KOMPENDIUM Z FIZYKI. ε = mc 2. Elementy rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce. Autor: Darek Dyl

Transkrypt

1 Publikacja współfiasowaa przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego KOMPENDIUM Z FIZYKI ε mc Elemey rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce Auor: Darek Dyl

2 Publikacja współfiasowaa przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego

3 Publikacja współfiasowaa przez Uię Europejską w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego KOMPENDIUM Z FIZYKI Darek Dyl Elemey rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce Gdańsk 9

4 Redakcja aukowa: Receze: Redakor Wydawicwa: Okładkę i sroy yułowe zaprojekował: Copyrigh by Uiwersye Gdański Wydawicwo Uiwersyeu Gdańskiego Gdańsk 9 ISBN Wydawicwo Uiwersyeu Gdańskiego ul. Armii Krajowej 9/, 8-84 Sopo, Tel./fa (58) 55-9-

5 Spis reści Wsęp Graica ciągu liczbowego, szeregu i fukcji rzeczywisej. 5.. Ciąg liczbowy i jego graica Szereg liczbowy i jego zbieżość Graica i ciągłość fukcji rzeczywisej Pochoda fukcji rzeczywisej i jej iekóre zasosowaia... Defiicja pochodej i różiczki..... Pochode wyższych rzędów Ierpreacja geomerycza pochodej Podsawowe własości pochodej Pochode iekórych fukcji. Przykłady obliczaia pochodych Niekóre zasosowaie pochodej Całka ozaczoa i ieozaczoa fukcji rzeczywisej Całka ozaczoa z fukcji rzeczywisej ( całka Riemaa ) Fukcja górej graicy całkowaia. Całka ieozaczoa Różiczkowaie i całkowaie wekorów Pochoda wekora i jej własości Całkowaie wekorów Opis ruchu puk maerialego Wekor wodzący, wekor syczy i ormaly do krzywej Prędkość chwilowa i jej własości Przyspieszeie chwilowe i jego własości Podsumowaie Rozwiązaia przykładowych problemów Zagadieie Zagadieie Zagadieie Zadaie Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce Lieraura

6 Wsęp Celem ego kompedium jes wprowadzeie elemearych pojęć rachuku różiczkowego i całkowego w zasosowaiu do zagadień kiemayki puku maerialego. Zakres ego opracowaia obejmuje maeriał iezbędy do zrozumieia zagadień z mechaiki klasyczej, wykładay a pierwszych laach kieruków auk przyrodiczych, w szczególości fizyki. Ideą przewodią jaka przyświecała auorowi, była chęć przybliżeia pojęć aury maemayczej w koekście fizyki. W kompedium ym ie są zaware ścisłe dowody przyaczaych swierdzeń pokazaa jes jedyie ścieżka rozumowaia, ak aby Czyelik ie sracił ciągłości wywodu. Zdaiem auora, wysarcza o do zrozumieia zasadiczej myśli, podjęcia emau i próby samodzielego rozwiązywaia problemów z zakresu kiemayki. Po pewym uzupełieiu główie z zakresu fizyki maeriał prezeoway w kompedium posłużyć może za podsawę do auki iych działów, w ym dyamiki, elekrodyamiki czy ermodyamiki. Na kompedium składa się sześć rozdziałów uzupełioych lieraurą, z kórej powiie skorzysać Czyelik chcący rozszerzyć swoje wiadomości. Pięć pierwszych rozdziałów służy omówieiu podsawowych pojęć z zakresu rachuku różiczkowego i całkowego, wraz z ich zasosowaiem w zakresie kiemayki puku maerialego. Rozdziały e zawieraj podsawowe defiicje z ich omówieiami, uzupełioe przykładami. Osai, szósy rozdział, zawiera przykładowe zagadieia kiemaycze z rozwiązaiami, co pozwoli Czyelikowi zrozumieć koieczość sosowaia wprowadzoych pojęć. Ozaczeia wysępujące w ekście, pojawiają się w sposób auraly i są zgode z przyjęymi kowecjami. W szczególości, wekory zawsze ozaczamy symbolem srzałki p. v, przy czym wekory jedoskowe ( o długości jedoskowej ) zwykle umieszczając daszek p. i. Numery rówań umieszczoo w awiasach okrągłych ( ), a odwołaia do lieraury w awiasach prosokąych []. 4

7 .. Graica ciągu liczbowego, szeregu i fukcji rzeczywisej Zrozumieie pojęcia graicy jes koiecze do właściwego zrozumieia zarówo idei pochodej fukcji rzeczywisej, jak i całki, e zaś do zrozumieia defiicji prędkości i przyspieszeia. W ym rozdziale przedsawioe zosaą kolejo począwszy od ajprosszego przypadku defiicje graicy ciągu liczbowego, szeregu i fukcji rzeczywisej. Całość jes uzupełioa ważymi przykładami, kóre będą wykorzysywae w dalszych częściach kompedium... Ciąg liczbowy i jego graica Ciągiem liczbowym ( rzeczywisym ) azywamy dowole odwzorowaie f zbioru liczb auralych N w zbiór liczb rzeczywisych R: (. ) f : N$ R Ozaczając dla każdego d N elemey f] g przez, sam ciąg będziemy zapisywać jako! + Ważymi przykładami ciągów, zaymi z kursu a poziomie szkoły średiej, są: ciąg harmoiczy o wyrazach,,,,... % /! ciąg arymeyczy, w kórym każdy kolejy wyraz orzymuje się z poprzediego poprzez dodaie sałej liczby d zwaej różicą z. + ( - ) d ciąg geomeryczy, w kórym każdy kolejy wyraz orzymuje się z poprzediego, możąc go przez sałą liczbę q zwaą ilorazem z. q - Oczywiście isieje ieskończoa mogość ciągów liczbowych, kóre moża defiiować jawie za pomocą dowolej fukcji rzeczywisej f określoej a zbiorze liczb auralych, lub rekurecyjie j. za pomocą relacji pomiędzy wyrazami ciągu p. : a + k lub albo, dla * dla ( ciąg Fiboacciego ) + dla > - - 5

8 Rozdział : Graica ciągu liczbowego, szeregu i fukcji rzeczywisej: do podrozdziału: Szereg liczbowy i jego zbieżość Mówimy, że ciąg liczbowy! + ma graicę w, lub iaczej, że jes zbieży do jeżeli dla dowolej liczby rzeczywisej dodaiej f isieje aka liczba aurala, że dla każdej liczby auralej rówej lub większej od odległość a osi liczbowej pomiędzy -ym wyrazem ciągu a graicą jes miejsza iż f. Zapisujc o bardziej formalie ozacza o, że (. ) 6 edr, e 7 d N 6d R, H : - e Jeśli jes graicą ciągu! +, o fak e zapisujemy jako (. ) lim lub " 3 $ Przedsawiając o bardziej obrazowo, isieie graicy ciągu! + ozacza, że począwszy od pewego elemeu wszyskie jego koleje elemey leżą w dowolie bliskim ooczeiu graicy j w przedziale! - f, + f+. Przykładem ciągu zbieżego jes ciąg harmoiczy z graicą w zerze, bowiem dla dowolej liczby f > wszyskie jego elemey o wskaźikach > f leżą w przedziale!-f, f+. Iym, ważym przykładem ciągu zbieżego jes ciąg a + k $ e, gdzie e jes podsawą logarymów auralych, lub ciąg $ Oczywiście ie każdy ciąg jes zbieży. Ciągi ie posiadające graicy, lub dążące do graic iewłaściwych + 3 albo - 3, azywamy iezbieżymi lub, w osaich dwóch przypadkach, rozbieżymi. Jako przykład wysarczy rozważyć ciąg geomeryczy q - o ilorazie q, kóry dla q < jes zbieży do zera, ale dla q > jes ewideie rozbieży. Oczywiście dla q ciąg e jes ciągiem sałym. Więcej iformacji o ciągach, ich ogólych własościach oraz kryeriach zbieżości moża zaleźć w pozycjach [], [], [3] oraz w kompediach ego cyklu, poświęcoym zagadieiom maemayczym. Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce.. Szereg liczbowy i jego zbieżość Szeregiem liczbowym azywamy parę!! +,! S++, gdzie! + jes ciągiem liczbowym a ciąg! S + skosruoway jes według przepisu: 6

