Między teorią a praktyką oceniania zadań optymalizacyjnych.

Transkrypt

1 Anna Boniaczk, III Liceum Ogólnokształcące w Łodzi Jacek Człapiński (ed, doadca metodczn w ŁCDNiK w Łodzi, XXV Liceum Ogólnokształcące w Łodzi Izabela Głowacka Wzesień, Zespół Szkół zemsłu Mod w Łodzi Agnieszka ietasik, XV Liceum Ogólnokształcące i IV Liceum Ogólnokształcące w Łodzi Teesa Zajkiewicz, Zespół Szkół Ekonomii i Usług w Łodzi Międz teoią a paktką oceniania zadań optmalizacjnch Steszczenie Atkuł jest poświęcon pagmatce pocesu oceniania zadań egzaminacjnch z matematki w obszaze zastosowania achunku óżniczkowego w zagadnieniach optmalizacjnch i wątpliwościom z tm związanch i powstał jako zwieńczenie cklu wasztatów nt Element achunku óżniczkowego w podstawie pogamowej i paktce szkolnej oces konstuowania i wdażania schematów oceniania winien w większm stopniu bć otwat na opinie śodowiska, a sposób jego twozenia nie służ doskonaleniu pocesu kształcenia i egzaminowania, ale jest powielaniem zachowań decdentów, któz odpowiadają za efom edukacjne dotczące całego sstemu szkolnego stąd na początku umieszczono kilka akapitów poświęconch zmianom sstemu edukacjnego w olsce Zmian Stałm elementem zeczwistości edukacjnej w olsce po oku 1989 jest zmiana Niestet, nie zawsze jest ona związana ze specfiką szkoł, jako insttucji uczącej się, czli modfikującej swoją działalność w kieunku doskonalenia fom i waunków pac z uczniem Częściej jest podktowana innmi względami, także o chaakteze politcznm, a jej konsekwencje wpowadzają niemał chaos w szkołach i pzestzeni publicznej Ważnm obszaem tch ciągłch zmian jest sfea modfikacji podstaw pogamowch, dokonwanch w niemałm pośpiechu i w odewaniu od szeokich konsultacji w śodowisku nauczcielskim Dotcz to także matematki Ostatnie zmian i powót do kształcenia w czteoletnim liceum i pięcioletnim technikum mogł bć szansą na uzupełnianie óżnic w kompetencjach matematcznch uczniów klas I tch szkół, zwłaszcza tch związanch ze spawnością achunkową oaz okazją, b w paktce wdożć założenia cznnościowego kształcenia matematki, w któm jest czas na taką ealizację każdego zagadnienia, któa uwzględni etap opeacji konketnch, wobażeniowch, a następnie abstakcjnch Tmczasem pzesunięcie szeegu zagadnień z podstaw pogamowch gimnazjum do szkół ponadpodstawowch nowego tpu, w tm min wszstkich teści związanch z układami ównań liniowch, podobieństwem figu, w tm tójkątów, konstukcjami geometcznmi, błami obotowmi itd powoduje, że na ich ealizację w szkole ponadpodstawowej tzeba będzie pzeznaczć ponad 90 godzin tm samm na nowe zagadnienia pozostanie tlko nieco ponad 0 godzin z tch, któe w nowm amowm planie nauczania pojawiają się w szkołach tego etapu kształcenia Tmczasem pzesunięcie z zakesu ozszezonego do podstawowego samch zagadnień związanch z wielomianami i funkcją wmieną wmaga pzeznaczenia na ich ealizację niemal 0 godzin, a pzeniesienie z ozszezenia niemal wszstkich zagadnień z geometii analitcznej to kolejne 15 godzin, któe tzeba wpowadzić do ozkładu nauczania na poziomie podstawowm Analiza poównawcza obowiązującej podstaw pogamowej i pzkładowch ozkładów nauczania pozwala pzjąć, że pzesunięcie wszstkich zagadnień, któe

