Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów do pomiaru częstotliwości średniej sygnałów o małej stromości zboczy w obecności zakłóceń

Transkrypt

1 Zasosowae meody ajmejszych kwadraów do pomaru częsolwośc średej sygałów o małej sromośc zboczy w obecośc zakłóceń Elgusz PAWŁOWSKI, Darusz ŚWISULSKI

2 Podsawowe meody pomaru częsolwośc Zlczae okresów w zadaym czase pomaru T P f N T P Pomar okresu T sygału f T KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk

3 Pośred pomar częsolwośc poprzez pomar okresu T u s ( ) Uˆ s s(π f +ϕ0 f T f w N ) KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 3

4 Pomar okresu zaszumoego sygału susodalego u ( ) u ( ) + z( ) Uˆ s(π f + ϕ0 ) z( ) z s s + T Chwle, są zmeym losowym o odchyleu sadardowym σ KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 4

5 Przejśce sygału zaszumoego przez pozom zerowy σ σ z S S jes szybkoścą arasaa sygału u s (sromoścą zbocza) w pukce jego przejśca przez pozom zerowy. KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 5

6 KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 6 Odchylee sadardowe chwl przejśca sygału przez zero s s s U f f U f d du S ˆ ) cos( ˆ, 0, π ϕ π π + ) ( ˆ ~ SNR z s z s U U σ σ SNR) ( f π σ

7 Odchylee sadardowe wyzaczea okresu sygału T Odchylee sadardowe σ T okresu T wyka z epewośc wyzaczea jego począku końca σ σ ( r) T Dla zakłócea z w posac szumu bałego o eograczoym paśme oraz dla szumu o paśme ograczoym do f g możemy w prakyce przyjąć r0 0f σ σ (π f SNR) T KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 7

8 Błąd średokwadraowy wyzaczea okresu sygału Względy błąd średokwadraowy pomaru okresu wyese: δ σ T (π SNR) T T Dla sygałów susodalych błąd e e zależy od merzoej częsolwośc f, a jedye zależy od SNR. Przykładowo, dla SNR00 (40dB) wyese o 0,6%. KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 8

9 Błąd średokwadraowy średego okresu sygału Jedym ze sposobów zmejszea ego błędu jes pomar średego okresu. Warośćśreda okresu T ( )/( ) wyzaczoa a podsawe kolejych chwl,,..., przejśca sygału u z przez pozom zerowy jes obarczoa ( ) razy mejszym błędem średokwadraowym : δ AVG σ (( ) T ) (( T ) π SNR) KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 9

10 Ie meody pomaru częsolwośc zaszumoego sygału Cyfrowe przewarzae próbek warośc chwlowych sygału. Ierpolacja przejśca sygału przez pozom zerowy z klku sąsedch próbek. Splo sygału z fukcją Walsh a wyzaczee odchylea częsolwośc od warośc zamoowej. Korelacja z fukcjam sus/cosus dekompozycja a składowe orogoale. Wykorzysae drugej pochodej fukcj sus. Opymalzację rozwązaa rówaa różczkowego drugego rzędu. Wykorzysae FFT efeku przeceku wdma. Przemeszczae oka pomarowego FFT wzdłuż os czasu. Wyzaczee chwlowej fazy wrującego wskazu apęca. Rozwęce fukcj sus w szereg Taylora. KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 0

11 Częsolwość jako pochoda fazy sygału Dla susodalego sygału u s jego faza ϕ jes lową fukcją czasu przyrasającą z szybkoścą proporcjoalą do częsolwośc f, osągając warośc rówe welokroośc kąa pełego π w kolejych chwlach,,..., przejśca sygału u s przez pozom zerowy. Częsolwość f sygału u s moża węc wyzaczyć a podsawe pochodej: u s ( ) Uˆ s s(π f +ϕ0 ) dϕ a f π d π KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk

12 Faza sygału susodalego jako lowa fukcja czasu dϕ a f π d π KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk

13 KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 3 Pomar średej częsolwośc z aproksymacją fazy MNK y y y y a ) ( y

14 KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 4 Aproksymacją fazy sygału MNK y y π, 6 ) )( (, ) ( c k a f ) ( 6 ) ( π

15 Współczyk k c Współczyk k c są całkowe oraz jedozacze określoe ylko poprzez lczbę puków pomarowych. KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 5

16 Wagowe uśredae W rozparywaym przypadku MNK wymaga wagowego uśredaa kolejych warośc czasów ze współczykam c. Wymagae fukcje wagowe są płokszałe z zerową waroścą średą. Przykładowy kszał fukcj wagowej dla 7 KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 6

17 Wymagay układ pomarowy KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 7

18 KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 8 Właścwośc meody - względy błąd średokwadraowy 00% 00% RMS T f T f σ σ δ c k T ) ( ) ( 6 c k c k T ) Var( ) Var( ) Var(

19 Względy błąd średokwadraowy MNK Po podsaweu zależośc a współczyk k c : σ LMS σ ( ) π f SNR ( ) Osaecze po przekszałceach: δ LMS π SNR ( ) KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 9

20 Skueczość MNK względem uśredaa okresów Odchyleń sadardoweśredego okresu σ AVG : σ AVG σ Zasosowae MNK zapewa węc, przy ym samym czase pomaru, dodakowe zmejszee błędów względem pomaru średego okresu w sosuku rówym: σ σ AVG LMS ( + ) 6( ) KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 0

21 Symulacyja weryfkacja meody Zasymulowao susodaly sygał o częsolwośc f 50Hz zakłócoy szumem o rozkładze ormalym z zerową waroścą oczekwaą, przy SNR40dB. Wygeerowao 0000 warośc czasów rówoodległych od sebe o 0ms dodao do ch zmeą losową symulującą szum o odchyleu sadardowym s,5ms (SNR40dB). Oblczoo koleje okresy T - ak zaszumoego sygału wyzaczoo ch odchylee sadardowe s T 3ms, powerdzające założoy pozom zakłóceń. Nasępe wyzaczoo warośc częsolwośc przedsawoą meodą ajmejszych kwadraów z każdych kolejych warośc czasów, (5, 0, 5,..., 50) oraz dla porówaa jako odwroość pojedyczego okresu odwroość średej okresów. Wyk przedsawoo a wykresach. KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk

22 Wykresy - względy błąd średokwadraowy KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk

23 Wykresy - skueczość łumea zakłóceń KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 3

24 Wykresy - porówae skueczość MNK uśredaa okresu KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 4

25 Podsumowae.W cyfrowych pomarach częsolwośc sygałów o małej sromośc zboczy w obecośc zakłóceń soym składkem błędów jes błąd wyzwalaa woszoy przez wejścowe układy kszałujące częsoścomerza..błąd e moża soe zmejszyć wyzaczając częsolwość ze współczyka kerukowego regresj lowej wyzaczoego MNK a podsawe chwl przejśca sygału przez pozom zerowy. 3.Przedsawoo ajważejsze zależośc aalycze, w ym a błąd średokwadraowy oraz przeprowadzoo badaa symulacyje powerdzające korzyse właścwośc meody. KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 5

26 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ KM 03 E. Pawłowsk, D. Śwsulsk 6