ZJAWISKO SYNCHRONIZACJI DRGAŃ I WZBUDZENIA ASYNCHRONICZNEGO W OSCYLATORZE LIENARDA

Transkrypt

1 JAN ŁUCZKO ZJAWISKO SYNCHRONIZACJI DRGAŃ I WZBUDZENIA ASYNCHRONICZNEGO W OSCYLATORZE LIENARDA SYNCHRONIZATION OF VIBRATION AND ASYNCHRONIC EXCITATION IN LIENARD S OSCILLATOR Streszczenie Abstract W niniejszym artykule zbadano wływ arametrów oscylatora Lienarda na charakter wzbudzanych drgań. Do wyznaczania zakresów drgań odharmonicznych i rawie okresowych zastosowano metody numerycznego całkowania skojarzone z metodami analizy widmowej. W celu wyjaśnienia zjawiska synchronizacji drgań i wzbudzenia asynchronicznego sorządzono również diagramy bifurkacyjne. Ruch układu zilustrowano na łaszczyznach fazowych. W rzyadku niejednoznacznych rozwiązań wyznaczono zbiory rzyciągania. Słowa kluczowe: drgania nieliniowe, drgania rawie okresowe, bifurkacje, synchronizacja drgań The aer has investigated the influence of the arameters of Lienard s oscillator on the character of the ecited vibrations. Methods of numerical integration combined with sectral analysis have been used to determine the regions of subharmonic and quasi-eriodic vibration regimes. Bifurcation diagrams have been used to elain the henomenon of vibration synchronization and that of the asynchronic ecitation of vibrations. The motion of the studied system has been illustrated in hase lanes. In the case of non-unique solutions an analysis has been erformed to determine the basins of attraction. Keywords: non-linear vibrations, quasi-eriodic vibrations, bifurcation, synchronization Dr hab. inż. Jan Łuczko, rof. PK, Instytut Mechaniki Stosowanej, Wydział Mechaniczny, Politechnika Krakowska.

2 9. Wstę Znaczna część układów samowzbudnych może być oisana równaniami tyu van der Pola, Rayleigha lub Lienarda, zawierającymi składnik nieliniowy, będący otęgową funkcją rzemieszczeń i rędkości. W ewnych secyficznych rzyadkach człon samowzbudny mogą oisywać bardziej złożone funkcje. Przykładem mogą być drgania samowzbudne wałów wywołane destabilizacyjnym wływem tłumienia wewnętrznego lub sił hydrodynamicznych w łożyskach. W układach rzeczywistych drgania samowzbudne rzadko zachodzą w czystej ostaci, niezakłóconej rzez działające na układ wymuszenia zewnętrzne lub arametryczne. Ograniczając się dalej tylko do wymuszeń harmonicznych, rozatrzymy równanie 6 & + k( α + β γ ) & + = cos t () oisujące drgania oscylatora Lienarda. W rzyadku = mamy układ autonomiczny. Podstawowym zadaniem jest tu wyznaczenie cyklu granicznego, czyli amlitudy i częstości drgań samowzbudnych. W układzie nieautonomicznym ( ) efektem wymuszeń okresowych są najczęściej drgania rawie okresowe [], chociaż w ewnych, najczęściej wąskich zakresach częstości i amlitud wymuszenia, można również zaobserwować drgania okresowe. Jest to znane od dawna zjawisko synchronizacji drgań [, ].. Cykle graniczne W zależności od wartości arametrów k, α, β i γ można zaobserwować różne schematy samowzbudzenia. Dla k < ołożenie równowagi jest niestabilne, rzy sełnionych dodatkowych warunkach nałożonych na arametry α, β i γ możemy mieć do czynienia z samowzbudzeniem miękkim. Przykładowo, dla β = γ = i α > (równanie van der Pola), niezależnie od warunków oczątkowych, wszystkie trajektorie dążą do jednego stabilnego cyklu granicznego (konfiguracja NS). Dla γ mogą wystęować jeden cykl (konfiguracja NS rysunek a)) lub dwa stabilne cykle graniczne (konfiguracja NSNS rys. b), c)) Rys.. Cykle graniczne (k =,, α =, γ = ): a) β = 5, b) β = 7, c) β = 9 Fig.. Limit cycles (k =,, α =, γ = ): a) β = 5, b) β = 7, c) β = 9

