5 Postulaty mechaniki kwantowej

Transkrypt

1 5 Postulaty mechaniki kwantowej Mo zemy teaz sfomu ować postulaty mechaniki kwantowej. POSTULAT. Stan uk adu zycznego w danej chwili t wyznaczony jest pzez wekto stanu j (t)i w pzestzeni Hilbeta H. Pzypomnijmy, ze pzestzeń Hilbeta jest liniowa¾ pzestzenia¾ wektoowa ¾nad (w tym wypadku) cia em liczb zespolonych, w któej zde niowany jest iloczyn skalany h'(t) j (t)i. Dzieki temu mo zemy w pzestzeni Hilbeta wpowadzić nom¾e: stany zyczne opisywane sa¾ pzez nomowalne wektoy stanu: h (t) j (t)i <. Dodatkowo pzestzeń Hilbeta jest pzestzenia¾ kompletna. ¾ auwa zmy, ze z liniowości pzetzeni Hilbeta wynika zasada supepozycji stanów. Dla czastki ¾ pouszajacej ¾ si ¾e w potencjale mo zemy wybać epezentacj ¾e, w któej stany sa¾ funkcjami zespolonymi po o zenia i czasu i spe aniaj a¾ waunek ca kowalności w kwadacie d 3 ~ j (~; t)j 2 < : Intepetacja: j (~; t)j 2 chwili t. jest pawdopodobieństwem znalezienia czastki ¾ w punkcie ~ w POSTULAT 2 Ka zdej miezalnej wielkości zycznej (obsewabli) odpowiada opeato hemitowski ^Q, któego unomowane wektoy w asne jq i i twoza¾ baz¾e w H: W epezentacji po o zeniowj opeatoy po o zenia i p ¾edu pzyjmuja ¾postać: ^x = x; ^p x ; i.t.d. Pozosta e opeatoy konstuujemy zamieniajac ¾ w wielkościach klasycznych po o zenia i p ¾edy na odpowidajace im opeatoay. Wato zwócić uwag ¾e, ze aby zde niować ^p wpowadziliśmy sta ¾ a wymaowa ¾~. POSTULAT 3 Je zeli uk ad znajduje si ¾e w stanie j (t)i ; to pomia obsewabli odpowiadajacej ¾ opeatoowi ^Q daje jedna¾ z jego watości w asnych q i z pawdopodobieństwem jhq i j (t)ij 2. W wyniku pomiau stan zmienia si¾e w stan w asny jq i i. jawisko to nosi czasem nazw¾e kolapsu fynkcji falowej. Jest jeden z najbadziej kontowesyjnych postulatów, któy budzi spzeciw np. Einsteina. auwa zmy, ze dla opeatoa po o zenia zachodzi h~j (t)i = (~; t): 30

2 POSTULAT 4 Ewolucja czasowa stanu zycznego dana jest pzez ównanie Schoedingea: i~ d dt j (t)i = ^H j (t)i ; gdzie ^H jest hamiltonianem kwantowym skonstuowanym wg zasad postulatu 2. Postulat ten mo zna zastapić ¾ popzez opis ewolucji w j ¾ezyku ca ek po tajektoiach. 6 Repezentacje po ozeniowa i p ¾edowa 6. Repezentacja po o zeniowa W popzednim ozdziale znaleźliśmy jawna¾ postać opeatoa ^H w pzedstawieniu po o zeniowym. Co to znaczy? W pzedstawieniu po o zeniwym ^x jxi = x jxi : (6.) Stany w asne jxi twoza¾ uk ad zupe ny ^I = dx jxi hxj ; hx 0 j xi = (x x 0 ): (6.2) Rozk ad dowolnego stanu j i = dx jxi hx j i = dx jxi (x): (6.3) Iloczyn skalany h' j i = dxdx 0 h' jx 0 i hx 0 jxi hx j i = dx' (x) (x): (6.4) Wzi ¾eliśmy ównanie ^H j i i pomno zyliśmy go pzez hxj wstawiajac ¾ ównocześnie opeato jednostkowy co oznacza, ze dx 0 jx 0 i hx 0 j hxj ^H j i = dx 0 hxj ^H jx 0 i hx 0 j i = ^H x (x); (6.5) hxj ^H jx 0 i = (x x 0 ) ^H x : (6.6) Tutaj ^H x jest opeatoem Hamiltona w pzedstawieniu po o zeniowym (na ogó nie piszemy indeksu x), w któym to pzedstawieniu ^H jest diagonalny. Opeato p ¾edu hxj ^p j i = (x): (6.7)

