MODEL MATEMATYCZNY I ANALIZA UKŁADU NAPĘDOWEGO SILNIKA INDUKCYJNEGO Z DŁUGIM ELEMENTEM SPRĘŻYSTYM DLA PARAMETRÓW ROZŁOŻONYCH

Transkrypt

1 Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Naędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 66 Politechniki Wrocławskiej Nr 66 Studia i Materiały Nr 3 1 Andriy CZABAN*, Marek LIS** zasada Hamiltona, równanie Euler Lagrange a, naęd asynchroniczny, długie elementy srężyste linii wału MODEL MATEMATYCZNY I ANALIZA UKŁADU NAPĘDOWEGO SILNIKA INDUKCYJNEGO Z DŁUGIM ELEMENTEM SPĘŻYSTYM DLA PAAMETÓW OZŁOŻONYCH W racy rzedstawiono analizę układu naędowego silnika indukcyjnego z długim elementem srężystym. Element srężysty rzedstawiono jako układ o arametrach rozłożonych. ównania różniczkowe stanu elektromechanicznego rzedstawione w ostaci normalnej Cauchy ego. Wyniki symulacji komuterowych są wykorzystane dla analizy rędkości kątowych maszyny asynchronicznej i rożnych unktów linii wału a także analizy rądów, momentów rozruchowych oraz momentów srężystych, które wynikają z linii wału naędu. 1. WSTĘP Budowa i analiza modeli matematycznych naędów elektrycznych są jednymi z najbardziej odstawowych roblemów elektrotechniki stosowanej. Jest oczywistym, że efektywnie oisać takie modele można wyłącznie drogą ołączenia elektrycznego i mechanicznego odukładów [1]. Takie ołączenie jest możliwe na dwa sosoby. Pierwszy sosób olega w dekomozycji jednolitego układu elektromechanicznego na odstawie zasady zachowania energii, a drugi sosób w bezośrednim budowaniu modeli na odstawie odejść wariacyjnych [1, 3]. W zależności od tyu zadania wykorzystywana jest jedna z wymienionych zasad. W niniejszej racy zaroonowano odejście ierwsze. Podzielono układ elektromechaniczny na dwa odrębne odukłady elektryczny i mechaniczny. Dla każdego z tych odukładów zaisano równania stanu na odstawie odstawowych raw fizyki. Połączenia wymienionych odukładów rzerowadzono rzez równanie równowagi momentów elektrycznych i mechanicznych [4]. * Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Politechnika Lwowska, Katedra Mechaniki. ** Wydział Elektryczny, Politechnika Częstochowska.

2 Matematyczny model silnika asynchronicznego rerezentowany jest rzez równania obwodów elektromagnetycznych dla stojana i wirnika [1], a model części mechanicznej rzez równanie drgań skrętnych linii wału o rozłożonych arametrach mechanicznych. []. MODEL MATEMATYCZNY ównania stanu elektromagnetycznego silnika oisują zależności [1]: dis AS ( us SiS ) + ASΠ( ΩΨ i ) (1) di Π 1 A S ( u S i S S ) + Π 1 A S Π( ΩΨ i ) + Ωi () Π 3 sin( γ+ π/ 3) sin γ sin γ sin( γ π/ 3) (3) M E Π Π 3 A SB B SA ( i i i i ) / τ (4) liczba ar biegunów; ω rędkość obrotu wirnika. Model matematyczny rocesów mechanicznych we wsominanym układzie analizowano rozatrując długą srężystą linię wału, do końców której rzyłożono z jednej strony moment elektromagnetyczny silnika naędowego, a z drugiej moment obciążenia określony dowolną funkcją (atrz rys. 1). J Σ J M EM (1) (9) * * Δx L x M O ys. 1. Schemat analizowanego naędu Fig. 1. The diagram of the analyzed drive ównanie oisujące rocesy mechaniczne w długim srężystym wale rzedstawia zależność: [1, ]