3 95 Drgania o większej amlitudzie, odowiadające drugiemu cyklowi granicznemu, mają często charakter drgań relaksacyjnych. Dla większych wartości β lub k rędkość nagle się zmienia od wysokiej wartości rawie do zera, co rzyomina stan uderzenia (rys. ). Z tego względu drgania relaksacyjne są czasami traktowane jako roces nieciągły. a) b) - t/π t/π 6 8 Rys.. Drgania relaksacyjne (k =,, α =, β = 9, γ = ): a) rzemieszczenie, b) rędkość Fig.. Relaing vibrations (k =,, α =, β = 9, γ = ): a) dislacement, b) velocity Zjawisko samowzbudzenia twardego można wykazać, zakładając w równaniu () k >. Wtedy ołożenie równowagi jest stabilne. Rozatrzmy dalej rzyadek β = i γ =. Wartości ujemne arametru γ niewiele wnoszą do rozważań, zaś dodatnie nie są wskazane ze względów numerycznych wtedy rozwiązanie równania () może być rozbieżne. Amlitudę cyklu granicznego można oszacować, wykorzystując metodę Galerkina. Po założeniu rozwiązania harmonicznego = acost otrzymuje się równanie a αa + 8 = () na amlitudy ustalonych drgań. Dla α > 8 równanie () ma dwa dodatnie ierwiastki, a więc można się sodziewać wystąienia dwóch cykli granicznych. Pierwszy, o mniejszej amlitudzie, jest niestabilny, a drugi o większej jest stabilny (SNS) Rys.. Cykle graniczne konfiguracja SNS (α =, β =, γ = ): a) k =,, b) k =,5, c) k = Fig.. Limit cycles configuration SNS (α =, β =, γ = ): a) k =,, b) k =,5, c) k = Drgania samowzbudne wystęują tylko rzy dostatecznie dużym zakłóceniu stanu równowagi, inaczej mówiąc otrzebny jest ewien imuls, aby rzekroczyć barierę niestatecznego cyklu. Przykładowo, dla α = otrzymuje się z równania () dla cyklu niestabilnego a =, a dla stabilnego a =. Na rysunku zostały okazane trajektorie na łaszczyźnie fazowej, otrzymane rzy założeniu warunków oczątkowych & ( ) = oraz

4 96 ( ) =, < lub ( ) =, >. Dla większych wartości arametru k obserwuje się drgania relaksacyjne (jak na rys. ).. Zjawisko synchronizacji drgań Zjawisko synchronizacji drgań było rawdoodobnie ierwszym sośród badanych zjawisk nieliniowych (Huygens). Można je zaobserwować m.in. w układach samowzbudnych z wymuszeniem harmonicznym. Efektem działania siły wymuszającej są drgania rawie okresowe, mające charakter dudnień. W miarę zbliżania się częstości wymuszenia do częstości drgań samowzbudnych częstość dudnień wzrasta, ale tylko do ewnej wartości różnicy tych częstości, nastęnie dudnienia znikają nagle drgania zachodzą z częstością wymuszenia. Wygląda to tak, jakby częstość drgań samowzbudnych została wciągnięta rzez częstość wymuszenia (zjawisko wciągnięcia częstości ). W celu leszego zrozumienia zjawiska synchronizacji drgań zbadajmy wływ arametrów α i β równania różniczkowego (). Ustalimy wartości arametrów k =, i γ =. Rozważymy rzyadek samowzbudzenia miękkiego. Na rysunku zilustrowano wływ częstości i amlitudy wymuszenia na charakter wzbudzanych drgań dla α = (konfiguracja NS) i trzech różnych wartości arametru β. Do analizy zastosowano metody numerycznego całkowania oraz analizy widmowej, a ocena charakteru drgań została rzerowadzona na odstawie kryteriów oisanych w racy []. Dla częstości wymuszenia bliskiej częstości drgań samowzbudnych ( ) okres drgań jest równy okresowi wymuszenia. Szerokość zakresu drgań T-okresowych zależy rawie liniowo od amlitudy siły wymuszającej. Dla większych częstości wystęują odobne obszary drgań okresowych, ale o większym okresie. Wyraźnie szersze są zakresy drgań o okresie będącym niearzystą wielokrotnością okresu wymuszenia. Wraz ze zwiększaniem wartości β rośnie liczba obszarów drgań okresowych. W ozostałych obszarach dominują drgania rawie okresowe, będące efektem złożenia drgań samowbudnych i wymuszonych. Dla mniejszych β (β < 5) obszary w zakresie wyższych częstości wyraźnie się zmniejszają i zjawisko synchronizacji zachodzi tylko w obliżu częstości drgań samowbudnych. T T T T T T T T T T T 6T nt(n>7) PO Rys.. Wływ i na charakter drgań (k =,, α =, γ = ): a) β = 5, b) β = 7, c) β = 9 Fig.. Influence of and on nature of vibrations (k =,, α =, γ = ): a) β = 5, b) β = 7, c) β = 9