2 obecnie są ealizowane na poziomie ozszezonm, a mają bć obowiązkowe na poziomie podstawowm, wmaga ponad 80 godzin w cklu nauczania Tm samm wpowadzane zmian wmagają zwiększenia liczb godzin nauczania matematki w liceach o blisko 50 godzin w cklu, w stosunku do zapisanego w ozpoządzeniu o amowch planach nauczania ozkładu 4 4 odobn niedobó będzie dotczł także techników Lektua pojektu oaz uwag o waunkach i sposobach ealizacji wskazuje na niespójność zapisów z jednej ston zasadnie podkeśla się wagę złożonch kompetencji matematcznch, takich jak ozumowanie i agumentacja, z dugiej jednak ston niektóe zagadnienia są wpowadzane w odewaniu od ich definicji cz intepetacji, tm samm z założenia ezgnujem z kształtowania tego pojęcia w sposób cznnościow, popzestając na etapie opeacji konketnch Wątpliwości budzi także sposób opisu wmagań szczegółowch oponowane zapis nie tlko nie usuwają wad obowiązującej podstaw polegającch na tm, że nie peczowała ona, jakie zagadnienia winn bć omawiane w dopuszczonch do użtku szkolnego pogamach, ale tę swoistą wadę pogłębiają Tak więc sposób pezentacji teści nie jest spójnm opisem wmagań szczegółowch Niekied wdaje się bć on swoistą efleksją autoów pojektu nad obowiązującą podstawą i głosem w dskusji nad kieunkami jej zmian, ale ta efleksja w niewielkim stopniu znalazła odzwieciedlenie w zapisach, a w znacznej części pozostała tlko w świadomości autoów Sstem egzaminów zewnętznch Zmiana podstaw pogamowej z oku 1999 bła integalnie związana z utwozeniem Centalnej Komisji Egzaminacjnej oaz ośmiu komisji okęgowch, któch zadaniem bło budowanie nowego sstemu egzaminacjnego, opatego na zewnętznej wefikacji osiągnięć szkolnch ucznia Wdożenie tego nowego sstemu oganiczało swobodę nauczciela w pocesie oceniania osiągnięć ucznia na zecz wdożenia sstemu kteialnego Także ten aspekt stał się w ostatnich latach aeną wpowadzania zmian pzejście od oceniania cznnościowego na zecz oceniania holistcznego Nie sposób nie zauważć, że zmiana filozofii oceniania nie zawsze znajduje zastosowanie w paktce egzaminacjnej i kolejnch sesjach egzaminacjnch Nawet w takcie tej samej sesji, ale w óżnch zadaniach, oba te spojzenia są stosowane pzemiennie, nie bez wpłwu na odczucia egzaminatoów, któz nie widzą w tm ealizacji podstawowch funkcji ocen szkolnej Zadania optmalizacjne Rok szkoln 014/015 pzniósł sfinalizowanie zmian podstaw pogamowej oku 009 Najpiew now egzamin gimnazjaln w oku 01, a później matua pzepowadzona w maju 015, bł zwieńczeniem wpowadzania zmian pogamowch, któch najbadziej chaaktestcznm wznacznikiem bło i wciąż jest pojawienie się w akuszach egzaminacjnch tzw zadań optmalizacjnch, dla któch, na zasadzie włączności, zaezewowano w schematach oceniania aż 7 punktów Zazwczaj, co jest zapisane w mateiałach pomocniczch dla ucznia i nauczciela dostępnch w zasobach intenetowch Centalnej Komisji Egzaminacjnej, schemat punktowania zadania z optmalizacji odnosi się do tzech etapów ozwiązania: a piewsz etap, składając się z kilku części, dotcz zbudowania funkcji, któa będzie modelem danej stuacji poblemowej i wznaczenia dziedzin badanej funkcji, pz czm za popawne wkonanie każdej z części zdając otzmuje 1 punkt; b dugi etap składa się zwczajowo z tzech części: wznaczenie pochodnej odpowiedniej funkcji, obliczenie miejsc zeowch pochodnej tej funkcji, Stona z 10

