Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa

Transkrypt

1 Grzegorz Dzierżnowski Mrt Sitek Smouczek Metody Elementów Skończonych dl studentów Budownictw Część I Sttyk konstrukcji prętowych OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ WARSZAWA 2012

2 Preskrypt n prwch rêkopisu Copyright by Grzegorz Dzierżnowski i Mrt Sitek, Wrszw 2012 Utwór w cłości ni we frgmentch nie może być powielny ni rozpowszechniny z pomocą urządzeń elektronicznych, mechnicznych, kopiujących, ngrywjących i innych, w tym nie może być umieszczny ni rozpowszechniny w internecie bez pisemnej zgody posidcz prw utorskich ISBN Księgrni internetow Oficyny Wydwniczej PW tel.: , ; fx ; e-mil: oficyn@wpw.pw.edu.pl Oficyn Wydwnicz PW, ul. Poln 50, Wrszw. Wydnie I. Zmówienie nr 157/2012 Druk i oprw: Drukrni Oficyny Wydwniczej Politechniki Wrszwskiej, tel

3 Spis treści Wstęp... 5 Oznczeni NczympolegMetodElementówSkończonych? Równniliniowejsttykiwzpisiemcierzowym Dyskretnymodelobliczeniowy Pojęcie elementu skończonego. Aproksymcj przemieszczeń Agregcj elementów skończonych. Równnie równowgi konstrukcji PrzykłdzstosowniMES AlgorytmobliczeńMES Przykłddziłnilgorytmu Pytniizdnikontrolne Konstrukcjeprętowe Równnisttykiprętrmyprzestrzennej Równnirównowgiwwersjiprzemieszczeniowej Równniprętówsmukłychiprętówśredniejgrubości Elementyskończonewteoriiprętówsmukłych Elementrmyprzestrzennej Elementprętścisknego Elementbelki Elementrmypłskiej Elementrusztuowęzłchsztywnych Elementyskończonewteoriiprętówśredniejgrubości Dwuwęzłowyelementbelkowy Trójwęzłowyelementbelkowy Cłkownienumeryczne Pytniizdnikontrolne Przykłdy Konstrukcjezprętówsmukłych Krtownicpłsk... 60

4 Słupozmiennymprzekroju Belk Belk Łukprboliczny Rmpłsk Rmpłskzprętmikrtowymi Rusztowęzłchsztywnych Rmprzestrzenn Konstrukcjezprętówśredniejgrubości Belk Belk Łukprboliczny Zdnidosmodzielnegorozwiązni Bibliogrfi...105

5 Wstęp Konstrukcje inżynierskie poddne dziłniu obciążeń ulegją odksztłceniom, którym towrzyszą siły wewnętrzne. Jednym z zdń stwinych przed projektntem jest obliczenie tych wielkości i porównnie ich z wrtościmi dopuszczlnymi. W wielu przypdkch wiąże się to z koniecznością wielokrotnej nlizy sttycznej lub dynmicznej przy zmienijących się dnych początkowych. Rozmitość typów ustrojów budowlnych i teorii opisujących ich odpowiedź n zdne obciążenie wymg od inżynierów budownictw znjomości różnych metod obliczeniowych, których zstosownie często jest ogrniczone do jednego rodzju konstrukcji i wąskiej klsy obciążeń. Celowe wydje się więc poznnie i zrozumienie techniki obliczeniowej umożliwijącej efektywną nlizę wytrzymłościową ustroju budowlnego i obejmującej swoim zsięgiem prktycznie kżde zgdnienie inżynierskie. Jedną z tkich technik jest Metod Elementów Skończonych(MES). Progrmy komputerowe MES są njpopulrniejszymi obecnie nrzędzimi wspomgjącymi projektownie. Rozwiązni otrzymne z ich pomocą są w przewżjącej większości przybliżone, jednk są kceptowlne w zstosownich prktycznych. Potrzeb zstosowni MES, lub metody pokrewnej, jest szczególnie widoczn w obliczenich konstrukcji, których opis mtemtyczny jest dość skomplikowny, np. konstrukcji z wielu mteriłów, konstrukcji o złożonym ksztłcie, itp. Równni Metody Elementów Skończonych możn wyobrzić sobie jko zdni formułowne w języku lgebry liniowej. Co z tym idzie, nleży przyjąć, że wyrzmi w słowniku MES są mcierze i wektory symbolizujące cechy konstytutywne mteriłu, obciążeni konstrukcji orz stowrzyszone z nimi przemieszczeni, nprężeni i odksztłceni. Istotną cechą tych wyrzów i zdń jest ich uniwerslność, co z kolei stwrz możliwość zstosowni w opisie zchowni dowolnej konstrukcji budowlnej.