5 T 97 Dla α = i β > 7 (rys. 5b), c)) wystęują dwa stabilne cykle graniczne (NSNS). Obszary synchronizacji mają teraz bardziej złożone kształty. Dla ustalonej wartości częstości synchronizacja zachodzi o rzekroczeniu rzez amlitudę wymuszenia ewnej wartości granicznej, jednak z dalszym zwiększaniem tej amlitudy zaczynają się znowu wzbudzać drgania rawie okresowe jest to wływ drugiego stabilnego cyklu. Doiero o rzekroczeniu kolejnej wartości granicznej mamy do czynienia z drganiami okresowymi. T T T T T T T T nt(n>5) PO Rys. 5. Wływ i na charakter drgań (k =,, α =, γ = ): a) β = 5, b) β = 7, c) β = 9 Fig. 5. Influence of and on nature of vibrations (k =,, α =, γ = ): a) β = 5, b) β = 7, c) β = 9 a) b). T T.5 T T. T T T T nt(n>5) PO Rys. 6. Fragmenty obszarów: a) rys. 5b), b) rys. 5c) Fig. 6. Fragments of the regions: a) Fig. 5b), b) Fig. 5c) Na rysunku 7 rzedstawiono diagram bifurkacyjny, odowiadający rzekrojowi rys. 5b) dla =. Widoczne są dwa zakresy synchronizacji, w których okres drgań jest równy okresowi wymuszenia. Dla częstości bliskich wartościom i również zachodzi synchronizacja drgań, rzy czym okres jest teraz, odowiednio, dwukrotnie ( krzywe) i trzykrotnie ( krzywe) większy od okresu wymuszenia. Dla częstości mniejszych od jedności w obliżu wartości /, /5 i / także obserwuje się w wąskich zakresach drgania T-okresowe. W ozostałych zakresach mamy do czynienia z drganiami rawie okresowymi.

6 98 (nt) - Rys. 7. Diagram bifurkacyjny wływ ( =, k =,, α =, β = 7, γ = ) Fig. 7. Bifurcation diagram influence of ( =, k =,, α =, β = 7, γ = ). Zjawisko wzbudzenia asynchronicznego W układach samowzbudnych można również zaobserwować zjawisko wzbudzenia asynchronicznego [], częściowo odobne do analizowanego w orzednim unkcie zjawiska synchronizacji drgań. Zachodzi ono w układach z samowzbudzeniem twardym albo w tzw. układach otencjalnie samowzbudnych, czyli w układach zawierających wrawdzie człon samowzbudny, ale niemających cyklu granicznego. Aby wykazać numerycznie zjawisko wzbudzenia asynchronicznego, rozatrzmy równanie () dla k >. Założymy γ = oraz β =. Rezultaty obliczeń numerycznych, uzyskane dla trzech stosunkowo dużych wartości arametru α (konfiguracja SNS), zostały rzedstawione na rys. 8. Dla małych wartości amlitudy wymuszenia drgania są okresowe, odwrotnie niż w układach z samowzbudzeniem miękkim (rys. 5). Doiero o rzekroczeniu rzez amlitudę ewnej granicznej wartości, zależnej od, wzbudzają się drgania samowzbudne. Rezultatem złożenia tych drgań z drganiami o częstości wymuszenia są drgania rawie okresowe. Z dalszym zwiększaniem amlitudy ujawnia się zjawisko synchronizacji. Porównując wyniki z okazanymi na rys. 5, można tu zauważyć analogie. Zakresy drgań okresowych o okresie będącym niearzystą wielokrotnością okresu wymuszenia są znacznie szersze od ozostałych zakresów drgań okresowych. T T T T T T T T T T T 6T nt(n>7) PO Rys. 8. Wływ i na charakter drgań (k =,, β =, γ = ): a) α = 8, b) α =, c) α = 6 Fig. 8. Influence of and q on nature of vibrations (k =,, β =, γ = ): a) α = 8, b) α =, c) α = 6