3 uzasadnienie, że dla okeślonego agumentu funkcja osiąga swoją najmniejszą względnie największą watość Także tutaj za popawne ozwiązanie każdej z części tego etapu zdając otzmuje 1 punkt c Tzeci etapem jest wznaczenie (obliczenie zadanej wielkości i za popawne wkonanie tego etapu zdając otzmuje 1 punkt W atkule nie będziem dskutować nad nie do końca uzasadnionmi sztwnmi amami punktowania tego tpu zadania, któe w żaden sposób nie uwzględniają óżnego stopnia złożoności poblemów, jakie będą pojawiał się w kolejnch sesjach egzaminacjnch 1, ale odniesiem się jednie do paktki pzznawania, a mam ważenie, że częściej niepzznawania punktów związanch z uzasadnieniem, że funkcja pzjmuje swoje globalne ekstema w okeślonch punktach, a punktem wjścia będzie zadanie z egzaminu matualnego z sesji majowej 017 oku Nie będziem ównież odwołwać się do zbędnego naszm zdaniem nazucenia w schemacie metod sposobu uzasadnienia watości największej popzez badanie znaku piewszej pochodnej ułapki oceniania W takcie szkolenia wstępnego dla kanddatów na egzaminatoów powadząc omawiają zagadnienie zattułowane ułapki oceniania, związane z tudnmi stuacjami, pzed któmi niekied staje egzaminato Zdaje się, że nie ma tam mow o pułapkach zastawionch pzez autoów kteiów oceniania zadań, ale z pewnością jest mowa o badzo skupulatnm i dokładnm stosowaniu zapisanch kteiów owoduje to, że niekied te właśnie zapis są pułapką, w któą wpada egzaminato, ale także abituient, cz pośednio nauczciel pzgotowując ucznia do egzaminu matualnego unktem wjścia do naszej analiz będzie zadanie z egzaminu matualnego, któe znajdziem w akuszu matualnm z maja 017 Na wstępie pzpomnijm jego teść i pzkładowe ozwiązanie zamieszczone pod adesem: Akusze_ egzaminacjne/017/fomula_od_015/zasad_oceniania/mma-r1-npdf Zadanie 15 (07 Rozpatujem wszstkie walce o danm polu powiezchni całkowitej Oblicz wsokość i pomień podstaw tego walca, któego objętość jest największa Oblicz tę największą objętość zkładowe ozwiązanie Niech oaz h oznaczają, odpowiednio, pomień podstaw walca i wsokość walca ole powiezchni całkowitej tego walca jest ówne = + h Stąd h = Objętość walca V = h zapisujem jako funkcję zmiennej : V ( = =, gdzie 0 ochodna funkcji V jest okeślona wzoem ( 1 ( 6 V = dla 0 Wznaczam miejsca zeowe i badam znak pochodnej V ( = 0 wted i tlko wted, gd =, 1 Zadanie optmalizacjne w sesji majowej 019 jest najlepszm pzkładem ozmijania się teoii, któa wmaga i ocenia sposób wznaczenia dziedzin w danm modelu matematcznm, z paktką, któa w tm oku zobowiązwała do punktowania zapisu 0, któ często pojawiał się niejako automatcznie (wszak dotcz miezenia obiektu geometcznego i bezefleksjnie Stona z 10

4 ( 0 V wted i tlko wted, gd ( 0 0, V wted i tlko wted, gd Wnika stąd, że w pzedziale ( 0, funkcja V jest osnąca, a w pzedziale, jest malejąca Zatem V ( jest największą watością tej funkcji Watość ta jest ówna ( V = = Gd = wted h = = Schemat punktowania Rozwiązanie zadania składa się z tzech etapów a iewsz etap składa się z tzech części: wznaczenie wsokości walca w zależności od pomienia podstaw walca: wznaczenie objętości walca jako funkcji jednej zmiennej, V ( wznaczenie dziedzin funkcji V : = ( 0 V D, Za popawne wkonanie każdej z tch części zdając otzmuje 1 punkt b Dugi etap składa się z tzech części: wznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej f ( = : f ( =, obliczenie miejsc zeowch pochodnej funkcji V: funkcji f: =, = π =, h = = lub obliczenie miejsc zeowch pochodnej zbadanie znaku pochodnej funkcji V i uzasadnienie, że dla = funkcja V osiąga największą watość Za popawne ozwiązanie każdej z części tego etapu zdając otzmuje 1 punkt c Tzeci etap Obliczenie największej objętości walca i wsokości walca o największej objętości: h = Za popawne wkonanie tego etapu zdając otzmuje 1 punkt, V =, Uwagi 1 Jeżeli zdając zapisze objętość walca z błędem zeczowm może otzmać co najwżej 1 punkt za całe ozwiązanie, a jeżeli dodatkowo popawnie wznacz dziedzinę funkcji V może otzmać co najwżej punkt za całe ozwiązanie Stona 4 z 10

5 Jeżeli zdając oblicz pochodną funkcji f lub V z błędem achunkowm i otzma funkcję liniową albo funkcję kwadatową o ujemnm wóżniku [lub] o wóżniku ównm 0 może otzmać punkt jednie za piewsz etap ozwiązania Jeśli zdając ozwiązuje zadanie dla stożka otzmuje 0 punktów, nawet jeśli ozwiązanie tego innego zadania jest popawne 4 Za ozwiązanie z konketną watością liczbową w miejsce zdając otzmuje 0 punktów Dopisek Autoów Stona 5 z 10

