Równanie zachowania energii (równanie Bernoulliego)

Transkrypt

1 Moę rewiieć ruch ciał niebieskich ae ruchu kroi woy nie. Gaieo Gaiei Równanie achowania enerii (równanie Bernouieo) Prewiywanie achowania się ukłaów fiycnych awse arątało łowy naukowców. Aby można było ronoować rebie jawisk fiycnych najierw naeży umieć rawiłowo oisywać ich stan bieżący. Jeną iein, ie stosuje się ronoowanie achowań ukłau jest moeowanie numerycne ynamiki reływu woy. Zmierają one o symuowania reżimu reływu woy ore okreśenie arametrów takich jak naełnienie, ciśnienie, rękość reływu, natężenie reływu w każym unkcie w restreni i w owonym casie. Dięki rowojowi technik komuterowych możiwe stało się moeowanie numerycne w ukłaie jenowymiarowym (D), wu- i try-wymiarowym (D i 3D). Moee te różni stoień skomikowania oisu matematycneo rebieu jawiska, iość anych wejściowych, sosób wiuaiacji anych... Obecnie stosowane moee hyroinformatycne umożiwiają symuowanie ukłau wierciała woy w warunkach ustaoneo i nieustaoneo reływu woy, transortu rumowiska, meanrowanie koryt rek it. W obiceniach uwęnia się ruch sirany woy, mianę wartości sorstkości ołoża w casie rejścia fai owoiowej i wiee innych jawisk towarysących reływowi.... Są to skomikowane moee numerycne. Zanim roocniemy ryoę moeowaniem numerycnym reływu woy i bęiemy oowieiani a wyniki obiceń (cytaj: arabiać) musimy cofnąć się w casie o XVIII wieku, kiey Danie Bernoui (ur. 8 uteo 700 w Groninen, m. 7 marca 78 w Bayei) swajcarski matematyk i fiyk oał równanie ruchu stacjonarneo ciecy ieanej wane równaniem Bernouieo (738 rok). Równanie to ostało wyrowaone a ciecy ieanej. Preływ woy jest na tye skomikowanym aanieniem, że wyawało się niemożiwe jeo numerycne oisanie. Wrowaono, więc ojęcie ciecy ieanej. Ciec ieana jest wytworem wyobraźni ukiej: taka ciec nie ma ekości, jest nieściśiwa, ma jenakowa ęstość w całej swojej objętości, nie osiaa aniecysceń. Ciec ieaną o ciecy recywistej najbariej różni brak ekości. Pry ciśnieniach wystęujących w ryroie, n. woę można unać a ciec nieściśiwą, różnice ęstości w anej objętości woy też można unać a wiekość nienacącą, ae ominięcie ekości rowai o nieoności wyników obiceń wynikami omiarów a cęsto o araoksów. W nastęnych atach moyfikowano równanie wboacając je o cłon uwęniający wływ ekości ciecy na warunki jej reływu.. Wrowaenie Najrostsą ostacią aisu równania Bernouieo a ciecy ieanej w ruchu ustaonym jest: E = stała a stru ciecy () które onaca, że w ruchu ustaonym ciecy ieanej eneria E orusających się w strue cąstek łynu jest wartością stałą. Eneria ta jest sumą wiekości, których aeżność oisana jest worem:

2 E const () Jeżei równanie () omnożymy stronami re masę m, ęstość ub oieimy re ryśiesenie iemskie równanie to rekstałca cię o ostaci oowienio (3), () ub (5). Po omnożeniu stronami re masę m otrymujemy: m eneria kinetycna m raca sił ciśiśnieni ych m eneria otencjaa const (3) Pierwsy cłon w równaniu 3 wyraża enerię kinetycną, ostatni enerię otencjaną. Suma tych wóch eementów stanowi enerię mechanicną. Wyrażenie m/ jest to raca sił ciśnieniowych. Całość to równanie achowania enerii mechanicnej. W ryaku, y obie strony równania omnożymy re ęstość ośroka osceóne cłony równania rereentują ciśnienia: ynamicne, statycne i hyrostatycne, raem stanowią ciśnienie całkowite. ciśiśnieni e ynamicne ciśiśnien statycne ciśiśnien hyrostatycne const () Po oieeniu obu stron równania () re ryśiesenie iemskie koejne wyrażania w równaniu (5) onacają wysokości: rękości, ciśnienia i ołożenia. wysokośy ręrękoś wysokośy ciśiśnien wysokośy ołołożen const (5) Srawźmy jenostki: m ( s ) m m s s N 3 s m N m m, m, m N m m N Jenostką koejnych cłonów równania (5) jest [m], cyi łuość (wysokość). Z teo węu istnieje możiwość wykonania wykresu (Rys.), który bęie rereentował równanie Bernouieo (wykres Ancony). Jenoceśnie naeży anacy, że ta ostać równania Bernouieo jest najbariej cytenym aisem owaającym na sybką jeo interretacje i najuje serokie astosowanie Stosujemy je o obiceń arametrów reływu w rewoach amkniętych (reływ obywa się o ciśnieniem) jak i korytach otwartych (e swobonym ukłaem wierciała woy). W casie rowiąywania aań najcęściej korystamy równania Bernouieo w ostaci (5) wyrowaonym a wóch koejnych rekrojów orecnych. Da wybranej inii rąu ciecy ieanej eneria nie mienia się ani w restreni ani w casie, cyi w koejnych unktach eneria jest stała E =E =E 3 = E n. Ineksy onacają koejne rekroje. Da wóch wybranych rekrojów eneria jest stała: m 3 E =E (6)