9 Rozdział : Graica ciągu liczbowego, szeregu i fukcji rzeczywisej: do podrozdziału: Szereg liczbowy i jego zbieżość / i i S + + f + Ciąg! S + azywamy ciągiem sum częściowych szeregu. Szereg azywamy zbieżym, jeśli ciąg jego sum częściowych jes zbieży w sesie defiicji z poprzediego podrozdziału z. jeśli isieje graica S lim S lim " 3 " 3 i 3 Graicę ę częso zapisujemy jako: / ( pojawił się symbol 3 w górej graicy sumowaia. i Jeśli powyższa graica ie isieje o szereg azywamy rozbieżym. Przykładami rozbieżych szeregów są szeregi uworzoe z wyrazów ciągu arymeyczego lub harmoiczego. Ważym przykładem jes szereg geomeryczy j. aki kórego elemeami - są wyrazy ciągu geomeryczego q Rozważmy ciąg sum częściowych ego szeregu S + q + q + f + q Możąc powyższe przez q, orzymujemy: - qs q + q + f + q - + S + q Wyzaczając ze skrajych rówości S, mamy osaeczie: S - q - q Badaie zbieżości ego szeregu sprowadza się więc do rozparzeia zbieżości ciągu geomeryczego! q +. Poieważ q $ dla q <, sąd szereg geomeryczy jes zbieży dla q < z graicą: Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce S - q oraz jes rozbieży w pozosałych przypadkach j. gdy q H. 7

10 Rozdział : Graica ciągu liczbowego, szeregu i fukcji rzeczywisej: do podrozdziału: Szereg liczbowy i jego zbieżość Iym ważym przykładem zbieżego szeregu jes szereg wyzaczoy przez ciąg 3, gdzie! ozacza silię. Moża pokazać, że / e (podsawa logarymów au-!! ralych ). Dodakowe iformacje o szeregach i kryeriach ich zbieżości moża zaleźć w [],[],[3] i kompediach ej serii z zakresu maemayki. Aby w pełi zdać sprawę z ważości pojęcia graicy, rozważmy problem zway paradoksem Zeoa z Elei ( V w. p..e ). Doyczy o ajprosszego ypu ruchu j. ruchu jedosajego prosoliiowego. Rozważa się wyścig żółwia z szybkobiegaczem, po idealej bieżi, przy czym oba e obieky rakujemy jak puky maeriale, kóre od momeu saru mogą poruszać się ruchami jedosajymi z prędkościami odpowiedio v zo i v. Oczywiście vzo % vs. Przyjmijmy dla usaleia uwagi: vz m m o s i vs s. Aby wyścig miał ses, ze względu a dysproporcję w prędkościach biegaczy, dajmy fory żółwiowi i załóżmy, że w chwili saru zajduje się o w odległości l m przed szybkobiegaczem. Moża zadać pyaie: po jakim czasie od momeu saru szybkobiegacz dogoi żółwia ( a poem będzie już ylko go wyprzedzał )? Rozwiązując o zadaie klasyczie rozumujemy asępująco: Poieważ względa prędkość obu biegaczy wyosi v vs - vzo m s i w chwili saru dzieliła ich odległość l, sąd czas pogoi T wyosi: T l m s v s v - zo m s co w pełi zgadza się z aszą iuicją: szybkobiegacz w skończoym czasie dogoi żółwia, a poem samoie dobiegie do mey jako zwycięzca. Zeo podszedł do problemu iaczej. Rozparywał zagadieie pogoi za żółwiem eapami z. w eapie pierwszym, szybkobiegacz dochodzi do pozycji sarowej żółwia przemierzając odległość począkową l w czasie v l. W ym czasie żółw s zdąży przemieścić się a odległość l vzo, i szybkobiegacz zowu ma żółwia przed sobą ( co prawda w miejszej odległości iż począkowa ) i musi powórzyć czyość z. dobiec do akualej pozycji żółwia, co zajmie mu czas s Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce l v v v s s zo 8

11 Rozdział : Graica ciągu liczbowego, szeregu i fukcji rzeczywisej: do podrozdziału: Graica i ciągłość fukcji rzeczywisej Jes jasym, że w ym czasie żółw zowu zdoła się oddalić, ak więc szybkobiegacz, po zajęciu poprzediej pozycji żółwia będzie go miał adal przed sobą. Poieważ syuacja ie zmieia się zasadiczo z eapu a eap, sąd wiosek, że żółw zawsze będzie zajdował się przed szybkobiegaczem, kóry ma jedyie szasę go dogoić w ieskończoym czasie, ale igdy wyprzedzić. Mamy zaem dwa sprzecze wioski doyczące ej samej syuacji, a więc klasyczy paradoks. Aby rozwiązać e problem ależy oczywiście policzyć dokładie czas pogoi. Czas wykoaia -eapów dogaiaia żółwia wyosi oczywiście: / k k T + + f + v Ozaczając przez q z v o sosuek prędkości, poieważ czas k-ego eapu wyosi s k k q -, możemy zapisać: - q T q f q q Oczywiście eapów dogaiaia, podążając za rozumowaiem Zeoa, jes ieskończeie wiele. Nie mając odpowiedich arzędzi maemayczych ( graicy ciągu ), założył o, że każda suma ieskończeie wielu elemeów musi być ieskończoa. Właśie o założeie było źródłem paradoksu. Mając do dyspozycji ścisłe pojęcie graicy wiemy, że w ym przypadku czas dogaiaia jes skończoy, bo dla q T lim T q v l l - " 3 s v zo vs vz - o - vs co jes zgode z wyikiem klasyczego rozumowaia..3. Graica i ciągłość fukcji rzeczywisej Rozważamy fukcje f : X$ Y, gdzie X, Y R oraz ciąg! + o elemeach ze zbioru X. Jeśli dla każdego akiego ciągu, zbieżego do, ciąg warości y f] g jes zbieży do ej samej warości y, o warość ę azywamy graicą fukcji f w pukcie d X i ozaczamy jako y lim f ] g. " Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce Jeśli poao lim f] g f] g o fukcję f azywamy ciągłą w pukcie. Fukcję azywamy ciągłą, gdy jes ciągła w każdym pukcie d " X 9

12 Rozdział : Graica ciągu liczbowego, szeregu i fukcji rzeczywisej: do podrozdziału: Graica i ciągłość fukcji rzeczywisej Z powyższego widać, że pojęcie graicy fukcji wyika z odpowiediego zasosowaia pojęcia graicy do ciągu warości fukcji, orzymaego z dowolego ale zbieżego do usaloego puku ciągu argumeów. Graica fukcji w pewym pukcie ie musi pokrywać się z warością fukcji w ym pukcie. Jeśli jedak ak jes, o fukcję azywamy ciągłą w ym pukcie. Ciągłość fukcji w każdym pukcie dziedziy ozacza po prosu brak przerw w jej wykresie. Ruchy ciał rozparywae w klasyczej kiemayce zawsze dają się opisać przez fukcje ciągłe. W związku z ym w dalszych częściach będziemy zakładać, że rozparywae fukcje są ciągłe, chyba że wyraźie będzie zazaczoe iaczej. Częso spoykae fukcje: poęgowe, wykładicze, logarymicze, rygoomerycze jak sius czy cosius są ciągłe, lub ciągłe przedziałami jak ages, coages czy fukcje cyklomerycze ( iaczej kołowe, odwroe do rygoomeryczych). W przypadku fukcji wymierych eweuale puky ieciągłości odpowiadają syuacjom zerowaia się miaowika. Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce

13 .. Pochoda fukcji rzeczywisej i jej iekóre zasosowaia Zrozumieie pojęcia pochodej fukcji rzeczywisej jes iezbęde do pełego opisu ruchu ciał w mechaice klasyczej. Dopiero mając do dyspozycji akie arzędzie możemy poprawie zdefiiować podsawowe wielkości kiemaycze, w szczególości prędkość i przyspieszeie. Poao, badaie ruchu częso wymaga wykorzysaia iekórych własości pochodej ( p. wyzaczaie eksremów ), podobie jak w przypadkach wielu przybliżeń sosowaych w opisie złożoych ruchów ( p. przybliżaie fukcji szeregiem )... Defiicja pochodej i różiczki Rozważamy fukcję rzeczywisą f określoą a pewym podzbiorze liczb rzeczywisych. Chcąc badać zmieość akiej fukcji w okolicy dowolego, ale usaloego puku wygodie jes zdefiiować względy przyros ej fukcji D f], g f] g - f] g powsały a skuek zmiay argumeu od do + D, przypadający a jedoskę zmiay argumeu D ( zw. iloraz różicowy ): Df], g f] g - f] g f] + Dg - f] g D - D Wielkość a, dla usaloego puku, jes fukcją argumeu lub rówoważie fukcją przyrosu D. Poieważ ieresuje as ocea zachowaia ( zmieości) fukcji w pukcie, więc jes oczywisym, że im bliżej podejdziemy z wielkością do badaego puku, ym dokładiej wyzaczymy ieresującą as właściwość. Dokładą miarę zmieości fukcji w pukcie orzymamy w graicy " ( D " ). Jeśli w isieje graica ilorazu różicowego jako fukcji ( parz p..3. Graica i ciągłość fukcji rzeczywisej a sroie 9 ), z gdy isieje: Df], g f] g - f] g f] + Dg - f] g lim lim lim D - " " D" D df df] g df] g o ozaczamy ją symbolem ] g, lub i azywamy pochodą fukcji f w pukcie, a samą fukcję azywamy różiczkowalą w pukcie.

14 Rozdział : Pochoda fukcji rzeczywisej i jej iekóre zasosowaia: do podrozdziału: Pochode wyższych rzędów Fukcja azywa się różiczkowalą jeśli posiada pochodą w każdym pukcie dziedziy. Każda fukcja różiczkowala jes fukcją ciągłą, ale ie każda fukcja ciągła jes różiczkowala p. f] g jes ciągła w zerze, ale ie jes w ym pukcie różiczkowala. Różiczką fukcji f w pukcie a przyroście argumeu D - azywamy wielkość df] g df] D, g D df W szczególości dla ieskończeie małego przyrosu argumeu: df ] g. Częso pochodą fukcji ozacza się symbolem prim lub kropką z. df] g f l] g fo] g Z samego określeia pochodej wyika, że jeśli w jakim przedziale pochoda fukcji jes dodaia, o w ym przedziale fukcja jes rosąca, a jeśli ujema, o fukcja w ym przedziale jes malejąca. Szybkość zmieości fukcji wyzaczoa jes warością bezwzględą pochodej... Pochode wyższych rzędów df] g Sama pochoda fukcji może być różiczkowalą fukcją. W akim przypadku sesowie jes rozważać pochodą akiej fukcji azywamy ją wedy dru- gą pochodą fukcji f. Wprowadza się asępujące ozaczeia: d df] g d f] g f m] g fp ] g Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce Rówież i druga pochoda może okazać się róża od zera i różiczkowala, wedy poprzez jej zróżiczkowaie defiiuje się rzecią pochodą i aalogiczie, pochode wyższych rzędów, zgodie z regułą: - d f] g d d f] g f - ( ) ] g

15 Rozdział : Pochoda fukcji rzeczywisej i jej iekóre zasosowaia: do podrozdziału: Ierpreacja geomerycza pochodej Proces e możemy koyuować dopóy, dopóki przed obliczeiem pochodej mamy do czyieia z różą od zera fukcją różiczkowalą..3. Ierpreacja geomerycza pochodej f (+ ) f () α() A α sycza y C f B s + siecza Na powyższym rysuku przedsawioo wielkości defiiujące iloraz różicowy wysępujący w określeiu pochodej pewej fukcji f w pukcie ( wykres łukoway ). Rozważając rójką ABC wyzaczoy przez sieczą, wykres fukcji i pomocicze liie dochodzimy do wiosku, że warość ilorazu różicowego jes rówa agesowi kąa achyleia sieczej do osi odcięych. BC AB g a W miarę zmiejszaia się boku AB D z. gdy D ", siecza przechodzi w syczą y s do wykresu fukcji w pukcie kieruek zmia pokazują srzałki. Orzymujemy zaem wiosek, że po wykoaiu przejścia graiczego pochoda fukcji w pukcie jes rówa agesowi kąa achyleia syczej do wykresu fukcji w pukcie względem osi odcięych. Df D f Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce df g a ] g a 3

16 Rozdział : Pochoda fukcji rzeczywisej i jej iekóre zasosowaia: do podrozdziału: Podsawowe własości pochodej Iaczej mówiąc, pochoda fukcji wyzacza współczyik kierukowy a syczej do wykresu fukcji w daym pukcie. Rówaie syczej do wykresu fukcji f w pukcie ma zaem posać: df ys ( u ) au + b ( u - ) + f] g Ierpreacja a pozwala w prosy sposób wysuć iekóre wioski omawiae w asępych podrozdziałach..4. Podsawowe własości pochodej Poiższe własości podajemy bez dowodów, kóre moża zaleźć p. w pozycjach [], [] i [3]. Pochoda fukcji sałej ma warość, co jes oczywise. Wyzaczaie pochodej jes operacją liiową z. d df dg ] a f] g + b g] gg a + b dla różiczkowalych fukcji f, g i dowolych sałych a, b. Pochodą iloczyu fukcji różiczkowalych f, g obliczamy zgodie z: d df dg ] f ] g g ] gg g ] g+ f ] ] g g Pochodą ilorazu fukcji różiczkowalych f, g obliczamy zgodie z: d f] g b l g] g df ] g dg g ] g- f ] g g] g Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce Pochodą złożeia różiczkowalych fukcji f, g obliczamy zgodie z: d df dg f ] gg ] gg ] g Jeżli mamy do czyieia z różiczkowalą fukcją będącą fukcją odwroą do daej, ozaczaą przez f -, j. spełiającej zależość 4

17 Rozdział : Pochoda fukcji rzeczywisej i jej iekóre zasosowaia: do podrozdziału: Pochode iekórych fukcji. Przykłady obliczaia pochodych - - f ] f] gg f] f ] gg wedy pochodą fukcji odwroej wyzaczamy zgodie z: - df ] g df] g f - ] g Wzór e jes szczególym wioskiem wyikającym ze sposobu wyzaczaia pochodej złożeia dwóch fukcji..5. Pochode iekórych fukcji. Przykłady obliczaia pochodych Aby przybliżyć rozumieie defiicji pochodej fukcji rzeczywisej, wyzaczymy z defiicji pochodą fukcji f] g. W pierwszej kolejości kosruujemy iloraz różicowy ( parz p... Defiicja pochodej i różiczki a sroie ): f] + Dg - f] g ] + Dg - + D + D - D D D D + D + D D Zgodie zaem z defiicją pochodej: df] g lim ] + Dg D" Sąd orzymujemy zay wyik. Sosują podobe meody moża wyzaczyć: Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce - dla wszyskich d R d si ] g d cos cos ] g oraz - si ] g de e 5

18 Rozdział : Pochoda fukcji rzeczywisej i jej iekóre zasosowaia: do podrozdziału: Pochode iekórych fukcji. Przykłady obliczaia pochodych Pochodą fukcji ages i coages wyzaczymy korzysając z formuły a pochodą ilorazu fukcji i powyższych wyików. d si ] g d cos d g] d si ] cos ] - si ] ] g g g g g b cos ] g l cos ] g cos ] g + si ] g cos ] g cos ] g Podobie orzymujemy d cg] g - si ] g Pochodą logarymu auralego orzymamy korzysając z formuły a pochodą fukcji odwroej d l ] g l] g de e l ] g Korzysając z powyższego wyzaczymy pochodą fukcji wykładiczej dla a>, a! da d d e l e l d ( l a ) e l] g l ] a g l ] a g a a a a gdzie skorzysaliśmy z formuły a pochodą złożeia dwóch fukcji. Pochodą fukcji odwroej do siusa ozaczaej jako arcsi ] g, wyzaczymy z reguły różiczkowaia fukcji odwroej aalogiczie d arcsi ] g d si ] g cos ] arcsi ] gg arcsi ] g dla - # # - si ] arcsi ] gg - d arccos ] g - - oraz Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce darcg] g darc cg] g, i

