4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania
Bardziej szczegółowoPROBLEMY DECYZYJNE KRÓTKOOKRESOWE
PROBLEMY DECYZYJNE KRÓTKOOKRESOWE OPTYMALNA STRUKTURA PRODUKCJI Na podstawie: J. Wermut, Rachunkowość zarządcza, ODDK, Gdańsk 2013 1 DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE Decyzje krótkookresowe to takie, które dotyczą
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)
Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowo... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem do celu...
4 Prognozowanie historyczne Prognozowanie - przewidywanie przyszłych zdarzeń w oparciu dane - podstawowy element w podejmowaniu decyzji... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem
Bardziej szczegółowo( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
Bardziej szczegółowo(Dantzig G. B. (1963))
(Dantzig G.. (1963)) Uniwersalna metoda numeryczna dla rozwiązywania zadań PL. Ideą metody est uporządkowany przegląd skończone ilości rozwiązań bazowych układu ograniczeń, które możemy utożsamiać, w przypadku
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy
Bardziej szczegółowoModelowanie całkowitoliczbowe
1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni
Bardziej szczegółowoZarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik
Zarządzanie projektami Tadeusz Trzaskalik 7.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Projekt Sieć czynności zynność bezpośrednio poprzedzająca Zdarzenie, zdarzenie początkowe, zdarzenie końcowe Właściwa numeracja
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23
Wykład 7 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 16 kwietnia 2018 Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 1 / 23 Programowanie liniowe Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 2 / 23
Bardziej szczegółowoEtapy modelowania ekonometrycznego
Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE
PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE METODA PODZIAŁU I OGRANICZEŃ Przykład 6. Metoda podziału i ograniczeń Rozwiązać zadanie z Przykładu 1. metodą podziału i ograniczeń, przy czym wielkość produkcji wyrobu
Bardziej szczegółowoAlgorytm. Krótka historia algorytmów
Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
Bardziej szczegółowoModele optymalizacyjne wspomagania decyzji wytwórców na rynku energii elektrycznej
Modele optymalizacyjne wspomagania decyzji wytwórców na rynku energii elektrycznej mgr inż. Izabela Żółtowska Promotor: prof. dr hab. inż. Eugeniusz Toczyłowski Obrona rozprawy doktorskiej 5 grudnia 2006
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny.
Badania operacyjne Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 michal.kulej@pwr.wroc.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia wykładu: egzamin
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej
Statystyka opisowa. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Elementy statystyku opisowej 1 Elementy statystyku opisowej 2 3 Elementy statystyku opisowej Definicja Statystyka jest to nauka o
Bardziej szczegółowoRozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16)
Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 05/6, semestr letni, Grupy powtarzających (C5; C6) Lp Grupa C5 Grupa C6 Liczba godzin 0046 w godz 600-000 C03 0046 w godz 600-000 B05 4 6046 w godz
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoRAPORT z diagnozy Matematyka na starcie
RAPORT z diagnozy Matematyka na starcie przeprowadzonej w klasach czwartych szkoły podstawowej Analiza statystyczna Wyjaśnienie Wartość wskaźnika Liczba uczniów Liczba uczniów, którzy przystąpili do sprawdzianu
Bardziej szczegółowoRozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowo6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego
6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Analiza wrażliwości est studium analizy wpływu zmian wartości różnych parametrów modelu PL na rozwiązanie optymalne. Na optymalne
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoPrzed Tobą zestaw zadań konkursowych. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. wybieraj tak, aby osiągnąć jak najlepszy wynik. POWODZENIA
GIMNAZJUM Przed Tobą zestaw zadań konkursowych. Na ich rozwiązanie masz 90 minut. wybieraj tak, aby osiągnąć jak najlepszy wynik. POWODZENIA Zadanie 1. Trzy lata temu posadzono przed domem krzew. Co roku
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)
ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,
Bardziej szczegółowo