6 6 Inżynierowie-projektnci korzystją z szerokiej gmy oprogrmowni MES. Nie byłoby ztem celowe omwinie funkcjonlności wybrnego systemu obliczeniowego, poniewż to zdnie powinien wypełnić dołączny zwykle do progrmu podręcznik użytkownik. W złożeniu utorów, niniejsze oprcownie m pomóc Czytelnikowi w zrozumieniu idei leżącej u podstw modelowni skończenieelementowego, smodzielnej implementcji lgorytmu MES w dowolnym środowisku progrmistycznym, tkże interpretcji wyników obliczeń dostrcznych przez progrm komputerowy. Tekst jest skierowny przede wszystkim do studentów Budownictw. Zkres omwinego w skrypcie mteriłu jest ogrniczony do njwżniejszych pojęć z zkresu MES i odpowid progrmowi 45-godzinnego kursu Mechnik Konstrukcji 3 prowdzonego n 2. semestrze studiów II stopni n Wydzile Inżynierii Lądowej Politechniki Wrszwskiej dl studentów specjlności Inżynieri produkcji budowlnej. Autorzy mją jednk ndzieję, że treści zwrte w oprcowniu będą przydtne studentom innych przedmiotów, specjlności lub kierunków studiów. Skrypt skłd się z dwóch części. Część I poświęcon jest wprowdzeniu idei MES, jko nrzędzi służącego do otrzymywni rozwiązń przybliżonych. Szczegółowo omwi się w niej elementy skończone stosowne przy modelowniu konstrukcji prętowych smukłych i średniej grubości w populrnych progrmch komercyjnych. Część II dotyczy zstosowni MES w odniesieniu do zgdnień sttyki konstrukcji dwuwymirowych(trcz i płyt) orz rozszerz rozwżni o niektóre, istotne z inżynierskiego punktu widzeni zdni modelowni skończenieelementowego. Tki podził omwinego mteriłu jest uzsdniony kolejnością wykłdów z zkresu Mechniki Konstrukcji w progrmie studiów n kierunku Budownictwo. Elementrn teori deformcji prętów jest omwin n studich I stopni(inżynierskich). Co z tym idzie, równni tej teorii są nturlną podstwą, n której możn oprzeć rozwżni dotyczące przybliżonych metod obliczeniowych, w szczególności Metody Elementów Skończonych. Rozumienie zgdnień teorii konstrukcji powierzchniowych ujętych w progrmie studiów II stopni(mgisterskich) ułtwi Czytelnikowi śledzenie mteriłu drugiej części skryptu. Ukłd części I jest nstępujący: rozdził 1 poświęcono omówieniu idei Metody Elementów Skończonych, przy czym mtemtyczn ścisłość wywodu nie jest tu njistotniejsz. Wprowdzjąc pojęci z zkresu MES, utorzy odwołują się do znnych Czytelnikowi formuł, strjąc się jednocześnie ujednolicić ich zpis korzystjąc z język lgebry mcierzy. W rozdzile 2 przypomnine są równni sttyki pręt rmy przestrzennej w teorii prętów smukłych i średniej grubości. N tej podstwie omówione

7 Wstęp 7 są typowe elementy skończone dostępne w bibliotekch komercyjnych systemów MES. N końcu obu rozdziłów zmieszczony jest zestw pytń i zdń kontrolnych wrz z odpowiedzimi. Rozdził 3 zwier przykłdy zstosowni MES w nlizie sttycznej ukłdów prętowych smukłych i średniej grubości, zś w rozdzile 4 zmieszczono zdni przeznczone do smodzielnego rozwiązni przez Czytelnik. Spis litertury obejmuje jedynie pozycje wydne w języku polskim. Zdniem utorów tki wybór jest uzsdniony, poniewż zbiór lektur w początkowym okresie studiów nd dowolnym zgdnieniem powinien zwierć teksty nie stwrzjące dodtkowych trudności językowych. N stronie internetowej Zkłdu Mechniki Budowli i Zstosowń Informtyki Politechniki Wrszwskiej, pod dresem index.php/mterily-pomocnicze/mk3-ipb.html dostępne są procedury MAPLE ilustrujące niektóre zdni rozwiązne w skrypcie. Przy oprcowniu mteriłu przyjęto złożenie, że Czytelnik I części skryptu zn pojęci wykłdne w rmch przedmiotów progrmu studiów I stopni n kierunku Budownictwo. W szczególności zkłd się, że posługuje się on progrmem symbolicznych obliczeń mtemtycznych w zkresie lgebry mcierzy orz umie formułowć i rozwiązywć zgdnieni omwine n przedmiotch Wytrzymłość Mteriłów i Mechnik Konstrukcji. W smodzielnej numerycznej implementcji lgorytmu MES pomocn będzie również znjomość podstw progrmowni wyniesion z zjęć Informtyki. Teoretyczną podstwę części II stnowią pojęci i metody obliczeniowe teorii konstrukcji powierzchniowych wykłdne n 1. semestrze studiów II stopni w rmch przedmiotu Teori Sprężystości. Znjomość wymienionych wyżej zgdnień pozwoli n oprcownie włsnych procedur obliczeniowych i porównnie rozwiązń otrzymnych metodmi komputerowymi z rozwiąznimi nlitycznymi, co w opinii utorów jest brdzo istotnym elementem w zrozumieniu mteriłu zwrtego w kżdym kursie MES.

