ATOM WODORU. dośw. Ernsta Rutherforda (~1910) Nobel 1908 (Chemia) detektor cząstek α. źródło cząstek α (jądra He) θ

Transkrypt

1 ATOM WODORU dśw. Ensta Ruthfda (~9) Nbl 98 (Chmia) źódł cząstk α (jąda H) θ Flia mtal. dtkt cząstk α zpszni: cząstka naładwana dpychając ddziaływani kulmbwski siln wstczn zpsz. siln ddz. siln pla ładunk ~ punktwy bak dzutu atmów flii ładunki zpaszając w ciężkich biktach ~ cała matia flii skupina w ciężkim jądz atmy ciężki jąda naładwan ddatni b. małych zmiaach (~ -4 m << zmia atmu ~ - m )

2 E. Ruthfd (9.) zpaszani cząstk α na flii złta: ddatni naładwan jąd zędu 4 m, zmiay atmu zędu m masa ptnu 836 m Pstulaty Bha Nils Bh ( ) Nbl 9 I. Elktny puszają się w atmach ni pminiując ngii, p takich bitach kłwych, ż mmnt pędu lktnu jst ówny całkwitj watści stałj h mv nh n,, 3,... (.) II. Pzjścia lktnu z bity ngii En na bitę, gdzi ngia wynsi Em, twazyszy misja lub abspcja ftnu częstści ν E E hν (.) n m

3 Engia kintyczna Z pzyównania siły lktstatycznj z siłą dśdkwą. K mv nh m m 8πε (.3) Z wyażnia (.3) wyliczymy dzwln bity gdzi jst pminim Bha. n 4πε m h h n 4πε 5.9 m m n (.4) Pmini bit są skwantwan i wynszą:, 4, 9,..., itd.

4 Dpuszczaln watści ngii wynszą E K + U 8πε 4πε 8πε -,54 -,85 -,5 n Sia Pashna stąd E n 4 m π ε h n n V (.5) E(V) -3,39 Sia Balma Gdy n śni, pzimy lżą caz bliżj sibi. -3,59 Sia Lymana Rys... Schmat pzimów ngtycznych atmu wdu Engia jnizacji atmu wynsi 3,59 V (pzjści z stanu n d niskńcznści). Chciaż tia Bha jst pzstazała, jdnak jst badz psta. Jj znaczni histyczn jst duż. Symbl tii bhwskij stswan są d chwili bcnj. Współczsny mdl atmu był zappnwany w 96., wkótc p sfmułwaniu ównania Schödinga

5 Obitalny mmnt pędu Wątpliwści dnśni tii Bha: dlaczg mmnt pędu lktnu jst skwantwany? dlaczg lktn ni mituj pminiwania i ni spada na jąd? x L z z p ϕ sϕ Rys... Paczka falwa puszająca się p kęgu pminiu. y Mmnt pędu lktnu (paczki falwj) L z Pniważ dga lktnu na bici funkcja falwa lktnu h k iks ikϕ ( ) Musi być spłniny waunk lub ( ϕ ) ( ϕ + π ) ikϕ ik ( ϕ +π ) Równani t będzi spłnin jżli ik π s dϕ, t (.6)

6 Pniważ xp ( πik ) cs( πk ) + i sin( πk ), z ównania (.6) wynika, ż Stąd czyli k m l m l, ±, ±,... hk ml h L h (.7) z m l Wykazaliśmy, ż bitalny mmnt pędu względm si z (lub inng ustalng kiunku) jst skwantwany i mż pzyjmwać watści, ±h, ±h, ±3h,...itd. Ścisły dwód tg twidznia wychdzi pza amy wykładu. Składwa mmntu pędu ni mż być większa d całkwitg mmntu pędu. Pzy ustalnj watści całkwitg mmntu pędu istnij pwna maksymalna watść m l. Oznaczmy ją pzz l. Między l i m l zachdzi waunk Z pwyższg wynika, ż liczba m l mż pzybiać l+ watści: m l l, l +,...,,,..., l, l. l

