Aktuariat i matematyka finansowa. Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life

Transkrypt

1 Aktuariat i matematyka finansowa Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life

2 Budowa składki ubezpieczeniowej Składka ubezpieczeniowa cena jaką ubezpieczający płaci za ochronę ubezpieczeniowa udzielaną przez zakład ubezpieczeń Składka brutto: Składka netto na pokrycie odszkodowań i świadczeń Składka pokrywająca koszty funkcjonowania koszty administracyjne, koszty akwizycji, dodatki na działania prewencyjne, zysk, korekty (korekta z tytułu osiągniętych dochodów inwestycyjnych, korekta inflacyjna, reasekuracyjna)

3 Składka ubezpieczeniowa Składka ubezpieczeniowa Pokrycie odszkodowań i świadczeń Pokrycie kosztów związanych z funkcjonowaniem zakładu ubezpieczeń Oczekiwana wysokość szkody Dodatek bezpieczeństwa Koszty administracyjne Koszty akwizycji Dodatki na działania prewencyjne Zysk Korekty

4 Dodatek bezpieczeństwa zależy od: Typu polis (rozkładu wysokości szkody), Podatności na występowanie bardzo wysokich pojedynczych szkód lub kumulacji szkód, Występowanie zależności między szkodami, Siły kapitałowej zakładu ubezpieczeń, Awersji do ryzyka.

5 Reguły ubezpieczeniowe składki Reguła równowagi składek i świadczeń konieczność zagwarantowania równowagi między zebranymi składkami (funduszem ubezpieczeniowym) a sumą wypłat świadczeń i odszkodowań. Reguła proporcjonalności składek i świadczeń oznacza konieczność zachowania odpowiedniej relacji między składką a oczekiwanym świadczeniem ubezpieczeniowym. Im wyższa suma ubezpieczeniowa tym wyższy powinien być poziom wznoszonej składki. Reguła równowartości składek i ubezpieczeń (składka sprawiedliwa) konieczność zapewnienia odpowiednich relacji między obciążeniem finansowym poszczególnych członków wspólnoty ryzyka a rozmiarami ryzyka wniesionego przez nich do wspólnoty ubezpieczeniowej. Im wyższe ryzyko związane z daną polisą, tym wyższa powinna być składka ubezpieczeniowa.

6 Metody kalkulacji składki ubezpieczeniowej netto Klasyczne metody kalkulacji składki ubezpieczeniowej netto, Metoda wiarygodności

7 Klasyczna metoda kalkulacji składki ubezpieczeniowej netto Zasada równoważności składki (zasada czystego ryzyka) oparta na założeniu równowagi zebranych składek netto i oczekiwanej wartości odszkodowań w danych grupach ryzyka oraz w danym okresie ubezpieczenia P = E(Z) Założenia portfela ubezpieczeniowego: Prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku ubezpieczeniowego p w każdym ryzyku w portfelu jest takie samo, Każde ryzyko w portfelu ubezpieczone jest na taką samą sumę s, Każdy wypadek ubezpieczeniowy powoduje szkodę całkowitą.

8 Klasyczna metoda kalkulacji składki ubezpieczeniowej netto Dany jest portfel składający się z N jednorodnych jednostek ryzyka, równych zarówno w odniesieniu do ich wartości, jak i zagrożenia niebezpieczeństwem wystąpienia zdarzenia losowego (wypadku ubezpieczeniowego). Ponadto częstotliwość występowania wypadków ubezpieczeniowych n/n jest duża, gdzie n oznacza ilość wypadków ubezpieczeniowych. Można przyjąć że p = n,(i stopa składki netto): N P = sin Wysokość składki netto jest równa iloczynowi sumy ubezpieczenia, stopy składki netto oraz ilości ubezpieczonych jednostek ryzyka. E Z = spn

9 Przykład 1 Załóżmy że portfel polis ubezpieczeniowych składa się z 200 polis ubezpieczenia bagażu na wypadek kradzieży. W ciągu ostatnich 3 lat zanotowano 60 szkód z tego portfela. Suma ubezpieczenia dla każdej polisy jest jednakowa i wynosi 500, ponadto występująca szkoda jest szkodą całkowitą. Oblicz wartość zebranych składek i wysokość pojedynczej polisy.

