Wprowadzenie różne układy współrzędnych. Materiał do samodzielnego opracowania przez studentów.

Transkrypt

1 Fika lmntana matiał dla studntów. Cęści 18 i 19. Pawo Gaussa Cęściowo pgotowan na podstawi matiałów oku akadmickigo 7/8. Agniska Kogul Wpowadni óżn układ współędnch. Matiał do samodilngo opacowania p studntów. 1. Współędn bigunow Na płascźni wbiam układ katjański X,Y. Współędn bigunow punktu (, φ) to odpowidnio długość jgo wktoa wodącgo oa kąt międ dodatnia półosią X a wktom wodącm φ, tw. kąt amutaln ( φ dla punktu na tj półosi). Zwiąk pomięd współędnmi bigunowmi a katjańskimi: cosφ sin φ Na poniżsm sunku anacono now współędn oa mian położnia p nialżnch postach minnch bigunowch. Uwaga! Smbol moż onacać gęstość, współędną w układi bigunowm oa walcowm.. Współędn clindcn (walcow) W pstni -wmiaowj wbiam katjański układ X,Y,Z. Współędn clindcn punktu (,φ,) to odpowidnio: odlgłość od osi Z, φ kąt międ dodatnia półosią X a utm wktoa wodącgo na płascźni, φ, tw. kąt amutaln ( φ dla punktu na dodatnij półosi X), wkła współędna katjańska. Zwiąk pomięd współędnmi clindcnmi a katjańskimi: 1

2 cosφ sin φ Uwaga! Dla ustalongo układ clindcn jst układm bigunowm. Wso jdnostkow w układi clindcnm Każdj współędnj można ppisać wso. Gomtcni, wso ) w punkci A jst postopadł do biou punktów tak samo odlgłch od pocątku układu współędnch co punkt A i ma wot od mnijsch do więksch watości. Podobni wso ) w punkci A jst postopadł do biou punktów o takim samm kaci φ amutalnm co punkt A i ma wot od mnijsch do więksch watości φ. Analogicni stuacja wgląda któa jst podobna jak współędna katjańska. Pkład : Waź wkto wodąc punktu a pomocą wsoów w układi clindcnm. W małm psunięciu l + Waźm atm i w układi clindcnm. cli l + w układi katiańskim. ( cosφ) + ( sin φ) + ( cosφ + cosφ) + ( sin φ + sin φ) ( cosφ sin φ sin φ) + ( sin φ + cosφ φ) ( cosφ + sin φ ) + φ( sin φ + cosφ ) wkto wodąc + + φ + φ + φ + cosφ + sin φ sin φ + cosφ Współędn sfcn (kulist) W pstni -wmiaowj wbiam katjański układ X,Y,Z. Współędn sfcn punktu (,θ,φ) to odpowidnio: odlgłość od pocątku układu współędnch, θ kąt międ wktom wodącm punktu a dodatnią półosią Z. θ dla punktów lżącch na tj półosi, tw. kąt bigunow (polan).

3 φ idntcni jak w układi clindcnm, φ kąt międ dodatnia półosią X a utm wktoa wodącgo na płascźni, tw. kąt amutaln. Zwiąk pomięd współędnmi clindcnmi a katjańskimi: sin θ cosφ sin θ sin φ cosθ Na poniżsm sunku anacono now współędn oa mian położnia p nialżnch postach minnch sfcnch. Pkład : Waź wkto wodąc punktu a pomocą wsoów w układi sfcnm. W małm psunięciu l + Waźm atm i w układi sfcnm. cli l + w układi katiańskim. ( sin θ cosφ) + ( sin θ sin φ) + ( cosθ) θ φ + + ( sin θ cosφ + sin θ sin φ + cosθ ) + ( cosθ cosφ + cosθ sin φ sin θ ) + sin θ( sin φ + cosφ ) + θ θ + φsin θ φ θ φ sin θ cosφ + sin θ sin φ + cosθ cosθ cosφ + cosθ sin φ sin θ sin φ + cosφ