3 Wstawmy jedynk¾e hxj ^p j i = dx 0 hxj ^p jx 0 i hx 0 j i = dx 0 hxj ^p jx 0 i (x 0 ): (6.8) Poównujac ¾ z popzednim ównaniem 6.2 Pzedstawienie p ¾edowe hxj ^p jx 0 i = i~(x x 0 (6.9) W pzedstawieniu po o zeniowym funkcja w asna opeatoa pedu W notacji Diaca u p(x) = pu p (x) ) u p (x) = Ae ipx=~ : (6.0) dx u p 0(x)u p(x) = jaj 2 u p (x) = hx jpi (6.) dx e i(p p0 )x=~ = jaj 2 (p p 0 ) (6.2) Stad ¾ (wybieamy zeczywisa¾ faz¾e) A = p : (6.3) Podobnie miana bazy j i = = dp u p(x 0 )u p (x) = (x x 0 ): (6.4) dx jxi (x) = dp 0 jp 0 i dx dp 0 jp 0 i hp 0 jxi (x) dx p e ip0 x=~ (x): (6.5) Pomnó zmy pzez hpj: hp j i = (p) = p dxe ipx=~ (x): (6.6) Pzejście od pzedstawienia po o zeniowego do pzedstawienia p ¾edowego: tansfomata Fouiea. I na odwót: (x) = p dpe ipx=~ (p): (6.7) 32

4 Jak wyglada ¾ opeato po o zenia w epeezentacji p ¾edowej: hpj ^x j i = dx 0 dx dp 0 hpj x 0 i hx 0 j ^x jxi hxj p 0 i hp 0 j i {z } =x(x x 0 ) = dx dp 0 e ipx=~ xe ip0x=~ hp 0 j i = dp 0 (p0 p) (p 0 ) = i~ dp 0 (p 0 (p0 ) (p): (6.8) 7 asada nieoznaczoności 7. Gaussowski pakiet falowy Rozwa zmy pewna¾ sczególna¾ funkcj¾e falowa¾ (x) = dk p 2 ~ (k) e i kx ; gdzie ~ (k) wybiezemy jako funkcje Gaussa: ~ (k k0 ) 2 (k) = 4p exp : (7.9) 2 Funkcja ta jest unomowana (w kwadacie): dk j ~ (k)j 2 = p (k k0 ) 2 dk exp = : (7.20) Dla tak dobanej ~ (k) atwo wyliczyć (x): (x) = 4p dk (k k0 ) 2 p exp i kx : 33

5 Pześledźmy kok po koku wyliczenie tej ca ki. Po piewsze zmieńmy zmienne = k k 0 i dope nijmy do kwadatu (x) = ei k 0x d 2 4p p exp i x + 2 x2 exp = exp i k 0 x 2 x2 4p d p exp 2 2 x i x 2 x 2 : Wpowadzaj ac ¾ nowa¾ zmienna¾ 0 = ix, agument exponenty pod ca k a¾ pzyjmuje postać ( 0 ) 2 i ca ka po d na mocy wzou (7.20) ówna jest p 2. A zatem (x) = 4 e ax2 2 e i k 0x : (7.2) A zatem pakiet falowy (x) ma postać zbli zon a¾ do fali p askiej o liczbie falowej k 0, ale o zale znej od po o zenia amplitudzie o kszta cie gaussowskim. Funkcja (7.2) jest unomowana: dx (x) (x) = Śedni ped dla takiego pakietu falowego wynosi a śednie odchylenie kwadatowe pedu: dx e x2 = : hpi = p ~ (k k0 ) 2 dk k exp = ~k 0 ; 2 (p) = p ~2 dk (k (k k 0 ) 2 k0 ) 2 exp = ~ 2 2 : kolei śednie po o zenie dane jest jako hxi = a śednie odchylenie kwadatowe po o zenia 2 (x) = dx x e x2 = 0; dx x 2 e x2 = 2 : 34