8 Oznczeni Metod Elementów Skończonych(MES) operuje oznczenimi symbolizującymi wektory i mcierze. Mogą być one odniesione do cłej konstrukcji (wektory i mcierze globlne) lub do pojedynczego elementu skończonego (wektory i mcierze loklne). Konieczne jest ztem ustlenie znczników służących jednozncznemu rozpoznniu i przyporządkowniu wielkości lgebricznych. Poniżej nkreślone zostły jedynie ogólne zsdy znkowni stosowne w tekście. Znczenie poszczególnych symboli wektorów i mcierzy są objśnione w dlszej części skryptu, przy okzji omwini kolejnych zgdnień formułownych w języku MES. N początkowym etpie progrmowni MES pomocne będą również rysunki ilustrujące podził konstrukcji n elementy skończone, orientcję loklnych ukłdów współrzędnych względem ukłdu globlnego, czy różnice w globlnej i loklnej numercji węzłów. Wektory i mcierze globlne Opis wielkości lgebricznych o zsięgu globlnym, bądź wspólnych dl wszystkich elementów konstrukcji, nie wymg dodtkowego zncznik. Wektory i mcierze loklne odniesione do węzłów Przyjęto konwencję znkowni wektorów i mcierzy o zsięgu loklnym z pomocą dolnych indeksów oddzielonych przecinkmi. Ustlenie zsięgu wymg podni w indeksie dolnym numeru elementu e orz numeru węzł w obszrze elementu j. Indeks e, j nleży ztem czytć nstępująco:

9 Oznczeni 9 węzeł o loklnym numerze j w elemencie o numerze e. N przykłd: q 10 wektorprzemieszczeńelementuonumerze10, q 10,2 wektorprzemieszczeńwęzłoloklnymnumerze2, w elemencie o numerze 10, Q 0 10,2 wektorzstępczychsiłwęzłowychwloklnymwęźlenr2 w elemencie o numerze 10, K 10 mcierzsztywnościelementuonumerze10. Wektory loklne odniesione do punktów pozwęzłowych Niektóre używne w tekście symbole lgebriczne odnoszą się do punktów pozwęzłowych, np. środk elementu, bądź punktu cłkowni. W tym przypdku obowiązuje system indeksowni identyczny do objśnionego powyżej, przy czym loklny numer węzł zstępuje się loklnym numerem punktu pozwęzłowego.

10 Rozdził 1 N czym poleg Metod Elementów Skończonych? 1.1. Równni liniowej sttyki w zpisie mcierzowym Mterił omówiony w tej części skryptu obejmuje zdni sttyczne. Zgdnieni związne z zstosowniem MES w przypdkch obciążeń geometrycznych bądź termicznych są poruszne w części II. Niech Ω ozncz obszr konstrukcji, p wektor obciążeń, u wektor przemieszczeń, ε wektor odksztłceń, zś σ wektor nprężeń lub sił wewnętrznych. Pondto, niech wektor q określ wrtości nrzucone n skłdowewektorunbrzeguobszruω,ozncznegosymbolemγ.wtym sensie, o przemieszczenich mówi się, że są kinemtycznie dopuszczlne. Znczenie występujących w języku MES wielkości wektorowych i mcierzowych wynik z teorii opisującej rozwżne zgdnienie inżynierskie. Przykłdowo, w teorii belek smukłych przyjmuje się p(x)=[q(x)], u(x)=[w(x)], ε(x)=[κ(x)], σ(x)=[m(x)], (1.1)