6 Kied egzaminato powinien uznać, że uczeń uzasadnił istnienie watości największej funkcji? zpuśćm teaz, że kteialnej ocenie podlegają poniższe ozwiązania, w któch piewsze etap są we wszstkich pzpadkach jednakowe, takie jak zapisane poniżej, a w dalszm ozwiązaniu bakuje istotnch elementów (np wznaczenia dziedzin lub komentaz Niech oaz h oznaczają, odpowiednio, pomień podstaw walca i wsokość walca ole powiezchni całkowitej tego walca jest ówne = + h Stąd h = Objętość walca V = h zapisujem jako funkcję zmiennej : V ( = = ochodna funkcji V jest okeślona wzoem 1 V = ( ( Wznaczam miejsca zeowe i badam znak pochodnej: V ( = 0 wted i tlko wted, gd = lub = 6 D (oczwiście musi bć 0 Zbadajm znak pochodnej szkicując jej wkes Część wspólna ozwiązań 6 6 Szukana objętość jest ówna V ( 6 = = Gd = wted h = = Dokończenie ozwiązania - Waiant 1 Stona 6 z 10

7 Zbadajm znak pochodnej szkicując jej wkes Szukana objętość jest ówna V ( 6 = = Gd = wted h = = Dokończenie ozwiązania - Waiant Zbadajm znak pochodnej szkicując jej wkes Szukana objętość jest ówna V ( 6 = = Gd = wted h = = Dokończenie ozwiązania - Waiant Zbadajm znak pochodnej szkicując jej wkes 6 + MAX 6 Szukana objętość jest ówna V ( 6 = = Gd = wted h = = Dokończenie ozwiązania - Waiant 4 Stona 7 z 10

8 Zbadajm znak pochodnej szkicując jej wkes 6 + NAJW 6 Szukana objętość jest ówna V ( 6 = = Gd = wted h = = Dokończenie ozwiązania - Waiant 5 Zbadajm znak pochodnej szkicując jej wkes 6 6 Szukana objętość jest ówna V ( wted h = = Stona 8 z 10 6 = = Gd = Dokończenie ozwiązania - Waiant 6 Analiza poszczególnch waiantów Na wstępie należ wskazać, że niemal od początku istnienia nowej matu, zapewne z powodu skócenia czasu pisania egzaminu matualnego (w stosunku do czasu, jaki znali ze swoich doświadczeń twóc nowego sstemu egzaminacjnego, pz istotnm zwiększeniu liczb zadań nie oczekuje się od abituientów komentowania poszczególnch etapów ozwiązania (uwaga ta nie dotcz oczwiście zadań na dowodzenie Co więcej, często to na egzaminatoa nakłada się obowiązek odgadnięcia co auto (ozwiązania miał na mśli A jeśli ta nigdzie nie unomowana zasada miałab ulec zmianie, w szczególności w kontekście óżnic międz ekstemum lokalnm i ekstemum globalnm funkcji należałob w odpowiedni sposób zmodfikować polecenie zadania lub tak dobać poblem, b ta óżnica miała znaczenie w znalezieniu ozwiązania Nie można bowiem dopuszczać do stuacji, że jeden zdając nasuje stzałki, co pozwali mu uzskać punkt pz absolutnie minimalnm nakładzie pac i czasu, jaki musi na taki zapis pzeznaczć, a dugi będzie odwołwał się do funkcji odpowiedniej klas, analizował waunki konieczne i dostateczne istnienia ekstemum funkcji óżniczkowalnej oaz badał pzejścia ganiczne, co pz znacznej pacochłonności akusz może mieć znacząc wpłw na osiągnięt pzez niego wnik Dlatego to na sstemie egzaminacjnm (ozumiem tutaj tch, któz fomułują kteia, a zwłaszcza ich wkładnię spoczwa obowiązek okeślenia swoistego minimum, któe uznaje się za wstaczające do uznania, że uczeń uzasadnił, że dana wielkość pzjmuje największą/najmniejszą watość Ale błob wskazane, b taka wkładnia, w czasie odpowiednio odległm od kolejnej sesji egzaminacjnej, bła poddana dskusji w śodowisku, co pozwoli uniknąć wątpliwch intepetacji, wpost spzecznch