7 Obitalny mmnt pędu L ma óżn watści L z, gdzi l,,,... itd. l( l + )h L (.8) h h z m l L 6h Obitalny mmnt pędu i jg zut na ustalny kiunk są skwantwan. Ilść mżliwych ustalń wkta L wynsi l +, pzy czym kąty między L z i L spłniają waunk Lz ml csθ (.9) L l ( l + ) h h - Rys..3. Pzstznn kwantwani bitalng mmntu pędu. W pzypadku pzdstawinym na ysunku l i L 6 h. Rzuty wkta L na wyóżniny kiunk wynszą: h, h,, h, h. - m l Wkt bitalng mmntu pędu jst skwantwany w pzstzni. Wyóżniny kiunk kiunk B (zwnętzng lub własng, wytwzng pzz atm). Pzyjmimy dalj, ż tn wyóżniny kiunk pkywa się z sią z.

8 liczba l bitalna (azymutalna) liczba kwantwą kśla watść bitalng mmntu pędu, liczba m l magntyczna liczba kwantwa Funkcja falwa związana z magntyczną liczbą falwą ma pstać Stałą ο wyznaczymy z waunku nmalizacji π Zatm ( ) π π * dψ. Ostatczni więc im ϕ π im ϕ l im ϕ l l dϕ im ϕ π l (.)

9 Równani Schödinga dla atmu wdu Ewin Schöding (887 96) Nbl 933 Engia ptncjalna ddziaływania lktn-jąd U ( ) 4πε

10 Układ sfyczny Płżni kśln jst pzz pmiń wdzący, kąt bigunwy ϑ i kąt azymutalny ϕ. z P x y sinϑ csϕ sinϑ sinϕ z csϑ ϑ Jąd znajduj się w pczątku układu współzędnych i jst niuchm (jg masa jst 836 azy większa d masy lktnu). ϕ y x Rys..4. Katzjański (x,y,z) i sfyczn (, ϑ,ϕ) współzędn punktu P.

11 Równani Schödinga w współzędnych katzjańskich ( ) U E m z y x + + h (.) W układzi sfycznym ( ) ϕ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ U E m sin sin sin + + h (.) Równani Schödinga dla atmu wdu πε ϕ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ E m sin sin sin 4 h (.3)

12 W gólnym pzypadku funkcja falwa (,ϑ,ϕ). Istniją pwn sytuacj fizyczn, ż jst tylk funkcją : mamy stan s, żadn kiunk w pzstzni ni jst wyóżniny ( L ), Dla stanu s ównani Schödinga d d d + d m h E + 4πε (.4) Funkcja musi spłniać następując waunki:,, p musi siągnąć max. w pwnj dlgłści d jąda i jdnczśni p dla Waunki t spłnia gdzi cnst. ( / ) (.5)

13 Pawdpdbiństw adialn znalzinia lktnu w lmnci bjętści d dv 4π : ( ) d d p 4 4 π π funkcja ta spłnia waunki: p() i ( ) p, óżniczka funkcji xp( / ) siąga max. dla. Pdstawiając (.5) d (.4) i wyknując óżniczkwani + + / m E m πε h h Pniważ xp( / ), więc + + m E m h h πε Równani t jst spłnin tylk wówczas gdy: + h m πε + h me

14 Z tych ównań 4 πε h 5. 9 m m (.6) E h m m 3π ε 4 h 3. 59V (.7) Pzyjęta funkcja jst związanim ównania Schödinga, jżli i E są kśln (.6) i (.7). takimi wzami wyażają się pmiń bity i najniższy pzim ngtyczny lktnu w wg mdlu Bha, związując ównani Schödinga tzymaliśmy wzy na i E bz żadnych załżń, będzimy intptwać jak dlgłść d jąda, pzy któj pawdpdbiństw znalzinia lktnu siągni watść maksymalną, pstulat (.) óżni się d pwyższych wnisków z dwu pwdów: pzyjęci klasycznj bity taci sns, mmnt pędu ówny jst ni nh lcz lh (jak się dalj pzknamy l < n) Fakt, ż tia Bha pawidłw pisuj widm pzimów ngtycznych atmu wdu, jst szczęśliwym zbigim klicznści.

15 Pstępując w spsób analgiczny mżna wykazać, ż funkcja / jst związanim ównania Schödinga, jżli 4 m E (.8) 4 3π ε Pzimy ngtyczn lktnu w atmi wdu h E n 4 m 3π ε h n gdzi n,, 3,... (całkwita liczba ddatnia) zwana główną liczbą kwantwą.