11 1.1. Równni liniowej sttyki w zpisie mcierzowym 11 gdziex Ωjestwspółrzędnąmierzonąwzdłużosiprętów.Wteoriitrczw płskim stnie nprężeni te sme wektory przybierją postć p(x,y)=[p x (x,y),p y (x,y)] T, u(x,y)=[u(x,y),v(x,y)] T, ε(x,y)=[ε x (x,y),ε y (x,y),γ xy (x,y)] T, σ(x,y)=[n x (x,y),n y (x,y),n xy (x,y)] T, (1.2) przy czym(x, y) Ω są współrzędnymi dowolnego punktu trczy. Oznczeni stosowne w wyrżenich(1.1),(1.2) powinny być Czytelnikowi znne z kursów Wytrzymłości Mteriłów i Mechniki Konstrukcji. Skłdowe wektorów p, u, ε, σ łączą nstępujące ogólne związki liniowej sttyki: związek geometryczny ε=du, (1.3) gdzie D jest włściwą dl rozptrywnej teorii mcierzą opertorów różniczkowych; związek konstytutywny σ=eε, (1.4) gdzie E jest mcierzą cech mteriłowych(mcierzą konstytutywną), orz wrunek równowgi(zpisny w formie równni prc wirtulnych) Ω ū T pdx+ q T Qds= ε T σdx, (1.5) Γ Ω gdzie ū, ε są wektormi przemieszczeń i odksztłceń wirtulnych związnymi równniem(1.3), q jest wektorem wrtości brzegowych funkcji wirtulnych przemieszczeń, zś Q wektorem sił brzegowych. Równnie (1.5) odnosi się do początkowej(nieodksztłconej) konfigurcji Ω, co jest uzsdnione złożeniem o niezbyt dużych przemieszczenich konstrukcji w porównniu z jej wymirmi. Uzupełnijąc opis równń(1.3),(1.4) wrto przypomnieć, że mcierze D orz E przybierją postci D= [ ] d2 dx 2, E=[EJ], (1.6)

12 12 1. N czym poleg Metod Elementów Skończonych? w teorii belek smukłych, orz 0 dx 1 ν 0 D= 0, E= Eh y 1 ν 2 ν ν y x, (1.7) w teorii trcz izotropowych prcujących w płskim stnie nprężeni(psn). Występujące w wyrżeniu(1.5) wielkości określone przymiotnikiem wirtulny nleży rozumieć jko teoretycznie możliwy, bądź mogący zistnieć. Wektory ū, q orz ε są ztem niezleżne od rzeczywistego obciążeni p i mogą być dobierne dowolnie w rmch ogrniczeń nłożonych przez związek geometryczny(1.3) orz wymóg zgodności przemieszczeń z wrunkmi brzegowymi. Wynik stąd, że kinemtycznie dopuszczlne przemieszczeni i stowrzyszone z nimi odksztłceni mogą być trktowne jko wielkości zmienne w równniu prc wirtulnych, zś obciążeni i wynikjące z nich nprężeni jko wielkości ustlone. Jeżeli ztem równnie(1.5) mbyćspełnionezwsze,czylidldowolnychū, qorz ε,toskłdowep,q orz σ muszą być ze sobą sprzężone dodtkową zleżnością, tzw. wrunkiem sttycznej dopuszczlności sił wewnętrznych. Przybier on postć ukłdu równń różniczkowych, nzywnych loklnymi równnimi równowgi. Ich jednoznczne rozwiąznie jest możliwe jeżeli spełnione są dodtkowo wrunki brzegowe nrzucone n skłdowe wektor σ. Ozncz to, że określenie sttycznie dopuszczlnych sił wewnętrznych n podstwie loklnych równń równowgi jest równowżne zgdnieniu wyznczeni cłki szczególnej niejednorodnego równni różniczkowego. W teorii belek smukłych, loklne równnie równowgi zpisuje się jko zśwteoriitrczpsn d 2 dx2m+q=0, (1.8) x N x+ y N xy+p x =0, x N xy+ y N y+p y =0. (1.9) Wrunek sttycznej dopuszczlności sił wewnętrznych w konstrukcjch prętowych jest szczegółowo omówiony w rozdz. 2. Zgdnieni trczowe są omwine w II części skryptu.

13 1.2. Dyskretny model obliczeniowy 13 Uwzględnienie związków(1.3),(1.4) w wyrżenich(1.8),(1.9) pozwl z kolei n otrzymnie formuł różniczkowych, w których niewidomymi są skłdowe wektor przemieszczeń u. N przykłd, równnie opisujące funkcję ugięci smukłej belki zginnej przybier postć d 4 dx 4w q EJ =0, (1.10) zś związki określjące funkcje przemieszczeń trczy izotropowej w płskim stnie nprężeni zpisuje się jko [ Eh 1 ν 2 x Eh 1 ν 2 ( u x +ν v y [ 1 ν 2 x ( u y + v x ) + 1 ν 2 ) + y ( u y y + v x ( ν u x + v y )] +p x =0, )] +p y =0. (1.11) 1.2. Dyskretny model obliczeniowy Pojęcie elementu skończonego. Aproksymcj przemieszczeń Znlezienie rozwiązni loklnych równń równowgi w kżdym punkcie leżącym w obszrze konstrukcji jest możliwe jedynie w nielicznych przypdkch. Co z tym idzie, ścisł nliz ukłdu kontynulnego Ω jest w ogólności niemożliw w rmch przyjętych złożeń i wymg uproszczeni. W tym rozdzile opisny jest sposób przybliżonego określeni funkcji w w równniu(1.10) orz u, v w równnich(1.11) z pomocą njpopulrniejszej, przemieszczeniowej wersji Metody Elementów Skończonych. Stosownie MES wymg zdefiniowni skończonej liczby niezleżnych prmetrów(tzw. kinemtycznych stopni swobody) określjących przemieszczeni wybrnych punktów konstrukcji(tzw. węzłów). Połączenie węzłów linimi wprowdz podził kontinuum n frgmenty(tzw. elementy skończone), któredośćdobrzewypełnijącłyobszrω(por.rys.1.1),przyczymksztłti wymiry elementów nie muszą być jednkowe. Punkty węzłowe mogą również występowć w obszrze elementu skończonego, lecz oddziływni między elementmi sąsidującymi są możliwe jedynie w węzłch wspólnych. Obciążeni i wrunki brzegowe przemieszczeń możn definiowć tkże tylko wwęzłch.

