ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)

Transkrypt

1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)

2 Zadanie zbilansowane

3 Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości produkcyjne zakładów wynoszą odpowiednio: 12, 2 i 6 jednostek, natomiast zapotrzebowanie w poszczególnych centrach dystrybucyjnych odpowiednio: 8, 3, 4 i 5 jednostek. Jednostkowe koszty transportu przedstawione są w tabeli. Określić taki plan przewozów, aby koszty dostaw z zakładów wytwórczych do centrów dystrybucyjnych były minimalne. 3

4 Zadanie zbilansowane Tabela kosztów jednostkowych: A B C D E F G dostawcy odbiorcy 4

5 Model matematyczny

6 Model matematyczny Produkcja zakładów (podaż): = 2 Zapotrzebowanie w centrach dystrybucyjnych (popyt): = 2 Produkcja = Zapotrzebowanie lub Podaż = Popyt Zadanie jest zbilansowane 6

7 Model matematyczny m a = n i i= 1 j= 1 b j gdzie: a i b j m n zasoby i tego dostawcy zapotrzebowanie j tego odbiorcy ilość dostawców ilość odbiorców c ij koszt transportu od i tego dostawcy do j tego odbiorcy 7

8 Model matematyczny Zmienne decyzyjne x ij ilość towaru przewożonego od i tego dostawcy do j tego odbiorcy i = 1...m j = 1...n m = 3 n = 4 np. x 24 ilość towaru przewożonego od drugiego dostawcy (miasto B) do czwartego odbiorcy (miasto G). 8

9 Model matematyczny Funkcja celu Z( x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x 34) = = 5x + 3x + 8x + 2x x + 6x + 4x + 2x x + 2x + 3x + 11x MIN m Z( x ) = c x MIN ij ij ij i= 1 j= 1 n 9

10 Model matematyczny Ograniczenia Dostawcy: A : x + x + x + x = B : x + x + x + x = C : x + x + x + x = n j= 1 x = a i= 1... m ij i 1

11 Model matematyczny Ograniczenia c. d. Odbiorcy: D : x + x + x = E : x + x + x = F G : x + x + x = : x + x + x = m i= 1 x = b j = 1... n ij j 11

12 Model matematyczny Warunki brzegowe x i= 1... m j = 1... n ij 12

13 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne

14 Metoda kąta północno - zachodniego

15 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (1,1)...(3,4) - węzły 15

16 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Ilość węzłów bazowych: m + n 1 W przykładzie: = 6 16

17 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: min(12,8) = 8 17

18 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów:

19 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: min(4,3) = 3 19

20 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów:

21 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: min(1, 4) = 1 21

22 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów:

23 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: min(2,3) = 2 23

24 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów:

25 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: min(6,1) =

26 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów:

27 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów: min(5,5) =

28 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Tablica przewozów:

29 8 3 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW 1 2 -węzły bazowe 1 5 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne: x = 8 x = 3 x = 1 x = x = x = x = 2 x = x = x = x = 1 x = 5 FC : Z( x ) = ij 29

30 Sprawdzenie optymalności rozwiązania Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW u 1 u 2 u 3 v1 v2 v3 v4 u i zmienne związane z dostawcami v j zmienne związane z odbiorcami 3

31 Wskaźniki optymalności: Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW eij = ui + vj + cij Dla węzłów bazowych: e ij = 31

32 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW (1,1) u1+ v1+ 5= 9 (1, 2) u1+ v2 + 3= 1 (1,3) u1+ v3 + 8= ⓿ (2,3) u2 + v3+ 4= ❶ (3,3) u3+ v3+ 3= ❷ (3, 4) u3+ v = ❸ 32

33 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Układ 6 równań z 7 niewiadomymi. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Aby go rozwiązać za jedną zmienną przyjmuje się dowolną wartość. 33

34 Przyjmujemy u 1 = Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW z 9: z 1: z ⓿: z ❶: z ❷: z ❸: v 1 = 5 v 2 = 3 v 3 = 8 u u v = 4 v = = 3 v = = 11 u =

35 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Wskaźniki optymalności dla węzłów niebazowych: (1, 4) e14 = u1 + v4 + c14 = 14 (2,1) e21 = u2 + v1 + c21 = 3 (2,2) e22 = u2 + v2 + c22 = 7 (2,4) e24 = u2 + v4 + c24 = 1 (3,1) e31 = u3 + v1 + c31 = 9 (3, 2) e32 = u3+ v2 + c32 = 4 35

36 Tablica wskaźników optymalności Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW

37 Pierwsze rozwiązanie dopuszczalne metoda kąta NW Kryterium optymalności Rozwiązanie jest optymalne, jeżeli wartości wszystkich wskaźników optymalności są nieujemne Rozwiązanie nie jest optymalne 37

38

39 Nowe rozwiązanie wymiana jednego węzła w bazie Kryterium wejścia Do bazy wprowadzany jest węzeł, dla którego wskaźnik optymalności ma wartość najmniejszą. W przykładzie: (1,4) 39