10 Szkoda częściowa W przypadku zajścia szkody częściowej wypłacone odszkodowanie zapewne będzie niższe od sumy ubezpieczenia danego ryzyka. Wskaźnik intensywności działania -wypadków ubezpieczeniowych k jaka część sumy ubezpieczenia stanowi odszkodowanie za wypadek ubezpieczeniowy w danej grupie ryzyka. E Z = skpn Wartość odszkodowania portfela jest iloczynem sumy ubezpieczenia, wskaźnika, wskaźnika intensywności, prawdopodobieństwa wystąpienia danego wypadku ubezpieczeniowego oraz ilości ubezpieczonych jednostek ryzyka. i = kp

11 Przykład 2 Załóżmy że mamy portfel polis ubezpieczeń kosztów leczenia stomatologicznego, który zawiera 100 polis. Suma ubezpieczenia dla każdej z nich to W ciągu ostatnich dwóch lat wystąpiło 15 szkód, których przeciętna wysokość 200. Oblicz wartość stopy składki netto oraz składki rocznej dla pojedynczej polisy.

12 Zasada wartości oczekiwanej P = 1 + β E(Z)

13 Przykład 3 Portfel polis ubezpieczeniowych zawiera 500 rocznych polis ubezpieczeń mieszkań. Rozkład wysokości pojedynczego odszkodowania jest następujący: X Pr(X=x) 0,6 0,2 0,2 Zakład ubezpieczeń kalkuluje składkę w oparciu o zasadę wartości oczekiwanej z 10% narzutem bezpieczeństwa. Oblicz wartość składki jaką zakład ubezpieczeń powinien zebrać z całego portfela polis.

14 Przykład 4 Rozważmy teraz podobny portfel polis ubezpieczeń (500 polis, narzut bezpieczeństwa 10%). Jednak rozkład pojedynczej szkody: X Pr(X=x) 0,8 0,1 0,1 Oblicz wartość składki w oparciu o zasadę wartości oczekiwanej.

15 Zasada odchylenia standardowego i zasada wariancji P = E Z + αδ Z P = E Z + δvar(z)

16 Przykład 5 Rozważmy dwa portfele polis ubezpieczeniowych. Portfel A to portfel z przykładu 3, a portfel B z przykładu 4. Zakład ubezpieczeń stosuje dla obu portfeli zasadę wariancji i taki sam ładunek bezpieczeństwa. Portfel E(X) Var(X) E(Z) Var(Z) Składka wg zasady wartości oczekiwanej A B Składka wg zasady wariancji

17 Przykład 6 Portfel polis ubezpieczeniowych składa się z 500 polis ubezpieczenia rowerów na wypadek kradzieży. Suma ubezpieczenia dla każdej polisy jest jednakowa i wynosi 300, wystąpienie szkody oznacza szkodę całkowitą. W ciągu ostatnich 4 lat zanotowano łącznie 230 szkód z tego portfela. Wyznacz wartość składki ubezpieczeniowej dla tego portfela.

18 Przykład 7 Portfel polis ubezpieczeń zawiera 200 polis. Suma ubezpieczenia dla każdej z nich wynosi 500. W ciągu ostatnich trzech lat wystąpiło 60 szkód, których przeciętna wysokość wyniosła 200. Oblicz wysokość składki ubezpieczeniowej dla tego portfela.

19 Przykład 8 Portfel polis ubezpieczeniowych zawiera 300 rocznych polis ubezpieczeń. Rozkład wysokości pojedynczego odszkodowania danych jest w tabeli: X Pr(X=x) 0,8 0,1 0,1 Oblicz wysokość składki ubezpieczeniowej wg zasady wartości oczekiwanej z 5% narzutem bezpieczeństwa.