14 14 1. N czym poleg Metod Elementów Skończonych? ) b) c) Rysunek 1.1. ) belk podzielon n elementy skończone, b) trcz PSN przed podziłem n elementy skończone, c) trcz z rys. b) podzielon n elementy skończone. Kropkmi oznczono wybrne w obszrze konstrukcji punkty węzłowe. Nietrudno stwierdzić, że podstwowym w rozumieniu MES, njmniejszym frgmentem dyskretnego modelu konstrukcji jest element o skończonych wymirch. Dl porównni wrto przypomnieć, że w klsycznym ujęciu kontynulnym znnym z teorii sprężystości, z njmniejszy frgment przyjmuje się cząstkę o wymirch nieskończenie młych. Wrunki równowgi dyskretnego modelu obliczeniowego zpisuje się w postci ukłdu równń lgebricznych ze skończoną liczbą niewidomych. Rozwiąznie ukłdu jest równowżne obliczeniu przemieszczeń stowrzyszonych ze stopnimi swobody konstrukcji, więc ogrnicz się do wyznczeni przybliżonych wrtości funkcji przemieszczeń w wybrnych n wstępie punktch węzłowych. N podstwie powyższego, dość lpidrnego opisu idei MES możn wnioskowć, że gęstość sitki wezłów, ich rozmieszczenie w obszrze Ω orz liczb stopni swobody są istotnymi czynnikmi wpływjącymi n dokłdność rozwiązni przybliżonego. Tk jest w istocie, współcześnie stosowne progrmy komputerowe bzujące n MES i moc mszyn obliczeniowych pozwlją n rozwiązywnie ukłdów równń lgebricznych z liczbą niewidomych sięgjącą kilkudziesięciu milionów. Poprwny dobór funkcji proksymcyjnych(tj. opisujących przemieszczeni konstrukcji w sposób przybliżony) jest jednym z njistotniejszych zgdnieńwteoriimes.polegononokreśleniuwektorówu e wobszrze kżdego elementu skończonego, nstępnie n sklejeniu skłdowych tych

15 1.2. Dyskretny model obliczeniowy 15 wektorów wzdłuż krwędzi łączących elementy sąsidujące. Funkcje proksymujące przybierją zwykle postć wielominu, którego stopień zleżny jest odwymiruwektorbrzegowychwrtościprzemieszczeńq e.nprzykłd, w teorii krtownic funkcje proksymcyjne są wielominmi stopni 1, zś w teorii rm z prętów smukłych stopień wielominu jest równy 3. Kwesti t jest szczegółowo omówion w rozdz. 2. Niechn e oznczliczbęelementówskończonychwprzyjętejdyskretyzcji kontinuum,ω,ω e obszrkonstrukcjiiobszre-tegoelementuskończonego,u h wektorprzybliżonychprzemieszczeńω,u e wektorprzybliżonych przemieszczeńelementuskończonegoonumerzee,gdziee=1,...,n e,zś q e wektorprzemieszczeńjegowęzłów,nzywnywteoriimeswektorem stopni swobody elementu, bądź wektorem loklnych stopni swobody. PrzemieszczenidowolnegopunktuwewnątrzΩ e określsiępostulującmcierz funkcjiproksymcyjnych(mcierzfunkcjiksztłtu)n e wwyrżeniu u e (x)= { Ne (x)q e x Ω e, 0 x Ω\Ω e. (1.12) Coztymidzie,u h przybierwobszrzeωpostć n e u h = u e. (1.13) e=1 Równnie równowgi(1.5) odniesione do pojedynczego(e-tego) elementu skończonego zpisuje się jko q T e ( ) Q e +Q 0 e = Ω e ε T e σ edx, (1.14) przy czym zgodnie z ideą MES, cłkę po brzegu Γ zstąpiono iloczynem sklrnym wektorów przemieszczeń i sił węzłowych Symbolem Γ e q T eq e ds q T eq e. (1.15) Q 0 e= N T ep e dx (1.16) Ω e oznczono wektor zstępczych obciążeń węzłowych elementu o numerze e. ZrozumienieróżnicymiędzywektormiQ 0 eiq e niepowinnosprwićkłopotu.skłdoweq 0 e sąekwiwlentemobciążenidziłjącegowobszrzeω e,