19 Rozdział : Pochoda fukcji rzeczywisej i jej iekóre zasosowaia: do podrozdziału: Niekóre zasosowaie pochodej Obliczaie pochodych jes, w większości przypadków, procesem mechaiczym ależy jedyie kosekweie wykorzysywać orzymae powyżej wyiki oraz ogóle własości pochodej( parz p..4. Podsawowe własości pochodej a sroie 4 ).6. Niekóre zasosowaie pochodej Wyzaczaie eksremów lokalych Z aalizy geomeryczej pochodej wyika bezpośredio ( parz p..3. Ierpreacja geomerycza pochodej a sroie 3 ), że w ooczeiu eksremum lokalego, przy przechodzeiu przez eksremum pochoda fukcji zmieia zak, osiągając w samym eksremum warość, bowiem sycza w eksremum lokalym jes zawsze rówoległa do osi odcięych X. Jeśli poao fukcja jes dwukroie różiczkowala, o rodzaj eksremum określoy jes przez zak drugiej pochodej. Druga pochoda określa bowiem zmieość pierwszej pochodej w przypadku maksimum pierwsza pochoda jes fukcją malejącą w ooczeiu eksremum, a w przypadku miimum, rosącą Podsumowując zaem: df] g waruek wyzacza puky ma i mi, d f d f poao ] mag < i ] mig >. f () maksimum Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce ma mi miimum 7

20 Rozdział : Pochoda fukcji rzeczywisej i jej iekóre zasosowaia: do podrozdziału: Niekóre zasosowaie pochodej Rozwijaie fukcji w szereg. Załóżmy, że fukcja f jes N+ kroie różiczkowala wokół pewego puku. Wedy możemy dla iego puku + D zapisać ( wzór Taylora ): N k f f d f k ] g + / k ] - g + RN], Dg k! k przy czym resza RN], Dg dąży do zera szybciej iż N-a poęga D Ozacza o, że w akim przypadku możemy przybliżać fukcję f przez szereg poęgowy sopia N ( N-y rząd przybliżeia ) określoy przez warość fukcji i jej pochode w pukcie. Szczególa posać ego wzoru orzymaa dla osi azwę wzoru Maclauria. e dla każdego k, więc roz- Jako przykład rozważmy f] g e k. Poieważ d e k wijając wokół orzymamy: Podobie: e 3 + +! + 3! + f +! + f 3! si ] g - 3! + 5! - 7! + f + ]- g + f ] + g! oraz 4 6 cos ] g -! + 4! - 6! + f + ]- g + f ] g! Wyzaczaie graic wyrażeń ieokreśloych posaci, 33. Załóżmy, że fukcje f, g są różiczkowale w ooczeiu puku, i poao gl] g ]. Jeśli, przy " obie e fukcje dążą jedocześie do albo do 3, i isieje graica: f l] g lim " g l] g f] g f l] g o lim lim " g] g " gl] g / Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce Jako przykład rozparzmy, spełiające powyższe waruki, wyrażeie ypu : lim si d si ] g ] g lim lim cos ] g " " " 8

21 3.. Całka ozaczoa i ieozaczoa fukcji rzeczywisej Całkowaie, ogólie mówiąc, jes operacją odwroą do różiczkowaia. O ile jedak, w większości syuacji, różiczkowaie polega a mechaiczym sosowaiu określoych meod, o yle całkowaie jes pewego rodzaju szuką. Tylko w ieliczych syuacjach udaje się uzyskać wyik całkowaia w posaci aaliyczej. Isieje oczywiście szereg meod całkowaia, skueczych w określoych syuacjach, jedak ich omówieie przekracza ramy ego kompedium. W ym rozdziale ograiczymy się jedyie do zdefiiowaia całki ozaczoej i ieozaczoej, wymieieia ich podsawowych własości i rozparzeia kilku prosych przykładów. Maeriał e moża pogłębić sięgając p. do pozycji [], [], [3] lub skrypów i kompediów ej serii poświęcoych zagadieiom całkowaia. 3.. Całka ozaczoa z fukcji rzeczywisej ( całka Riemaa ) Rozważamy ciągłą fukcję f i pole powierzchi pomiędzy jej wykresem i osią X wyzaczoe przez puky : a i b f ( ) i P i P N f () P a i b Podzielmy odciek [a,b] a N rówych przedziałów o szerokości D b a N - i wpiszmy w ieresujące as pole N prosokąów o jedakowych podsawach D i wysokościach dobraych ak, aby jak ajlepiej przybliżyć wyzaczae pole S. 9

22 Rozdział 3: Całka ozaczoa i ieozaczoa fukcji rzeczywisej: do podrozdziału: Fukcja górej graicy całkowaia. Całka ieozaczoa Na ym eapie warość pola S może być przybliżoa przez wielkość sumy pól poszczególych prosokąów: N N N N / i / ] ig i i S. S P + P + f + P P f D gdzie skorzysaliśmy z faku, że dla każdego z rozparywaych prosokąów, isieje aka warość argumeu i, iż wysokość prosokąa jes warością fukcji w ym pukcie f] i g. Wedy pole i-ego prosokąa wyosi Pi f] ig D. Jes oczywise, że o przybliżeie jes ym lepsze, im bardziej gęsy jes podział pola S a prosokąy. Warość dokładą S orzymujemy w graicy N" 3 Jeśli ciąg sum częściowych S N jes zbieży ( parz p... Szereg liczbowy i jego zbieżość a sroie 6 ) o graicę S lim SN azywamy całką ozaczoą z N " 3 fukcji f i ozaczamy ją zgodie z poiższym zapisem: a # b N / N" 3 i f] g lim f] igd S Symbol całki # powsał z rozciągięcia symbolu sumowaia /, wyikającego z rozszerzeia sumy dyskreej a przypadek ciągły w wyiku wykoaia przejścia graiczego. Ozaczeie różiczka fukcji, ( parz p... Defiicja pochodej i różiczki a sroie ) o ieskończeie mały przyros argumeu D w graicy zmierzającej do. Wielkości a,b wyzaczają graice całkowaia krańce przedziału całkowaia dolą i górą, odpowiedio. Z ierpreacji geomeryczej całki ozaczoej jako odpowiediego pola powierzchi, wyikają bezpośredio poiższe własości. a b # # # a b f] g - f] g f] g f] g + f] g dla a< c< b a c # # c b b a Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce 3.. Fukcja górej graicy całkowaia. Całka ieozaczoa Przez fukcję górej graicy całkowaia F] g rozumiemy fukcję określoą dla zmieej będącej górą graicą całkowaia: F] g f] g a #

23 Rozdział 3: Całka ozaczoa i ieozaczoa fukcji rzeczywisej: do podrozdziału: Fukcja górej graicy całkowaia. Całka ieozaczoa Na mocy dwóch poprzedich rówań + D + D # # # # # f] g - f] g f] g + f] g - f] g F] + Dg - F] g a a a a lim lim lim D" D D" D D" D + D # f] g f] u gd lim lim lim f] u g f] g D" D D" D D" bowiem u " gdy D". df] g Zaem fukcja górej graicy całkowaia spełia: f] g Ozacza o, że całkowaie jes operacją odwroą do różiczkowaia. Posać fukcji górej graicy całkowaia zależy od wyboru sałej a dolej graicy całkowaia. Dla różych wyborów orzymujemy fukcje różiące się sałą C zw. sałą całkowaia. Iaczej mówiąc, F u ] g F] g + C jes rówież fukcją górej graicy całkowaia. Każdą fukcję F] g spełiającą rówaie: df] g f] g azywamy całką ieozaczoą fukcji f i ozaczamy symbolem # f] g Powyższe pozwala usalić całki ieozaczoe iekórych, prosych fukcji. Na przykład: Aalogiczie: # C, d + bowiem ] + Cg + C, + dla!- oraz l + C + # # # # # e e + C, si ] g- cos ] g + C, cos ] g si ] g + C ( parz p..5. Pochode iekórych fukcji. Przykłady obliczaia pochodych a sroie 5 ) Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce Wyzaczaie całki ozaczoej moża sprowadzić do wyzaczeia całki ieozaczoej i skorzysaia z rówości: a b # # f] g F] bg - F] ag F] g b, gdzie F] g f] g a