9 z twiedzeniami pzwołwanmi w klascznej publikacji GM Fichtenholza, wmagającch pzwołania monotoniczności funkcji i kwestionującch samą zmianę znaku pochodnej, jako waunku wstaczającego istnienia ekstemum zechodząc do omówienia poszczególnch ozwiązań należ wskazać, że we wszstkich waiantach kończącch ozwiązanie zdając nie otzma punktu za dziedzinę, ale także we wszstkich waiantach wznaczł zaówno watość największą objętości, jak i wsokość tego z walców, któego objętość jest największa ozostaje więc tlko ozstzgnąć, cz zdając winien otzmać punkt za zbadanie znaku pochodnej funkcji V i uzasadnienie, że dla = funkcja V osiąga największą watość Nie sposób kwestionować faktu, że zdając zbadał znak pochodnej w każdm z waiantów w tm celu naszkicował popawn wkes funkcji pochodnej (oczwiście w zbioze R, ale kwestia wznaczenia dziedzin jest oceniana w innm miejscu Zdając nie daje nam także żadnch podstaw, bśm kwestionowali jego wiedzę w zakesie odcztwania znaku funkcji pzecież jest to elementana umiejętność nawet na poziomie podstawowm Dlatego doszukiwanie się óżnic międz waiantami 1 i jest nieuzasadnione Ale z całą pewnością na wkesie widać zmianę znaku pochodnej, co pz spełnieniu waunku koniecznego pozwala wnioskować o istnieniu ekstemum lokalnego, a z faktu, iż pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemn, wnika, że mam tu do cznienia z maksimum lokalnm Ta pzwołana w ostatnim zdaniu własność jest podana w publikacji GM Fichtenholza jako waunek wstaczając istnienia ekstemum, dlatego nie ma uzasadnienia dla ozóżniania w pocesie ocen waiantów i 6 Jeśli dla autoa kteiów ważne błob badanie monotoniczności funkcji po az kolejn pozostaje zaapelować, b to w teści zadania o taką analizę monotoniczności poposić Także zaznaczenie na sunku zbiou liczb dodatnich jako dziedzin, czli ponowne odwołanie się zdającego do błędnie zapisanej dziedzin (wznaczonej w piewszm etapie ozwiązania zadania, nie może óżnicować waiantów i, ponieważ jest to tlko inna foma zapisu tego, co wcześniej już w ozwiązaniu się pojawiło ozostaje weszcie poównać waiant 4 i 5 ojawiają się sugestie, iż zdając, któ na sunku użje zapisu największ legitmuje się wższmi kompetencjami niż ten, któ użje swoistego skótu i użje słowa ma zpuszczenie, że piewsz z nich na pewno widzi óżnicę międz ekstemum lokalnm i globalnm, a dugi tej świadomości nie ma, jest niczm nieuzasadnione Ale jeśli taka mśl pzszłab komuś do głow z pewnością nie zostało to w żaden sposób uagumentowane, a pzecież pominięcie istotnch części ozwiązania może skutkować niepzznaniem odpowiednich punktów i z całą pewnością moglibśm tch punktów autoom obu waiantów nie pzznać, gdb nie Klask (GM Fichtenholz, któ pisał w jednej z uwag: W zastosowaniach najczęściej spotkam post pzpadek, gd międz a i b znajduje się tlko jeden podejzan punkt 0 Jeśli w punkcie tm będzie maksimum (minimum, to nie poównując nawet z watościami funkcji na końcach pzedziału możem powiedzieć, że będzie to właśnie największa (najmniejsza watość funkcji w pzedziale W pocesie spawdzania i oceniania pac matualnch wielokotnie mogliśm usłszeć tezę, pzwołwaną pz óżnch zadaniach i zadziwiającch ozwiązaniach, iż dopót, dopóki zdając nie odkje się ze swoją niewiedzą musim pzjmować, że jest to dobe ozwiązanie Tudno jest zozumieć dlaczego w tm jednm zadaniu o tej genealnej zasadzie mielibśm zapomnieć Dlatego w pełni uzasadnione błob uznanie wszstkich powżej zapisanch waiantów ozwiązania za niemal tożsame i zobowiązanie egzaminatoa (zgodnie ze schematem do pzznania punktu za uzasadnienie, że objętość pzjmuje największą watość Stona 9 z 10

10 A swoją dogą można pomazć o powocie do takiego egzaminu, w któm uczeń, dla uzskania maksmalnej liczb punktów, będzie zobowiązan do komentowania każdego etapu swojego ozwiązania ale wówczas należałob istotnie zmniejszć liczbę zadań i wdłużć czas twania egzaminu matualnego z matematki, o co po az kolejn apelujem Stona 10 z 10