16 16 1. N czym poleg Metod Elementów Skończonych? ntomistq e msensfizycznywektorrekcjiwwęzłchłączącyche-ty element skończony z elementmi sąsiednimi. Korzystjąc z(1.3),(1.4) orz(1.12), wyrżenie(1.14) możn przeksztłcić do postci [( ) ] q T e Q e= q T e B T e E eb e dx q e Q 0 e, (1.17) Ω e gdzie B e =DN e (1.18) jest mcierzą, której skłdowymi są pochodne funkcji ksztłtu, zś K e = B T e E eb e dx (1.19) Ω e ozncz mcierz sztywności elementu skończonego. Równnie(1.17)musibyćspełnionedldowolnegowektor q e,ztem, po wykorzystniu(1.18) w związkch(1.3) orz(1.4) otrzymuje się formuły ε e =B e q e, σ e =E e B e q e, Q e =K e q e Q 0 e, (1.20) stnowiącekompletrównńliniowejsttykidowolniewybrnegoobszruω e zjmownego przez element skończony o numerze e. Nietrudnozuwżyć,żeskłdowemcierzysztywnościK e sązleżne od przyjętej do opisu przemieszczeń wewnątrz e-tego elementu skończonegomcierzyfunkcjiksztłtun e.jejskłdowepostulujesięniezleżnie od loklnych równń równowgi w postci przemieszczeniowej, por.(1.10) orz(1.11). Mimo to, w nielicznych przypdkch możn wykzć, że funkcje ksztłtu spełniją te równni w sposób ścisły przy złożeniu, że obciążenie dziłjące w obszrze elementu skończonego jest zerowe, tzn. p = 0. Skłdowe wektorów odksztłceni i sił wewnętrznych wewnątrz elementu skończonego nie muszą być wyznczone dokłdnie pomimo przyjęci ścisłych funkcji ksztłtu w opisie przemieszczeń pręt. Wynik to z zstąpieni obciążenirzeczywistegopdziłjącegowobszrzeω e sttycznierównowżnym wektoremobciążeńwęzłowychq 0 e. Teori proksymcji w ścisłym, mtemtycznym ujęciu operuje pojęciem podprzestrzeniv h V,gdzieVjestprzestrzeniąwszystkichkinemtycznie dopuszczlnychpólprzemieszczeń,zśv h jejskończeniewymirowąpodprzestrzenią, której elementmi są funkcje postci(1.13). Pożądną cechą

17 1.2. Dyskretny model obliczeniowy 17 rozwiązni przybliżonego, otrzymnego n podstwie nlizy MES, jest zbieżność do rozwiązni ścisłego przy zgęszczeniu sitki podziłu obszru ΩnpodobszryΩ e.żądnietomożnwyrzićwpostciu h uprzy h 0,gdziehjesttypowymwymiremobszruΩ e przypodzileregulrnym. Osiągnięcie tk postwionego celu jest możliwe dzięki zstosowniu w dyskretyzcji Ω tzw. elementów dostosownych, których funkcje ksztłtu spełniją nstępujące kryteri: ) ciągłości przemieszczeń w obszrze elementów i odpowiedniej klsy ich zgodności n brzegch(kryterium zgodności), b) zerowni się odksztłceń stowrzyszonych z przemieszczenimi odpowidjącymi ruchom sztywnym elementów(kryterium ruchu sztywnego), c) obecności skłdników odpowidjących z stłe odksztłceni. W dlszej części prcy omwine będą elementy skończone dostępne w bibliotekch populrnych progrmów inżynierskich. Pełne sprwdzenie kryteriów dostosowni wykrcz jednk poz rmy tego skryptu. Zinteresowni Czytelnicy powinni sięgnąć do brdziej zwnsownych pozycji litertury Agregcj elementów skończonych. Równnie równowgi konstrukcji Opis większości zgdnień mechniki w ujęciu MES wymg określeni wspólnego dl cłej konstrukcji, globlnego ukłdu współrzędnych(x, Y, Z) orzzwiąznychzelementmiskończonymiukłdówloklnych(x e,y e,z e ), e=1,...,n e,por.rys.1.2. Wprowdzonewpoprzednimrozdzilewielkości:q e wektorloklnych stopni swobody(przemieszczeń węzłów elementu skończonego o numerze e), Q 0 e wektorloklnychzstępczychobciążeńwęzłowych,q e wektorloklnychsił(rekcji)węzłowychorzk e mcierzsztywnościelementuskończonego określ się w ukłdzie loklnym elementu o numerze e, poniewż są wielkościmi uwzględnijącymi indywidulne cechy dnego frgmentu konstrukcji. Ukłd globlny jest ntomist środowiskiem, w którym definiuje się: r wektor globlnych stopni swobody(przemieszczeń wszystkich węzłów konstrukcji),r 0 wektorzstępczychobciążeńwęzłowychzebrnychzelementów skończonych uzupełnionych o obciążeni zdefiniowne bezpośrednio w ukłdziegloblnym(wektorr 00 ),R wektorrekcjiwięzówzewnętrznych orz K globlną mcierz sztywności(mcierz sztywności konstrukcji).

