Operatory samosprzężone

Transkrypt

1 Operatory samosprzężone grudzień 2013 Operatory samosprzężone

2 Operatory hermitowskie (3.29) (g, Lf) = (Lg, f) albo (3.30) g (x){l(x)f(x)}w(x)dx = {L(x)g(x)} f(x)w(x)dx. (Użyliśmy nawiasu klamrowego jako ogranicznika obszaru działania operatora L.) (3.31) L(x) = α(x) d2 dx 2 + β(x) d dx + γ(x), gdzie funkcje α(x), β(x) i γ(x) są rzeczywistymi 1 funkcjami zmiennej x w interesującym nas przedziale (a, b). 1 Tzn. α (x) = α(x), itd.

3 warunki Warunek (3.29), to znaczy wymaga aby: (g, Lf) (Lg, f) = 0 [ w(x)α(x){g (x)f (x) f(x)g (x)} ] x=+ + x= {g (x)f (x) f(x)g (x)}{[w(x)α(x)] w(x)β(x)}dx = 0. Występujące w powyższych wzorach funkcje f i g można traktować zupełnie dowolnie. Warunek hermitowskości (3.29) ma postać mocno skomplikowaną... (3.35) [ w(x)α(x){g (x)f (x) f(x)g (x)} ] x=+ x= = 0 oraz (3.36) [{w(x)α(x)} w(x)β(x)] = 0.

4 postać kanoniczna (3.37) α(x)w(x) d2 y dy + β(x)w(x) + γ(x)w(x)y(x) = λw(x)y(x). dx2 dx Ale zgodnie z (3.36) β(x)w(x) = [α(x)w(x)]. Oznaczając p(x) q(x) def = α(x)w(x) def = γ(x)w(x) równanie (3.37) zapiszemy w postaci [ d (3.38) p(x) dy ] + q(x)y(x) + λw(x)y(x) = 0 dx dx stanowiącej chyba najczęściej spotykane i zarazem najpoprawniejsze (formalnie) sformułowanie problemu własnego. [ d (1 x 2 ) dy ] + l(l + 1)y(x) = 0, dx dx

5 postać kanoniczna a Wrońskian [ d dx d dx p(x) dy ] 1(x) + q(x)y 1 (x) = 0, dx [ p(x) dy ] 2(x) + q(x)y 2 (x) = 0. dx Przemnożenie pierwszego z powyższych równań przez y 2 (x) a drugiego przez y 1 (x) i odjęcie tak otrzymanych równań stronami daje równanie y 2 (x) d dx [ p(x) dy ] 1(x) y 1 (x) d [ p(x) dy ] 2(x) = 0 dx dx dx albo, po wykonaniu różniczkowania i redukcji, (3.42) d [W (x)p(x)] = 0, dx const p(x) = W (x), gdzie W (x) = W [y 1 (x), y 2 (x)] = y 1 (x)y 2(x) y 1(x)y 2 (x).

6 funkcje i wartości własne Funkcje własne operatora hermitowskiego H tworzą zbiór zupełny funkcji ortogonalnych z wagą w(x). Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste. Hu i (x) = λ i u i (x) Hu k (x) = λ k u k (x) Hu k(x) = λ ku k(x) (nie zapominajmy, że H = H!). Warunek hermitowskości H to (u k, Hu i ) = (Hu k, u i ) u k(x){h(x)u i (x)}w(x)dx (3.44) = (λ i λ k) {H(x)u k(x)}u i (x)w(x)dx u k(x)u i (x)w(x)dx = 0. Dla i = k całka z u i (x) 2 w(x) nie może być równa zeru (3.45) λ i = λ i

7 Metoda ortogonalizacji Schmidta... do konstrukcji ortogonalnego zbioru funkcji wystarczy: 1. wyspecyfikowanie konkretnego przedziału zmiennej x 2.funkcji wagowej w(x) 3.także dysponowanie zbiorem liniowo niezależnych funkcji np. {u n (x)}. Procedura kreacji takiego zbioru funkcji {φ n (x)}, (3.59) b a φ n (x)φ m (x)w(x)dx = N n δ nm nazywa się ortogonalizacją Schmidta. (Dla uproszczenia zakładamy, że φ n są rzeczywiste.)