16 Dkładna analiza funkcji falwych wykazuj, ż część adialna funkcji zalży d n i l, a część kątwa d l i m l. Tak więc mżmy zapisać, ż nlml R nl ( ) Θ ( ϑ) Φ ( ϕ ) Pdstawiając taką funkcję d ównania Schödinga tzymujmy: tzy ównania zwan dpwidni adialn, bigunw, azymutaln, każd z nich pisuj zachwani się funkcji falwj w zalżnści d, ϑ, ϕ, z ównań tych wyznacza się mżliw watści ngii, mmntu pędu i jdnj jg składwj; wilkści t są kśln pzz pdani tzch liczb kwantwych n, l, m l. Okazuj się pzy tym, ż dla dang n, bitalna liczba kwantwa mż pzyjmwać watści: lml ml l,,,..., n. Tzy liczby kwantw są związan z sbą w następujący spsób: główna liczba kwantwa n,, 3,... bitalna liczba kwantwa l,,,..., n magntyczna liczba kwantwam l l, l+,...,,..., l, l Pzy kślnj n (kślnj watści ngii), liczba mżliwych watści l i m l, czyli liczba nizalżnych związań ównania Schödinga będzi wynsiła n l ( l + ) n (.6)

17 Jżli lktn jst w takim stani, ż jdnj watści ngii dpwiada kilka nizalżnych związań ównania Schödinga, t mówimy, ż stan taki jst n -ktni zwydniały. Dla zadanych watści liczb kwantwych n, l, m l ; funkcja falwa ma kślną pstać któą znaczamy symblm i nazywamy bitalm atmwym. n,l,m l Każdy bital znaczny jst tym samym symblm c dpwiadający mu stan lktnwy. Istniją gólni pzyjęt symbl liczb kwantwych n i l. Twzy się j z cyfy znaczającj główną liczbę kwantwą i lity pzypządkwanj liczbi l w następujący spsób l,,, 3, 4 s, p, d, f, g Dla stanu pdstawwg atmu wdu n, a zatm l m l. Stan tn znaczamy symblm s. Dla najniższg stanu wzbudzng n, a zatm l lub l : dla l (stan s), m l, dla l (stany p), m l, lub clm zóżninia stanów p óżnj watści liczby m l stsuj się nikidy ddatkwy indks pdający watści tj liczby.

18 Tabla.. Funkcj falw atmu wdu Stan n l m l Funkcj falw s / / 3 π s / / 3 4 π p ϑ π cs / / 3 4 p ϕ ϑ π i / / sin 3 8 p ϕ ϑ π i / / sin 3 8

19 Pzykład zpatzymy funkcję Pniważ Waunk unmwania funkcji A. Musi być spłniny waunk / dv A dv więc Uwzględniając, ż mamy A dv / sinϑ d d π / d A ( ) dϑ dϕ sinϑdϑ 3 π ( ) 3 4π dϕ Stąd A π 3 /

20 Znając funkcj falw mżna bliczyć pawdpdbiństw znalzinia lktnu w kślnym lmnci bjętści. Pawdpdbiństw adialn (zalżn d ) i pawdpdbiństw kątw (zalżn d ϑ i ϕ). Pawdpdbiństw adialn Gęstścią pawdpdbiństwa p ( ) d R d p nl ( ) R. nl

21 R nl.4.3. n l W stani s p() siąga maksimum dla. W stani s istniją dwa maksima: dla i / W stani p p() siąga maksimum w pbliżu 4. R nl.3.. n l Dla wszystkich stanów zalżnść xp(imϕ). Zatm gęstść pawdpdbiństwa ni będzi zalżała d ϕ, gdyż / xp ( imϕ ) xp( imϕ ) R nl.3. n l Całkwita gęstść pawdpdbiństwa ( ) p( ϑ) p / Rys..5. Radialn gęstści pawdpdbiństwa dla atmu wdu gdy n i.

