INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1

Transkrypt

1 KATEDA EHANK STOSOWANEJ Wydział echaniczny POLTEHNKA LUBELSKA NSTUKJA DO ĆWZENA N PZEDOT TEAT OPAOWAŁ EHANKA UKŁADÓW EHANZNYH Badania analityczne układu mechaniczneg jednym stpniu swbdy D inż. afał usinek. EL ĆWZENA elem ćwiczenia jest bliczenie metdą analityczną kesu dgań własnych wahadła fizyczneg (pieścienia), wyznaczenie ównania uchu i szacwanie wpływu nieliniwści na kes dgań wahadła.. PODSTAWY TEOETYZNE wyknujące w pinwej płaszczyźnie dgania pd wpływem siły gawitacji. W teii mechaniki zóżnia się dwa pdstawwe dzaje wahadeł: matematyczne (ys. a) fizyczne (ys. b) a) b) O l ys. Wahadł matematyczne (a) i fizyczne (b)

2 Wahadłem matematycznym (ys. a) jest punkt mateialny zawieszny na niezciągliwej i nieważkiej nici. Jest t idealizacja wahadła fizyczneg. Natmiast, wahadłem fizycznym (ys. b) jest była sztywna, któa mże wyknywać bty dkła pzimej si pzechdzącej pnad śdkiem ciężkści tej były. Ważną cechą wahadła fizyczneg i matematyczneg jest niezależnść kesu dgań d maksymalneg wychylenia, czyli amplitudy. Zależnść taka jest jednak spełnina tylk dla niewielkich wychyleń wahadła, gdyż wówczas ównanie uchu mże zstać pzedstawine, z wystaczając dbym pzybliżeniem, za pmcą liniweg ównania óżniczkweg. Zaówn uch wahadła matematyczneg jak i fizyczneg pisuje ta sama klasa ównań óżniczkwych zędu ze stałymi współczynnikami. Wypwadzenie ównania uchu piea się na zasadzie dynamiki Newtna dla uchu btweg względem nieuchmeg punktu () zawieszenia wahadła: n i () i0 gdzie Jedyną siła zewnętzną działającą na wahadł jest siła ciężkści Q. Opócz niej są też eakcje więzów, któe jednak nie dają mmentów względem punktu pdpacia (zawieszenia, ). ównanie zasady dynamiki pzybiea pstać: p pzekształceniu tzyman: sin 0 () sin 0 (3) ównanie (3) jest nieliniwym ównaniem óżniczkwym jedndnym zędu. związanie ównań teg typu nie jest zeczą pstą i wymaga użycia metd pzybliżnych, dlateg w ćwiczeniu skupin się na związaniu upszczneg, liniweg ównania, któe tzymuje się pzy załżeniu, że amplituda dgań wahadła jest niewielka. Wówczas sin i nieliniwe ównanie (3) pzybiea pstać ównania liniweg: 0 (4) Wyażenie występujące zaówn w ównaniach (3) i (4) znaczn jak 0. Jest n kwadatem częstści dgań własnych wahadła w ujęciu liniwym (3): (5) W ćwiczeniu badane jest wahadł fizyczne, któe epezentuje pieścień pkazany na ys.. Wówczas, maswy mment bezwładnści bliczymy kzystając z addytywnści mmentów az twiedzenia Steinea. ment bezwładnści pieścienia względem śdka masy mżna wyznaczyć, jak óżnicę mmentu pełneg kążka pmieniu i twu, czyli kążka pmieniu : (6)

3 ys. Wahadł fizyczne w kształcie pieścienia aswe mmenty bezwładnści i wynszą dpwiedni: (7) gdzie, i są masami kążków pmieniach i. Zakładając, że gęstść mateiału pieścienia wynsi, a jeg gubść h, masy kążków i wyażn zależnściami: Zaś masa analizwaneg pieścienia wynsi: h h m h ( ) (9) P uwzględnieniu ównań (6) i (7), mment bezwładnści pieścienia względem bieguna 0 (śdka masy) jest ówny: 4 4 h ( ) m( ) (0) Stsując twiedzenie Steinea bliczymy maswy mment bezwładnści względem punktu zamcwania wahadła (): m Pdstawiając zależnść (9) d ównania () tzymujemy: lub w innej, pstszej fmie: c 3 h (8) () 4 4 c () m 3 c (3) Pdejście upszczne, liniwe Pzy załżeniu małych wychyleń tzyman ównanie (4), któeg związanie gólne zakładamy w pstaci dgań hamnicznych z częstścią własną : ( t) Acs t Bsin t (4) Wyznaczenie stałych A i B jest mżliwe z waunków pczątkwy, któe zapisan w pstaci: 3