24 Rozdział 3: Całka ozaczoa i ieozaczoa fukcji rzeczywisej: do podrozdziału: Fukcja górej graicy całkowaia. Całka ieozaczoa Na przykład: 3 poieważ # + C, sąd ( 4 C ) # ( 3 - (- ) ) 4] 8 - g. - - Całkowaie jes operacją liiową z. dla dowolych sałych a, b 3 #( af] g + bg] g) a # f] g + b # g] g. Poao gdzie C jes sałą całkowaia. # dg ( ) dg g ] g+ C # W przeciwieńswie do obliczaia pochodych, dla całkowaia ie isieją ogóle reguły, kóre pozwalałyby obliczyć całkę dowolej fukcji. Przegląd meod całkowaia w częściej spoykaych przypadkach, moża zaleźć w []. Pomoce mogą być eż ablice częso spoykaych całek p. [4] Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce

25 4.. Różiczkowaie i całkowaie wekorów. Podsawowe wielkości kiemaycze są wielkościami wekorowymi, w szczególości wekorami są prędkość i przyspieszeie. Wekory mogą być fukcją pewego parameru p. czasu mówimy wedy o zależości parameryczej wekora od zmieej. W akim przypadku moża rozważać zarówo pochodą wekora po zmieej, jak i jego całkę po ej zmieej. Rozważać zaem będziemy wekor w] g, kóry w usaloym układzie karezjańskim, zdefiiowaym przez wersory i ( oś X ), j ( oś Y ), k (oś Z ), ma składowe w ] g, w ] g, w ] g z. y z w] g w] gi + wy] gj + wz] gk 5 w] g, wy] g, wz] g? 4.. Pochoda wekora i jej własości dw] g defiiujemy po- W aalogi do defiicji pochodej fukcji, pochodą wekora przez graicę ( o ile aka isieje ): dw] g w] + g- w] g lim D" ( parz p... Defiicja pochodej i różiczki a sroie ) Pochode wyższych rzędów defiiujemy rekurecyjie, jako odpowiedie, koleje pochode z pochodej wekora - d w] g d w] g - dla > Z defiicji pochodej wekora wyikają bezpośredio asępujące własości: dw] g dla sałego wekora w] g cos. d dw dv ] aw] g+ bv] gg a + b dla dowolych sałych a, b z. liiowość dw] g d df dw ( f] gw] g ) w ] g+ f ] g ] g dla różiczkowalej fukcji f] g 3

26 Rozdział 4: Różiczkowaie i całkowaie wekorów: do podrozdziału: Całkowaie wekorów W szczególości ozacza o, że w układzie karezjańskim, pochodą wekora orzymujemy przez zróżiczkowaie jego składowych dw] g dw] g dwy] g dwz :,, D Np. dla: 3 w] g 5si( ), cos( ), +?, mamy: 3 dw] g d si( ) d cos ( ),, cos ( ), si ( ), : + D ? oraz d w] g d( cos( )) d( si( ),, si ( ), cos ( : - 3 D ), 6? Ozaczając przez : i # iloczy skalary i wekorowy odpowiedio, pochode ych iloczyów wyzaczamy zgodie z: d dw dv ] w ] g: v ] : v] + w] ] gg g g g : d dw dv ] w ] g # v ] gg # v] g+ w] ] g g # Różiczką wekora określoą a przyroście parameru D azywamy wielkość: dw] g dw], Dg D w graicy D " ozaczamy ją jako dw] g. 4.. Całkowaie wekorów Związek pomiędzy całką ozaczoą i ieozaczoą w przypadku całkowaia wekorów jes aalogiczy jak w przypadku fukcji rzeczywisej ( parz p. 3.. Fukcja górej graicy całkowaia. Całka ieozaczoa a sroie ). Wysarczy zaem określić całkę ieozaczoą z wekora # w] g W] g, kórą defiiujemy jako dowoly z wekorów ( wekor określoy z dokładością do wekora sałego ) W] g spełiających: dw ] g w ] g Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce 4

27 Rozdział 4: Różiczkowaie i całkowaie wekorów: do podrozdziału: Całkowaie wekorów Tak określoa operacja jes oczywiście liiowa w poiższym sesie: # # # ] a w] g+ b v] gg a w] g + b v] g dla dowolych sałych a, b i całkowalych wekorów w] g, v] g. Dla sałego wekora w cos. i całkowalej fukcji f] g mamy poao: oraz # # f] g w w f] g d v ] g dv ] g v ( ) + cos. # # Z powyższego wyika bezpośredio, że dla wekora określoego w karezjańskim układzie współrzędych, jego całkę wyzacza się poprzez całkowaie jego składowych: # # # # w] g 8 w ] g, w ] g, w ] gb Na przykład dla w] g 5, si( ), 3 cos ( )? # # # # y z w] g 8, si( ), 3 cos ( ) B w, - cos ( ) + w y, 3 si( ) + w z? 5, - cos ( ), 3 si( )? + w 3 3 gdzie sały wekor w 5 w, w, w? określoy jes przez rzy sałe całkowaia, kóre, w celu ujedozaczieia wyiku, ależy wyzaczyć z dodakowych waruków zw. waruków począkowych. Zając całkę ieozaczoą wekora w] g, W ] g # w] g, ławo wyzaczyć całkę ozaczoą a przedziale zmieości parameru : 5,? w] g W] g - W] g W] g # Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce I odwroie, w celu jedozaczego wyzaczeia całki Z] g ze zaego wekora w] g z warukiem począkowym Z] g z cos., ależy posłużyć się rówaiem: Z] g z + w] u g u # 5

28 5.. Opis ruchu puk maerialego W rozdziale ym zdefiiowae zosaą podsawowe wielkości kiemaycze i jego zrozumieie wymaga pełego przyswojeia maeriału poprzedich rozdziałów. Aby dokoać opisu ruchu wymagay jes obserwaor uzbrojoy w przyrządy do mierzeia czasu, odległości i kąów. Obserwaora aki, wraz z wprowadzoym układem współrzędych, defiiuje układ odiesieia względem kórego będzie opisyway ruch. Wybór układu odiesieia jes dowoly i powiie być dososoway do akualie badaego ruchu. Właściwy wybór układu odiesieia, w ym układu współrzędych, pozwala uprościć opis ruchu i jego ierpreację. Poiżej wprowadzamy układy odiesieia opare o karezjański i sferyczy układ współrzędych. Z A r A r φ X j i φ() ϑ() A k r() ϑ A y A ϑ Y Układy e zdefiiowae są przez układy rzech wekorów jedoskowych zw. wersorów, wyzaczających osie ( liie ) układu współrzędych: układ sałych prosopadłych wzajemie wersorów i, j, k defiiujących osie X,Y, Z, karezjańskiego układu współrzędych, w kórym dowoly wekor A opisay jes przez swoje składowe A, Ay, Az układ wzajemie prosopadłych wersorów r, j, { defiiujących składowe wekora A : Ar, Aj, A{, azywae odpowiedio: radialą, azymualą ( połudikową ) i raswersalą ( rówoleżikową ). z. 6

29 Rozdział 5: Opis ruchu puk maerialego: do podrozdziału: Wekor wodzący, wekor syczy i ormaly do krzywej ( 5. ) A A i + A j y + A k z 5A, Ay, Ay? A r + A j j + A{ { 5A, Aj, A{? r r sfer Długość wekora wyraża się poprzez składowe jako: ( 5. ) A A A + A y + A z Ar + A + A j { Te układy współrzędych różią się zasadiczo ym, że pomimo iż oba są orogoale, o układ karezjański jes prosoliiowy a sferyczy krzywoliiowy wekory r, j, { zależą od puku, w kórym położoy jes począek wekora A. W układzie karezjańskim mają oe asępujące składowe: ( 5.3 ) r 5si( j ) cos ]{ g, si( j ) si ]{ g, cos ( j)? j 5cos ( j ) cos ]{ g, cos ( j ) si ]{ g, - si( j)? { 5- si ]{ g, cos ]{ g, )? Oczywiście, jeśli położeie puku zaczepieia wekora A wyzaczoe jes zależością od pewego parameru, o wersory e zależą rówież od. Usaleie kąa j r defiiuje zw. bieguowy układ współrzędych a płaszczyżie X,Y dogody do opisywaia ruchów płaskich. W ym układzie współrzędych dowoly wekor ma oczywiście dwie składowe A r + A { 5 A, A?. A r { r { bieg 5.. Wekor wodzący, wekor syczy i ormaly do krzywej z() r() ϑ() r() P() () () y() γ Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce () φ() Ruch puku maerialego po krzywej c opisay jes poprzez podaie położeia ego puku w dowolej chwili z przedziału obserwacji 5,?. Położeie o wy- 7