8 Metoda ortogonalizacji Schmidta, c.d. Ortogonalizacja Schmidta jest procedurą sekwencyjną aby wyznaczyć kolejne φ n musimy dysponować wszystkimi poprzednimi: φ 0, φ 1,..., φ n 1. (3.60) φ n (x) = u n (x)+a n0 φ 0 (x)+a n1 φ 1 (x)+...+a nk φ k (x)+...+a n,n 1 φ n 1 (x). b a φ n (x)φ j (x)w(x)dx = (3.61) + b a n 1 u n (x)φ j (x)w(x)dx b a nk φ k (x)φ j (x)w(x)dx k=0 a (3.62) a nj = 1 b u n (x)φ j (x)w(x)dx, j = 0, 1,..., n 1. N j a

9 Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych w problemie S-L (3.63) LW n (x) = λ n W n (x) przy ogólnej postaci operatora L = α(x) d2 dx 2 + β(x) d dx + γ(x) [ x β(x ] ) (3.67) w(x)α(x) = C exp α(x ) dx. (3.68) α(x) = α 0 + α 1 x + α 2 x 2, β(x) = β 0 + β 1 x, γ(x) = γ 0.

10 1. α(x) funkcja kwadratowa Jak wynika z równania (3.67) nasze rozwiązanie to [ x ] β 0 + β 1 s (3.71) w(x)α(x) = C exp α 0 + α 1 s + α 2 s 2 ds. (3.72) (3.73) α(x) = 1 x 2 β(x) = β 0 + β 1 x (q p) (p + q + 2)x, gdzie nowa para współczynników p, q określa jednoznacznie problem Sturma-Liouville a. Przy tych nowych oznaczeniach (3.74) β(x) q p (p + q + 2)x = α(x) 1 x 2 = q x p x i z równania (3.71) otrzymujemy (3.75) w(x)α(x) = C(1 x) p+1 (1 + x) q+1 albo (3.76) w(x) = C(1 x) p (1 + x) q.

11 1. α(x) funkcja kwadratowa, c.d. Na pierwszy rzut oka sytuacja wygląda kiepsko. Rozwiązanie w(x)α(x) zachowuje się przecież jak funkcja potęgowa i spełnienie warunku zerowania się funkcji na krańcach oraz istnienie skończonej wartości całki z wielomianówwydają się stać pod znakiem zapytania. Chyba, że przyjmiemy zamiast powyższych równań nieco bardziej skomplikowane: (3.77) { (1 x) w(x)α(x) = p+1 (1 + x) q+1 ; 1 x 1; p, q > 1 0 x > 1 { (1 x) (3.78) w(x) = p (1 + x) q ; 1 x 1; p, q > 1 0 x > 1.

12 1. α(x) funkcja kwadratowa, c.d.... wielomiany, które stanowią rozwiązanie problemu Sturma-Liouville a nazywają się wielomianami Jacobiego i oznaczane są zwykle (3.79) W n (p, q; x) def = J p,q n (x); 1 x 1. Dla p = q = m; m > 1 wielomiany te noszą nazwę funkcji ultrakulistych Gegenbauera: G m n (x) def = J m,m (x). Dla m = 1/2 mamy wielomiany Czebyszewa T n (x) def = J 1/2, 1/2 (x) n i mające spore zastosowania w metodach numerycznych (zagadnienia interpolacji funkcji, różniczkowanie numeryczne, itp.) W końcu dla m = 0 spotykamy się z dobrze już nam znanymi wielomianami Legendre a. n