22 z z ϑ Θ lml y ϑ Θ lml y z ϑ Θ lml y l m l l m l l m l ± Rys..6. Wyksy bigunw kiunkwj zalżnści gęstści pawdpdbiństwa dla atmu wdu w pzypadku l i l. Miaą pawdpdbiństwa znalzinia lktnu w danym kiunku jst dlgłść między pczątkim układu współzędnych i punktm pzcięcia pstj ppwadznj pd danym kątm, z wyksm funkcji Θ. lm l W stani s (l ) p() cnst. (chmua lktnwa wykazuj symtię kulistą) ~ cs W stani l i m, ( ϑ) ϑ Dla l i ± p m, p ( ϑ) ~ sin ϑ. W każdym pzypadku gęstść pawdpdbiństwa wykazuj symtię btwą względm si z.

23 Obitalny mmnt magntyczny Pzypmnini Gdyby istniał ładunk magntyczny, t w plu magntycznym działałaby na nig siła analgiczna d siły działającj na ładunk lktyczny w plu lktycznym. F q m B B F F B l α +q m F F -q m Rys. 6.. Magns długści l płżny pd kątm α d linii sił pla magntyczng B. Rys. 6. Pstkątna amka pwizchni l l w jdndnym plu magntycznym. Mmnt sił działających na magns wynsi

24 czyli T T q Fl sinα m Bl sinα Ilczyn q m l μ kśla się jak mmnt magntyczny. Wbc tg a w zapisi wktwym T T μb sinα μ B W analgiczny spsób zachwuj się pętla z pądm (ys. 6.). Siły magntyczn pzyłżn d dwóch pzciwlgłych bków długści l twzą mmnt btwy Pniważ F Il B, stąd T Fl sinα ( Il B)( l sinα ) Il l B sinα ISB sinα T Wynika z tg, ż pętla z pądm wytwaza pl magntyczn idntyczni jak magns μ IS

25 Z uchm bitalnym lktnu związany jst mmnt magntyczny lktnu. Mmnt magntyczny zamkniętg, płaskig bwdu z pądm wynsi μ I S Cząstka ładunku q puszająca się p bici kłwj z pędkścią v, wytwaza pąd natężniu Obitalny mmnt magntyczny a w zapisi wktwym gdzi L p μ l μ I q v π qv qv π π l q v jst bitalnym mmntm pędu. q m Stsunk μ/l nazywamy stsunkim gimagntycznym. p q m L

26 Dla lktnu μl L l( l + ) h μ B l( l + ) (.8) m m Znak minus znacza, ż μ l jst skiwany pzciwni niż L, c spwdwan jst ujmnym ładunkim lktnu. μ B nazywany magntnm Bha jst jdnstką atmwg mmntu magntyczng Na cząstkę mmnci magntycznym μ Am B (.9) m h μl w zwnętznym plu magntycznym B działa mmnt sił T μ B (.3) któy dąży d ustawinia wkta mmntu magntyczng wzdłuż kiunku pla. l Engia ptncjalna mmntu w zwnętznym plu magntycznym wynsi natmiast U μl B μl B csθ (.3) gdzi θ jst kątm między μl i B.

27 bitalny mmnt pędu (L ) i jg zut na ustalny kiunk ( L z), są skwantwan, kąt między L i L z jst zawsz óżny d za, więc wkt L i wkt μl ni mgą ustawić się ównlgl czy tż antyównlgl d pla B. Składwa bitalng mmntu magntyczng w kiunku zwnętzng pla h μ lz μl csθ l( l + ) csθ ml (.3) m m Widzimy taz, dlaczg m l nazywa się magntyczną liczbą kwantwą kśla bwim zut mmntu magntyczng na kiunk zwnętzng pla magntyczng. Kąt θ między wktami μl i B jst zawsz óżny d za, więc w zwnętznym plu magntycznym na mmnt magntyczny zawsz będzi działać mmnt siły T m L B Mmnt tn pwduj zmianę mmntu pędu dl zgdni z pawm Nwtna dl T. dt Zmiana dl pwduj pcsję L kąt ω L dt, gdzi ω L dt jst pędkścią kątwą pcsji zwanj pędkścią Lamna.