40 Określenie węzła usuwanego z bazy Budowa tzw. cyklu Definicja cyklu W każdym wierszu i kolumnie do cyklu wchodzą dwa lub zero węzłów. Cykl składa się z półcyklu dodatniego i ujemnego. 4

41 Tablica przewozów (1,4) węzeł wprowadzany do bazy 1 5 Węzeł wprowadzany do bazy półcykl dodatni 41

42 Tablica przewozów (3,4) drugi węzeł w czwartej kolumnie półcykl ujemny 42

43 Tablica przewozów (3,3) drugi węzeł w trzecim wierszu półcykl dodatni 43

44 Tablica przewozów (1,3) drugi węzeł w trzeciej kolumnie półcykl ujemny 44

45 Tablica przewozów Cykl składający się z czterech węzłów 45

46 Określamy minimum w półcyklu ujemnym: min(1,5) = 1 Minimum odpowiada węzłowi (1,3) Kryterium wyjścia Z bazy usuwany jest węzeł z półcyklu ujemnego, dla którego wartość przewozu jest najmniejsza. 46

47 Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1 47

48 Tablica przewozów nowe rozwiązanie 1 48

49 Tablica przewozów nowe rozwiązanie

50 Tablica przewozów nowe rozwiązanie

51 Tablica przewozów nowe rozwiązanie FC : Z( x ij ) = 19 51

52 -14 Tablica wskaźników optymalności z poprzedniego kroku Dla węzłów bazowych: (1,1) u1+ v1+ = (1, 2) u1+ v2 + = (1, 4) u1+ v4 14 = (2,3) u2 + v3+ = (3,3) u3+ v3+ = (3,4) u3+ v4 + = 52

53 Przyjmujemy u 1 = Otrzymujemy: u 2 = 14 u 3 = 14 v 1 = v 2 = v 3 = 14 v 4 = 14 53

54 Nowe wskaźniki optymalności: e ij = ui + vj + eij e ij wskaźniki optymalności z poprzedniego kroku 54

55 Nowe wskaźniki optymalności Rozwiązanie nie jest optymalne 55

56 Tablica przewozów Węzeł wprowadzany do bazy: (2,1) 56

57 Tablica przewozów (1,1) drugi węzeł w pierwszej kolumnie półcykl ujemny 57

58 Tablica przewozów (1,4) drugi węzeł w pierwszym wierszu półcykl dodatni 58

59 Tablica przewozów (3,4) drugi węzeł w czwartej kolumnie półcykl ujemny 59

60 Tablica przewozów (3,3) drugi węzeł w trzecim wierszu półcykl dodatni 6

61 Tablica przewozów (2,3) drugi węzeł w drugim wierszu półcykl ujemny 61

62 Tablica przewozów Cykl składający się z sześciu węzłów min(8, 2, 4) = 2 (2,3) usuwany z bazy 62

63 Tablica przewozów nowe rozwiązanie FC : Z( x ij ) = 87 63

64 14 Tablica wskaźników optymalności z poprzedniego kroku Dla węzłów bazowych: (1,1) u1+ v1+ = (1, 2) u1+ v2 + = (1, 4) u1+ v4 + = (2,1) u2 + v1 11 = (3,3) u3+ v3+ = (3,4) u3+ v4 + = 64

65 Przyjmujemy u 1 = Otrzymujemy: u 2 = 11 u 3 = v 1 = v 2 = v 3 = v 4 = 65

66 Nowe wskaźniki optymalności Rozwiązanie nie jest optymalne 66

67 Tablica przewozów Węzeł wprowadzany do bazy: (3,2) 67

68 Tablica przewozów (1,2) drugi węzeł w drugiej kolumnie półcykl ujemny 68

69 Tablica przewozów (1,4) drugi węzeł w pierwszym wierszu półcykl dodatni 69

70 Tablica przewozów (3,4) drugi węzeł w czwartej kolumnie półcykl ujemny 7

71 Tablica przewozów Cykl składający się z czterech węzłów min(3, 2) = 2 (3,4) usuwany z bazy 71

72 Tablica przewozów nowe rozwiązanie FC : Z( x ij ) = 67 72

73 14 Tablica wskaźników optymalności z poprzedniego kroku Dla węzłów bazowych: (1,1) u1+ v1+ = (1, 2) u1+ v2 + = (1, 4) u1+ v4 + = (2,1) u2 + v1+ = (3, 2) u3+ v2 1 = (3,3) u3+ v3+ = 73

74 Przyjmujemy u 1 = Otrzymujemy: u 2 = u 3 = 1 v 1 = v 2 = v 3 = 1 v 4 = 74

75 Nowe wskaźniki optymalności Rozwiązanie optymalne 75

76 Rozwiązanie optymalne x = 6 x = 1 x = x = x = 2 x = x = x = x = x = 2 x = 4 x = FC : Z( x ij ) = 67 76

77 A jednak się skończyło!!! 77