4 ( t 0) ( t 0) 0 Obliczając pchdną kąta tzyman: ( t) A sin t B cs t Wstawiając dugi waunek pczątkwy d ównania (6) wyznaczn B=0, zaś z piewszeg waunku ((0)) tzyman A=. Dlateg pzy zadanym zewym dugim waunku pczątkwym kinematyczne ównanie uchu wahadła fizyczneg pzybiea pstać: ( t) cst (7) zęstść dgań własnych pisana ównaniem (5) jest stała, niezależna d amplitudy. Natmiast kes dgań własnych w ujęciu liniwym (pzybliżnym) wynsi: Tl (8) Pmijając py pwietza i inne py uchu wahadła (tacie w punkcie pdpacia) spełnina jest zasada zachwania enegii mechanicznej, a więc suma enegii kinetycznej (T) i ptencjalnej (V) jest stała: T V cnst (9) Wahadł w swim maksymalnym gónym płżeniu psiada maksymalną enegię ptencjalną (V ) i minimalną enegię kinetyczną T=0, zaś w płżeniu dlnym V=0 i T=T stąd wnisek, że: V T (0) Jest t tzw. zasada ayleigh a, któa ównież pzwala na wyznaczenie częstści dgań własnych układu liniweg zachwawczeg (bez stat enegii). W naszym ćwiczeniu zasada ta psłuży d bliczenia maksymalnej pędkści kątwej wahadła, któa występuje w płżeniu pinwym, gdy enegia kinetyczna jest największa: T () c Sk enegia ptencjalna i kinetyczna zmieniają się nieustannie pdczas uchu wahadła d watści minimalnej (zewej) d maksymalnej t musi istnieć takie płżenie keślne kątem e (t), dla któeg enegia ptencjalna i kinetyczna są sbie ówne T=V. Enegia ptencjalna (V) i kinetyczna (T) wahadła w dwlnym płżeniu wynszą V mgh ( cs ) () T c zwijając cs w szeeg aclauina pdstawiamy: cs (3) i tzymujemy zależnść na enegię ptencjalną w pstaci: V (5) (6) (4) Enegię kinetyczną (T) tzeba ównież wyazić jak funkcję kąta, dlateg d ównania () wstawin związanie (6), pamiętając, że pzy załżnych waunkach pczątkwych B=0 i A=, wówczas tzyman: 4

5 T c sin t c ( cs t) (5) Wyażenie cs t mżna wyznaczyć z ównania (7), wtedy enegia kinetyczna wyaża się zależnścią: T c (6) Pzyównując enegię kinetyczną (6) i ptencjalną (4) d siebie (T=V) tzyman: c Stąd wyznaczn płżenie wahadła e, w któym enegia kinetyczna i ptencjalna są sbie ówne: e c c (7) (8) związanie ścisłe, nieliniwe Jeśli dgania wahadła nie są wystaczając małe (>5 ), załżenie sin nie jest wystaczając dkładne, Ppełniany błąd bliczeń zwiększa się waz z kątem. W tej sytuacji należy związać ównanie nieliniwe (3), c wymaga wpwadzenia eliptycznej funkcji Jacbieg znacznej jak sn(.;.). Wówczas ścisłe kinematyczne ównanie uchu pisane jest zależnścią: ( t) acsin sin sn ( ( t t); sin (9) gdzie, t jest czasem, dla któeg wahadł zajmuje płżenie pinwe (=0). Obliczenie dkładneg kesu dgań wahadła wymaga wpwadzenia eliptycznej całki zupełnej dzaju, c w knsekwencji pwadzi d nieskńczneg szeegu w pstaci: ( n)! n Tn sin n (30) n ( n!) zwijające ten szeeg d tzech piewszych wyażeń tzyman: Tn sin sin sin (3) Ta zależnść psłuży w ćwiczeniu d wyznaczenia ścisłeg kesu dgań wahadła fizyczneg pkazaneg na ys. Długść zastępcza wahadła Jak wykazan wcześniej óżniczkwe ównanie uchu wahadła matematyczneg i fizyczneg jest tej samej klasy i óżni się tylk stałą (w ujęciu liniwym), a więc częstścią dgań własnych. W pzypadku wahadła matematyczneg c =ml, dlateg częstść dgań własnych teg wahadła znaczna jak m wynsi: g m (3) l 5