18 18 1. N czym poleg Metod Elementów Skończonych? Pondto, w ukłdzie globlnym określ się więzy nrzucone n przemieszczeni węzłów, tkże formułuje i rozwiązuje równnie równowgi konstrukcji. Skłdowe wektorów i mcierzy występujących w opisie MES zmieniją wrtości wrz ze zminą ukłdu odniesieni. Poprwn reprezentcj tych wielkości lgebricznych w różnych ukłdch wymg ztem określeni wspólnej dl kżdego elementu skończonego reguły trnsformcji. Pociąg to z sobą konieczność wyznczeni dl kżdego elementu skończonego pewnej pomocniczej mcierzy tzw. mcierzy trnsformcji. Niechv=[v 1 v 2 v 3 ] T oznczwektor,któregoskłdowesąokreślonew ukłdzie globlnym(x, Y, Z). Reprezentcję tego wektor w ukłdzie loklnym(x e,y e,z e )związnymzelementemskończonymonumerzeewyzncz się według schemtu (X,Y,Z) (x e,y e,z e ), v c e v, (1.21) gdziec e jestmcierząkosinusówkierunkowychoskłdowych cos(x,x e ) cos(y,x e ) cos(z,x e ) c e = cos(x,y e ) cos(y,y e ) cos(z,y e ), (1.22) cos(x,z e ) cos(y,z e ) cos(z,z e ) przy czym cos(, ) ozncz kosinus kąt między osią ukłdu globlnego i osią ukłdu loklnego. x 2 z 2 y 2 y 3 z 3 x 3 Z x 1 z 1 Y y 1 X Rysunek1.2.Globlnyukłdwspółrzędnych(X,Y,Z)iukłdyloklne(x e,y e,z e ), e=1,2,3,wprętchrmyprzestrzennej.

19 1.2. Dyskretny model obliczeniowy 19 Skłdowemcierzykosinusówkierunkowychc e wykorzystujesięprzy określniumcierzytrnsformcjic e,jednkjejpostćniejestuniwersln. Zleży on od typu stopni swobody włściwych dl rozptrywnego zgdnieniorzliczbywęzłówwelemencieskończonym.mcierzc e nleży ztem ustlć osobno dl elementu kżdego rodzju. Algorytm MES przewiduje również określenie dl kżdego elementu skończonego w modelu obliczeniowym tzw. mcierzy lokcji ozncznej symbolema e.wynikiemjejdziłnijestkorelcjloklnychstopniswobody, włściwych dl dnego elementu skończonego, ze stopnimi swobody zdefiniownymi globlnie dl cłej konstrukcji. Ogromn większość skłdowych mcierzy lokcji przybier wrtości zerowe, pozostłe(nieliczne) są równe 1. Obiekty o tkiej budowie noszą nzwę mcierzy rzdkich. Specjlne techniki przechowywni dnych orz nowoczesne lgorytmy numeryczne pozwlją n znczne zmniejszenie obszru pmięci opercyjnej potrzebnej do zpmiętni i wykonni opercji n mcierzch rzdkich orz, co z tym idzie, przyspieszenie dziłni progrmów obliczeń inżynierskich. Nleży więc stwierdzić, że stosownie w lgorytmie MES jednkowych metod numerycznych w odniesieniu do mcierzy gęstych i rzdkich nie jest dobrym zwyczjem progrmistycznym. Jednk, zdniem utorów, znjomość technik przyspieszjących dziłnie procedur obliczeniowych nie jest konieczn n początkowym etpie studiów w zkresie MES. Szczegółowe omówienie problemtyki mcierzy rzdkich wykrcz zncznie poz rmy podstwowego kursu Metody Elementów Skończonych. Czytelnicy zinteresowni tym zgdnieniem powinni sięgnąć do pozycji litertury z zkresu metod numerycznych lgebry liniowej. Przyjmując,żemcierzeC e orza e sąznne,możnwyznczyćgloblny wektor zstępczych obciążeń węzłowych orz globlną mcierz sztywności konstrukcji według wzorów n e R 0 = A T e CT e Q0 e +R00, K= e=1 n e e=1 A T e CT e K ec e A e, (1.23) przyczymr 00 oznczwektorobciążeńzdefiniownychbezpośredniow węzłch. Niech R ozncz wektor rekcji więzów zewnętrznych. Równni Kr=R 0 +R (1.24) orz Kr= R 0, (1.25)