20 Zasada maksymalnej możliwej straty P = E Z + α σ Z + δ Var Z P 1 = E Z 1 + βcov Z 1, Z + Z 1 P = pe Z + 1 p max Z, gdzie p 0 Max(Z) jest skończone. Jeżeli założenie to pominiemy, wówczas P =, co oznaczać będzie, że ryzyko Z jest nieubezpieczalne.

21 Zasada oparta na teorii użyteczności Funkcja użyteczności ma charakter subiektywny. Opisuje ona indywidualne preferencje ubezpieczyciela. Każdy zakład posiada inną funkcję użyteczności. Dwie funkcje użyteczności są równoważne, jeśli spełniają poniższą zależność: u 1 x u 2 x jeśli u 1 x = au 2 x + b, a > 0 u 0 = 0 i u 0 = 1

22 Zasada użyteczności zerowej E[u x + P Z) = u(x) Oczekiwana użyteczność zarobku ubezpieczyciela, gdy ryzyko Z zostanie ubezpieczone za cenę P, równa się użyteczności początkowego zarobku ubezpieczyciela. E u P Z = u(0)

23 Zasada wykładnicza Funkcja użyteczności Składka: u x = 1 e ax a, a > 0 P = 1 a lne(eaz ) a określa awersję zakładu ubezpieczeń do ryzyka. Im większa awersja, tym wyższa jest składka. Ponadto gdy a 0 składka P = E(Z). Gdy rozkład ryzyka Z jest rozkładem normalnym i funkcja użyteczności jest funkcją wykładniczą to: P = μ + a 2 σ2

24 Zasada wartości oczekiwanej funkcji P = t 1 E t Z Przy założeniach że t x > 0 oraz t (x) 0 Jeżeli t x = e ax (a>0) zasada wartości oczekiwanej funkcji i zasada wykładnicza są równoważne.

25 Zasada percentylu (składka hazardu ) 0 < ε < 1, F jest dystrybuantą Z. P = min p: F p 1 ε

26 Kalkulacja składki metodą wiarygodności Zrównoważony model Buhlamanna Model Buhlamanna Strauba

27 Zasada wiarygodności Znany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennych opisujących ryzyko w badanym portfelu, Portfele są jednorodne Portfele dzieli się na podportfele jednorodne, dla których wyznacza się tzw. składkę indywidualną, a dla całego portfela składkę przeciętną. Składka ubezpieczeniowa dla poszczególnych podgrup wyznaczana jako średnia ważona ze składki dla całego portfela oraz dla podgrupy. z j E X j + (1 z j )E X j z j 0; 1 - współczynnik wiarygodności waga ryzyka przypisywana składce czystej wyznaczonej na podstawie obserwacji szkód dotyczących j-tej podgrupy polis.

28 Współczynnik wiarygodności Im więcej jest dostępnych obserwacji dotyczących danej podgrupy ryzyka, tym większa jest waga tych obserwacji wyższy współczynnik wiarygodności, Im większe są różnice pomiędzy poszczególnymi podgrupami ryzyka, tym większa powinna być waga obserwacji dotyczących tych grup, im bardziej jednorodny jest portfel polis, tym mniej zróżnicowane powinny być składki, w większym stopniu oparte na oczekiwanej wysokości szkody dla całego portfela Im większe są wahania wysokości szkód w obrębie danej podgrupy w czasie, tym większa powinna być waga przypisywana oczekiwanej wysokości szkody dla całego portfela.

29 Zrównoważony model Buhlmanna Mała liczba obserwacji, Portfel ubezpieczeniowy można podzielić na J podgrup, z których każda zawiera jednakową liczbę polis, Dostępna jest taka sama liczba obserwacji dotyczących szkód występujących w każdej z grup dla każdej z podgrup dostępne są dane dotyczące T okresów. X jt - wysokość szkody powstałej w j tej podgrupie w okresie t. X jt = m + H j + H jt m średnia wysokość szkody dla całego portfela polis ubezpieczeniowych H j odchylenie od tej średniej, które charakteryzuje polisy należące do j tej klasy; H jt odchylenie od średniej szkody, które jest związane z czasem.