3 6 ϕ G ϕ ξ ϕ + ρ x ρj x () gdzie G moduł rężności orzecznej; ξ wsółczynnik rozroszenia wewnętrznego w linii wału; x bieżąca wsółrzędna wzdłuż linii wału; ρ gęstość materiału wału; J biegunowy moment bezwładności linii wału. Schemat obliczeniowy dyskretyzacji linii wału rzedstawiono na rys. 1. Zależność () rzyjmuje rzeczywisty sens tylko w rzyadku zadania warunków brzegowych oraz oczątkowych. Warunki brzegowe wynikają z zasady D Alamberta, tj. z równań równowagi momentów na granicach wału [1,, 4]. Tak, dla lewej i rawej granicy warunki brzegowe określone są zależnościami (6) i (7): J ϕ ϕ ϕ GJ ξ M E x x (6) J ϕ ϕ ϕ + GJ + Σ M O x ξ (7) x Metodami rozwiązania odobnych zadań są metody elementów skończonych i różnic skończonych. W tym rzyadku wykorzystano metodę różnic skończonych w sensie metody rostych tzn., że ochodne rzestrzenne dyskretyzujemy metodą rostych, i dalej zwyczajne dyskretyzowane równania całkujemy metodami unge Kutta. Dyskretyzowane równanie () ze względu na rys. 1 określone jest zależnością: ϕι ωi G ϕi 1 ϕι + ϕι+ 1 ξ ωi 1 ωι + ωι+ + ρ ( Δx) ρ J ( Δx) 1, i 1,,..., 9. (8) ozwiązując razem wyrażenia (6) (8), otrzymano komlet równań oisujących część mechaniczną: d ( M Δx J G( ϕ ϕ ωi E 1 1 ( J ρδx + J ) ξ(ω ) Δx ω )), (9) dω i G ϕi ρ 1 ϕι + ϕι+ 1 ξ ωi 1 ωι + ωι 1 +, i ( Δx) ρ J ( Δx) +, 3,..., 89. (1) d ( M Δx + J G( ϕ ω9 O ( J ρδx + J ϕ ) + ξ(ω ) Δx ω )). (11)

4 7 Moment obciążenia oisano funkcję aroksymacyjną oisaną zależnością: M O,7ω + 7,4 1 ω + 1, ω (1) Połączenia modeli matematycznych odukładów elektrycznych i mechanicznych rozatrywanych owyżej rzedstawia komleksowy model analizowanego układu naędowego.. WYNIKI SYMULACJI KOMPUTEOWYCH Dla analizy elektromechanicznych rocesów rzejściowych wykorzystano nastęujący układ: silnik asynchroniczny rzez długi wał srężysto-dyssyacyjny obraca element wykonawczy o zadanej charakterystyce obciążenia. Silnik asynchroniczny o danych Р N 3 kw; U N 6 kv; І N 39 А; ω N 74 s 1, 4, J 49 kg m, S 1,7 Ω, 1,31 Ω, α S 38,9 H 1, α 3,7 H 1. Krzywa magnesowania silnika dana w ostaci: ψ m 1,4 arctg (,66i m ). Parametry długiego wału: G 8,1 1 1 N m, ρ 789 kg/m 3, d, m, L 4,4 m, ξ, N m s, Δx, m. J Σ kg m. Przyjęto dwa rzyadki obliczeniowe. W ierwszym oddano analizie rocesy rzejściowe naędu asynchronicznego odczas rozruchu. W drugim analizowano rocesy rzejściowe naędu odczas nawrotu. Na rysunkach i 3 okazano rzestrzenno-czasowy rozkład rędkości obrotowej węzłów dyskretyzacji srężystego wału w różnych zakresach czasu dla rozruchu i nawrotu. Wymienione rysunki okazują rędkości wszystkich unktów dyskretyzacji długiej srężystej linii wału x,m x,m 4. ys.. Przestrzenno-czasowy rozkład rędkości obrotowej węzłów dyskretyzacji srężystego wału w zakresie czasu t [;,6] s (a), t [4,8;,4] s (b) dla rozruchu Fig.. The distribution in sace and time of the rotational seed for discrete airs of the elastic shaft in time intervals t [;,6] s (a), t [4,8;,4] s (b) during starting the motor