13 wielomiany(funkcje) stowarzyszone (3.80) Pl m (x) def = (1 x 2 m/2 dm ) dx m P l(x); l = 0, 1,...; m = 0, 1,...l. Tak określone funkcje 2 są ale tylko dla m parzystego wielomianami l tego rzędu. Dla dowolnego m i l są one ortogonalne w przedziale 1 x 1 z wagą w(x) = 1. Twierdzenie: Jeżeli wielomiany {W n (x)} stanowią układ Sturma-Liouville a, tzn. są ortogonalne w przedziale x (a, b) z wagą w(x), spełniającą warunek (3.36), to ciąg wielomianów {W n (k) (x)}, powstałych z k-krotnego zróżniczkowania ciągu {W n (x)}, stanowi też układ Sturma-Liouville a, ale z wagą w(x)α k (x). 2 W powyższym wzorze używamy wskaźników l i m, tradycyjnie skojarzonych z wielomianami Legendre a.

14 dowód def (3.81) I mn = Wm (x)w n(x)w(x)α(x)dx; n, m 1. Całkując przez części a następnie korzystając z warunków samosprzężoności operatora i ortogonalności W n (x) I mn = Wm(x)W n(x)w(x)α(x) Wm(x)W n(x)[w(x)α(x)] dx = W m(x)[α(x)w n (x)]w(x)dx W m(x)w n(x)[w(x)β(x)]dx W m(x){ β(x)w n(x) [γ(x) + λ n ]W n (x)}w(x)dx = (γ 0 + λ n )δ mn N n.

15 2. α(x) funkcja liniowa Kładąc w równaniu (3.67) α = x i wykonując rachunki otrzymujemy [ x ] β 0 + β 1 s (3.82) w(x)α(x) = C exp ds = Cx β0 e β1x. s (3.83) w(x)α(x) = { x s+1 e x ; x 0; s > 1 0 x < 0, (3.84) w(x) = { x s e x ; x 0; s > 1 0 x < 0. (3.85) L s n(x) = ( 1) s ds dx s L n+s(x).

16 2. α(x) stała (3.87) [ x ] w(x)α(x) = w(x) = C exp (β 0 + β 1 s)ds [ β1 = C exp 2 (x + β ] 0 ) 2. β 1 Przyjmując α(x) jako stałą zrezygnowaliśmy z obu stopni swobody problemu a w takim razie przyjęcie konkretnych wartości stałych β 0,1 będzie podyktowane wygodą i koniecznością spełnienia przez w(x) warunku (??). Kładziemy: C = 1, β 0 = 0 i β 1 = 2 otrzymując funkcję wagową (3.88) w(x) = e x2 ; < x <. Taka postać funkcji wagowej oznacza, że dopuszczamy możliwość zmienności x-a bez żadnych ograniczeń. Wielomiany ortogonalne to ostatnia z możliwości wielomiany Hermite a: W n (x) = H n (x)

17 wartości własne Wielomiany: W n (x) λ n Jacobiego Jn p,q (x) n(n + p + q + 1) Gegenbauera G m n (x) n(n + 2m + 1) Czebyszewa T n (x) n 2 Legendre a P n (x) n(n + 1) Laguerre a L n (x) n Hermite a H n (x) 2n

18 Wzór Rodriguesa. Funkcje tworzące. 1 (3.91) W n (x) = W n w(x) dx n [αn (x)w(x)], d n

19 Wzór Rodriguesa (3.94) (3.95) (3.96) (3.97) (3.98) (3.99) J p,q n (x) = j p,q n (1 x) p (1 + x) q d n dx n [(1 x)p+n (1 + x) q+n ] G m n (x) = gn m (1 x 2 m dn ) dx n [(1 x2 ) n+m ] T n (x) = t n (1 x 2 1/2 dn ) dx n [(1 x2 ) n 1/2 ] P n (x) = d n p n dx n [(1 x2 ) n ] L n (x) = l n e x dn dx n [xn e x ] L s n(x) = lne s x s dn x dx n [xn+s e x ] dn 2 x2 (3.100) H n (x) = h n e dx n (e x ). p n = ( 1)n 2 n n!, l n = 1 n!, i h n = ( 1) n.