30 Zrównoważony model Buhlmanna E H j = E H jt = 0 Var H j = α, Var H jt = s 2 Najlepsza w sensie minimalnego średniego błędu kwadratowego wartość oczekiwana: E[ X j,t+1 g 11 X 11 g JT X JT } 2, która jest prognozą wysokości szkody dla grupy j w okresie T+1, jest równa składce wiarygodnej: z X j + (1 z) X. Współczynnik wiarygodności z = αt αt+s 2 Współczynnik wiarygodności dla portfeli polis ubezpieczeniowych jest jednakowy dla wszystkich wyróżnionych podgrup, czyli waga indywidualnego doświadczenia dla każdej grupy jest taka sama. X = 1 J T JT j=1 t=1 T X j = 1 T t=1 X jt X jt

31 Kalkulacja współczynnika wiarygodności Mean square between MSB = Mean square within MSW = J j=1 J j=1 T( X j X) 2 J 1 t=1 T ( X j X) 2 J(T 1)

32 Model Buhlmanna - Strauba Liczba polis wchodzących w skład poszczególnych grup nie musi być jednakowa Liczba polis w grupach może być różna w różnych okresach Liczba polis jest uwzględniona w modelu w postaci wag X jt = m + ε j + ε jt Var ε jt = s2, gdzie w w jt to waga przypisana obserwacji. jt X jt = 1 X w jtk jt k

33 Model Buhlmanna - Strauba E jtk = 0 Var jtk = s 2 z j X jw + 1 z j X zw Współczynnik wiarygodności dla grupy j: z j = Oznaczenia: X jw = z Σ = T t=1 J j=1 z j w jσ = wjt w jσ X jt X zw = T t=1 J j=1 αw jσ s 2 +αw jσ w jt w ΣΣ = T t=1 z j z Σ X jw X ww = w jσ J j=1 w jσ w ΣΣ X jw X jw - estymator wysokości szkody dla grupy j wyznaczony tylko na podstawie obserwacji dla danej grupy X zw - estymator ważonej wiarygodnej składki dla całego portfela

34 Estymacja współczynnika wiarygodności Sum of squares within Sum of squares between SSW = SSB = j j,t w j,t (X jt X jw ) 2 w jσ (X jw X ww ) 2 m = X ww s 2 = SSW J(T 1) SSB (J 1) a = 2 w jσ w ΣΣ j w ΣΣ s2

35 Przykład 9 Lp w jσ X jw z j ,36 0, ,31 0, ,19 0, ,51 0, ,41 0, ,30 0, ,91 0, ,12 0, ,87 0, ,30 0, ,85 0, ,31 0,9233 Dany jest portfel polis ubezpieczeń domów jednorodzinnych. Ponieważ jest on niejednorodny, został podzielony na 12 podgrup, ze względu na 2 kryteria: wartość nieruchomości, położenie ze względu na bliskość rzeki i wiążące się z tym ryzyko powodzi. Ponieważ liczba obserwacji w każdej z podgrup w poszczególnych latach (obserwacje obejmują 10 lat) nie jest stała, zatem konieczne jest wprowadzenie wag, czyli zastosowanie modelu Buhlmanna Strauba. Oblicz wiarygodną składkę.

36 Ograniczenia odpowiedzialności zakładu ubezpieczeń Ograniczenie wielkości ryzyka Ograniczenie kosztów związanych z likwidacją szkód, Działania prewencyjne

37 Górna granica odpowiedzialności zakładu ubezpieczeń Ustalana w celu ograniczenia ryzyka, Suma ubezpieczenia lub suma gwarancyjna Zakład ubezpieczeń pokrywa wszystkie szkody w pełnej wysokości, o ile nie przekraczają one limitu x dla x < M h x = min x, M = M dla x M Stosuje się rozkłady ucięte (wartość oczekiwana i wariancja niższe, niż gdyby limit odpowiedzialności nie był zastosowany), Składka ubezpieczeniowa niższa.