6 auwa zmy teaz, ze 2 (p) 2 (x) = ~2 4 : (7.22) De niuj ac ¾ nieoznaczono sć pedu i nieoznaczono sć po o zenia jako p = p 2 (p); x = p 2 (x) mo zemy (7.22) pzepisać jako px = ~ 2 : (7.23) wiazki ¾ (7.22) i (7.23) nosza¾ nazwe zasady nieoznaczono sci Heisenbega. e zwiazków ¾ tych wynika, ze w okeślonym stanie, któy tu wybaliśmy jako gaussian, p ¾ed i po o zenie znane sa¾ z dok adności a, ¾ któych iloczyn jest sta y, z¾edu ~. W mia¾e jak b ¾edziemy zmniejszać p wzastać bedzie x. I odwotnie, w stanie o ma ym x p ¾ed b ¾edzie paktycznie nieokeślony. Powstaje pytanie, na ile ogólna jest to zasada i na ile zale zy ona od wybou stanu. 7.2 Wielkości spze zone Rozwa zmy dwa opeatoy hemitowskie ^A i ^B, takie ze h ^A; ^Bi = i ^C; gdzie ^C jest te z opeatoem hemitowskim. Niech a =< ^A > = ; ^A b =< ^B > = ; ^B ; ; gdzie (~) jest unomowan a¾ funkcja¾ falowa. ¾ de niujmy opetoy ^ A = ^A a; ^B = ^B b: atwo wykazać, ze h^a ; ^ i B = i ^C: Rozwa zmy teaz pomocnicza¾ ca ke zale zn a¾ od zeczywistego paametu : I() = d 3 ~ ^ A i^ B (~) 2 > 0: 35

7 Ca ka ta jest zawsze dodatnia. Poniewa z opeatoy ^ A ; ^ B sa¾ hemitowskie I() = d 3 ~ ^ A i^ B ^ A i^ B n o = d 3 ~ ^ A + i^ B ^ A i^ B = d 3 ~ n 2^2 A + ^ B 2 i h^a ; ^ io B = d 3 ~ n 2^2 A + ^ B 2 + ^C o = 2 2 ( ^A) + 2 ( ^B) + < ^C > > 0: Ostatnia nieówność musi być spe niona dla ka zdego, a zatem wyznacznik ównania kwadatowego na musi być ujemny lub ówny zeo: Stad ¾ natychmiast otzymujemy, ze < ^C > ( ^A) 2 ( ^B) 6 0: 2 ( ^A) 2 ( ^B) > < ^C > 2 : (7.24) 4 A zatem zasada nieoznaczoności wynika z niepzemienności opeatoów ^A i ^B. To czy we wzoze (7.24) bedziemy mieli znak ówności, czy silnej nieówności zale zy od stanu, po któym śedniujemy. W szczególności, dla opeatoów pedu i po o zenia otzymujemy px > ~ 2 : Wato w tym miejscu wspomnieć o innej zasadzie nieoznaczoności wia z ¾ acej ¾ czas z enegia. ¾ Poniewa z w mechanice kwantowej czas jest paametem i nie odpowiada mu zaden opeato, zasada ta nie daje si ¾e wypowadzić w pokazany wy zej sposób. Wócimy do tego poblemu w jednym z nast ¾epnych ozdzia ów. 36