20 Funkcje tworzące. (3.101) g(x, t) = c n (x) t n. k=0 Współczynniki c n są funkcjami zmiennej x... c n (x) = W n (x); czasami będzie słuszne bardziej ogólne c n (x) = C n W n (x), gdzie stałe C n mogą zależeć od n. (3.102) g W (x, t) = C n W n (x) t n, k=0 i n ty wielomian W n będzie określony jako (3.103) W n (x) = 1 C n n! n g W (x, t) t n. t=0

21 Reprezentacje całkowe (Wzory Schaefli) (3.107) W n (x) = 1 C n n! (3.108) f (n) (z 0 ) = n! 2πi Wzór Rodriguesa n g W (x, t) t n. t=0 f(ζ) dζ, (ζ z 0 ) n+1 d n 1 W n (x) = W n w(x) dx n [αn (x)w(x)], (3.109) W n (x) = 1 C n 1 2πi gw (x, ζ) dζ. ζ n+1

22 Ortogonalne i zupełne zbiory funkcji (3.110) b a φ m (x)φ n (x)dx = δ mn. Oznacza to przyjęcie funkcji wagowej w(x) w postaci { 1 a x b w(x) = 0 x < a; x > b. (3.111) F (x) = a n φ n (x), n=0 z współczynnikami a n określonymi przez (3.112) a n = Rozważmy teraz sumę b (3.113) K(x, t) = K(t, x) def = a F (x)φ n (x)dx. φ n (x)φ n (t). n=0

23 Ortogonalne i zupełne zbiory funkcji, c.d. Przypuśćmy, że utworzymy całkę b [ b ] [ ] F (t)k(x, t)dt = a p φ p (t) φ n (x)φ n (t) dt = a (3.114) = = a p=0 n=0 [ ] b a p φ p (t)φ n (t)dt φ n (x) n,p/0 n,p/0 a a p δ np φ n (x) = a p φ p (x) = F (x). Funkcja K(x, t) zachowuje się dokładnie tak jak nasza funkcja delta Diraca! (3.115) K(x, t) = δ(x t) = p=0 φ k (x)φ k (t). k=0

24 Funkcja Greena Niejednorodne równanie Helmholtza: (3.122) i(r) + k 2 i(r) = ρ(r), którego jednorodny odpowiednik : i(r) + k 2 i(r) = 0 ma ewidentną postać problemu własnego. Przypuśćmy, że udało nam się znaleźć funkcje i wartości własne tego problemu 3, spełniające: (3.123) φ n (r) + k 2 nφ n (r) = 0. Rozwiązanie równania niejednorodnego (3.124) i(r 1 ) = G(r 1, r 2 )ρ(r 2 )dτ 2, V 2 (3.125) (1) G(r 1, r 2 ) + k 2 G(r 1, r 2 ) = δ(r 1 r 2 ). 3 Oznacza to, że dysponowaliśmy pewnymi, dodatkowymi przesłankami dotyczącymi zachowania się rozwiązań i/lub ich pochodnych na brzegu obszaru.

25 Funkcja Greena, c.d. (3.126) δ(r 1 r 2 ) = φ n (r 1 )φ n (r 2 ); n=0 (3.127) G(r 1, r 2 ) = g n (r 2 )φ n (r 1 ). n=0 Współczynniki g n (r 2 ) wyliczymy podstawiając z równań (3.126) i (3.127) do (3.125). Otrzymujemy (3.128) g n (r 2 )φ n (r 1 ) + k 2 g n (r 2 )φ n (r 1 ) = φ n (r 1 )φ n (r 2 ), (1) n=0 n=0 n=0

26 Funkcja Greena, c.d. a po skorzystaniu z równania (3.123) (3.129) g n (r 2 )knφ 2 n (r 1 ) + k 2 g n (r 2 )φ n (r 1 ) = φ n (r 1 )φ n (r 2 ). n=0 n=0 n=0 (3.130) g n (r 2 ) = φ n(r 2 ) k 2 n k 2, tak więc (3.131) G(r 1, r 2 ) = n=0 φ n (r 1 )φ n (r 2 ) k 2 n k 2.