28 B dϕ dl Z ys..7 widać, ż czyli dl dt dl L Lsinθω dt Lω sinθ T L m LB sinθ Tak więc L B ω L (.33) m i nazywana jst częstścią Lamna. μ L Rys..7. Oddziaływani mmntu magntyczng z zwnętznym plm magntycznym. Engia ptncjalna mmntu magntyczng w plu magntycznym [wyażni (.3)] U h μ lb csθ Bml m μ m B B l (.34) Oznacza t, ż pl magntyczn będzi zminiał pzimy ngtyczn lktnu. Pniważ dla ustalng n i l istnij l+ mżliwych watści m l, więc piwtny pzim ngtyczny zstani zszczpiny na l+ pdpzimów.

29 Dla lktnu w atmi wdu w stani p (l ) w plu indukcji B T U 9, 7 9, 7 4 J 4 J m m m l l l Rzszczpini pzimów ngtycznych ni jst duż, al mż być z pwdznim mizn kspymntalni. Pjdyncza linia widmwa ulga zszczpiniu na tzy blisk sibi płżn lini, pzy czym dstęp ngtyczny między dwma kljnymi liniami wynsi μ B B. Zjawisk zszczpinia linii widmwych w zwnętznym plu magntycznym nsi nazwę zjawiska Zmana. Zjawisk t ptwidza skwantwani bitalng mmntu pędu w atmi.

30 Spin lktnu Spinwy mmnt pędu i spinwy mmnt magntyczny Lini widmw składają się z blisk sibi płżnych linii nawt bz bcnści zwnętzng B. Taki zszczpini pjdynczj linii widmwj nazywan jst stuktuą subtlną linii widmwych. Pwnym pzypadkim stuktuy subtlnj jst zjawisk Zmana. Elktn pza bitalnym mmntm pędu ma własny mmnt pędu zwany spinwym lub kótk spinm: jg istnini jst jg natualną (wwnętzną) właściwścią, jg istnini zappnwali w 95 ku Gudsmit i Uhlnbck w clu wyjaśninia stuktuy subtlnj linii widmwych. Spinwy mmnt pędu lktnu gdzi s jst spinwą liczbą kwantwą ówną /. L s s( s + )h (.35) Spin lktnu L 3h jst pdstawwą właściwścią lktnu (pdbni jak masa i ładunk). s

31 Rzut spinwg mmntu pędu na wyóżniny kiunk jst skwantwany L sz m s h (.36) gdzi m s pzyjmuj dwi watści, / lub /; i nsi nazwę magntycznj spinwj liczby kwantwj. (ys..8). h/ z Liczba kwantwa: m s ½ spin skiwany w góę, a m s / spin skiwany w dół Mżliw kąty między wktm L s a wyóżninym kiunkim w pzstzni wynszą 54,7 i 5,3. L s s ( s + ) h 3h Stan lktnu w atmi będzimy więc pisywać za pmcą cztch liczb kwantwych: n, l, m l i m s. h/ Rys..8. Spinwy mmnt pędu lktnu i jg zut na kślny kiunk w pzstzni. Liczba nizalżnych stanów związanych z główną liczbą kwantwą n. P uwzględniniu spinu całkwita liczba stanów n.

32 Z spinwym mmntm pędu L s związany jst spinwy mmnt magntyczny μ s h μ s Ls s( s + ) (.37) m m Rzut spinwg mmntu magntyczng na wyóżniny kiunk h h μ sz s( s + ) csθ ± ± μb (.38) m m mż pzyjmwać dwi, óżniąc się znakim watści, c d mdułu ówn magntnwi Bha. Anmalią magntmchaniczna: stsunk gimagntyczny dla mmntu spinwg jst dwuktni większy niż dla mmntu bitalng.

33 Całkwity mmnt pędu i całkwity mmnt magntyczny Całkwity mmnt pędu J ówny jst sumi wktów L i L s J L + (.39) Okazuj się, ż całkwity mmnt pędu, pdbni jak L i L s, jst skwantwany i wynsi J j( j + )h (.4) gdzi j jst liczbą kwantwą całkwitg mmntu pędu wynszącą j l + s lub j l s. Pniważ s /, więc j l / lub j l + /. L s L h J 5 h L h J 3 h Pniważ wkty L, L s i J są skwantwan, więc istniją tylk pwn dzwln intacj tych wktów względm sibi. L s 3 h L s 3 h Rys..9. Mżliw zultaty ddawania bitalng i spinwg mmntu pędu lktnu dla l i s /.