5 t, s 4. x, m x,m ys. 3. Przestrzenno-czasowy rozkład rędkości obrotowej węzłów dyskretyzacji srężystego wału w zakresie czasu t [4,8;,4] s (a), t [1,; 1,8] s (b) dla nawrotu Fig. 3. The distribution in sace and time of the rotational seed for discrete airs of the elastic shaft in time intervals t [4,8;,4] s (a), t [1,; 1,8] s (b) during reversing the motor ysunki 4 i rzedstawiają rzebiegi czasowe rądu w uzwojeniu fazy A i momentów elektromagnetycznego i srężystości odczas rozruchu układu naędowego i racy nawrotnej. Widać tu istotny wływ fali srężystej na wielkość oscylacji rądu i momentu w węzłach analizowanego układu. 6 i SA,A 1 M E,kNm ys. 4. Przebiegi czasowe rądu i momentu elektromagnetycznego silnika dla rozruchu Fig. 4. The current and electromagnetic torque of the started motor versus time

6 9 i SA,A 3 M E,kNm ys.. Przebiegi czasowe rądu i momentu srężystości między węzłami nr 1 i nr dla nawrotu Fig.. The current and elastic moment between kinematic airs No. 1 and No. of reversed motor versus time 3. WNIOSKI Z wyników rzerowadzonych obliczeń można wyciągnąć nastęujące wnioski: modelowanie matematyczne i analiza rocesów rzejściowych w skomlikowanych układach elektromechanicznych, w których wystęują długie ołączenia srężyste należy rowadzić na odstawie równań o rozłożonych arametrach mechanicznych, ze względu na ich dokładność, rocesy oscylacyjne w części mechanicznej, które wystęują odczas rozruchu i nawrotu w istotnej mierze wływają na rocesy elektryczne w silniku naędowym, co otwierdza koncecję elektromechanicznego rzetwarzania energii. LITEATUA [1] CHABAN A., Modelowanie matematyczne rocesów oscylacyjnych systemów elektromechanicznych, (w języku ukraińskim), wydanie drugie, zmienione i uzuełnione, W-wo T. Soroki, Lwów 8. [] USEK A., CZABAN A., LIS M., Modelowanie matematyczne rocesów oscylacyjnych w linii wałów o arametrach rozłożonych, Technical News, 11/1(33), (34), [3] OTEGA., LOIA A., NICKLASSON P.J., SIA-AMIEZ H., Passivity-Beast Control of Euler-Lagrange Systems: Mechanical, Electrical and Electromechanical Alications, Sringer Verlag, London [4] TIMOSZENKO S., YOUNG D., WEAVE W., Drgania w srawie inżynierowej, (w języku rosyjskim), Maszynoznawstwo, Moskwa 198. [] ZIEMIŃSKI., Analiza drgań swobodnych ełnego układu dyskretno-ciągłego, Zesz. Nauk. A.G.H., 198, No. 77,

7 3 MATHEMATICAL MODEL AND ANALYSIS OF THE INDUCTION MOTO WITH A LONG ELASTIC ELEMENT CONSIDEING DISTIBUTED PAAMETES In the aer the analysis of the induction motor with a long elastic element is resented. The elastic element is considered as a system with distributed arameters. The differential equations of an electromechanical state are resented as the Cauchy s standard form. The results of comuter simulations are used in order to analyze the angular velocities of an asynchronous machine and various oints of the shaft lines as well as in order to analyze currents, starting torques and elastic moments occurring in the line of the drive shafts.