20 20 1. N czym poleg Metod Elementów Skończonych? sąrównowżnymirównnimirównowgikonstrukcji.symbole Korz R 0 w równniu(1.25) oznczją kolejno globlną mcierz sztywności i globlny wektor zstępczych obciążeń węzłowych z uwzględnieniem wrunków brzegowych. Wrto zuwżyć, że równnie(1.24) odniesione do cłej konstrukcji mbudowęidentycznązrównniem(1.20) 3,któredotyczyjednegoelementu skończonego. W stndrdowej procedurze MES korzyst się z równni (1.25) w celu obliczeni przemieszczeń, nstępnie wyzncz się skłdowe R n podstwie(1.24). Wektoryq e wukłdchloklnych(x e,y e,z e ),e=1,...,n e określsię według wzoru q e =C e A e r. (1.26) N podstwie znnych z kursu Algebry Liniowej reguł mnożeni wektorów i mcierzy możn zuwżyć, że ) liczbwierszymcierzyc e musibyćzgodnzwymiremwektorq e, b)liczbkolumnmcierzyc e musibyćzgodnzliczbąwierszya e, c) liczbkolumnmcierzya e musibyćzgodnzwymiremwektorr, co ozncz, że d)liczbkolumna e jestrównliczbiegloblnychstopniswobody, e) liczbwierszya e orzliczbkolumnc e sąrównesumiegloblnychstopni swobody wybrnych do opisu przemieszczeń węzłów e-tego elementu skończonego, f) liczbwierszyc e jestrównliczbieloklnychstopniswobodye-tego elementu skończonego. Mcierz trnsformcji elementów skończonych określ się uwzględnijąc orientcję loklnych ukłdów współrzędnych względem ukłdu globlnego. Sposób przyjęci mcierzy lokcji elementów jest ntomist ściśle związny z numercją węzłów w modelu obliczeniowym. Czytelnik powinien ztem prześledzić jk njwiększą liczbę zmieszczonych w skrypcie przykłdów i zdń w celu zrozumieni zsd budowy tych mcierzy Przykłd zstosowni MES Algorytm obliczeń MES Korzystjąc z rozwżń zmieszczonych w tym rozdzile możn sformułowć nstępujący lgorytm MES:

21 1.3. Przykłd zstosowni MES Podziel konstrukcję n elementy skończone i zzncz węzły. Przyjmijloklneukłdywspółrzędnych(x e,y e,z e )orzukłd globlny(x, Y, Z). 2. Ustl liczbę skłdowych wektor przemieszczeń r w ukłdzie globlnym. 3.Ustl liczbę skłdowychwektorów q e w ukłdchloklnych.zpiszmcierzea e,c e dlkżdegoelementu. 4.WyznczwektoryzstępczychobciążeńwęzłowychQ 0 eorz mcierzesztywnościk e wposzczególnychelementch. 5. Wyzncz globlną mcierz sztywności K, globlny wektor zstępczychobciążeńwęzłowychr 0 uzupełnionyoobciążeni dziłjącebezpośredniowwęzłch.określmcierz Korz wektor R 0 uwzględnijącwrunkibrzegoweprzemieszczeń (więzy konstrukcji). 6. Rozwiąż równnie równowgi konstrukcji ze względu n r. 7. Oblicz rekcje więzów zewnętrznych(podpór) R. 8.Obliczwektoryq e opisująceprzemieszczeniwęzłówwukłdch loklnych. 9.Określprzemieszczeniu e,odksztłceniε e isiływewnętrzne σ e wwybrnychpunktchelementówskończonych Przykłd dziłni lgorytmu Przykłd 1.1. Oblicz wrtości sił w prętch krtownicy n rys P P 5 Y y 1 x 1 x 2 x3 1 y x 4 4 6l y 3 y 4 X l 2l 2l 4l Rysunek 1.3. Krtownic 4-prętow z podziłem n elementy skończone.

22 22 1. N czym poleg Metod Elementów Skończonych? Podził konstrukcji n elementy skończone, tkże numercj węzłów i elementóworzosieukłdówloklnych(x e,y e )iukłdugloblnego(x,y) są pokzne n rys Przykłd dotyczy krtownicy płskiej, ztem opis przemieszczeń węzłów uwzględni jedynie przesunięci względem osi X orz Y,cotłumczypominięcieosiZorzz e wukłdchwspółrzędnych.wektor przemieszczeń r przybier postć r=[r 1...r 10 ] T. (1.27) Zstosown w opisie konstrukcji numercj węzłów pozwl określić mcierze lokcji w postci A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = ,,,. (1.28) ZsdębudowymcierzyA e njłtwiejzrozumiećnlizującwzór(1.26)w odniesieniu do kolejnych elementów. Przykłdowo, dl e = 3 otrzymuje się A 3 r=[r 5 r 6 r 9 r 10 ] T. (1.29) Łtwo stwierdzić, że powyższe dziłnie skutkuje wyborem tych skłdowych wektor r, które są potrzebne do opisu przemieszczeń węzłów elementu 3.