6 Pzyównując ją d częstści dgań zważaneg w niniejszym ćwiczeniu wahadła fizyczneg mżna wyznaczyć tzw. długść zastępczą l z (zwaną też zedukwaną), tzn. taką, jaką musiałby mieć wahadł matematyczne, aby częstść jeg dgań własnych była taka sama jak częstść dgań wahadła fizyczneg. 3. SHEAT OPS STANOWSKA Badanie dświadczalne należy wyknać na pieścieniu (wahadle fizycznym) zgdnie ze schematem pzedstawinym na ys.. Sugeuje się, aby wykesy spządzić za pmcą dstępneg pgamwania (atlab, athematica, Excel). 4. PZEBEG ĆWZENA. Wyknać kł 6-u pmiaów kesu dgań wahadła fizyczneg dla wychyleń (waunków pczątkwych) 0< 0 <π/3. Aby zmniejszyć yzyk niedkładnści należy zmiezyć czas min. 0 wahnięć. Wyniki zantwać w tabeli.. Dla zadanych pzez pwadząceg waunków pczątkwych wyznaczyć pzybliżne kinematyczne ównanie uchu wahadła az kes dgań własnych (w ujęciu liniwym) 3. Wyznaczyć dkładny kes dgań własnych (w ujęciu nieliniwym) z ównania (3) w zakesie 0< 0 <π/3. 4. Wykeślić na jednym wykesie kzywą teetyczną zależnści kesu dgań d amplitudy 0 (waunku pczątkweg) w waiancie liniwym i nieliniwym az kzywą dświadczalną z wyników uzyskanych w pkt.. 5. Obliczyć maksymalną pędkść kątwą wahadła dla minimum 6-u wychyleń. Wyniki pzedstawić na wykesie. 6. Wyznaczyć płżenie wahadła fizyczneg e, dla któeg enegia ptencjalna i kinetyczna są sbie ówne. Pzedyskutwać wpływ pmienia pieścienia na kąt e. 7. Wyznaczyć zedukwaną długść wahadła matematyczneg, jak ekwiwalent wahadła fizyczneg 5. OPAOWANE WYNKÓW P wyknaniu ekspeymentu i pzepwadzeniu bliczeń analitycznych wyniki należy pzepwadzić achunek błędów i szacwać óżnicę pmiędzy kesem dgań w ujęciu liniwym T l, nieliniwym T n az dświadczalnym T d. 6

7 Tab. Tabela danych i wyników pmiaów Tabela pmiaów i wyników bliczeń [m] [m] h [mm] l z [m] l z [mm] Wyniki bliczeń [stpnie] [ad/s] T d [s] T l (liniwe) [s] T n (nieliniwe) [s] [ad/s] e [ad/s] e [stpnie] SPAWOZDANE Spawzdanie z ćwiczenia pwinn zawieać:. Tabelkę identyfikacyjną. el ćwiczenia 3. Schemat stanwiska 4. Tabelę pmiaów i wyników 5. Obliczenia i wykesy (pefewany sftwae: atlab, athematica lub Excel) 6. achunek błędów 7. Wniski. Liteatua:. Szabelski K.: Zbió zadań z dgań mechanicznych. Wydawnictw Plitechniki Lubelskiej.. Osiński Z.: Teia dgań. PWN Simpsn D.G.: The nnlinea pendulum Leyk J.: echanika gólna, t. PWN, Waszawa 996 7