30 Rozdział 5: Opis ruchu puk maerialego: do podrozdziału: Wekor wodzący, wekor syczy i ormaly do krzywej zaczoe jes przez koiec wekora łączącego począek układu odiesieia z akualym pukem położeia ciała a krzywej c zw. wekora wodzącego r] g. Oczywiście, ( 5.4 ) r( ) r] gr ] g 5r] g,,? sfer 5] g, y] g, z] g? 5r] g si ] j ] gg cos ]{] gg, r] g si ] j ] gg si ]{] gg, r] g cos ] j] gg? gdzie, ze względu a wyjąkową rolę wekora wodzącego, jego składowe karezjańskie ozaczyliśmy ak, jak rówe im współrzęde puku P j. przez fukcje ] g, y] g, z] g ( zamias sadardowych ozaczeń r, ry, rz ). Powyższe rówaie podaje akże związek pomiędzy współrzędymi karezjańskimi i sferyczymi. Od ego momeu paramer czasowy zawsze będziemy ozaczać lierą ( ie mylić z ozaczeiem wekora syczego, parz iżej ). Oczywiście krzywa c po kórej porusza się ciało ( rajekoria ruchu ) może być sparameryzowaa za pomocą dowolego, iego parameru qd 5 q, q? poprzez podaie fukcji r] qg. Szczególym rodzajem parameru dla daej krzywej c, zw. paramerem auralym, jes długość jej łuku s liczoa od pewego puku P, kórej ieskończeie mały eleme zdefiioway jes w układzie karezjańskim rówaiem: ] qg dy] qg dz] qg ( 5.5 ) ds + dy + dz b l + b l + b l dq dq dq dq Przejście od dowolej parameryzacji q do parameryzacji auralej j. poprzez paramer s, opiera się a rówaiu: P ] qu g dy] qu g dz] qu g ( 5.6 ) s] qg # ds # b + + dqu dqu l b dqu l b dqu l P q q Z geomerii różiczkowej ( parz [], [5] ) oraz iformacji z poprzedich podrozdziałów ( parz p..3. Ierpreacja geomerycza pochodej a sroie 3 ) wyika, że wekor zdefiioway w dowolej parameryzacji, jako: dr] qg ( 5.7 ) ] qg dq dr] qg dq Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce jes jedoskowym wekorem syczym do krzywej c w pukcie r] qg. Zaem, poieważ :, o : i każdy wekor rówoległy do ds ds jes prosopadły do wekora ds. 8

31 Rozdział 5: Opis ruchu puk maerialego: do podrozdziału: Prędkość chwilowa i jej własości W szczególości doyczy o jedoskowego wekora ormalego do krzywej c, zdefiiowaego zgodie z rówaiem: ( 5.8 ) ds d r gdzie ds d r ds jes zależym od puku promieiem okręgu syczego do krzywej zw. promieiem krzywizy. Wekor skieroway jes do środka okręgu syczego ( parz rysuek zamieszczoy a począku ego podrozdziału ). Ruch azywamy prosoliiowym, gdy isieje aka parameryzacja rajekorii, iż ( 5.9 ) r] qg v q + r v q + r gdzie v, r są wekorami sałymi, z. rajekoria jes fragmeem prosej. Dla ruchu prosoliiowego ie określa się krzywizy oru, a wekor syczy jes sały. W pozosałych przypadkach ruch azywamy krzywoliiowym. Ruch azywamy płaskim, gdy jego rajekoria leży w pewej płaszczyźie. z do jego opisu wysarczaj dwie współrzęde p. (,y ) lub w w układzie bieguowym ( r,{ ). W ogólości ruch może być isoie rójwymiarowy ( p. po liii śrubowej ) ai prosoliiowy, ai płaski. 5.. Prędkość chwilowa i jej własości Z defiicji, prędkość w chwili, v] g, jako miara zmieości ruchu, określoa jes zależością: dr ( 5. ) v] g Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce Wpros z defiicji i rówaia ( 5.7 ) a sroie 8, mamy: ( 5. ) v] g v] g ] g gdzie, zgodie z rówaiem ( 5.5 ) a sroie 8,warość prędkości ( szybkość ) v] g: 9

32 Rozdział 5: Opis ruchu puk maerialego: do podrozdziału: Prędkość chwilowa i jej własości ( 5. ) v ds v v v dy dz + y + z a k + a k + a k, dy dz bowiem w układzie karezjańskim v] g 9,, C Ruch azywamy jedosajym, gdy warość prędkości jes sała z. v] g v cos. Z rówaia ( 5. ) a sroie 9, bezpośredio wyika, że prędkość jes zawsze sycza do rajekorii w każdym pukcie oru ( w każdej chwili ruchu ). Poieważ r( ) r] gr ] g oraz, zgodie z ( 5.3 ) a sroie 7 i regułami różiczkowaia ( parz p..4. Podsawowe własości pochodej a sroie 4 ), mamy: dr ] g ( 5.3 ) ro ] g jo ] gj ] g+ si ] j ] gg { o ] g{ ] g, sąd ( 5.4 ) v] g d ] r ] g r ] g g r o] g r ] g+ r ] g r o ] g ro ] gr ] g+ r] g# jo ] gj ] g+ si ] j ] gg { o ] g{ ] g- gdzie pochode po czasie, dla uproszczeia, ozaczoo kropką. Z powyższego bezpośredio wyika, że w układzie współrzędych sferyczych: ( 5.5 ) v] g 7 ro ] g, r] gjo ] g, r] g si ] j ] gg { o ] g Asfer W szczególości w układzie bieguowym ( j r ), składowe prędkości wyoszą: ( 5.6 ) v] g 5 ro ] g, r] g { o ] g? bieg W ruchu płaskim pochodą { o ] g ~ ] g azywamy prędkością kąową, a wielkość: Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce ( 5.7 ) c] g r] g # v] g prędkością polową. Warość prędkości polowej c jes rówa polu zakreślaemu przez wekor wodzący w czasie ruchu ciała w jedosce czasu w chwili. 3

33 Rozdział 5: Opis ruchu puk maerialego: do podrozdziału: Prędkość chwilowa i jej własości Powyższe własości pozwalają bezpośredio wyzaczyć prędkość ciała, gdy zaa jes posać wekora wodzącego r] g w zależości od czasu z. gdy zamy położeie ciała w dowolej chwili czasu w ieresującym as okresie. Moża jedak posawić zagadieie odwroe: czy ze zajomości prędkości chwilowej ciała w dowolej chwili czasu v] g, moża uzyskać wiedzę a ema jego położeia? Zgodie z wiedzą a ema związku pomiędzy pochodą i całką ( parz p. 3.. Fukcja górej graicy całkowaia. Całka ieozaczoa a sroie ) odpowiedź a o pyaie jes wierdząca, o ile zamy położeie ciała r w pewej chwili, zwaej umowie począkową, z. gdy zamy waruek począkowy r] g r 5, y, z?. Wedy, a mocy poprzedich usaleń: ( 5.8 ) r] g r + v] u gu lub bardziej jawie we współrzędych karezjańskich: ( 5.9 ) # Z ] ] g + v] u gu ] # ] [ y] g y + # vy] u gu ] ] z] g z + vz] u gu ] # \ Powyższe rówaia pozwalają wyzaczyć jedozaczie położeie, jeśli umiemy obliczyć wysępujące w ich całki, co jak wspomiao wcześiej ie zawsze jes możliwe. W akim przypadku moża zawsze zasosować obliczeia umerycze, ema e jedak wykracza poza ramy ego kompedium. W szczególym przypadku ruchu ze sałą prędkością v, jako wiosek z powyższych rówań, orzymujemy: ( 5. ) r] g r + v ] - g Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce z. ruch jes ruchem jedosajym prosoliiowym. W przypadku ruchu jedosajego po okręgu o promieiu R z prędkością o warości v, zależe od czasu położeie wyzacza jedyie współrzęda bieguowa {] g i zgodie z ( 5.6 ) a sroie 3, mamy ( wybór! doyczy kieruku obiegu ): d{ ] g v v ( 5. ) R! v & { {! u {! ] - R # g R 3