4 wkto wodąc + + Zadania do owiąania na ćwicniach Zadani 1 Udowodnij, ż na punkt matialn o masi m umiscon wwnąt jdnoodnj powłoki sfcnj o dowolnch omiaach ni diała żadna siła. owiąani: Dokonajm podiału powichni sf na analogicn lmnt. W tm clu wobaźm sobi dwa smtcn stożki o wspólnm wichołku w punkci, gdi najduj się masa m. Podstaw stożków wcinają lmnt na powichni kulistj o watościach S1, S. Stosunk powichni podstaw wnosi S 1 1, S gdi 1, to odlgłości mas m od powichni kulistj. Siła gawitacjna diałająca na masę m a pochodąca od powichni S1 wnosi mm1 m S1 F1 G G, 1 1 gdi masa pochodąca od piwsgo lmntu sf to M1 S1 dla - gęstości sf. Analogicni siła gawitacjna pochodąca od powichni S wnosi mm m S F1 G G gdi masa pochodąca od dugigo lmntu sf to M S dla - gęstości sf. Stosunk obu sił wnosi F F m S1 G 1 S m S G S Zadani (wpowadni pojęcia stuminia) kg P cas T1 h padał pionowo dsc o natężniu j,1. Oblic, il wod bała m h stojąca pionowo bcka, któj poiom otwó ma powichnię S 1m. Il wod błob w bcc po tm samm dscu, gdb bcka bła pchlona tak, ż jj oś twołab kąt α pionm? owiąani: Masa wod, któa ostała bana w pionowj bcc wnosi 4

5 kg M j S T,1 1m 1h 1kg m h W ppadku, gd bckę pchlim pod kątm α do pionu (otwó jst wtd pod katm α do poiomu) to powichnia otwou bcki widiana p dsc cli ut tj powichni na płascnę poiomą będi ówn S ' S cosα A atm ' M j S T j S cosα T cosα 1kg Wniosk: Wkostując powżs adani i analogi do stuminia wod, światła itd. Dochodim do wniosku, ż ab móc ocnić wilkość stuminia nalż spawdić ilość wod np. ppłwającą p dana powichnię. W tm ppadku ilość ppłwającj wod okśla watość natężnia stuminia (j). Ptocon pkład jst modlow, poniważ pol gawitacjn c lktcn ni ochodi się w pstni jak stumiń wod i ni musi bć polm jdnoodnm. Al powoli nam cęściow wtłumacni cch pola. W polu cntalnm stumiń odpowiada licbi linii pchodącj p powichnię jdnostkową. Wobaźm sobi powichnię S umisconą postopadl do linii pola. Im dalj od ładunku źódłowgo będim psuwali powichnię, tm mnijsa licba linii p tę powichnię będi pchodiła, a atm tm mnijsa będi watość stuminia natężnia pola. Stumiń pola A p powichnię S to Kiunk A ds A ds ds jst postopadł do powichni ds. oa S S d S ds. Zwot lmntu skiowango ustalam alżni od potb. Dla powichni amkniętch najcęścij stosowana jst konwncja, w któj wot ds jst na wnąt wdilonj, skońconj objętości. W adaniu, jśli dsc opism wktom j o woci do dołu, to jgo stumiń wnisi j S. Jśli osądni wbim ointację powichni otwou od otwou do dna to otmam sbkość postu mas wod w bcc. Wpowadni do adania (układ sfcn) pat pocątk Bado posę odwołać się do układu sfcngo amiscongo powżj oganicając się włącni do wtłumacnia nowch minnch (b wpowadń matmatcnch). Zadani Oblic stumiń natężnia pola gawitacjngo pchodąc p sfę o pominiu (ointacja na wnąt ), w śodku któj najduj się punkt matialn o masi M. owiąani: Natężni pola gawitacjngo w odlgłości od punktu o masi M wnosi M) gawit G (wso układu sfcngo). Powichnię ointujm na wnąt ) ds ds 5

6 M ) ) S gawit ds gawit ds G ( ds ) S S Całkowita powichnia sf otacająca punkt matialn o masi M wnosi S 4π, gdi - pomiń kuli. Poniważ masę M umiściliśm w śodku sf, watość natężnia pola gawitacjngo na sf będi taka sama w wsstkich punktach. Zatm M ) ) M G ( ds ) G 4π 4πGM. S Wniosk: Watość stuminia alż jdni od wilkości mas M. Potwida to, ż całkowita ilość linii pchodącch p powichnię kulistą otacającą ładunk źódłow (np. masa, ładunk lktcn) będi aws taka sama i nialżna od odlgłości tj powichni od źódła. Możm to sfomułować w postaci pawa Gaussa: Watość stuminia wktoa natężnia pola lktcngo pchodącgo p dowolną amkniętą powichnię S jst ówna watości ładunku całkowitgo awatgo wwnąt tj powichni. Co apisujm q dla pola lktcngo Φ dla pola gawitacjngo Φ 4πGM ε 1 Widim tu analogi, ż G odpowiada 4πε. Analogia pomięd polm lktostatcnm a gawitacjnm Pol gawitacjn Pol lktostatcn Źódło Masa M Ładunk Q Natężni pola F F γ m q Natężni pola cntalngo GM kq γ Siła oddiałwania dwóch Mm Qq F G F k obiktów ngia potncjalna GMm pg pol sił pciągania Qq k p, gd Qq < pol sił pciągania, Qq> pol sił odpchania 6