7 T T. T T T T T T 6T Rys. 9. Fragmenty rysunku 8a) Fig. 9. Fragments of icture 8a) nt(n>7) PO Na rysunku rzedstawiono wybrany wykres bifurkacyjny, odowiadający rzekrojowi obszaru (, ) dla α = 8 (rys. 8a)) oraz =. W szerokim zakresie arametru maksymalne wychylenia raktycznie nia zależą od częstości wymuszenia. W zakresach rozwiązań rawie okresowych mamy do czynienia z drganiami relaksacyjnymi świadczy o tym większe zagęszczenie unktów w obliżu wartości maksymalnych i minimalnych rzemieszczeń. W zakresach, w których obserwuje się układ ojedynczych linii, uwidacznia się zjawisko synchronizacji drgań. W układach samowzbudnych, w orównaniu z innymi układami nieliniowymi, rozwiązania w stanie ustalonym rzadko zależą od warunków oczątkowych. Przykładowo, analizując rozwiązania odowiadające kolejnym unktom diagramu (rys. ), można wykazać, że tylko w obliżu =, oraz =,8 istnieją dwa różne (choć nieco odobne) cykle graniczne. Dla =, cykle oisują drgania T-okresowe (rys. a), b)), natomiast dla =,8 oberwujemy drgania T-okresowe (rys. c), d)). Trajektorie fazowe otrzymano tu, startując z ołożenia zerowego () = z różnymi rędkościami. Zbiory warunków oczątkowych (baseny rzyciągania), zaewniających dojście do odowiedniego cyklu okazano na rys.. Dla znacznie mniejszych wartości arametru α układ autonomiczny (bez wymuszenia) ma tylko jeden stabilny cykl graniczny (konfiguracja SNS) lub w ogóle ich nie osiada (konfiguracja S). Ten ostatni rzyadek ma miejsce n. dla α =,7 (układ otencjalnie samowzbudny). 5 (nt) -5 Rys.. Diagram bifurkacyjny ( =, k =,, α = 8, β =, γ = ) Fig.. Bifurcation diagram ( =, k =,, α = 8, β =, γ = )

8 d) Rys.. Portrety fazowe: a) =,, & =, b) =,, & =, c) =,8, & =, d) =,8, & = Fig.. Phase ortraits: a) =,, & =, b) =,, & =, c) =,8, & =, d) =,8, & = Pomimo braku cyklu granicznego układ wykazuje cechy tyowe dla układu samowzbudnego. Cechy te ujawniają się jednak doiero w obecności zewnętrznego wymuszenia. Efektem są drgania rawie okresowe zauważalne na okazanym na rys. diagramie bifurkacyjnym. Analizując dokładniej diagram, można stwierdzić wystęowanie w zakresach drgań rawie okresowych wąskich zakresów drgań okresowych w obliżu częstości /5, / i / oraz jeszcze węższych w zakresie wyższych częstości, widocznych doiero na owiększonych fragmentach diagramu. a) b) Rys.. Zbiory rzyciągania ( =, k =,, α = 8, β =, γ = ): a) =,, b) =,8 Fig.. Basins hase ortraits ( =, k =,, α = 8, β =, γ = ): a) =,, b) =,8 ( nt ) -,,5, 5 Rys.. Diagram bifurkacyjny ( =, k =,, α =,7, β =, γ = ) Fig.. Bifurcation diagram ( =, k =,, α =,7, β =, γ = )

9 d),7, -, Rys.. Płaszczyzny fazowe: a) =,, b) =,, c) =,755, d) =,8 Fig.. Phase lanes: a) =,, b) =,, c) =,755, d) =,8 Przykładowo, dla =, okres drgań jest równy okresowi wymuszenia, jednak drgania te odbiegają znacznie od drgań harmonicznych, o czym świadczą złożone trajektorie fazowe (rys. 5a)). Dla =,755 drgania też są okresowe są to drgania odharmoniczne tyu : (rys. c)). Dwa ozostałe rzyadki okazane na rys. b) i d) ilustrują drgania rawie okresowe. Porówanie rysunków c) i d) okazuje, że bardzo mała zmiana wartości arametru może owodować zmianę charakteru drgań z tej też rzyczyny trudno jest czasami, analizując widmo sygnału, stwierdzić jednoznacznie, z jakim tyem drgań mamy do czynienia. 5. Podsumowanie W artykule wykazano, że w układach z samowzbudzeniem miękkim zachodzi zjawisko synchronizacji drgań, a w układach z samowzbudzeniem twardym zjawisko wzbudzenia asynchronicznego. Szerokości zakresów częstości, w których te zjawiska wystęują, rosną wraz ze wzrostem amlitudy wymuszenia. Szersze są zakresy, w których wzbudzają się drgania odharmoniczne niearzystego rzędu. W ozostałych zakresach dominują drgania rawie okresowe. Literatura [] H a y a s h i Ch., Drgania nieliniowe w układach fizycznych, WNT, Warszawa 968. [] Ł uczko J., Metody numeryczne wyznaczania zakresów drgań odharmonicznych i chaotycznych, Czasoismo Techniczne z. -M/6, Kraków 6, 9-6. [] Minorsky N., Drgania nieliniowe, PWN, Warszawa 967. [] Warmiń s k i J., Drgania regularne i chaotyczne układów arametryczno-samowzbudnych z idealnymi i nieidealnymi źródłami energii, Politechnika Lubelska, Lublin.