34 Rozdział 5: Opis ruchu puk maerialego: do podrozdziału: Przyspieszeie chwilowe i jego własości 5.3. Przyspieszeie chwilowe i jego własości Z defiicji, przyspieszeie chwilowe w chwili, a( ), określoe jes rówaiem: dv ( ) d r( ) ( 5. ) a( ) i w związku z ym jes miarą zmieości prędkości ciała. Korzysając z ( 5. ) a sroie 9, mamy: a( ) ( 5.3 ) d dv v v! + + Sąd, biorąc pod uwagę rówaie ( 5.8 ) a sroie 9, możemy zapisać dv a v ds dv v + ] g + ] g ds ] g a] g ] g+ ad] g ] g A zaem w sposób auraly przyspieszeie rozkłada się a wzajemie prosopadłe składowe: dv przyspieszeie sycze a ] g v i przyspieszeia dośrodkowe, o warości ad] g ] g Ruch azywamy jedosajie zmieym ( przyspieszoym lub opóźioym), gdy przyspieszeie sycze, a, jes iezerowe i sałe w czasie ruchu. W ruchu jedosajie zmieym prosoliiowym i ylko akim mamy poza ym zikaie przyspieszeia dośrodkowego. Zgodie z defiicją ( 5. ) a sroie 3, składowe przyspieszeia w układzie karezjańskim wyoszą: Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce dv dvy dvz d d y d z ( 5.4 ) a] ] ] g g g :,, D :,, D Chcąc wyzaczyć składowe przyspieszeia w układzie współrzędych sferyczych skorzysamy z rówaia ( 5.5 ) a sroie 3. Ozaczając dla uproszczeia pochode czasowe kropką, i korzysając z reguł różiczkowaia, możemy zapisać: 3

35 Rozdział 5: Opis ruchu puk maerialego: do podrozdziału: Przyspieszeie chwilowe i jego własości ( 5.5 ) a] g d # r o] g r ] g + r ] g j o ] g j ] g + r ] g si ] j ] gg { o ] g { ] g- rp ] gr ] g+ ro ] gro ] g+ ro ] gjo ] gj ] g+ r] gjp ] gj ] g+ r] gjo ] gjo ] g+ + ro ] g si ] j ] gg { o ] g{ ] g+ r] g cos ] j] ggj o ] g{ o ] g{ ] g+ + r] g si ] j ] gg { p ] g{ ] g+ r] g si ] j ] gg { o ] g{ p ] g Obliczeia pochodych ro ] g, j o ] g, { o ] g wersorów wykoujemy korzysając z rówań ( 5.3 ) a sroie 7, zapisując je w posaci aalogiczej do ( 5.3 ) a sroie 3. Po uporządkowaiu względem wersorów r ] g, j ] g, { ] g, (parz ( 5. ) a sroie 7) orzymujemy: ( 5.6 ) a] g 5 ar, aj, a{? sfer ar rp ( ) - r( ) { o ( ) - r] gjo ] g aj ro ] gjo ] g+ r] gjp ] g a{ si ] j ] gg# ro ] g{ o ] g+ r] g{ p ] g+ r] gcg] j] gg j o ] g{ o ] g- W szczególości w układzie współrzędych bieguowych a płaszczyźie X,Y: ( 5.7 ) a] g 5ar, a{? 5rp ( ) - r( ) { o ( ), ro ] g{ o ] g+ r] g{ p ] g? gdyż wedy j r. bieg d W ruchu płaskim pochodą { p ~ ] g f] g azywamy przyspieszeiem kąowym. Widać z powyższego, że zajomość prędkości ( a ym bardziej położeie ciała w każdej chwili ruchu ), pozwala meodą różiczkowaia wyzaczyć jego przyspieszeie w dowolym pukcie oru. I zowu moża posawić zagadieie odwroe: czy zajomość przyspieszeia w każdej chwili a] g pozwala jedozaczie wyzaczyć prędkość ciała. Podobie jak w przypadku prędkości, odpowiedź a o pyaie jes pozyywa, jeśli ylko zamy prędkość w usaloej chwili począkowej, v, z. zaday jes waruek począkowy: v] g v. Wedy a mocy poprzedich rozważań ( parz p. 4.. Całkowaie wekorów a sroie 4 ) mamy: Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce ( 5.8 ) v] g v + a] u gu lub bardziej jawie we współrzędych karezjańskich: # 33

36 Rozdział 5: Opis ruchu puk maerialego: do podrozdziału: Przyspieszeie chwilowe i jego własości Z ] v] g v + a] gu ] # ] ( 5.9 ) [ vy] g vy + # ay] u gu ] ] vz] g vz + az] u gu ] # \ O ile z powyższego uda się obliczyć v] g, o korzysając z rówań ( 5.8 ) a sroie 3 ( lub jawie we współrzędych karezjańskich ( 5.9 ) a sroie 3 ) moża wyzaczyć położeie ciała w dowolej chwili, jeśli zamy jego począkowe położeie. Na przykład dla ruchu jedosajie zmieego wzdłuż osi X z przyspieszeiem a a, i zadaymi warukami począkowymi w chwili :, v, mamy: ( 5.3 ) v] g v + a u v + a] - g a + v - a ] g + ] au + v - a gu + a ] - g+ ] v -ag] -g # # Dla rozparywaego poprzedio ruchu jedosajego po okręgu o promieiu ] g R z prędkością o warości v (rówaie ( 5. ) a sroie 3), przyspieszeie ma ylko składową dośrodkową i a mocy ( 5.3 ) a sroie 3, ma warość: v a ad R d {] g d~ ] g Dla ruch po okręgu ze sałym przyspieszeiem kąowym f mamy: ( ruch jedosajie zmiey po okręgu ) ~ ] g ~ + f u u ~ + f] - g {] g { + ] f u + ~ - f gu { + f ] - g+ ] ~ - fg] - g # # Prędkość ma składowe bieguowe 5, R ~] g? bieg i warość v] g R ~ ] g. Sąd, a podsawie rówań ( 5.3 ) a sroie 3, składowe przyspieszeia syczego i dośrodkowego wyoszą odpowiedio: Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce ( 5.3 ) a dv] g d~ ] g R ~ ] g R R f a R d f + ~ - f R Widać zaem, że w ym przypadku, warość przyspieszeia ie jes sała i wyosi ( dla szczególych warości począkowych, ~ ): a a + ad R f + f 4 34

37 Rozdział 5: Opis ruchu puk maerialego: do podrozdziału: Podsumowaie 5.4. Podsumowaie Z przedsawioych w ym podrozdziale iformacji jaso wyika, że dopiero użycie pojęć pochodej i całki, oparych a pojęciu graicy pozwala w sposób ogóly i ścisły zarazem zdefiiować podsawowe wielkości kiemaycze, w ym prędkość i przyspieszeie. Moża było zauważyć, że w formie skrajej mamy do czyieia z dwoma zasadiczymi ypami zagadień: zw. zagadieiem prosym, w kórym ze zajomości położeia wioskujemy o prędkości. a dalej o przyspieszeiu: r] g $ v] g $ a] g co wymaga jedyie zajomości reguł różiczkowaia omówioych w poprzedich podrozdziałach. zw. zagadieiem odwroym, w kórym ze zajomości przyspieszeia wioskujemy o prędkości, a asępie o położeiu ciała: a] g $ v] g $ r] g co wymaga jedak sosowaia operacji całkowaia, a a, celem ujedozaczieia wyiku, wymaga zajomości waruków począkowych: r] g r oraz v] u g v. Te yp zagadień jes o yle rudiejszy, o ile całkowaie jes rudiejsze od różiczkowaia. Rozszerzając maeriał ego kompedium ależy dodać, że asze pozaie aury ( w fizyce klasyczej ) opare jes a rówaiu Newoa, kóre w iercjalym układzie odiesieia, przyjmuje posać: a] g F] g, m gdzie m ozacza masę ciała, a F] g jes siłą działającą a ciało w chwili, i opisuje oddziaływaie ooczeia a baday obiek. Pozaie o więc opare jes a zagadieiu odwroym, i jako akie, ie jes a ogół zadaiem prosym, ze względu a problemy związae z wyzaczaiem całek. Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce Rozszerzeie iformacji zawarych w ym podrozdziale, Czyelik może zaleźć w pozycjach lieraury: [6], [7], [8]. 35