7 Jak wnacć natężni pola gawitacjngo lub lktcngo, w ppadku, gd okład ładunków wtwaającch to pol jst smtcn oa gd ładunki najdują się na powichniach? 1. Daną powichnię, na któj najduj się masa lub ładunk nalż otocć powichnią o smtii kulistj, clindcnj lub wględm płascn. Moż nią bć powichnia kuli, walca lub postopadłościanu.. Otocnia naładowanj powichni dokonujm tak, ab pwidwan wkto pola bł w każdm punkci postopadł do powichni punktu 1. P takim wbo kąt pomięd S a będi ówn o.. Stosujm pawo Gaussa q dla pola gawitacjngo Φ 4πGM dla pola lktcngo Φ εε 4. Oblicam watość stuminia a pomocą watości natężnia pola i powichni Φ S 5. Poównujm 4 oa 5 Wjaśnijm dokładnij punkt 1 owiąując poniżs adani. Zadani 4 W pustj pstni najduj się punktow źódło o natężniu ( ) a, gdi a jst pwna stałą, a wktom położnia o pocątku w źódl pola. Pokaż, ż stumiń natężnia pola p amkniętą, otacającą źódło powichnię ni alż od jj kstałtu. Wskaówka: Podil pstń na ostosłup o wichołkach w źódl pola. owiąani: Powichnię pbliżam N małmi tójkątami (mogą bć inn figu, al tójkąt najlpij pbliżają powichnię). Wichołki każdgo tójkąta i źódło pola wnacają ostosłup. Wsstki ostosłup wpłniają objętość oganicona powichnią. Stumiń pola: N N Sk Φ k Sk a k k 1 k 1 k Wkto S k jst popocjonaln do powichni, skiowan na wnąt, a jgo watość jst ówna polu powichni małgo tójkąta o indksi k. Pol jst adialn i lic się tlko pol powichni utu tójkąta na płascnę postopadłą do aktualngo k : N S N N k S k S k Φ a k a k a k 1 k k 1 k k 1 k cli moglibśm od pocątku użwać ostosłupów, któch podstaw są postopadł do wsokości. Wobaźm sobi modfikację powichni pop skalowani ostosłupów (wsokość się minia, pol podstaw tż, al kąt poostają t sam). Zauważm podobiństwa tójkątów, ż pol podstaw ostosłupa ~, co końc dowód. k taktujm jako wsokość ostosłupa. S k k 7

8 Oblicm stumiń p sfę o pominiu (cli N S k 1 Φ a a 4π 4πa, gdi k 1 k dla pola gawitacjngo a GM, Q dla pola lktcngo a 4πε k ) Zadani 5 (gęstość objętościowa ładunku) Pdstaw alżność natężnia pola lktcngo od odlgłości od śodka kuli o pominiu, ównomini naładowanj dodatnim ładunkim Q o gęstości objętościowj. owiąani: Ładunk wwnąt kuli jst ównomini ołożon, atm kąt pomięd wktom natężnia oa pomiń wnosi o. Ab astosować pawo Gaussa, otacam kulę amkniętą powichnią ówniż w kstałci kuli na któj najduj się ładunk. Powichnia otacająca naładowaną kul moż najdować się a) wwnąt naładowanj kuli, b) na wnąt naładowanj kuli. a) b) W obu ppadkach wkto natężnia pola aws będi postopadł do wktoa powichni kuli w każdm jj punkci. a) Ładunk gomadon wwnąt powichni objętość kuli amkniętj * gęstość ładunku cli 4 Q π gdi -pomiń powichni otacającj. Φ S cosα 4π 1 (1) Z pawa Gaussa Q 4π Φ () εε εε Poównując (1) i () ε ε b) W dugim ppadku, ładunk gomadon wwnąt naładowanj kuli wnosi: 8