3 Po ostawieniu woru (5) o równania (6) otrymujemy (6a) Rys.. Wykres inii ciśnień i inii enerii a ciecy ieanej Zasaę achowana enerii a ciecy ieanej restawiono raficnie na Rys.. Linia enerii a ciecy ieanej jest inią oiomą, onieważ E =E. Ręna inii enerii w każym unkcie inii rąu (osi rewou) aeży o wartości ręko ści w rekroju, ciśnienia ora ołożenia rekroju. Ze węu na mienną eometrię rekroju orecneo łynącej strui rękość reływu woy w rekroju - jest inna niż w rekroju -. Z warunków reływu wynika, że rękość w rekroju - jest więksa niż w rekroju - (mniejse oe owierchni rekroju strui więksa rękość reływu woy, więkse oe owierchni mniejsa rękość). Jenoceśnie: Zmiany rękości ociąają a sobą miany ciśnienia w osceónych rekrojach: Pomimo mian ołożenia rekrojów i, wartości rękości v i v ora ciśnień i suma enerii a ciecy ieanej w koejnych rekrojach jest niemienna. W równaniu (6a) wystęuje seść miennych: wie rękości v, wa ciśnienia i wie wysokości. W ceu reukcji ich iości wybiera się rekroje ora ryjmuje oiom orównawcy w charakterystycnych miejscach. Prykła objaśniający roceurę obiceniową restawiono oniżej.

4 Obicyć wartość natężenia reływu na wyocie rurociąu a schematu okaaneo na Rys. (ciec ieana) a nastęujących anych; h = 3,0 m, h =,5 m, =,0 m, = m, =,5 cm... Prykła Rys.. Schemat obiceniowy Wartość reływu Q [m 3 s - ] obicymy e woru: ie; v - rękość reływu woy [m s - ], F oe owierchni rekroju strui [m ]. Q F (7) Poe owierchni traktujemy jako wiekość o nanej wartości namy śrenicę rewou. Prękość reływu woy obicymy wykorystując równanie Bernouieo. W ceu jeo astosowania naeży ryjąć oiom orównawceo ora wybrać rekroje orecnych, w których bęiemy wykonywać obicenia. Prekroje orecne ryjmujemy awse rostoae o kierunku reływu strui (Rys. 3), w miejscach charakterystycnych, to nacy jeen w miejscu ie chcemy coś obicyć, koejny (oreni ub nastęny) w miejscu ie nane są jakiekowiek arametry. Lokaiacja rekrojów obiceniowych wływa na wynik obiceń, nie każa ara rekrojów rowai o rowiąania, w skrajnych ryakach moą ojawić się srecne wyniki. Poiom orównawcy jest to oioma łascyna. O łascyny tej icyć bęiemy ołożenie rekrojów. Pryjęcie oiomu orównawceo nie wływa na wynik obiceń, jeynie ma wływ na ich rebie (rostot ę ub stoień skomikowania). Rys.3. Prekroje orecne rostoałe o kierunku reływu Proceurę obiceniową wiąaną obiceniem rękości reływu (wykorystaniem równania Bernouieo) rerowaimy w nastęujących etaach:

5 Eta wybór rekrojów orecnych Obicenia rerowaimy a wóch wybranych rekrojów orecnych. Pierwsy nich ostanie okaiowany w miejscu, ie soiewamy się okreśić sukaną wartość, cyi rękość reływu (a nastęnie natężenie reływu). Miejscem tym jest wyot rurociąu rekrój 3-3. Pry wybore ruieo bęiemy kierować się ostęnością anych wyjściowych. Naeży amiętać, że w równaniu Bernouieo wystęuje seść niewiaomych. Reukcja ich iości jest, więc kucowym aanieniem. Wynika teo, że korystnie byłoby okaiować ten rekrój w miejscu ie ostęna jest informacja o stanie ukłau. Da naseo ukłay takim miejscem jest wierciało woy ciśnienie na jeo owierchni oowiaa ciśnieniu osferycnemu ora nane jest naełnienie. Prekrój ten onacymy 7-7 (bęie to rekrój ocątkowy). Rys.. Wybór rekrojów orecnych Eta ryjęcie oiomu orównawceo Poiom orównawcy jest oiomą łascyną oniesienia, służącą o okaiacji rekrojów. Jej usytuowanie nie wływa na wynik, każa sełni swoje aanie. Ae amiętając o otrebie reukcji niewiaomych w równaniu Bernouieo wskaane jest jej usytuowanie w miejscach charakterystycnych. Wariantowe ryjęcia oiomu orównawceo restawiono na Rys. 5 i b. a) b) Rys.5. Pryjęcia oiomu orównawceo, a) na owonej wysokości, b) w osi rewou, w rekroju 3-3 Z anaiy Rys. 5a wynika, że oełość 3 nie jest nana. Co rawa oełość ta reukowałaby się w równaniu Bernouieo, ae bęiemy stosować rowiąania najefektywniejse. Z teo węu rekomenowane jest ryjęcie oiomu orównawceo w osi rewou, w rekroju 3-3. Eta 3 osacowanie wartości miennych w równaniu Bernouieo, Da tak wybranych rekrojów i ryjęteo oiomu orównawceo (Rys. 5b) sacujemy wartości

6 osceónych arametrów wystęujących w równaniu. Parametr w równaniu Bernouieo jest to oełość rekroju o oiomu orównawceo (jeo śroka). Oełość omięy oiomem wierciała woy a oiomem orównawcym jest sumą oełości h +h, rekrój 3-3 okaiowany jest na rekroju 3 =0. Ciśnienie w rekroju 7-7 oowiaa ciśnieniu osferycnemu. Poobnie w rekroju 3-3 woa wyływając rurociąu wływa o restreni o ciśnieniu osferycnym. Prękość v 3 jest wartością sukaną niewiaomą, w rekroju 7-7 ma wartość ero. W krótkim casie iość woy, która wyłynie e biornika sowouje obniżenie wierciała woy o wartość nieauważaną, biską ero. W takich warunkach można ryjąć, że wierciało woy jest stałe a tym samym brak jest reływu woy (w warunkach reływu ustaoneo wierciało woy jest niemienne). Posumujmy: h h? Eta rowiąanie równania Bernouieo h h 3 h h 3 h ( h ) 0 (8) (8a) (8b) (8c) (3,5) 0,89 m s - 3 Natężenie reływu wyniesie, więc (7): 0,05 Q 3F 3 0,89 0,00036 m 3 s -.. Wnioski Natężenie reływu ry ałożeniu, że woa ma właściwości ciecy ieanej wynosi Q = 0,36 /s. Wniosek merytorycny: Prękość wyływu e biornika ostała oisana worem (8 c). Wynika nieo, że rękość reływu woy aeży o różnicy oiomów wierciała woy w biorniku i wyotu rewou ora rysiesenia iemskieo. Na wynik nie ma wływu ani łuość i śrenicy rewou, jeo ukstałtowania, sorstkości materiału, któreo jest wykonany, temeratury ciecy cy też UWAGA roaju ciecy. Wynika to faktu, że obicenia wykonano a ciecy ieanej, która

7 obawiona jest ekości. Soiewać się naeży, że wynik omiaru nacąco bęie różnił się o uyskanej wartości. W koejnym aaniu rerowaimy obicenia a ciecy recywistej. Wniosek raktycny: Natężenie reływu aeży o owierchni rekroju orecneo strui ora rękość reływu woy. Do obicenia wartości rękości wykorystaiśmy równanie Bernouieo. Proceura obiceniowa skłaa się nastęujących etaów:. wybór rekrojów obiceniowych,. ryjęcie oiomu orównawceo, 3. ryjęcie ałożeń,. rowiąanie równanie Bernouieo. 3.. Prykła Prękość reływu woy w korycie otwartym mierono ry omocy rurki Pitota. Różnica oiomów woy h=60 mm. Obicyć rękość reływu woy. Cy akrywioną rurką umiescą w strumieniu reływającej woy można okreśić rękość reływającej woy? Mierąc tyko siętrenie woy w ionowej cęści rurki? Oowieź jest twierąca recywiście tak rostym ryrąem można mieryć rękość reływającej woy. Wykorystamy w tym ceu równanie Bernouieo. Rys.6. Pomiar rękości reływu woy ry omocy rurki Pitota W ierwsej koejności wybieramy rekroje i ryjmujemy oiom orównawcy. Jeen rekrój usytuujemy na wocie o rurki w jej oiomej cęści rekrój -. Ciśnienie ynamicne ochoące o reływającej woy (atr równanie ) owouje oniesienie się wierciała woy w ionowej cęści rurki im więksa rękość reływu woy tym różnica oiomów woy h ma więkse wartości. Jenoceśnie wot o rurki oływany jest strumieniem woy. Ponieważ woa w rurce nie orusa się łatwo jest okreśić wartość ciśnienia w rekroju -. Prekrój ocątkowy ryjmiemy w owonym miejscu na wysokości wotu o rurki Pitota w takiej minimanej oełości aby uniknąć akłócenia reływu wywołaneo obecnością ryrąu omiaroweo. Poiom orównawcy ryjmiemy na wysokości wotu o rurki. Równanie Bernouieo a rekrojów - i - ma ostać: (9) Sacujemy wartości osceónych eementów:? 0 x 0 ( x h) 0