38 6.. Rozwiązaia przykładowych problemów. Na ogół posawioe zagadieia mają posać uwikłaą, i dają sprowadzić się do zagadieia prosego lub odwroego po wykoaiu kilku, lub kilkuasu kroków rozumowaia. Poiżej przedsawioo kilka akich problemów. Ich aaliza może pomóc Czyelikowi w pełiejszym zrozumieiu wprowadzoych pojęć. Isieje bogay lieraura związaa ze zbiorami zadań a różym poziomie iekóre z ich zawierają miej lub bardziej pełe rozwiązaia. Kilka propozycji może Czyelik zaleźć w spisie lieraury. 6.. Zagadieie Ruch ciała opisay jes rówaiami: b e c - e c, y b e c - ] + g ] - e c g gdzie b i c sałe dodaie. Zaleźć rówaie oru i maksymale przyspieszeie dośrodkowe. Rozwiązaie. Zadaie jes zagadieiem ypu prosego. W celu zalezieia oru, dodajmy powyższe rówaia sroami: c c y ] g+ y] g b e ( e + b Podsawiając o do pierwszego z rówań, orzymamy: y 4b y -, - 4b 4b co ozacza, że ciało porusza się po jedej z dwu gałęzi paraboli. Korzysając z ( 5. ) a sroie 3, mamy: skąd: c v] g b c ] e - e dy c vy] g b c ] e + e -c -c g g 36

39 do podrozdziału: Zagadieie c v] g v + v b c ] e + e - c y g W celu wyzaczeia promieia krzywizy skorzysamy z rówaia (( 5.8 ) a sroie 9, kóre w przypadku ruchu płaskiego przyjmuje posać: o y + o y o p - y p o 3 Na mocy rówaia ( 5.3 ) a sroie 3, i powyższych rezulaów, orzymujemy osaeczie: a ] g d b c c e e c + - dad] g Poszukując eksremum przyspieszeia dośrodkowego z rówaia, dochodzimy do waruku e - e, co ozacza, że warość eksremala wysępuje w c -c chwili i jes o maksimum ( bowiem d ar < ) o warości b c. 6.. Zagadieie Cząska porusza się po krzywej a y + b z przyspieszeiem rówoległym do osi Y. W chwili cząska zajdowała się w pukcie, y b i miała prędkość o warości v Obliczyć przyspieszeie cząski w każdym pukcie oru. Rozwiązaie. Z waruków zadaia wyika, że jedyą różą od zera składową przyspieszeia jes składowa a y. z a] g 5, a] g?. Waruek począkowy dla prędkości przyjmuje posać v] g v 5 v,?, bowiem prędkość jes zawsze sycza do rajekorii ruchu. Korzysając kolejo z rówań ( 5.9 ) a sroie 34 i ( 5.9 ) a sroie 3, dla składowej, orzymujemy Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce v ] g v ( ] g v Podsawiając o do rówaia oru i rozwiązując je ze względu a y, mamy: y] g! b - a 37

40 do podrozdziału: Zagadieie 3 Korzysając eraz z ( 5.4 ) a sroie 3 dla składowej y, orzymamy ( licząc pochodą fukcji złożoej ( parz p..4. Podsawowe własości pochodej a sroie 4 ) ): dy dy v b y] g! b- l ] g a - a b v ] g ]- g a y] g Sąd, korzysając adal z fukcji ] g v, y] g orzymaego a poprzediej sroie, z obliczoej wyżej yo dy ] g oraz rówaia oru, mamy: b v vy dv b v y o y b v a a - o + y] g ]- g & - a y a y 4 b v - 3 a y] g 4 b v Osaeczie więc a <, - 3 F zależy ylko od współrzędej y. a y Orzymao akże zależość czasową przyspieszeia i prędkości Zagadieie 3. W dowolym pukcie oru wyzaczyć prędkość i przyspieszeie ciała, kóre w ruchu prosoliiowym wzdłuż osi X osiąga puk w czasie ] g a + b + c (a, b, c są sałymi) Rozwiązaie. Zgodie z defiicjami prędkości i przyspieszeia, powiiśmy obliczać pochode po czasie, a mamy do dyspozycji fukcję odwroą j. zależość czasu od położeia. Korzysając z formuły a pochodą fukcji odwroej i fukcji złożoej( parz p..4. Podsawowe własości pochodej a sroie 4 ), mamy: v a + b dv dv a dv v a v a a ] a + bg v ] a + bg Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce Oczywiście, powyższe ma ses jedyie dla akich, kóre ie powodują osobliwości j,! b - oraz mają fizyczy ses z. leżą a jedej z gałęzi fukcji pierwiaskowej. Zależy o oczywiście od kokreych warości sałych a, b, a c. 38

41 do podrozdziału: Zadaie Zadaie 4 Wyzaczyć or po kórym pies goi koa, zakładając, że ko ucieka wzdłuż dosaeczie długiego muru w jedą sroę, ze sałą prędkością o warości v k. Odległość przy kórej pies zobaczył koa a wpros, co rozpoczęło pościg, wyosi l. Jaka musi być sała warość prędkości psa v p aby pies dogoił koa? Rozwiązaie. Y C α() A B y() l X Powyższy rysuek obrazuje syuację w chwili : pies zajmuje położeie A, ko zaś położeie C. Kluczowym dla rozwiązaia sposrzeżeiem jes fak, że pies goi koa w aki sposób, że zawsze parzy a iego a wpros z. puk C leży a syczej do oru w pukcie A. Po czasie od począku goiwy ko przebiegł odległość do puku C rówą: vk. Zaem długość odcika BC wyosi vk - y] g, długość odcika AB jes aomias rówa l -. Korzysając z geomeryczej ierpreacji pochodej ( parz p..3. Ierpreacja geomerycza pochodej a sroie 3 ) orzymujemy podsawowe rówaie: Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce dy( ) vk y( ) g] a g - l - o rówaie a poszukiwaą fukcję y] g zawiera iezaą zmieą: czas. Poieważ jedak ruch psa jes jedosajy,sąd, korzysając z ( 5.5 ) a sroie 8, mamy: v s C dy dy p vp # + v + p # ] ug b u u l 39

42 do podrozdziału: Zadaie 4 Podsawieie ego rówaia do poprzedzającego daje a jedak rówaie a iezaą wielkość y] g rówaie ypu różiczkowo całkowego, bowiem szukaa wielkość wysępuje w im zarówo pod zakiem pochodej, jak i całki. Te yp rówań ależy do jedych z ajrudiejszych do rozwiązaia. Zamias ego przejdziemy do rówaia czyso różiczkowego, co wymaga jedak policzeia odpowiediej pochodej. W ym celu przekszałćmy przedosaie rówaie do posaci: dy] g vk dy] u ] l - g y v + b - p # g u l Po obusroym zróżiczkowaiu, ozaczając d y] g dy] g ] l - g b + a k vk b, orzymujemy: v Jes o rówaie różiczkowe rzędu drugiego ( jako efek osaiego różiczkowaia, za o już bez całki ) a szukaą wielkość y] g, kóre rozwiążemy meodą przez podsawieie: dy z] g z warukiem począkowym, zgodym z warukami zadaia ( pies począkowo parzy a koa ), z] g, a dalej meodą rozdzielaia zmieych z. przeosząc wielkości zależe od zmieej zależej z] g a jedą sroę rówaia, a od iezależej a drugą. Nie zawsze da się ak zrobić, ale w ym przypadku prowadzi o do rówaia: z z dz # b # + l - Wykorzysując wioski z poprzedich paragrafów ( lub korzysając z ablic całek ), w wyiku całkowaia osaiego rówaia, orzymujemy: l ] z z l l + + g -b a - k l p Darek Dyl: Zasosowaie rachuku różiczkowego i całkowego w kiemayce a sąd: b z l l a - l - k a l - k -b Poieważ: dy] g z] g ( y] g y + # z] u gu 4