9 4 Q π gdi -pomiń kuli naładowanj ładunkim Q. Φ S 4π gdi -pomiń powichni otacającj. Analogicni jak powżj otmujm ε ε Podsumowując, natężni pola wwnąt naładowanj kuli ośni popocjonalni, poa kulą malj wa kwadatm odlgłości. Zadani 6 (gęstość powichniowa ładunku) Pdstaw alżność natężnia pola lktcngo od odlgłości od śodka kuli ównomini naładowanj powichniowo, ładunkim dodatnim o gęstości σ. owiąani: Wwnąt kuli ni istniją żadn ładunki. Stumiń i natężni pola wwnąt wnosą. Na wnąt kuli stumiń wtwaają ładunki gomadon na jj powichni. Naładowaną kulę otacam powichnia sfcną umisconą współśodkowo, o pominiu więksm niż pomiń naładowanj kuli. Φ S 4π Q 4πσ Poównując do pawa Gaussa Φ εε εε Cli 4πσ 4π ε ε σ εε Podsumowując, wwnąt kuli powichniowo naładowanj natężni będi ówn o, natomiast na wnąt malj wa kwadatm odlgłości od śodka tj kuli. Zadani 7 Dwi duż płascn (onacon obok na sunku jako P) umiscono ównolgl do sibi. Na jdnj nich najduj się ładunk dodatni, a na dugij ujmn o gęstości powichniowj σ. Oblic natężni pola lktcngo wwnąt i na wnąt płascn. + + P - - P 9

10 owiąani: Zastanówm się nad kstałtm powichni, któa będi otacać dowolni naładowaną płascnę. Powichnia powinna posiadać taką smtię, ab kiunk pola wtwoon p ładunki bł w każdm punkci postopadł do P kiunku płascn otacającj. Ładunk jst gulani ołożon poniważ sił pola lktcngo pochodąc od tgo ładunku, stcn do powichni musą się wajmni ównoważć. Dlatgo wkto natężnia pola w dowolnm S punkci płascn musi mić do nij kiunk postopadł. Powichnia, któą otocm dowolną płascnę powinna mić atm kstałt postopadłościanu pciętgo naładowana płascną. Watość całkowitgo stuminia pchodącgo p powichnię S, będącą podstawą postopadłościanu oblicm Φ S. Watość natężnia pola pchodi jdn a p powichnię góną i dolną postopadłościanu, dlatgo nas sunk możm upościć pdstawiając go tak jak poniżj A C B P poostał ścian postopadłościanu ni pnika żadn stumiń. Cli watość całkowitgo stuminia amkniętgo wwnąt postopadłościanu wnosi Φ S Z pawa Gaussa Q Φ, εε gdi całkowit ładunk gomadon na płascźni wnosi Q σ S. Cli dla ppadków A i B σ S σ S + S. ε ε ε ε Ppadk C: Natężni pola na wnąt: p powichni postopadłościanu ównolgłą do naładowanj płascn pnikają lini pola lktcngo, któch wot w ppadku płascn naładowanj dodatnio skiowan sa od płascn na wnąt, natomiast dla płascn ujmnj odwotni. Wnika tgo, ż p daną powichnię pnikają dwa stumini, któch wot są pciwni skiowan 1

11 Φ S S. Watość natężnia pola pomięd płascnami: C σ σ σ + ε ε ε ε ε ε. Wpowadni do adania 8 (układ clindcn) pat pocątk Bado posę odwołać się do układu sfcngo amiscongo powżj oganicając się włącni do wtłumacnia nowch minnch (b wpowadń matmatcnch). Zadani 8 Znajdź natężni pola w walcowm wdążniu w jdnoodni naładowanm walcu. Gęstość ładunkowa wnosi. Pomini walców to odpowidnio 1 (duż- pat sunk) > +. oa.(mał) Odlgłość międ śodkami ( ) 1 1 owiąani: Zakładam niskońconą długość walca. Smtia poblmu nauca ab () gdi - wso pominia w układi clindcnm. ( ) W adaniu wkostam asadę suppocji: nałożm płn walc ( 1, gęstość ) i płn walc (, gęstość ) w Wnacm wó opisując pol w wnętu jdngo walca: Chcąc nalźć () otocm wnęt walca o pominiu i pwnj dowolnj długości powichnia walcową. Z pawa Gaussa 1 Φ Q w sodku cli Φ dno + Φ goa + Φ bok π. ε ) Poniważ na dol i gó ( ) n, to Φ dno Φ goa. ) Dla boku to n ) (). ( ) n ε 11

12 1 Otacam nas obsa powichnią o const. Cli π ε π 1 () () ε Poniważ to ( ) ) ε W ppadku nasch walców: w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ww ε ε ε + Wniosk: W wnętu wdążnia pol jst stał! w n n