38 WYSOKOŚĆ ODSZKODOWANIA WYSOKOŚĆ SZKODY

39 Franszyza Stosowana w celu redukcji kosztów administracyjnych likwidacji szkód oraz przy podejmowaniu działań prewencyjnych Tylko w ubezpieczeniach majątkowych i ma wpływ na kalkulację składki Z góry ustalona wartość szkody o którą ubezpieczyciel obniża odszkodowanie lub za którą nie wypłaca odszkodowania Rodzaje: Integralna (warunkowa) Redukcyjna (bezwarunkowa)

40 Franszyza integralna Ubezpieczyciel nie ponosi odpowiedzialności za szkodę do pewnej ustalonej wysokości, natomiast w momencie kiedy wartość szkody przekroczy ustaloną wysokość a, ubezpieczyciel zobowiązany jest do wypłacenia pełnego odszkodowania. Poprzez stosowanie franszyzy integralnej towarzystwa ubezpieczeniowe dążą do pozbycia się kosztów manipulacyjnych obsługi drobnych szkód. Wysokość franszyzy w stosunku do przeciętnej kwoty odszkodowania jest niska. Funkcja wypłaty: 0 dla 0 x a h x = x dla x > a

41 Wysokość odszkodowania Funkcja wypłaty dla franszyzy integralnej a = Wysokość szkody

42 Franszyza redukcyjna Odszkodowanie zawsze pomniejsza się o ustaloną wysokość lub ustalony procent wysokości szkody. Stosowana aby zachęcić ubezpieczonych do zapobiegania powstawania szkód, co prowadzi do tego, że wartość franszyzy redukcyjnej może być znaczna Franszyza kwotowa funkcja wypłaty (b wartość franszyzy redukcyjnej): 0 dla 0 x b h x = x b dla x > b Franszyza proporcjonalna funkcja wypłaty: h x = 1 c x

43 Wysokość odszkodowania Wpływ franszyzy kwotowej na wartość odszkodowania Wysokość szkody

44 Wysokość odszkodowania Wpływ franszyzy kwotowej na wartość odszkodowania (c=30%) Wysokość szkody

45 Przykład 10 Rozkład wysokości szkód w ubezpieczeniu następstw nieszczęśliwych wypadków jest następujący: X p 0,5 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 Zakład ubezpieczeń posiada 200 polis takich ubezpieczeń. Składka ubezpieczeniowa jest kalkulowana wg zasady odchylenia standardowego z 20% ładunkiem bezpieczeństwa. Wyznacz wysokość składki dla pojedynczej polisy, jeżeli: a) Zakład ubezpieczeń nie stosuje górnego limitu odpowiedzialności, ani franszyzy, b) Zakład ubezpieczeń stosuje górny limit odpowiedzialności na poziomie 400, c) Zakład ubezpieczeń stosuje franszyzę integralną na poziomie 100, d) Zakład ubezpieczeń stosuje franszyzę redukcyjną kwotową na poziomie 100, e) Zakład ubezpieczeń stosuje franszyzę redukcyjną procentową w wysokości 10%.

46 Przykład 11 Rozkład wysokości szkód jest następujący: X p 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1 Zakład ubezpieczeń posiada 100 polis takich ubezpieczeń. Składka ubezpieczeniowa jest kalkulowana wg zasady odchylenia standardowego z 10% ładunkiem bezpieczeństwa. Wyznacz wysokość składki dla pojedynczej polisy, jeżeli: a) Zakład ubezpieczeń nie stosuje górnego limitu odpowiedzialności, ani franszyzy, b) Zakład ubezpieczeń stosuje górny limit odpowiedzialności na poziomie 35, c) Zakład ubezpieczeń stosuje franszyzę integralną na poziomie 12, d) Zakład ubezpieczeń stosuje franszyzę redukcyjną kwotową na poziomie 10, e) Zakład ubezpieczeń stosuje franszyzę redukcyjną procentową w wysokości 15%.

47 Dziękuję za uwagę