8 Po ostawieniu o równania (9) otrymujemy: x 0 0 ( x Dh) h h 0,06,85 m s - 0 (9a) (9b) (9b) 3.. Dyskusja Otrymany wynik jest rękością okaną, wystęującą w wybranej strue ciecy. Zmiana ałębienia końcówki rurki Pitota sowouje omiar a innej inii rąu. Po wykonaniu serii omiarów rękości o na o wierciała woy otrymuje się ionowy rokła rękości reływu woy. W ciecy ieanej, która obawiona jest ekości ojeynce warstwy reływającej ciecy resuwają się o sobie be tarcia. W takim ryaku rokła ionowy rękości restawiona na Rys. 7. W całym ionie rękość ma jenakową wartość. a) b) Rys.7. Rokła rękości reływu woy a ciecy: a) ieanej, b) recywistej Oory ruchu wywołane tarciem omięy cąsteckami ciecy ora omięy ciecą o ołożem owouje różnicowanie rękości reływu woy. Prowai to o wystęowania usacji reływu woy w ruchu turbuentnym. W ruchu turbuentnym wystęują try skłaowe rękości: v x, v y i v. Pomimo rostoty wykonania i astosowania rurka Pitota w omiarach aboratoryjnych ruchu turbuentneo nie naała serseo astosowania e węu na niestabiność oiomu wierciała woy (ocyt h obarcony użą nieewnością). Jej moyfikacja wrowaona re Pranta nie usunęła całkowicie tej nieooności. Rurka Pitota owoeniem służy o omiaru reływu aów.

9 .. Prykła 3 Wartość natężenia reływu można okreśić na ostawie mian eometrii swoboneo strumienia woy o wływem ryciąania iemskieo. Pryśiesenie iemskie srawia, że rękość wyływająceo strumienia rośnie w kierunku reływu. Rys.8. Schemat obiceniowy (fot. Arch.) Obicenie reływu Q = F ie: Q reływ [m 3 s - ], F oe owierchni [m ], v - rękość reływu [m s - ] Do obicenia rękości reływu wykorystamy równanie Bernouieo:. Pryjęcie rekrojów i oiomu orównawceo Rys.9. Schemat obiceniowy. Równanie Bernouieo a ciecy ieanej 0 Równanie woma niewiaomymi wsomaamy równaniem ciąłości strui Q = Q F F Q F F Obicamy rękość v.or

10 Stą, korystając równania ciąłości strui Q= v F (mnożymy obie strony równania re oe owierchni F ) F F Po rekstałceniu: Q Z owyżseo równania wynika, że wystarcy mieryć tyko try wiekości iniowe aby okreśić natężenie reływu Jenostką reływu jest [m 3. s - ]: sekuna ochoi ryśiesenia iemskieo... Dyskusja wyników Probemem w restawionej metoie jest okłaność omiaru śrenic ora. Można więksyć okłaność omiaru śrenic rutując strumień woy na aier miimetrowy i źróło światła. Rys.0. Zwięksenie okłaności ocytu śrenic ora Literatura: Orechowski Z., Prywer J., Zarycki R., 00, Mechanika łynów w inżynierii śroowiska, WNT, Warsawa Troskoański A.T., 969, Hyromechanika, WNT, Warsawa Błażejewski R., 99, 00 rostych ćwiceń woą i owietrem, Wy. Nauk.-Techn., Warsawa, Katera Inżynierii Wonej i Geotechniki, Wyiał Inżynierii Śroowiska i Geoeji Uniwersytet Ronicy w Krakowie rmksiae@cyf-kr.eu.